Desarrollo y Aplicación de la Administración por Valores
FUERZA Y CAMPO ELECTRICO
1. ELECTROSTATICA
Es la parte de la física que estudia a los fenómenos
relacionados con las cargas eléctricas en reposo.
ESTRUCTURA DEL ÁTOMO
1. Los átomos es un conjunto de partículas subatómicas
2. Las partículas subatómicas son tres: el electrón (e), el
protón (p ) y el neutrón (n)
3. El núcleo del átomo esta formado por los protones y
neutrones
4. El número de electrones, protones y neutrones depende
del átomo en referencia
5. Considerando el modelo atómico de Niels Bohr donde los
electrones giran alrededor del núcleo describiendo órbitas ya
sean circulares o elípticas, se tiene:
El diámetro atómico se considera del orden de 10-8 cm
El diámetro nuclear se considera del orden de 10-12 cm
2. 6. El protón es una partícula con carga positiva, el electrón
con carga negativa y el neutrón no tiene carga
7. La masa del protón (mp) es aproximadamente igual a la
masa del neutrón (mn)
8. La masa del protón es aproximadamente igual a 1840
veces que la masa del electrón, es decir:
mp ≅ mn ≅ 1840 me me = 9,1 x 10-31 kg
9. La carga del electrón es igual en valor a la carga del
protón, pero de signos contrarios, es decir:
Q p = Q e = 1,6 x 10 -19 Coulomb
10. Un átomo se llama neutro, cuando tiene el mismo
número de electrones y protones.
11. Un átomo que pierde electrones se llama ión positivo y el
átomo que gana electrones se llama ión negativo
3. CARGA ELÉCTRICA
Es una propiedad de la materia y mide el exceso o defecto de
electrones que posee la materia.
La carga eléctrica es positiva cuando existe un defecto de
electrones y será negativa cuando exista un exceso de
electrones
La carga en la naturaleza está cuantizada en múltiplos
enteros de la carga fundamental del electrón, es decir:
q = n e n∈Z
La carga eléctrica total en toda interacción o reacción entre
cuerpos cargados siempre se conserva, es decir, no se crea
ni se destruye.
∑q INICIALES = ∑q FINALES
q1 + q 2 + q 3 + ... + q n = q1 + q '2 + q 3 + ... + q 'n
' '
4. ELECTRIZACIÓN DE UN CUERPO
1. POR FROTAMIENTO
ANTES DE FROTAR DESPUES DE FROTAR
VIDRIO
+
- - - - - - +
SE FROTA - - - - - - +
SEDA - - - - - -
- - - - - - +
+
En el ejemplo: la barra de vidrio queda cargada
positivamente (pierde electrones) y la tela de seda
queda cargada negativamente (gana electrones)
7. OBSERVACIONES
1. Cuando dos esferas conductoras de igual radio se ponen en
contacto, las cargas eléctricas se reparten equitativamente.
q1 q2
'
q1 q '2
q1 q2
r r r r r r
Antes Contacto Después
q1 + q 2
q =q =
'
1
`'
2
2
8. 2. Cuando dos esferas conductoras se diferentes radios se ponen en
contacto, las cargas eléctricas se reparten directamente proporcional al
cuadrado de los respectivos radios
q1 q2 q1 q2 q¹1 q¹2
r1 r2 r1 r2 r1 r2
Antes Contacto Después
'
q1 r12
'
= 2
q2 r2
Por conservación de cargas Q total = q1 + q 2 = q1 + q '2
'
Haciendo las operaciones convenientes
Q r 2 Q r22
q = 2
' 1 q '2 = 2
1
r1 + r22 r1 + r22
9. 3. Cuando dos esferas conductoras se diferentes radios se conectan
mediante hilos muy delgados y largos, las cargas eléctricas se
reparten directamente proporcional a sus respectivos radios
q1
q2
r1 r2
'
q1 r1 Por la conservación de carga Q = q1 + q 2 = q1 + q '2
'
'
=
q2 r2
Haciendo las operaciones convenientes
Q r1 Q r2
q =
'
1 q '2 =
r1 + r2 r1 + r2
10. LEYES DE LAS CARGAS ELÉCTRICA
1. LEY CUALITATIVA
Dos cargas eléctricas con signos iguales de repelen y con
signos diferentes se atraen.
2. LEY CUANTITATIVA O LEY DE COULOMB
“La fuerza de atracción o de repulsión entre dos cargas
eléctricas puntuales es directamente proporcional al
producto de la mismas e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia que las separa”
q1 q2
F12 F21 k q1 q 2
+ - F12 = F21 =
r2
r
F12 y F21 son las fuerzas eléctricas de atracción en Newton (N)
q1 y q2 son las cargas eléctricas en Coulomb (C)
r es la distancia de separación entre cargas en metro (m
k es la constante de proporcionalidad en N m 2
C2
11. OBSERVACIÓN
1 εo es la permitividad eléctrica del medio
K=
4 π ε0
N m2
Para el vacío o el aire K = 9 x 10 9
C2
C2
Para el vacío o el aire ε o = 8.85 x 10
-12
N m2
Por la tercera ley de Newton: El módulo de las fuerzas F12 es igual F21
pero tienen sentidos diferentes.
12. 1. Se desea electrizar una pequeña esfera de vidrio con + 80 uC,
para ello se realiza el proceso de frotamiento con una tela de
seda. Determinar el número de electrones transferido en el
frotamiento
Q = 80 uC = 80 x 10-6 C
1e
Q = 80 x 10 C x
-6
-19
1,6 x 10 C
n e = 5 x 1014
13. 2. En un triángulo rectángulo ABC recto en A, con cateto AB
horizontal e igual a 4 cm y AC igual a 3 cm, en el vértice A se coloca
una carga de 3 uC, en B 2 uC y en C 5 uC. Determinar la fuerza
eléctrica resultante en el vértice B.
C
QA= 3 x 10-6 C
QB= 2 x 10-6 C
3 x 10-2 m
QC= 5 x 10-6 C
F1
4 x 10-2 m
A B
F2
-6 -6
QA QB 9 3 x 10 x 2 x 10
F1 = K 2
= 9 x 10 -4
= 33,75
d AB 16 x 10
-6 -6
QA QC 9 3 x 10 x 5 x 10
F2 = K 2
= 9 x 10 -4
= 150
d AC 9 x 10
14. C
3 x 10-2 m
F1 F1 = 33,75 N
4 x 10-2 m 37º
A B
F2 F2 = 150 N
El Módulo de la resultante de F1 y F2 será:
R = F12 + F22 + 2 F1 F2 cos 37º
R = (33,75) + (150) + 2 (33,75)(150) (0,6)
2 2
R = 1139,2 + 225 000 + 6075 R = 232214,2
R = 482 N
15. 3. En la figura el sistema se q2
encuentra en equilibrio. La carga
q1 es de 2 100 uC, la carga q2 es de 74º
900 uC. Calcular la tensión en la 3 cm
cuerda que sujeta a q2
q1 4 cm
FE
37º
q2
T
Aplicando lamy
74º 74º 153º
T FE
5cm
= .... (1)
sen 153 sen 74
37º mg
k q1 q 2
q1 FE =
d2
9 x 109 2100 x 10 -6 x 900 x 10 -6
FE =
(5 x 10 -2 ) 2
16. 4. Dos cargas eléctricas están localizadas como sigue: q1 = 30 x
10-6 C en el origen de coordenadas y q2 = - 40 x 10-6 C en el punto
(0,3) m. ¿Cuál es la fuerza eléctrica sobre otra carga q3 = 10-6 C
localizada en el punto (2,1) m?
Y
F13
(2,1)
q3
F23
q1 X
q2 (0,3)
17. FORMA VECTORIAL PARA LA LEY DE COULOMB
consideramos un origen de un sistema de coordenadas rectangular
ubicamos a las cargas q1 y q2
Las fuerzas eléctricas de repulsión serán
Sea el vector unitario en la dirección de las fuerzas de repulsión
la ley de coulomb la podemos escribir:
Y
F21
q2
+ P2( x2 , y2 )
q1 k q1 q 2
u21 F 21 = u 21
+ r 2
P1 ( x1 , y1 )
F12
0 X
18. Y
F21
q2
+ P2( x2 , y2 )
q1
u21 k q1 q 2
+ F 21 = u 21
P1 ( x1 , y1 ) 2
F12
r
Donde:
0 X
r: es la distancia entre los puntos P1 y P2
u12: es un vector unitario entre los puntos P1 y P2
Para hallar el vector unitario es necesario conocer dos puntos, como
por ejemplo: Si se tiene P(x1 ; y1) y Q(x2; y2), entonces el vector unitario
(x 2 − x 1 ) i + (y 2 − y1 ) j
u PQ =
(x 2 − x 1 ) 2 + (y 2 − y1 ) 2
19. EXPRESIÓN DE LA LEY DE COULOMB PARA UNA
DISTRIBUCIÓN DISCRETA DE CARGAS PUNTUALES
q2
+
F14
q3 q1
+ + F13
F12
q4
+
R =F12 + F13 +F14 + …. +F15
n
R =F12 u12 + F13 u13 + .... + F1n u1n R = ∑F
i, j=1
ij ui j
20. EXPRESIÓN DE LA LEY DE COULOMB PARA UNA
DISTRIBUCIÓN CONTÍNUA DE CARGA
Q
q0
dF
dQ
r
k q 0 dQ
dF =
r2
Q dQ
F = K q0 ∫0 r2
21. DENSIDAD LINEAL DE CARGA ( λ )
Es la relación entre la carga eléctrica y la unidad de longitud
dQ Q Q dQ
λ= λ=
x dx L dx
L
DENSIDAD SUPERFICIAL DE CARGA ( σ )
Es la relación entre la carga eléctrica y la unidad de superficie
Q
dS Q dQ
σ= σ=
dQ S dS
S
22. DENSIDAD VOLUMÉTRICA DE CARGA ( ρ )
Es la relación entre la carga eléctrica y la unidad de volumen
V Q dQ
Q ρ= ρ=
dV dQ V dV
23. PROBLEMA. Tres partículas idénticas de 18 g cada una, se encuentra
en equiulibrio tal como se muestra, determine la cantidad de carga
eléctrica “q” que tiene cada partícula L = 50 cm
Por equilibrio en “A” R = 0
45º 45º FC FB
L
T 45º
+q +q +q
W
FB + FA
45º 45º tg45º = 1 = FB + FA = W ..... (1)
L T W
FC k q q k q2 k q q k q2
FB FB = 2 = 2 FC = 2
=
L L (2L) 4L2
+q +q +q
C B A W = m g = 18 x 10-3 x10 N
O,5 m O,5 m Reemplazando en ( 1 )
W
24. k q2 k q2
2
+ 2
=W
L 4L
5 k q2
2
=W
4L
5x 9 x 109 q 2
= 18 x 10-2
4( 0,5) 2
q = 2 uC
25. PROBLEMA. Sabiendo que el sistema mostrado se encuentra en
equilibrio, determine “q1”. Desprecie toda forma de rozamiento.
q2 = - 6o uC , m2 = 60 g
T 0,4 m
T
FE
0,4 m
- 53º
q1 N
- q2
F
E
-
q1
53º
O,3 m
-
q2 Pared
FE = T cos 53
W
aislante W FE = m g cos 53
kqq
FE
2
= m g cos 53
53º r
W T 9 x 109 q1 60 x 10-6 3
= 60 x 10-3 x 10 x
(0,3) 2 5
q1 = 0,06 uC
26. 5. Se tiene una barra delgada lineal de longitud “l”, que tiene una
carga “q” distribuida uniformemente en toda su longitud.
Calcular la fuerza total que ejerce la barra sobre una carga
puntual Q, situada a una distancia “a” de un extremo de la barra.
Entre Q y q existe una fuerza
eléctrica F que se desea hallar
q
dq Q
F
x
dx dF
L a
Entre Q y dq existe una diferencial de fuerza eléctrica dF
Por la ley de Coulomb
k Q dq
dF =
r2
k Q dq L kQ dq L dq
dF = F=∫ F = kQ ∫
(L - x + a) 2 0 (L - x + a) 2 0 (L - x + a) 2
L dx L d(L - x + a)
dq =λ dx
λ F = kQ λ ∫ F = - kQ λ ∫
0 (L - x + a) 2 0 (L - x + a) 2
27. L d(L - x + a)
F = - kQ λ ∫
0 (L - x + a) 2
L
F = - kQ λ ∫ (L - x + a) -2 d(L - x + a)
0
L
1
F = - kQ λ
(L - x + a) 0
1 1
F = - kQ λ −
(L - L + a) (L − 0 + a )
1 1 L
F = - kQ λ − F = - kQ λ
a (L + a ) a(L + a)
kQqL kQq
F=- F=-
La(a + L) a(a + L)
28. 6. Una varilla semicircular de radio “a”, delgada esta con una
carga eléctrica “Q” uniforme a lo largo de su longitud.
Determinar la fuerza eléctrica sobre una carga q puntual
colocada en el centro de curvatura.-
dQ
ds=a dθ
Q
dθ
q
a θ
senθ dF senθ dF
dF dF
Entre q y dQ existe un dF Por simetría tomemos otro ds
Componentes horizontal y vertical para los dF
Por simetría las componentes horizontales se anulan
Componentes verticales: senθ dF
La fuerza diferencial resultante será: dR = 2 senθ dF
29. dR = 2 senθ dF
dQ
R = ∫ 2 senθ dF = 2 ∫ senθ dF Q
ds=a dθ
kq dQ a
Por la ley de Coulomb dF = dθ
a2 q
Reemplazando θ
senθ dF
senθ kq dQ 2kq senθ dF
R = 2∫ 2
= 2 ∫ senθ dQ dF dF
a a
Pero: dQ = λ ds = λ a dθ
Reemplazando
2kq 2kqλ
R = 2 ∫ senθ λ a dθ = ∫ senθ dθ
a a
2kqλ π/2 2kqλ π / 2 R = 2kqλ - (cosπ / 2 - cos 0 )
R=
a ∫0 senθ dθ R = a - cosθ 0 a
2kqλ 2kqQ 2kqQ
R= R= R=
a a(π a) RPTA
π a2
30. CAMPO ELECTRICO
CONCEPTO DE CAMPO FÍSICO
Es una región del espacio en la que cada punto (x,y,z) se le asocia una
propiedad física. por ejemplo:
campo gravitatorio, campo de velocidad, campo de temperatura, etc
Q Q FR
FR
+ d
+
qo - d
+
qo
El campo eléctrico en un punto del espacio que rodea a una carga Q se
define matematicamente como la relación entre la fuerza eléctrica que
se ejerce en ese punto por unidad de carga eléctrica qo, es decir:
F Es la fuerza eléctrica de atracción o repulsión en (N)
F
E = qo Es la carga de prueba positiva en (C)
q0
E Es el campo eléctrico en ( N/C )
31. CAMPO ELÉCTRICO DEBIDO A UNA CARGA PUNTUAL ( Q )
qo F
Z E
+
uF
P(x,y,z)
Q r
+
0 Y
X
kQq o El valor o módulo del campo
F Eq o = uF esta dado por:
E = r 2
qo kQ
E=
F = Eq o ......(1) kQ r2
E= 2
uF La dirección del campo
Por Coulomb r
eléctrico esta dado por
kQq o uF
F= 2
u F ......( 2 )
r
32. CAMPO ELÉCTRICO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN DISCRETA DE
CARGAS ELÉCTRICAS
Sea “n” cargas eléctricas puntuales, se desea hallar el campo eléctrico
resultante en un punto tal como P
q1
+ Los valores E1 , E2 , etc se
r1 calcula con la fórmula:
E3
q2 q0
r2 kQ
+ + E2 E= 2
P r
E1
q3 r3 Los vectores unitarios u1 , u2 ,
+ etc se calcula conociendo dos
puntos por donde pasa la
ET =E1 + E2 +E 3+ …. +Fn
dirección del campo eléctrico
respectivo
ET =E1 u1 + E2 u2 + .... + En un
33. CAMPO ELÉCTRICO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN CONTÍNUA DE
CARGAS ELÉCTRICAS
Q
qo
r
dQ + dE
P
PASOS A SEGUIR
1. Se toma un diferencial de carga dq, a una distancia r del punto P.
2. En el punto P se coloca una carga de prueba qo (+)
3. Se halla el diferencial de campo dE en el punto P debido al
diferencial de carga dQ
4. Determine el dE y realizar la integración obtenida
kdQ Q dQ
dE = 2 E=k∫ 2
r 0 r
34. PROBLEMA
Una carga de 2x10-5 C y otra de 4x10-5 C están a una distancia de 1 m.
¿A qué distancia de la primera carga la intensidad de campo eléctrico
es nulo?
SOLUCIÓN E2 q0 E1
+ +
1m +
Q1 =2x10-5 Q2=4x10-5
x 1-x
Para que el campo sea nulo E1 = E2
k Q1
=
k Q2 k 2 x 10-5 k 4 x 10-5 1 2
2 = =
x (1 - x) 2 x 2
(1 - x) 2 x 2
(1 - x) 2
x1 = −1 + 2 y x 2 = −1 − 2
¿Cuál es la respuesta? x1 = −1 + 2
35. PROBLEMA
Una esfera metálica de 2,5 N está en equilibrio si su carga es 5 uC. Halle
la intensidad del campo eléctrico
SOLUCIÓN 74º
E
D.C.L. PARA LA ESFERA
E
Y
74º
T (2.5)(cos 74)
74 F=Eq0 Por equilibrio E=
16º x q
Eq 2.5 7
= (2.5)
sen(74 + 90) sen90 25
mg=2,5 E=
Eq 2.5 5 x 10-6
=
cos(74) 1 E = 0,14 x106 N/C
36. PROBLEMA
En la fig. el electrón sale con una velocidad inicial v0= 5x106 m/s, halle
El tiempo en que el electrón alcanza la placa positiva.
a) La magnitud de la intensidad de campo eléctrico
+ + + + + + +
37º
SOLUCIÓN
+x E
+ + + + + + + - - - - - - - -
37º F= Eq0 16 cm
+y
E q0
a=E ... (1)
- - - - - m
16 cm Eje horizontal (MRU)
Como F no varía la aceleración x = (V0 cos α )( t)
es constante
16 x 10 -2 = 5 x 10 6 cos 37 ( t)
F = ma = Eq0 t = 4 x 10-8 s RPTA
37. + + + + + + +
37º
a = 1,5 x 1014 m /s 2
E
- - - - - Reemplazando en (1)
16 cm
q0
a=E ... (1)
Eje vertical y = (v sen α )(t) - a t2 m
0
2 m = 9,1 x 10-31 kg
-8 2
a ( 4 x 10 ) q0 = 1,6 x 10-19 C
0 = (5 x 10 sen 37)(4x10 ) -
6 -8
2
1,6 x 10-19
-8 2 1,5 x 10 = E
14
3 a ( 4 x 10 ) 9,1 x 10-31
0 = (5 x 10 )(4x10 ) -
6 -8
5 2 E = 8,53 x 102 N/C
3
(2 x 106 −8
) =a E = 853 N/C
4 x10
38. PROBLEMA
Determinar el campo eléctrico a una distancia perpendicular “d”
frente a un discomuy grande cargado uniformemente con densidad
superficial de carga σ.
Tomemos un diferencial de anillo de radio r
R Cálculo del diferencial de campo debido al diferencial
dq de anillo
s dE
dE
r Cosθ dE dE
θ ●
d θ
dE dE
dr dE
dE
Como existen infinitos diferenciales de anillos, estos forman un cono de
revolución donde la resultante estará en el eje horizontal ya que en la vertical
se anulan por simetría
Para un dE su componente horizontal será: cos θ dE
kdq k dq
E R = ∫ cos θ dE Pero dE = 2 E R = ∫ cos θ 2
s s
39. R
dq
s
r Cosθ dE
θ ●
d θ
dE
dr
k dq k dq dq
E R = ∫ cos θ 2 E R = ∫ cos θ 2 E R = k ∫ cos θ 2
s s s
σ dA dA
Pero dq = σ dA E R = k ∫ cos θ E R = k σ ∫ cos θ 2
s2 s
2π r dr
Pero A = π r2 d A = 2 π r dr E R = k σ ∫ cos θ
s2
r dr
E R = 2 πk σ ∫ cos θ 2 ..... (1) r = d tg θ ……. (2) dr = d sec2θ dθ … (3)
s
s = d sec θ s2 = d2 sec2θ …… (4)
(4),(3) y (2) en (1)
d tgθ d sec 2θ dθ
E R = 2 πk σ ∫ cos θ
d 2 sec 2θ
40. d tgθ d sec 2θ dθ
E R = 2 πk σ ∫ cos θ
d 2 sec 2θ
E R = 2 πk σ ∫ cos θ tgθ dθ
π/2
E R = 2 πk σ ∫ senθ dθ
0
π /2
E R = 2 πk σ − cos θ 0
E R = 2 πk σ − cos π / 2 + cos 0
E R = 2 πk σ (1)
E R = 2 πk σ RPTA
1
ER = 2 π σ
4πε 0
σ
ER = RPTA
2ε 0
42. 1, En los vértices de un triángulo equilátero de lado “a” se colocan
cargas (-q) y en el baricentro la carga (+Q). ¿Cuál debe ser el valor de
Q para que la fuerza sobre cualquiera de las cargas negativas sea
nula?
-
Los valores de “x” e “y” se determinan por
relaciones geométricas.
a a
+
1 a 3
x= ( ) , y=
a 3 y
3 2 3 x
2
- -
Por la ley de Coulomb F1 = k
q a
(a ) 2
Qq X
F2 = k 3Q q
(
a 3 2
) F2 = k F2
3 (a ) 2
Para el equilibrio F1
30º - 60º Y
F = F + F + 2F1F1cos60º F = F + F + F1F1
2
2 1
2
1
2 2
2 1
2
1
2
F1
3Qq q2 3
F = 3F
2
2 1
2
F2 = F1 3 k 2
=k
(a ) (a ) 2
3
Q=q
3
43. 2. Se tiene una barra delgada lineal de longitud “l”, que tiene una
carga “q” distribuida uniformemente en toda su longitud.
Calcular la fuerza total que ejerce la barra sobre una carga
puntual Q, situada a una distancia perpendicular “a” del centro
de la barra. dq
q
L dL
Entre dq y Q existe un dF
Tomemos otro dL simétricamente x
Las componentes horizontales de los a d
dF se anulan por simetría θ
Q
dFR = 2 cosθ dF FR = 2 ∫ cos θ dF
dF
dF
kQ dq
FR = 2 ∫ cos θ
d2
a λdx 1 dx
FR = 2 kQ ∫ FR = 2 k λ a Q ∫
d (a 2 + x 2 ) (a 2 + x 2 )1/ 2 (a 2 + x 2 )
L/2 dx
FR = 2 k λ a Q ∫
0 (a 2 + x 2 )3 / 2
44. 3. Una carga de 16 x 10-9 C, está fija en el origen de coordenadas;
una segunda carga de valor desconocido se encuentra en el punto
A(3,0), y una tercera carga de 12 x 10-9 C está en el punto B(6,0).
Encuentre el valor de la carga desconocida, si el campo eléctrico
resultante en el punto C(8,0) es 20,25 N/C, dirigido hacia la derecha.
q0=16x10-9 C E= 20,25 N/C q0 qA=? qB E
qB= 12x 10-9 C ●
0 3 6 8
ER = E0 + EA + EB
kq kq 9x109 x 16 x 10-9 9x109 x 12 x 10-9
E R = 20 + E A + 2B 20,25 = 2
+ EA +
d0 dB 8 22
20,25 = 2,25 + E A + 27
E A = −9 N/C
9x109 q q = − 25 x 10-9 C
2
= −9 N/C
5
45. 4. Determine el campo eléctrico en el centro de un anillo, de carga Q
y radio “r” , al que se le ha cortado un pequeño pedazo “θ”, como se
θ
muestra en la figura
El campo eléctrico producido por (1) se
anula con el campo producido por (2)
La única carga que origina el campo es (3)
θ/2 dx dq
ββ
46. dE R = 2 cosβ dE E R = 2 ∫ cosβ dE θ/2 dx dq
k dq λ dx
E R = 2 ∫ cosβ E R = 2k ∫ cosβ 2
d2 r ββ
dβ
E R = 2k λ ∫
rdβ
cosβ 2 E R = 2k λ ∫ cosβ
r r
dE dE
2 k λ θ/2 2kλ θ/2
ER =
ER =
r ∫0 cosβ dβ r
senβ 0
2kλ 2 k λ sen θ/2 RPTA
ER = sen θ/2 - sen 0 ER =
r r
2 k Q sen θ/2 k Q sen θ/2
ER = ER = RPTA
2πrr π r2
