Ap mat potenciacao

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Ap mat potenciacao

  1. 1. 1 Prof. Denise Ortigosa Stolf Colégio Trilíngüe Inovação Rua Mato Grosso 420-E Fone/Fax: (49) 3322.4422 Textos Chapecó – Santa Catarina CEP. 89801-600SumárioPotenciação ...............................................................................................................................................2 Potência de um número real com expoente natural ..............................................................................2 Propriedades ......................................................................................................................................2 Potência de um número real com expoente inteiro negativo ................................................................6 Sinal de uma potência de base não nula ............................................................................................6 Potências de 10......................................................................................................................................9 Notação científica ...........................................................................................................................10Radiciação ...............................................................................................................................................12 Raiz enésima de um número real ........................................................................................................12 Radical aritmético e suas propriedades ...............................................................................................14 Propriedades ....................................................................................................................................15 Simplificando radicais: extração de fatores do radicando ..................................................................21 Introduzindo um fator externo no radicando.......................................................................................25 Adicionando, algebricamente, dois ou mais radicais ..........................................................................27 Multiplicando e dividindo expressões com radicais de mesmo índice e de índices diferentes ..........31 Produtos notáveis ............................................................................................................................35 Potenciação de uma expressão com radicais.......................................................................................36 Racionalizando denominadores de uma expressão fracionária...........................................................37 Simplificando expressões com radicais ..............................................................................................39 Potências com expoente fracionário ...................................................................................................41Bibliografia .............................................................................................................................................43
  2. 2. 2POTENCIAÇÃOPotência de um número real com expoente naturalA potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a édenominado a base e o número n é o expoente. a n = a ⋅ 42⋅43 1a ⋅ a ... ⋅ a Exemplo: 2 4 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 n vezes a é multiplicado por a n vezesPropriedades1ª) Produto de potências de mesma base Exemplos: 53 ⋅ 56 = 53+6 = 59 a n ⋅ a m = a n+m (−2) 4 ⋅ (−2) 3 = (−2) 4+3 = (−2) 72ª) Quociente de potências de mesma base Exemplos: 6 5 : 6 2 = 6 5− 2 = 6 3 a n : a m = a n −m (−10)8 : (−10) 3 = (−10)8−3 = (−10) 5
  3. 3. 33ª) Potência de uma potência Exemplos: (10 ) 2 5 = 10 2⋅5 = 1010 (a ) n m = a n⋅m [(− 8) ]3 5 = (− 8) = (− 8) 3⋅5 154ª) Potência de um produto ou de um quociente Exemplos: (6 ⋅ 5)8 = 68 ⋅ 58 ( a ⋅ b) = a ⋅ b n n n (a : b) n = a n : b n [(−10) : 2] 4 = ( −10) 4 : 2 4Observação:Para todo número real a, com a ≠ 0 , temos a 0 = 1 23 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 23 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 23 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 22 = 2 ⋅ 2 = 4 2⋅2⋅2 8 23 22 = = =4 22 = = 2 3−1 = 2 2 = 2 ⋅ 2 = 4 21 = 2 2 2 2 2⋅2 4 22 20 = 1 21 = = =2 21 = = 2 2−1 = 21 = 2 2 2 2 2 21 20 = = 1 2 = 0 = 21−1 = 2 0 = 1 2 2
  4. 4. 4 EXERCÍCIOS A16) Calcule as potências.a) (−13)3 1  16 b)    141 
  5. 5. 57) Determine o valor de: 050 − 101 + 1100 + 10 0 . 118) Se a = − , qual o valor de a 3 ? 59) Qual é o maior: (−15) 2 ou − 15 2 ?10) Calcule os valores das expressões:a) (32 ⋅ 4 2 : 6 2 − 2 2 )3 ⋅125 + 110b)[(5 − 5 ⋅ 2 ) ⋅ 5 − 5 : (2 ⋅ 3 − 2 ⋅ 5 − 13) ] 2 2 2 3 3 10 211) Determine o valor numérico da expressão b 2 − 4 ac para a = 5 , b = −9 e c = 4 .
  6. 6. 6Potência de um número real com expoente inteiro negativoPara todo número racional a, com a ≠ 0, definimos: n −n 1 1 1a = n =   , em que n é um número natural e é o inverso de a. a a a −n n a 1 1 bn bn  b Observação:   = n = n = 1⋅ n = n =   b a a a a a   n b bExemplos: −2 1 1  2  3 2 a) 7 −2 = 2 = c)  −  = −  = 9 7 49  3  2 4 −1 −3 3 1  7  2 d) (− 3,5)−3 =  −  =  −  = − 1 1 5 8 b)   = 1 = = 1⋅ = 5 5 1 1 1  2  7 343   5 5Sinal de uma potência de base não nulaPara determinar o sinal de uma potência, podemos considerar o sinal da base e verificar se o expoenteé par ou ímpar.Expoente Base positiva Base negativa Potência positiva Potência positivaPar 54 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 625 (−5) 4 = (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) = 625 Potência positiva Potência negativaÍmpar 25 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 32 (−3)3 = (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) = −27
  7. 7. 7 EXERCÍCIOS A21) Determine o valor de: −5  1a) 17 −1 c)  −   3 −6 −4  3b) (−6) d) −   22) Escreva cada número sob a forma de potência com expoente inteiro negativo: 1 1 7a) 3 c)   10  16  6 1  1b) − 5 d)    xy  16   4 −1 + 4 −23) Calcule o valor de . 4− 34) Calcule o valor das expressões: 3 1 1a) 3 ⋅   + −1 2 −2  3 3 + 2b) (2 −1 + 2 −2 + 3−1 ) −2 x −1 + y −15) Simplifique a expressão algébrica − 2 . x − y −26) Aplique as propriedades de potências e simplifique as expressões:a) a 4 ⋅ a −3 c) (a −6 ) 7 : a −40 −11 2 (ab 2 ) 4b) (a ) d) a −3
  8. 8. 87) Aplique as propriedades de potência e reduza as expressões a uma só potência:a) 17 2 n + 2 ⋅ 17 [ c) (75) ] n −4 n −1 n +3  1  1b)  −  :−  d) a n−1 : a n  2  28) Simplifique as expressões e calcule o valor de cada uma delas: −2 4  1  2  3 5 n+1 ⋅ 5 2 ⋅ 5 −1 2 2 c)a)   ⋅   +    : 3−4 5n 3 3  3    b) (10 ) ⋅ (10 ) 5 3 −4 3 ( + 10 −5 : 10 −2 ) 4 d) 21n−3 ⋅ 33−n 10 2 7 n−1
  9. 9. 9Potências de 10Para facilitar a escrita de número com muitos dígitos iguais a zero, podemos utilizar potências de 10.Quando temos um número multiplicado por uma potência de base 10 positiva, indica que iremos“aumentar” o número de zeros à direita ou “movimentar” para a direita a vírgula tantas casas quantoindicar o expoente da base 10. Veja alguns exemplos:54 x 105 = 5400000 Acrescentamos 5 zeros à direita do 542050 x 102 = 205000 Acrescentamos 2 zeros à direita do 20500,00021 x 104 = 2,1 “Movimentamos” a vírgula 4 casas para a direita0,000032 x 103 = 0,032 “Movimentamos” a vírgula 3 casas para a direitaQuando temos um número multiplicado por uma potência de base 10 negativa, indica que iremos“diminuir” o número de zeros à direita ou “movimentar” a vírgula para esquerda tantas casas quantoindicar o expoente da base 10. Veja alguns exemplos:54 x 10-5 = 0,00054 “Movimentamos” a vírgula 5 casas para a esquerda “Movimentamos” a vírgula 2 casas para a esquerda.2050 x 10-2 = 20,5 Lembrando que 20,5 = 20,500,00021 x 10-4 = 0,000000021 “Movimentamos” a vírgula 4 casas para a esquerda0,000032 x 10-3 = 0,000000032 “Movimentamos” a vírgula 3 casas para a esquerda32500000 x 10-4 = 3250 “Diminuímos” 4 zeros que estavam à direitaExemplos:1) A distância da galáxia de Andrômeda à Terra é de aproximadamente:2.200.000 anos-luz.2.200.000 = 22 ⋅ 100.000 = 22 ⋅ 105 anos-luz2) O raio de um átomo mede aproximadamente: 0,00000000005 mm.0,00000000005 mm = 5 ⋅ 0,00000000001 mm = 5 ⋅ 10-11 mm
  10. 10. 10Notação científicaFísicos, químicos, biólogos, engenheiros, astrônomos e outros cientistas utilizam números com muitoszeros. Como já vimos, estes números podem ser escritos de várias maneiras, usando potências de 10.A distância do Sol à Terra, por exemplo, é, aproximadamente, 150000000 km e pode ser indicada por150 ⋅ 106 Km ou 15 ⋅ 107 Km ou 1,5 ⋅108 Km ou 0,15 ⋅ 109 Km.A espessura de um vírus é, aproximadamente, 0,0008 mm ou 8 ⋅10−4 mm ou 0,8 ⋅10 −3 mm ou0,008 ⋅ 10−1 mm.Nos trabalhos científicos, para facilitar os cálculos e a comunicação, quando aparecem números commuitos zeros, esses números são escritos numa forma padrão chamada notação científica. Um número escrito na notação científica é o produto de um número entre 1 e 10 por uma potência de 10.Assim, a distância do Sol à Terra, em notação científica, é aproximadamente 1,5 ⋅108 km e a espessurade um vírus é 8 ⋅10−4 mm.
  11. 11. 11 EXERCÍCIOS A31) Escreva os seguintes números usando potência de dez:a) dez bilhões c) um milionésimob) 14.400.000 d) 0,000000142) Calcule:a) 0,00532 ⋅ 105b) 7,41 : 10 3c) 3,42 ⋅ 10 −33) Escreva os seguintes números usando notação científica:a) 7 500 000 000 c) 106 000b) 0,0000192 d) 0,005024
  12. 12. 12RADICIAÇÃORaiz enésima de um número realConsideremos um número real a e um número natural n, com n ≥ 2.Vamos examinar o conceito de raiz enésima desse número, indicada pela expressão:Temos dois casos a examinar:1º Caso: O índice n é par.Observe alguns exemplos:• 81 = 9 , pois 9 2 = 9 ⋅ 9 = 81• 4 16 = 2 , pois 2 4 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16• 6 729 = 3 , pois 36 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 729Já vimos que não se define a raiz quadrada de um número real negativo, pois ao elevarmos um númeroreal ao quadrado não obtemos um número real negativo. Esse fato se estende quando temos a raizquarta ou a raiz sexta ou a raiz oitava,... e assim por diante, de um número real negativo.Assim:• − 4 não se define em .• 4 − 81 não se define em .• 6 − 1 não se define em .Podemos dizer que:Quando o número real a é positivo (a > 0) e n é um número natural par, diferente de zero, dizemos quea expressão n a é igual ao número real positivo b tal que b n = a .Quando o número real a é negativo (a < 0) e n é um número natural par, diferente de zero, dizemosque a expressão n a não é definida no conjunto dos números reais.
  13. 13. 13É importante notar a diferença entre as expressões − 9 e −9 .− 9 é o oposto de 9 ; logo, − 9 = −3 . − 9 não se define no conjunto .É importante, também, notar a diferença entre as expressões (−5) 2 e − 52 . (−5) 2 = + 25 = 25 = 5 . − 52 = − 25 , que não se define no conjunto .2º Caso: O índice n é ímpar.Observe os exemplos:• 3 8 = 2 , pois 23 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8• 3 − 8 = −2 , pois (−2)3 = (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) = −8• 5 3125 = 5 , pois 55 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 3125• 5 − 3125 = −5 , pois (−5)5 = (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) = −3125Através dos exemplos dados, podemos dizer: nDado um número real a e sendo n é um número natural ímpar, a expressão a é um único númeroreal b tal que b n = a .
  14. 14. 14 EXERCÍCIOS B1Radical aritmético e suas propriedadesToda expressão matemática da forma n a , com , e n ≥ 2 , recebe o nome de radicalaritmético. mObserve: a = n a m (m > 0, n > 0) nAssim:No radical 5 , o índice é 2 e o radicando é 5.No radical 3 10 , o índice é 3 e o radicando é 10.
  15. 15. 15Propriedades1ª) Propriedaden a n = a , com , e n >1Exemplos:a) 5 32 = 5 25 = 2b) 49 = 7 2 = 7c) 4 81 = 4 34 = 32ª) Propriedade am = a m: p , com p ≠ 0 e p divisor de m e n.n n: p n⋅ pn am = a m⋅ pExemplos:a) 8 32 = 8:2 32:2 = 4 3b) 15 7 9 = 15:3 7 9:3 = 5 7 3c) 4 2 = 2⋅3 4 2⋅3 = 6 463ª) Propriedadem n a = m⋅n a , com , , , m >1 e n >1.Exemplos:a) 5 = 2⋅2 5 = 4 5b) 6 4 2 = 6⋅4 2 = 24 2
  16. 16. 164ª) Propriedaden a ⋅ b = n a ⋅ n b , com , , e n > 1.Exemplos:a) 5 12 = 5 3 ⋅ 4 = 5 3 ⋅ 5 4b) 2 ⋅ 3 = 2⋅3 = 65ª) Propriedade a nan = , com , , e n > 1. b nbExemplos: 5 45a) 4 = 7 47 3 3b) = = 1 =1 3 3
  17. 17. 17EXERCÍCIOS B2
  18. 18. 18
  19. 19. 19
  20. 20. 20
  21. 21. 21Simplificando radicais: extração de fatores do radicandoObserve as seguintes expressões:a) 52 ⋅ 7 = 52 ⋅ 7 = 5 ⋅ 7 = 5 7b) 3 2 ⋅ 33 ⋅ 7 3 = 3 2 ⋅ 3 33 ⋅ 3 7 3 = 3 2 ⋅ 3 ⋅ 7 = 213 2c) 103 = 10 2 ⋅ 10 = 10 2 ⋅ 10 = 10 10d) 3 32 = 3 23 ⋅ 2 2 = 2 ⋅ 3 2 2 = 23 4e) 2 2 ⋅ 132 ⋅ 29 = 2 ⋅13 ⋅ 29 = 26 29f) 3 23 ⋅ a 4 ⋅ b 2 = 3 23 ⋅ a 3 ⋅ a ⋅ b 2 = 2a 3 ab 2Se um ou mais fatores do radicando têm o expoente igual ao índice do radical, esses fatores podem ser extraídos do radicando e escritos como fatores externos (sem o expoente).
  22. 22. 22EXERCÍCIOS B3
  23. 23. 23
  24. 24. 24
  25. 25. 25Introduzindo um fator externo no radicandoObserve os seguintes exemplos:a) Se 2 2 ⋅ 3 = 2 3 , então 2 3 = 2 2 ⋅ 3b) Se 3 5 ⋅ 7 3 = 73 5 , então 73 5 = 3 5 ⋅ 73c) Se 5 64 = 5 26 = 5 25 ⋅ 2 = 25 2 , então 25 2 = 5 25 ⋅ 2 = 5 26 = 5 64Um fator externo pode ser introduzido como fator no radicando, bastando para isso escrevê-lo com um expoente igual ao índice do radical.Veja agora:a) 5 3 = 52 ⋅ 3 = 25 ⋅ 3 = 75b) 5 x3 x = 5 3 x 3 ⋅ x = 15 x 4
  26. 26. 26EXERCÍCIOS B4
  27. 27. 27Adicionando, algebricamente, dois ou mais radicaisObserve os seguintes exemplos:a)10 3 + 5 3 − 11 3 + 3 =(10 + 5 − 11 + 1) 3 =5 3b)6 5 −2 7 −5 5 +3 7 =(6 − 5) 5 + (−2 + 3) 7 =1 5 +1 7 = 5+ 7Observações:a) 5 + 7 ≠ 122,23 + 2,64 ≠ 3,464,87 ≠ 3,46b) 5− 2 ≠ 32,23 − 1,41 ≠ 1,730,82 ≠ 1,73c)3+ 3 ≠ 4 33 + 1,73 ≠ 4 ⋅1,734,73 ≠ 6,92Veja agora como simplificar algumas expressões:a) 50 + 18 = 2 ⋅ 52 + 2 ⋅ 32 =5 2 +3 2 =(5 + 3) 2 =8 2
  28. 28. 28b)3 125x 4 y − 3 27 x 4 y + 3 8 x 4 y =3 53 ⋅ x 3 ⋅ x ⋅ y − 3 33 ⋅ x 3 ⋅ x ⋅ y + 3 23 ⋅ x 3 ⋅ x ⋅ y =5 x3 xy − 3 x3 xy + 2 x 3 xy =(5 x − 3x + 2 x)3 xy =4 x 3 xyc) 200 + 500 + 8 − 45 = 22 ⋅ 2 ⋅ 52 + 22 ⋅ 52 ⋅ 5 + 22 ⋅ 2 − 32 ⋅ 5 =2⋅5 2 + 2⋅5 5 + 2 2 − 3 5 =10 2 + 10 5 + 2 2 − 3 5 =(10 + 2) 2 + (10 − 3) 5 =12 2 + 7 5d) 12 + 75 = 2 147 2 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 52 = 2 3 ⋅ 722 3+5 3 = 2⋅7 32 3+5 3 = 14 3 7 3 1 =14 3 2
  29. 29. 29EXERCÍCIOS B5
  30. 30. 30
  31. 31. 31Multiplicando e dividindo expressões com radicais de mesmo índice e deíndices diferentes• Se os índices forem iguais, basta usar as propriedades dos radicais.Exemplos:a) 3 7 ⋅ 3 2 = 3 7 ⋅ 2 = 3 14b) 18 : 3 = 18 : 3 = 6c) 5 ⋅ (3 2 − 5 ) = 5 ⋅3 2 − 5 ⋅ 5 =3 5 ⋅ 2 − 52 =3 10 − 5d)( 3 + 2 2) ⋅ ( 3 − 5 2) = 3 ⋅ 3 − 3 ⋅5 2 + 2 2 ⋅ 3 − 2 2 ⋅5 2 = 32 − 5 3 ⋅ 2 + 2 2 ⋅ 3 − 2 ⋅ 5 22 =3 − 5 6 + 2 6 − 10 ⋅ 2 =3 − 5 6 + 2 6 − 20 =− 17 − 3 6
  32. 32. 32EXERCÍCIOS B6
  33. 33. 33
  34. 34. 34• Se os índices forem diferentes, devemos reduzir os radicais ao mesmo índice para depois efetuar as operações.Exemplos:a) 4 2 ⋅ 6 3 = 12 8 ⋅ 12 9 = 12 8 ⋅ 9 = 12 72b) 10 : 6 5 = 6 1000 : 6 5 = 6 1000 : 5 = 6 200 EXERCÍCIOS B7
  35. 35. 35Produtos notáveisa) Quadrado da soma de dois termos: ( x + y ) 2 = x 2 + 2 xy + y 2b) Quadrado da diferença de dois termos: ( x − y ) 2 = x 2 − 2 xy + y 2c) Produto da soma pela diferença dois termos: ( x + y ) ⋅ ( x − y ) = x 2 − y 2 EXERCÍCIOS B8
  36. 36. 36Potenciação de uma expressão com radicais(a)=n r m n a r⋅mExemplos:a) ( 2) = 5 3 5 23 = 5 8b) (5)= 7 3 2 7 53⋅2 = 7 5 6 EXERCÍCIOS B9
  37. 37. 37Racionalizando denominadores de uma expressão fracionáriaNo conjunto dos números reais existem frações que apresentam um radical no denominador, como, por 1exemplo . 3 1 1Agora veja: é aproximadamente , que é um cálculo difícil de fazer. 3 1,7320508 1Multiplicando por 3 o numerador e o denominador de encontraremos uma fração equivalente a 3 1 , que vai facilitar o cálculo. Veja: 3 1 1⋅ 3 3 3 = = = 3 3⋅ 3 32 3Esse procedimento é chamado de racionalização do denominador. Veja que é mais simples efetuar1,7320508 . 3Exemplos: 1 1⋅ 2 2 2a) = = = 2 2⋅ 2 22 2 2 2⋅ 7 2 7 2 7b) = = = 7 7⋅ 7 72 7 5 5 ⋅ 3 22 53 4 53 4c) = = = 3 2 3 2 ⋅ 3 2 2 3 23 2 6 6⋅ 3 18 18 2 ⋅ 32 3 2 2d) = = = = = = 2 3 2 3⋅ 3 2 3 2 2⋅3 6 6 2 8 8 ⋅ (4 − 5 ) 32 − 8 5 32 − 8 5 32 − 8 5e) = = 2 = = 4 + 5 ( 4 + 5 ) ⋅ (4 − 5 ) 4 − ( 5 ) 2 16 − 5 9
  38. 38. 38EXERCÍCIOS B10
  39. 39. 39Simplificando expressões com radicaisVamos usar as operações com radicais para simplificar algumas expressões.Exemplos:a) 1 1 + =3+ 7 3− 71 ⋅ (3 − 7 ) + 1 ⋅ (3 + 7 ) = (3 + 7 )(3 − 7 )(3 − 7 ) + (3 + 7 ) = 32 − ( 7 ) 23− 7 +3+ 7 6 = =3 9−7 2b) 4 3⋅ 6 − = 2 4 18 − = 2 18 ⋅ 2 − 4 = 2 36 − 4 = 2 62 − 4 = 26−4 2 = = 2 2 2⋅ 2 = 2⋅ 22 2 2 2 = = 2 2 2 2
  40. 40. 40EXERCÍCIOS B11
  41. 41. 41Potências com expoente fracionário mObserve: a n = n a m (m e n inteiros e n ≠ 0 )Exemplos: 1a) 3 2 = 3 1b) 5 2 = 5 2c) 6 = 3 62 = 3 36 3 1d) (−8) = 3 − 8 = −2 3 EXERCÍCIOS B12
  42. 42. 42
  43. 43. 43BIBLIOGRAFIAANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando matemática. São Paulo:Brasil, 2002.BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2006.DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá: Matemática. São Paulo:Moderna, 2007.GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e descobrir. SãoPaulo: FTD, 2005.GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. A conquista damatemática. São Paulo: FTD, 1998.GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.GUELLI, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento. São Paulo: Ática, 1998.IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São Paulo: Scipione,2006.MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Onaga. Matemática: idéias e desafios. São Paulo: Saraiva, 1997.

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