DIEDROS Y POLIEDROS

DIEDROS, TRIEDROS Y POLIEDROS

GEOMETRÍA MODERNA

I. DEFINICIÓN
Un ángulo poliedro es una figura geométrica formada por infinitos rayos que
tienen el origen común y contienen a los puntos de un polígono que está en un
plano que no contiene a dicho origen.
Vértice: Es el origen común “O”.
Aristas: Son los rayos que pasan por los vértices del polígono: OA, OB, OC,…
Caras: Son las regiones angulares formadas por dos aristas consecutivas: a, b, c,
d,…

II. DIEDROS
DEFINICIÓN: Un ángulo diedro es aquella figura
geométrica formada por dos semiplanos que tienen
una recta en común. A dicha recta se le denomina
arista y a los semiplanos se les denomina caras
caras.

Toribio Córdova / Juan Huiman

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GEOMETRÍA MODERNA

CLASIFICACIÓN
Los ángulos poliedros se clasifican de acuerdo a su número de caras de la
siguiente manera:
ÁNGULO TRIEDRO: Si tiene 3 caras.
ÁNGULO TETRAEDRO: Si tiene 4 caras.
ÁNGULO PENTAEDRO: Si tiene 5 caras.
ÁNGULO PLANO O RECTILÍNEO DE UN ÁNGULO DIEDRO
Es aquel ángulo cuyo vértice es un punto cualquiera de la arista y sus lados son
perpendiculares a dicha arista y se encuentran en las caras del ángulo diedro. Un
ángulo diedro será agudo, recto u obtuso según como sea su ángulo plano.

ELEMENTOS:
Caras: P y Q
Aristas: AB
Ángulo plano: θ
NOTACIÓN
Diedro PABQ ó diedro AB


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GEOMETRÍA MODERNA

TEOREMA: Si desde un punto interior a un ángulo diedro se trazan dos rayos
perpendiculares a las caras, se cumplirá que el ángulo formado y el ángulo diedro
son suplementarios.
Si തതതത ⊥ al plano P
OA
തതതത
OB ⊥ al plano Q
Entonces: x + y = 180

Demostración:
Por el teorema de las 3 perpendiculares.
തതതത ⊥ തതതത y തതതത ⊥ തതതത→ തതതത ⊥ തതതത
OA AN AN CD ON CD
OB BN ON CD BN CD
En el cuadrilátero ANBO

x+y = 180

PLANOS PERPENDICULARES
Dos planos son perpendiculares si son secantes y forman cuatro ángulos diedros
iguales.
En la figura los planos P y Q son
perpendiculares.


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TEOREMA
Si una recta es perpendicular a un plano, entonces todo plano que la contiene será
perpendicular al primer plano.

PLANO BISECTOR DE UN ÁNGULO DIEDRO
Es aquel plano que contiene a la arista del ángulo diedro y determina dos ángulos
diedros de igual medida.

En la figura el plano R es el plano bisector del ángulo diedro PABQ


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GEOMETRÍA MODERNA

III. TRIEDROS
Es aquel ángulo poliedro que tiene 3 caras.
Vértice: O
തതതത തതതത OC
Aristas: OA , OB, തതതത .
Caras: a, b, c.

PROPIEDADES
1. En todo ángulo triedro se cumple que la suma de las tres caras es mayor que
0° y menor que 360°
0° < a + b + c < 360°
0< a+b+c < 360º

2. En todo ángulo triedro se cumple que una cara es menor que la suma y mayor
que la diferencia de las otras dos.


5


GEOMETRÍA MODERNA

3. En todo ángulo triedro se cumple que la suma de los tres diedros es mayor
que 180° y menor que 540°.
180° < x + y + z < 540°

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS TRIEDROS
TRIEDRO ESCALENO. Si sus tres caras son diferentes.
TRIEDRO ISÓSCELES. Si dos de sus caras son iguales.
TRIEDRO EQUILÁTERO. Si sus tres caras son iguales.
TRIEDRO RECTÁNGULO. Si una de sus caras mide 90°.
TRIEDRO BIRRECTÁNGULO. Si dos de sus caras miden 90°.
TRIEDRO TRIRRECTÁNGULO. Si sus tres caras miden 90°. Sus tres diedros
también miden 90°.
PROPIEDADES EN EL TRIEDRO TRIRRECTÁNGULO
1. En todo triedro trirectángulo se cumple que la proyección del vértice sobre un
plano secante a las aristas coincide con el ortocentro de la sección
determinada por dicho plano.

Demostración:
Por el teorema de las 3 perpendiculares.
OA AN AN CD ON CD


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GEOMETRÍA MODERNA

തതതത തതതത തതതത തതതത തതതത തതതത
OB ⊥ BN y ON ⊥ CD→ BN ⊥ CD
Además se tiene que:
BC ⊥ al plano AON → BC ⊥ OH …..(1)
AB ⊥ al plano COM→ AB ⊥ OH …..(2)
de (1) y (2) se concluye que OH ⊥ plano ABC
Luego “H” es la proyección de “O”
“H” es el ortocentro del ∆ ‫ܥܤܣ‬
2. En todo triángulo trirectángulo se cumple que la inversa del cuadrado de la
distancia del vértice hacia un plano secante a lasa aristas, es igual a las inversas
de la suma de los cuadrados de las distancias del vértice hacia los puntos de
intersección de las aristas con dicho plano.

1
1
1
1
= ଶ+ ଶ+ ଶ
‫ݔ‬ଶ ܽ
ܾ
ܿ

Demostración:
⊿ ‫ :ܥܱܤ‬

1
1
1
= ଶ + ଶ
ଶ
‫ݔ‬
ܾ
ܿ

⊿ ‫ :ܯܱܣ‬

1
1
1
= ଶ+ ଶ
ଶ
ℎ
ܽ
‫ݔ‬

Reemplazando (2) en (1)
∴

૚
૚
૚
૚
= ૛+ ૛+ ૛
࢞૛ ࢇ
࢈
ࢉ


7

GEOMETRÍA MODERNA


IV. EJERCICIOS
1. En un tetraedro O-ABC, OA=BC, OB=AC y OC=AB, además se cumple
AC>OC>AO. Halla la suma del máximo y mínimo entero de la cara AOC.
A) 90º

B) 100º

C) 120º

D) 150º

E) 160º

Solución
a>b>c→θ>ߙ>ߚ
∆ AOC ≈

∆ OAB

≈

∆ CBA (LLL)

→m∠AOC=m∠ OCB= θ
m∠AOC= m∠ACB= ߙ
∆ AOC:
θ+ߙ+ߚ = 180º → ߙ+ߚ = 180º−θ ……. (1)
Por teorema:
ߙ − ߚ < θ < ߙ + ߚ ……. (2)
݀݁ ሺ1ሻ ‫ ݕ‬ሺ2ሻ: θ < 180º−θ
θ < 90º
Por condición:
ߙ < θ; ߚ < θ
‫2 < ߚ+ߙ :݋݀݊ܽ݉ݑݏ‬θ
180º−θ < 2θ y 60º < θ
60º < θ < 90º

8

GEOMETRÍA MODERNA

luego:
θmin= 61º

θmáx.= 89º

θmin + θmáx = 150º

2. Un cuadrado ABCD y un triangulo rectángulo APB están contenidos en dos planos
perpendiculares. Halle la distancia entre el vértice D y el baricentro APB; si se
sabe que AP= 3 BP= 4.
A)

ଵ଻

B)

ଷ

ଵ଺
ଷ

C)

√ଶ଻଻
ଷ

D)

√ଶ଻଺
ଷ

E)

√ଶ଻ହ
ଷ

Solución
ଷସ

⊿ APB:

AH= ଵହ

⊿ HAD:

‫ܦܪ‬ଶ = ሺ ଵହ ሻଶ + 5ଶ …. (1)

ଷସ

ସ ଶ

⊿ GHD: ‫ ݔ‬ଶ = ቀହቁ +‫ܦܪ‬ଶ …. (2)
en (2):
‫ݔ‬ଶ =

16 34ଶ
+
+ 25
25 15ଶ

Simplificando:

࢞=

√૛ૠૠ
૜


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GEOMETRÍA MODERNA

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) De las siguientes proposiciones indicar verdadero (V) o falso (F):
( ) Todo plano perpendicular a la arista de un diedro es perpendicular a las
caras del diedro.
( ) Si una recta es perpendicular a una de las caras de un diedro y paralela a la
otra cara entonces la medida del diedro es 90.

A) VV

B) FV

C) FF

D) VF

E) VV

2) Se tiene un diedro MN que mide 60º y un punto F situado en su plano
bisector, si F dista de la arista que une los planos M y N en 10 u. Calcular la
distancia de F a las caras del diedro.
A) 3√3

B) 4

C) 5

D) 10

E) 5√3

3) Calcular el mayor valor entero que puede tomar una de las caras de un triedro
birrectángulo.
A) 149º

B) 169º

C) 179º

D) 99º

E) 189º

4) Las regiones rectangulares ABCD y ABMN, determinan un diedro que mide
120º, si 2 BM = AB = 2 BC = 2 a. Halle la distancia “D” al punto medio de MN.
A) a

B)


ଷ௔
ଶ

C) 2a

D) √3ܽ

E)

ହ௔
ଶ

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GEOMETRÍA MODERNA

I. DEFINICIÓN
Un poliedro es la unión de cuatro o más regiones poligonales tales que cada uno
de sus lados pertenecen precisamente a dos regiones adyacentes no coplanares.
Las regiones poligonales que determinan el poliedro se llaman caras del poliedro;
los lados de los polígonos s
son las aristas y los vértices de los mismos son los
vértices del poliedro.

La figura anterior representa un poliedro de 6 caras, 12 aristas y 8 vértices. Las
regiones poligonales ABCD, AFED, DEHC, etc., son las caras; los lad
lados de los
ത തതത
polígonos, esto es, തതതത , ‫ ,ܪܥ , ܥܤ‬etc., son las aristas, y sus vértices, o sea, A, B, F, etc.,
‫ ܤܣ‬തത തതതത
son los vértices del poliedro.
Los ángulos diedros y los ángulos poliedros determinados por las caras son los
ángulos diedros y ángulos poliedros del poliedro.
Un poliedro se designa por sus vértices. Así, el poliedro de la figura anterior se
o
denota como poliedro ABCDEFGH.


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GEOMETRÍA MODERNA

Un poliedro separa al espacio del mismo modo que un polígono separa al plano,
esto es, en un conjunto de puntos interiores, un conjunto de puntos que
pertenecen al poliedro y un conjunto de puntos exteriores al poliedro.
Un poliedro se llama convexo si el segmento que une dos puntos cualesquiera del
poliedro está en el poliedro o en su interior. En caso contrario será poliedro no
convexo.
Diagonal de un poliedro es el segmento que une dos vértices no situados en una
തതതത
misma cara. Por ejemplo , ‫. ܤܧ‬
CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS
Según ell número de sus caras, el poliedro se denomina:
Tetraedro : 4 caras
Pentaedro : 5 caras
Hexaedro : 6 caras
Heptaedro : 7 caras
Octaedro : 8 caras
Nonaedro : 9 caras
Decaedro : 10 caras
Endecaedro : 11 caras
Dodecaedro : 12 caras
Pentadecaedro : 15 caras
Icosaedro : 20 caras
En general, se dice poliedro de trece, catorce, … caras. Sin embargo, hay algunos
poliedros que toman nombres especiales como prisma, pirámide, etc.


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GEOMETRÍA MODERNA

II. TEOREMAS GENERALES EN LOS POLIEDROS
1. TEOREMA DE EULER
En todo poliedro convexo el número de sus vértices más el número de sus
caras es igual al número de sus aristas más dos.
C + V= A + 2
Hipótesis
Sea un poliedro convexo cualquiera, siendo A el número de aristas. C el
número de caras y V el número de vértices.
Tesis
C+V=A+2
Demostración
Siendo C el número de caras, V el de vértices y A él de aristas, hay que probar
que:
C + V= A + 2 ………….(1)
Sea una superficie poliédrica abierta terminada en una línea poligonal plana o
no plana ABCDEFGHIJ (fig. 1).
Los elementos de ella cumplirán esta relación:
C + V= A + 1 …………..(2)


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GEOMETRÍA MODERNA


En efecto, se cumple en el caso de una sola cara, pues el número de lados es
igual al de vértices. Bastara probar que si se cumple la formula anterior para
una superficie de C caras, se cumple para C+1 caras. Añadamos a la superficie
de C caras una cara mas CDEFK (fig. 2) con m
vértices. Suponiendo que esta nueva cara deje
todavía abierta la superficie poliédrica, su
contorno no podrá coincidir con la línea que
antes limitaba la abertura, solo coincidirán p de
los m lados. Al tener p lados comunes con la
.
superficie, tendrá p+1 vértices, o sea las caras
son ahora C+1, los vértices V+m
V+m-(p+1) y las aristas A+m-p.
Y componiendo la relación que propusimos (2):
C+1+V+m-(p+1)=A+m-p+1
C+V=A+1
Queda, pues, probada la exactitud de la formula (2) en virtud del principio de
la
inducción. Pero ocurre que al añadir la última cara que cierra el poliedro, el
número de vértices y el de aristas no aumentan, pues unos y otras son
comunes a la superficie y a la cara que se añade. En cambio las ca
caras
aumentan en una unidad.
Así, en la formula (2), si el primer miembro ha aumentado en una unidad, para
que subsista la igualdad habrá que añadir uno al segundo miembro,
quedando:
C + V= A + 2 … … ݈. ‫.݀ .ݍ .ݍ‬


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GEOMETRÍA MODERNA

2. TEOREMA DE LA SUMA DE LAS MEDIDAS DE LOS ANGULOS INTERNOS
DE LAS CARAS
La suma de las medidas de los ángulos internos de todas las caras de un
poliedro convexo es igual a 360º multiplicado por la diferencia entre el
número de aristas y el número de caras.
෍ ݉∠ ݅ ሺܿܽ‫ݏܽݎ‬ሻ = 360ºሺܸ − 2ሻ
Hipótesis
Sea el poliedro convexo cuyo número de aristas es A, el número de vértices es
V y el número de caras es C, además sea ∑ ݉∠ ݅ ሺܿܽ‫ݏܽݎ‬ሻ, la suma de las
medidas de los angulos interiores de las caras.
Tesis
∑ ݉∠ ݅ ሺܿܽ‫ݏܽݎ‬ሻ = 360º(A – C) = 360º(V – 2)
Demostración
Supongamos un poliedro que tiene ݉ଵ caras de ݊ଵ lados cada una; ݉ଶ caras
de ݊ଶ lados cada una; ݉ଷ caras de ݊ଷ lados cada una;…, etc. Entonces:
෍ ݉∠ ݅ ሺܿܽ‫ݏܽݎ‬ሻ = ݉ଵ ‫081ݔ‬ºሺ݊ଵ − 2ሻ + ݉ଶ ‫081ݔ‬ºሺ݊ଶ − 2ሻ + ⋯
= 180ºሾ݉ଵ ݊ଵ + ݉ଶ ݊ଶ + ⋯ − 2݉ଵ − 2݉ଶ − ⋯ ሿ
෍ ݉∠ ݅ ሺܿܽ‫ݏܽݎ‬ሻ = 180ºሾ݉ଵ ݊ଵ + ݉ଶ ݊ଶ + ⋯ − 2ሺ݉ଵ + ݉ଶ + ⋯ ሻሿ … … ሺ1ሻ
Por otro lado: ݉ଵ + ݉ଶ + ⋯ = ‫( ,ܥ‬numero total de caras).
Y: ݉ଵ ݊ଵ + ݉ଶ ݊ଶ + ⋯ = 2‫( ,ܣ‬siendo A, el numero total de aristas).
Reemplazando esto en (1):


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GEOMETRÍA MODERNA

∑ ݉∠ ݅ ሺܿܽ‫ݏܽݎ‬ሻ = 180ºሾ2‫ܥ2 − ܣ‬ሿ = 360ºሺ‫ܥ − ܣ‬ሻ; pero, por el Teorema de Euler:
‫2 − ܸ = ܥ − ܣ ⟹ ܸ + ܥ = 2 + ܣ‬
Luego:
෍ ݉∠ ݅ ሺܿܽ‫ݏܽݎ‬ሻ = 360ºሺܸ − 2ሻ … … ݈. ‫.݀ .ݍ .ݍ‬

III. POLIEDROS REGULARES
INTRODUCCIÓN
Platón, en su obra Timaeus, asoció cada uno de los cuatro elementos que según
los griegos formaban el Universo, fuego, aire, agua y tierra a un poliedro: fuego al
tetraedro, aire al octaedro, agua al icosaedro y tierra al cubo.
Finalmente asoció el último poliedro regular, el dodecaedro, al Universo. Por este
motivo estos poliedros reciben el nombre de sólidos platónicos.
También fue Johannes Kepler el que buscó ingeniosas justificaciones a la
asociación de Platón entre poliedros y elementos. Por ejemplo, justifica la
asociación de la tierra con el cubo porque, asentado sobre una cualquiera de sus
bases, es el de mayor estabilidad. La asociación entre Universo y Dodecaedro la
atribuye al hecho de que el número de sus caras coincide con el de signos del
zodiaco.
En 1595, Kepler convencido de “haber comprendido los secretos del creador” creó
un modelo del sistema planetario que utilizaba los sólidos platónicos para
describir las distancias entre las órbitas de los seis planetas que se conocían
entonces.


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GEOMETRÍA MODERNA

En su modelo Kepler parte de una esfera exterior, que representa la órbita de
Saturno dentro de la cual va inscribiendo sucesivamente: un cubo, la esfera de
Júpiter, un tetraedro, la esfera de Marte, un dodecaedro, la esfera de la Tierra, un
octaedro y finalmente la esfera de Mercurio.
DEFINICIÓN
Un poliedro convexo, es regular si las caras son regiones poligonales regulares
congruentes entre si y todos sus ángulos poliedros son congruentes.
TEOREMA
Solo existen cinco clases de poliedros regulares.
Estos poliedros regulares son:
Tetraedros
Hexaedros
Octaedros
Dodecaedros
Icosaedros
En efecto cada arista pertenece a dos caras y une dos vértices así pues:
El duplo del número de aristas = 2A = nC = mV
n: número de lados de cada cara
m: número de aristas que concurren en cada vértice
Eliminando A y V entre estas ecuaciones y aplicando el teorema de Euler:
C+V=A+2
Da como resultado:


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‫+ܥ‬

GEOMETRÍA MODERNA

݊‫ܥ݊ ܥ‬
=
+2
݉
2

Despejando C:
‫=ܥ‬

4݉
2ሺ݉ + ݊ሻ − ݉݊

Para n=3 (Triangulo)
‫=ܥ‬

4݉
6−݉

Como el triedro es el más sencillo de los ángulos poliedros se tiene siempre n≥3 y
para que C sea entero, m solo puede tener los valores 3, 4, 5, a los que
corresponden para C respectivamente los de C=4 (tetraedro), C=8 (octaedro),
C=20 (isocaedro).
Si n=4
‫=ܥ‬

2݉
‫ 6 = ܥ ݏ݁ܿ݊݋ݐ݊݁ ,3 = ݉ ݕ‬ሺℎ݁‫݋ݎ݀݁ܽݔ‬ሻ
4−݉

Si n=5
‫=ܥ‬

4݉
‫ 21 = ܥ ݏ݁ܿ݊݋ݐ݊݁ ,3 = ݉ ݕ‬ሺ݀‫݋ݎ݀݁ܽܿ݁݀݋‬ሻ
10 − ݉

Si n=6
‫=ܥ‬

݉
3−݉

Si n>6 entonces m no tiene ningún valor.


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GEOMETRÍA MODERNA

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GEOMETRÍA MODERNA


IV. EJERCICIOS
1. En un poliedro convexo, el numero de caras, mas el numero de vértices, y mas
el numero de aristas, es 28. Si las medidas de los ángulos en todas las caras
suman 1800º. Hallar el número de caras.
.
Resolucón
Dato:

S = 1800º. Pero sabemos que
S = 360º(V-2)
2)

Entonces: 360º(V – 2) = 1800 ⟹ V – 2 = 5 ⟹ V = 7
Por el Teorema de Euler: C + V = A + 2 ⟹ A = C + 5......(1)
Pero por dato también: C + V + A = 28 ⟹ C + 7 + A = 28 ⟹ C + A = 21......(2)
Reemplazando (1) en (2): C + C + 5 =21 ⟹ 2C = 16
∴ ࡯ ൌ ૡ
2. Se tiene un exaedro regular ABCD – EFGH, donde “O” es centro de la cara ABFE
തതതത
y “M” punto medio de ‫ . ܪܧ‬Calcular la medida del ángulo COM.
Resolucón
En el grafico, observamos que NC = 3a√2
En el ∆ NOC; se cumple que:
ܰ‫ ܥ‬ଶ = ܱܰ ଶ + ܱ‫ ܥ‬ଶ
ଶ

⟹ ܰ‫ ܥ‬ଶ = ሺ2ܽඥ3ሻ ൅ ൫ܽ√6൯
ඥ

ଶ

ܰ‫ ܥ‬ൌ 3ܽ
∴ ࢞ ൌ ૢ૙º


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