Mat circunferencia circulo

20.793 visualizações

Publicada em

Publicada em: Educação
1 comentário
6 gostaram
Estatísticas
Notas
Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
20.793
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
3
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
245
Comentários
1
Gostaram
6
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Mat circunferencia circulo

  1. 1. Circunferência e círculo Profa. Dra. Denise Ortigosa StolfSumário PáginaRevisão............................................................................................................................ 1 Circunferência e Círculo .......................................................................................... 1 Pontos interiores de um círculo e exteriores a um círculo ....................................... 2 Raio, corda e diâmetro.............................................................................................. 2 Posições relativas de uma reta e uma circunferência ............................................... 3Relações métricas na circunferência............................................................................... 3 Relação entre as cordas ............................................................................................ 4 Relação entre secantes.............................................................................................. 4 Relação entre secante e tangente .............................................................................. 4Polígonos regulares inscritos na circunferência.............................................................. 7 Elementos de um polígono regular inscrito.............................................................. 8 Propriedades ............................................................................................................. 9Relações métricas de polígonos inscritos numa circunferência ................................... 12 Quadrado inscrito na circunferência ...................................................................... 12 Hexágono regular inscrito na circunferência ......................................................... 14 Triângulo eqüilátero inscrito na circunferência ..................................................... 15Comprimento da circunferência.................................................................................... 18Referências bibliográficas............................................................................................. 21
  2. 2. 1Circunferência e círculoRevisãoCircunferência e Círculo Circunferência Círculo A circunferência é o lugar geométrico É o conjunto de todos os pontos de de todos os pontos de um plano que um plano cuja distância a um ponto estão localizados a uma mesma fixo O é menor ou igual que uma distância r de um ponto fixo distância r dada. Quando a distância é denominado o centro da nula, o círculo se reduz a um ponto. O circunferência. Esta talvez seja a círculo é a reunião da circunferência curva mais importante no contexto com o conjunto de pontos localizados das aplicações. dentro da mesma. Na figura abaixo, a circunferência é a linha de cor preta que envolve a região cinza, enquanto o círculo é toda a região pintada de cinza reunida com a circunferência.
  3. 3. 2Pontos interiores de um círculo e exteriores a um círculo Pontos interiores Pontos exterioresOs pontos interiores de um círculo são Os pontos exteriores a um círculo sãoos pontos do círculo que não estão na os pontos localizados fora do círculo. circunferência.Raio, corda e diâmetro Raio Corda Diâmetro Raio de uma Corda de uma Diâmetro de umacircunferência (ou de um circunferência é um circunferência (ou de um círculo) é um segmento segmento de reta cujas círculo) é uma corda que de reta com uma extremidades pertencem passa pelo centro da extremidade no centro à circunferência. Na circunferência. da circunferência e a figura, os segmentos de Observamos que o outra extremidade num reta AC e DE são diâmetro é a maior corda ponto qualquer da cordas. da circunferência. Na circunferência. Na figura, o segmento de figura, os segmentos de reta AC é um diâmetro. reta OA, OB e OC são raios.
  4. 4. 3Posições relativas de uma reta e uma circunferência Reta secante Reta tangente Uma reta é secante a uma Uma reta tangente a umacircunferência se essa reta intercepta a circunferência é uma reta que circunferência em dois pontos intercepta a circunferência em umquaisquer, podemos dizer também que único ponto P. Este ponto é conhecido é a reta que contém uma corda. como ponto de tangência ou ponto de contato. Na figura ao lado, o ponto P é o ponto de tangência e a reta que passa pelos pontos E e F é uma reta tangente à circunferência.Relações métricas na circunferênciaA circunferência também apresenta relações métricas entre seus elementos.Vejamos essas relações.
  5. 5. 4Relação entre as cordas Se duas cordas de uma circunferência se interceptam em um ponto P então o produto das medidas das duas partes de uma corda é igual ao produto das medidas das duas partes da outra corda. PA ⋅ PB = PC ⋅ PDRelação entre secantes Quando duas secantes se interceptam externamente a uma circunferência, o produto da medida da secante inteira pela medida de sua parte externa é constante. PA ⋅ PB = PC ⋅ PDRelação entre secante e tangente O quadrado da medida do segmento tangente é igual ao produto da medida do segmento secante inteiro pela medida de sua parte externa. PC 2 = PA ⋅ PB
  6. 6. 5Exemplos:a) Na circunferência abaixo, determine a medida x do segmento PD , sabendoque PA = 7 cm, PB = 4 cm e PC = 2 cm. Através da relação entre secante e tangente, temos: PA ⋅ PB = PC ⋅ PD De acordo com os dados do problema, podemos escrever: 7⋅4 = 2⋅ x 2 x = 28 28 x= 2 x = 14Logo, a medida do segmento PD é 14 cm.b) Calcular o comprimento r do raio da circunferência abaixo, sendo dadosPA = 20 cm e PC = 10 cm. Através da relação das cordas, temos: PA 2 = PB ⋅ PC De acordo com os dados do problema, podemos escrever: 20 2 = (10 + 2 r ) ⋅ 10 400 = 100 + 20 r 20 r = 400 − 100 20 r = 300 300 r= 20 r = 15Logo, o comprimento do raio é 15 cm.
  7. 7. 6 EXERCÍCIOS A(1) Determine a medida x indicada nas figuras abaixo:a) c)b) d)(2) Na figura abaixo, determine as medidas x e y indicadas.
  8. 8. 7(3) De um ponto P, situado a 3 cm de uma circunferência, traça-se um segmentode tangente PC cuja medida é 9 cm. Nessas condições, determine ocomprimento do raio dessa circunferência.Polígonos regulares inscritos na circunferênciaPolígono regular é todo polígono que possui lados e ângulos congruentes entresi. O nome de um polígono regular será dado de acordo com seu número delados. Nomenclatura
  9. 9. 8Quando os vértices de um polígono estão sobre uma circunferência, dizemos que:• o polígono está inscrito na circunferência;• a circunferência está circunscrita ao polígonoElementos de um polígono regular inscritoCentro do polígono é o centro da circunferência circunscrita a ele (ponto O).Raio do polígono é o raio da circunferência circunscrita a ele ( OC ).Apótema do polígono é o segmento que une o centro do polígono ao pontomédio de um de seus lados ( OM ).Ângulo central é aquele cujo vértice é o centro do polígono e cujo lados sãosemi-retas que contêm dois raios consecutivos. 360ºA medida do ângulo central é dada por: a c = (n = número de lados). nÂngulo interno é aquele cujos lados são dois lados consecutivos do polígono. (n - 2) ⋅ 180ºA medida do ângulo interno é dada por: a i = (n = número de nlados).Soma dos ângulos internos: a soma dos ângulos internos de um polígonoregular de n lados é dada por: Si = (n − 2) ⋅ 180º (n = número de lados).
  10. 10. 9Propriedades1ª) Em dois polígonos regulares inscritos e com o mesmo número de lados, os perímetros são proporcionais aos comprimentos dos respectivos raios.2ª) Em dois polígonos regulares inscritos e com o mesmo número de lados, os perímetros são proporcionais às medidas dos respectivos lados.3ª) Em dois polígonos regulares inscritos e com o mesmo número de lados, os perímetros são proporcionais às medidas dos respectivos apótemas.Exemplos:a) Determinar a medida do ângulo central e a medida do ângulo interno de umpentágono regular inscrito.Indicando por a c a medida do ângulo Indicando por a i a medida do ângulocentral, temos: interno, temos: 360º (n - 2) ⋅ 180ºac = ai = n n 360º (5 - 2) ⋅ 180ºac = ai = 5 5a c = 72º 3 ⋅ 180º ai = 5 540º ai = 5 a i = 108ºLogo, o ângulo central do pentágono inscrito é 72º e o ângulo interno é 108º.
  11. 11. 10b) Dois hexágonos regulares estão incritos em circunferências de raios 14 cm e21 cm. Se o perímetro do hexágono inscrito na menor delas é 84 cm, determinaro perímetro do outro hexágono.Indicando o perímetro desconhecido por x e aplicando a 1ª propriedade, temos:14 84 =21 x14 x = 1764 1764x= 14x = 126Logo, o perímetro do outro hexágono é 126 cm. EXERCÍCIOS B(1) Determine a medida do ângulo central e a medida do ângulo interno de cadaum dos seguintes polígonos regulares inscritos:a) triângulo eqüiláterob) quadradoc) hexágono regulard) octógono regular
  12. 12. 11(2) O perímetro de um polígono regular inscrito numa circunferência cujo raiomede x é 60 cm. Sabe-se que outro polígono regular com o mesmo número delados está inscrito numa circunferência de raio 25 cm e tem 150 cm deperímetro. Quanto mede o comprimento x do raio da primeira circunferência?(3) Os perímetros de dois polígonos regulares com o mesmo número de ladosmedem 48 cm e 60 cm, respectivamente. Quanto mede o apótema do segundo seo apótema do primeiro mede 4 3 cm?(4) Os perímetros de dois polígonos regulares com o mesmo número de ladossão, respectivamente, 28,28 cm e 39,592 cm. Quanto medem o raio e o apótemado primeiro se o raio e o apótema do segundo medem, respectivamente, 7 cm e3,5 cm?
  13. 13. 12Relações métricas de polígonos inscritos numa circunferênciaQuando consideramos a medida do lado do polígono regular, a medida doapótema do mesmo polígono e o comprimento do raio da circunferência onde opolígono está inscrito, podemos estabelecer relações métricas entre essasmedidas.Quadrado inscrito na circunferência
  14. 14. 13Exemplo:► Um quadrado está inscrito numa circunferência de raio 24 cm. Nessascondições, determine:a) a medida do lado do quadrado:l=r 2l = 24 2 cmb) a medida do apótema do quadrado: r 2a= 2 24 2a= 2a = 12 2 cmc) o perímetro (P) do quadrado:P = 4lP = 4 ⋅ 24 2P = 96 2 cmd) a área (S) do quadrado:S = l2S = (24 2 ) 2S = 1152 cm 2
  15. 15. 14Hexágono regular inscrito na circunferênciaExemplo:► Determine a medida do lado e a medida do apótema de um hexágono regularinscrito numa circunferência de raio 30 cm.a) a medida do lado do quadrado:l=rl = 30 cmb) a medida do apótema: r 3a= 2 30 2a= 2a = 15 2 cm
  16. 16. 15Triângulo eqüilátero inscrito na circunferênciaExemplo:► Um triângulo eqüilátero está inscrito numa circunferência de raio 60 3 cm.Determine:a) a medida do lado do triângulo:l=r 3l = 60 3 ⋅ 3l = 180 cmb) a medida do apótema do triângulo: ra= 2 60 3a= 2a = 30 3 cm
  17. 17. 16 EXERCÍCIOS C(1) Uma circunferência tem 40 cm de raio. Nessas condições, determine amedida do lado e do apótema de cada um dos seguintes polígonos regularesinscritos nessa circunferência:a) quadradob) hexágono regularc) triângulo eqüilátero(2) Um quadrado cujo lado mede 16 cm está inscrito numa circunferência.Determine o comprimento r do raio dessa circunferência.
  18. 18. 17(3) Sabendo que o apótema de um triângulo eqüilátero incrito em umacircunferência de raio r mede 15 cm, determine:a) o comprimento do raiob) a medida do lado do triângulo, fazendo 3 = 1,73(4) O apótema de um hexágono regular inscrito numa circunferência mede15 3 cm .a) Qual é a medida do raio dessa circunferência?b) Qual é a medida do apótema de um triângulo eqüilátero inscrito nessacircunferência?
  19. 19. 18Comprimento da circunferênciaQuando somamos todos os lados de uma figura plana iremos obter o seuperímetro, no caso específico do círculo, o cálculo do seu perímetro é dado pelocomprimento da circunferência (contorno do círculo), pois um círculo écontornado por uma circunferência que é formada pela união das extremidadesde uma linha aberta.O cálculo do comprimento da circunferência (perímetro) foi obtido da seguinteforma: como todas as circunferências são semelhantes entre si, ou seja, todaspertencem ao mesmo centro, foi concluído que a razão entre o comprimento (C)de qualquer circunferência pelo seu respectivo diâmetro (D) será sempre umamesma constante. CAssim: ≅ 3,14 DO número 3,141592... corresponde em matemática à letra grega π (lê-se "pi").Costuma-se considerar π = 3,14.Logo:C =πDC = D⋅πC = 2r πC = 2πrUtilizando essa fórmula, podemos determinar o comprimento de qualquercircunferência.
  20. 20. 19Exemplos:a) Determinar o comprimento de uma circunferência que tem 9 cm de raio.C = 2πrC = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 9C = 56,52 cmLogo, o comprimento da circunferência é 56,52 cm.b) Qual é o comprimento r do raio de uma circunferência que tem 18,84 cm decomprimento?C = 2πr18,84 = 2 ⋅ 3,14 ⋅ r18,84 = 6,28 r 18,84r= 6,28r = 3 cmLogo, o raio da circunferência é de 3 cm.c) Qual é o comprimento x de um arco de 60º numa circunferência que tem 21cm de raio? Sabemos que a medida completa da circunferência, 360º 2 π r = em graus, é 360. Portanto, para resolver esse 60º x problema vamos usar uma regra de três simples e 6 2 ⋅ 3,14 ⋅ 21 direta: = 1 x 360º 2πr 6 x = 131,88 131,88 60º x x= 6 x = 21,98 cmLogo, o comprimento do arco pedido é 21,98 cm.
  21. 21. 20 EXERCÍCIOS DTodo domingo Carla passeia pelo parque com sua bicicleta.(1) Sabendo que 1 polegada equivale, aproximadamente, a 2,54 cm, quantoscentímetros tem uma volta da roda da bicicleta de Carla?(2) No último domingo, Carla andou 4 km com sua bicicleta. Quantas voltas deucada roda?(3) De casa ao clube, ida e volta, cada roda dá 2000 voltas. A que distância dacasa de Carla fica o clube?
  22. 22. 21Referências bibliográficasANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando matemática. São Paulo: Brasil, 2002.BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2006.DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá: Matemática. São Paulo: Moderna, 2007.GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e descobrir. São Paulo: FTD, 2005.GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI; Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998.GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São Paulo: Scipione, 2006.MATEMATICA ESSENCIAL. Disponível em: <http://pessoal.sercomtel.com.br>. Acesso em: 15 de outubro de 2008.MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Onaga. Matemática: idéias e desafios. São Paulo: Saraiva, 1997.MUNDO EDUCAÇÃO. Disponível em: < http://www.mundoeducacao.com.br>. Acesso em: 16 de outubro de 2008.SÓ MATEMÁTICA. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br>. Acesso em: 16 de outubro de 2008.UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA. Disponível em: <http://www.moodle.ufba.br>. Acesso em: 15 de outubro de 2008.

×