problemas resueltos de calculo diferencial

1. Universidad Nacional
Federico Villarreal
MATEMATICA
Facultad de Educación
Matemática - Física
PURA
CALCULO DIFERENCIAL
Toribio Córdova C.
TEMAS:
 LÍMITES
 CONTINUIDAD
 DERIVADAS

2. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009
1. Definición de límite.
a) 𝑳𝒊𝒎 =
𝐱 𝟐 −𝟑𝐱+𝟐 𝟏
𝒙⟶𝟏 𝐱 𝟐 −𝟒𝐱+𝟑 𝟐
𝑳𝒊𝒎 √ 𝐱 + 𝟑 = 𝟐
𝒙⟶𝟏
b)
Resolución
𝑳𝒊𝒎 =
𝒙 𝟐 −𝟑𝒙+𝟐 𝟏
𝒙⟶𝟏 𝒙 𝟐 −𝟒𝒙+𝟑 𝟐
a)
Resolución
∀𝜀 > 0 , ∃ 𝛿 > 0 / x ∈ Dom f ⋀ 0< |𝑥 − 1| < 𝛿 ⟺ �𝑓(𝑥) − 2� < 𝜀
1
�𝑓(𝑥) − 2� < 𝜀
1
𝑥 2 − 3𝑥 + 2 1
� − � < 𝜺
𝑥 2 − 4𝑥 + 3 2
2𝑥 2 − 6𝑥 + 4 − 𝑥 2 + 4𝑥 − 3
� � < 𝜀
2(𝑥 2 − 4𝑥 + 3)
𝑥 2 − 2𝑥 + 1
� � < 𝜀
2(𝑥 2 − 4𝑥 + 3)
�(𝑥−1)(𝑥−3) � < 𝜺
1 (𝑥−1)2
2
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3. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009
|𝑥 − 1| � �< 𝜀
1 1
2 𝑥−3
Acotamos con la asíntota
𝑥 − 3 = 0 ⇒ 𝑥 = 3 (Asíntota) �𝑎 – 𝑥 𝑜 �𝜖 < 0,1]
|𝟑 − 𝟏| ∉< 0,1] ⟹ 𝛿1 = 1
−1 < 𝑥 − 1 < 1
0< 𝑥<2
−3 < 𝑥 − 3 < −1
1 1
− > > −1
3 𝑥−3
� �=1
1
𝑥−3
1 1
|𝑥 − 1| � � < 𝜀 ⟹ |𝑥 − 1| < 2𝜖 = 𝛿2
2 𝑥−3
∴ 𝜹 𝒎𝒊𝒏 = {𝟏, 𝟐𝜺} Rpta
𝑳𝒊𝒎 √ 𝒙 + 𝟑 = 𝟐
𝒙⟶𝟏
b)
Resolución
∀𝜀 > 0 , ∃ 𝛿 > 0 / x ∈ Dom f ⋀ 0< |𝑥 − 1| < 𝛿 ⟺ |𝑓(𝑥) − 2| < 𝜀
|𝑓(𝑥) − 2| < 𝜀
�√𝑥 + 3 − 2� < 𝜺
𝑥+3−4
� �< 𝜺
√𝑥+3+2
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4. CALCULO DIFERENCIAL
𝑥−1
UNFV – BASE 2009
� �< 𝜀
√𝑥+3+2
1
|𝑥 − 1| � �< 𝜺
√𝑥+3+2
Acotamos con el dominio
𝑥 + 3 >0
√𝑥 + 3 > 0
√ 𝑥 + 3 + 2 >2
� � <2
1
√ 𝑥+3+2
1 𝜀
|𝑥 − 1| � � < 𝜀 ⟹ |𝑥 − 1| < = 𝛿1
√𝑥+3+2 2
∴ 𝜹 ={ }
𝛆
𝒎𝒊𝒏 𝟐
Rpta
𝑳𝒊𝒎 𝒇(𝒙) si existe.
𝒙⟶𝟏
2. Calcular
𝟒+∥ ∥ �√ 𝒙−∥ 𝒙 ∥�+∥ ∥ − ∥ 𝒙 − 𝟑 ∥ ; 𝒙 < −𝟏
𝟏 𝟏
𝒙 𝒙
𝟏
F(x)=
� 𝟏 − (𝒙. 𝒔𝒈𝒏(𝒙)) 𝟐 − ; 𝒙 ≥ −𝟏 , 𝒙 ≠ 𝟎
𝒙
Resolución
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5. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009
4+∥ 𝑥 ∥ �√ 𝑥−∥ 𝑥 ∥�+∥ ∥ − 𝑥 ∥ 𝑥 − 3 ∥ ; 𝑥 < −1
1 1
F(x)=
1
�1 − (𝑥. 𝑠𝑔𝑛(𝑥))2 − ; 𝑥 ≥ −1 , 𝑥 ≠ 0
𝑥
𝑳𝒊𝒎 ∃ ⟺ 𝑳𝒊𝒎− = 𝑳𝒊𝒎+ 𝒙 < −1
𝒙⟶−𝟏 𝒙⟶−𝟏 𝒙⟶−𝟏
∥ 𝒙 ∥ = −𝟐
𝐿𝑖𝑚 4+∥ 𝑥 ∥ �√ 𝑥−∥ 𝑥 ∥�+∥ ∥ − 𝑥 ∥ 𝑥 − 3 ∥
1 1
𝟏
∥ ∥= −𝟏
𝑥⟶−1−
𝒙
i.
= 4 + (−1) ��𝑥 − (−2)� +∥ 0𝑥 − 3 ∥
𝟏
∥− ∥= 𝟎
= 4 − �√ 𝑥 + 2� − 3 𝒙
= 4 − ��(−1) + 2� − 3
=0
𝐿𝑖𝑚+�1 − (𝑥. 𝑠𝑔𝑛(𝑥))2 −
1
𝑥⟶−1 𝑥
𝑺𝒈𝒏(𝒙) < 0
ii.
= �1 − �(−1)(−1)� −
2 1
−1 ∴ 𝑺𝒈𝒏(𝒙) = −𝟏
=√0 + 1
= 1
𝑪𝒐𝒎𝒐 𝑳𝒊𝒎− ≠ 𝑳𝒊𝒎+
𝒙⟶−𝟏 𝒙⟶−𝟏
∴ 𝑳𝒊𝒎 = ∄
𝒙⟶−𝟏
Rpta
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6. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009
3. Calcular :
√𝟓 + 𝒙 + √ 𝟐𝟔 − 𝒙 + √𝟏𝟓 − 𝒙 + √ 𝒙 + 𝟏 − 𝟕
𝑳𝒊𝒎
𝟑 𝟒 𝟒
𝒙→−𝟏 √ 𝒙 + 𝟏𝟎 √ 𝒙 + 𝟏 + √ 𝒙 + 𝟏 − 𝟑
𝟒
Resolución
√𝟓 + 𝒙 + √𝟐𝟔 − 𝒙 + √𝟏𝟓 − 𝒙 + √ 𝒙 + 𝟏 − 𝟕
𝟒
𝑳𝒊𝒎
𝟑 𝟒
𝒙→−𝟏 √ 𝒙 + 𝟏𝟎 √ 𝒙 + 𝟏 + √ 𝒙 + 𝟏 − 𝟑
𝟒
�5+𝑥− 2+ �26−𝑥−3+ �15−𝑥−2+ � 𝑥+1−7−7
3 4 4
=
� 𝑥+10−3 � 𝑥+1+� 𝑥+1−3+3
4
�5+𝑥− 2+ �26−𝑥−3+ �15−𝑥−2+ � 𝑥+1−7−7
3 4 4
=
� 𝑥+10−3 � 𝑥+1+� 𝑥+1−3+3
4
+ + + √𝑥+1
5+𝑥− 4 26−𝑥−27 15−𝑥−16 4
√5+𝑥+ 2
2 2
=
� √26−𝑥 �+� √26−𝑥�(3)+(32 ) � √15−𝑥 �+� √15−𝑥 �(2)+(22 )
3 3 4 4
+ √𝑥+1+√𝑥+1
𝑥+10−9 4
√ 𝑥+10+3
+ 27 + −(𝑥+1)
𝑥+1 −(𝑥+1)
= 4 12
Racionalización
𝑥+1 ( 𝒂 𝒏 − 𝒃 𝒏 ) = (𝒂 − 𝒃)(𝒂 𝒏−𝟏 +𝒂 𝒏−𝟐 𝒃 + 𝒂 𝒏−𝟑 𝒃 𝟐 + … + 𝒃 𝒏−𝟏 )
6
=
27(𝑥+1)−4(𝑥+1)−9(𝑥+1)
108
𝑥+1
6
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7. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009
= = 18(𝑥+1) = 9
14(𝑥+1)
108 14(𝑥+1) 7
𝑥+1
6
∴ 𝑳𝒊𝒎 =
√𝟓+𝒙+ √ 𝟐𝟔−𝒙+ √𝟏𝟓−𝒙+ √ 𝒙+𝟏−𝟕 𝟕
𝟑 𝟒 𝟒
𝒙→−𝟏 √ 𝒙+𝟏𝟎 √ 𝒙+𝟏+√ 𝒙+𝟏−𝟑
𝟒 𝟗
Rpta
4. Calcular:
𝑳𝒊𝒎
𝝅
𝒕𝒈 (𝒙− 𝟒 )
𝝅
𝒙→𝝅∕𝟒 𝒙−
a)
𝟒
b) 𝑳𝒊𝒎 , 𝒎> 𝒐
𝒄𝒐𝒔(𝒏𝒙)−𝒄𝒐𝒔( 𝒎𝒙)
𝒙→𝟎 𝒙𝟐
Resolución
𝐿𝑖𝑚
𝜋
𝑡𝑔 (𝑥− 4 )
𝜋
𝑥→𝜋∕4 𝑥− 4
a)
𝑥− = 𝑢 ⟹ 𝑥= 𝑢+ 𝑥→ 𝑢→0
𝜋 𝜋 𝜋
, entonces
4 4 4
. Si
𝑡𝑔 (𝑢 + − )
𝜋 𝜋
𝐿𝑖𝑚 4 4
𝑢+ −
𝜋 𝜋
𝑢→0
4 4
∴ 𝐿𝑖𝑚 =1
𝑡𝑔 (𝑢)
𝑢→0 𝑢
Rpta
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8. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009
𝐿𝑖𝑚 ; 𝑚> 𝑜
cos(𝑛𝑥)−cos( 𝑚𝑥)
𝑥→0 𝑥2
b)
−2𝑠𝑒𝑛 � � 𝑠𝑒𝑛 � �
𝑛𝑥+𝑚𝑥 𝑛𝑥−𝑚𝑥
𝐿𝑖𝑚 2 2
𝑥→0 𝑥2
2𝑠𝑒𝑛 � � 𝑠𝑒𝑛 � �
𝑛𝑥+𝑚𝑥 𝑚𝑥−𝑛𝑥
𝐿𝑖𝑚 2 2
𝑥→0 𝑥2
𝑥(𝑚+𝑛) 𝑚+𝑛 𝑚−𝑛 𝑥(𝑚−𝑛)
2 2
𝑠𝑒𝑛 𝑥� 2 � 𝑠𝑒𝑛𝑥 � 2 � 2
𝐿𝑖𝑚
𝑥(𝑚+𝑛) 𝑥(𝑚−𝑛)
𝑥2
2 2
𝑥→0
2𝑥 � � 𝑥� �
𝑚+𝑛 𝑚−𝑛
𝐿𝑖𝑚 2 2
𝑥2
Propiedad
𝑨+𝑩 𝑨−𝑩
𝑥→0 𝟐 𝟐
Cos A + Cos B = - 2sen sen
∴ 𝑳𝒊𝒎 =
𝒎 𝟐 −𝒏 𝟐 𝒎 𝟐 −𝒏 𝟐
𝒙→𝟎 𝟐 𝟐
Rpta
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9. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009
5. Usando límites calcule:
𝑨𝒓𝒆𝒂 ∆𝑩𝑻𝑸
𝑳𝒊𝒎
𝜶→
𝝅
𝟐
𝑨𝒓𝒆𝒂 ∆𝑷𝑩𝑪
Resolución
Se pide: L = lim
Area ∆BTQ
………………(1)
π
α→ Area ∆PBC
2
cosθ⋅ tg(45º −θ /2)
N secθ
45º −θ /2 B
sθ
co
P θ
x2 + y2 =
1
sθ
co
1
θ
α
tg
1 θ
C θ O
1
1
θ M
T cosθ S
θ
Q
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10. CALCULO DIFERENCIAL
Cálculo de las áreas
UNFV – BASE 2009
De la figura:
BQ ⋅TM PC ⋅NB
∗ Area ∆BTQ = ……………….(2) ∗ Area ∆PBC = ………………….(3)
2 2
Se observa: BQ 1+ csc θ; TM cosθ; PC tgθ; NB cosθ⋅ tg 45º − 
θ
= = = =  
Reemplazando en (2) y (3):
 2
(1+ csc θ)⋅cosθ (1+ senθ)⋅cosθ
∗ Area ∆BTQ
= =
2 2senθ
 θ  90º −θ 
tgθ⋅cosθ⋅ tg 45º −  tgθ⋅cosθ⋅ tg 
∗ Area ∆PBC =  2=  2 
2 2
1− cos(90º −θ) 
tgθ⋅cosθ⋅ 
=
Area ∆PBC =  sen(90º −θ)  tgθ⋅cosθ⋅(1− senθ)

Sustituyendo en (1):
2 2cosθ
(1+ senθ)⋅cosθ (1+ senθ)⋅cosθ
Area ∆BTQ 2 senθ senθ
= lim
L = lim = lim
α→ Area ∆PBC α→ tgθ⋅ cosθ ⋅(1− senθ) α→ senθ ⋅(1− senθ)
π π π
2 2 2
2 cosθ cosθ
(1+ senθ)⋅cos2 θ (1+ senθ)⋅(1− sen2 θ) (1+ senθ)⋅(1+ senθ) (1− senθ)
= lim
L = lim = lim 2 2
α→ (1− senθ)sen θ
π
α→
π (1− senθ)sen θ α→
π (1− senθ) sen2 θ
2 2 2
(1+ senθ)2
L = lim Pero: θ 180º −α
= Entonces:
α→
π sen2 θ
2
2
 π
[1+ sen(180º −α )] 2
[1+ senα] 1+ sen 2  [1+1]2 2
2
= lim
L = lim =  = = 2= 4
π 2
sen (180º −α ) π 2
sen α 2 π 12
α→
2
α→
2 sen
2
𝑨𝒓𝒆𝒂 ∆𝑩𝑻𝑸
∴ 𝑳𝒊𝒎 = 𝟒
𝝅
𝜶→ 𝟐 𝑨𝒓𝒆𝒂 ∆𝑷𝑩𝑪
Rpta
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11. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009
Calcular:
𝑳𝒊𝒎 � �
6.
− 𝒙�; si existe
𝟓 𝒙 𝟕 −𝒙 𝟓
𝒙→∞ 𝒙 𝟐 +𝟏
Resolución Racionalización
𝑥7 − 𝑥5
Recordar
�
(𝒂 𝒏 −𝒃 𝒏 )
𝐿𝑖𝑚 � − 𝑥�
5 𝑨
𝑥2 + 1
(𝒂 𝒏−𝟏 +𝒂 𝒏−𝟐 𝒃+⋯+𝒂𝒃 𝒏−𝟐 +𝒃 𝒏−𝟏 ) = 𝟎
∞∃ 𝑅
= (a-b)
𝑥→∞
Factor Racionalizante A
5
⎧ � � x2+1 � − (𝑥)5
x7 −x5 ⎫
⎪ ⎪
5
= Lim
𝑥→∞ ⎨ 5 7 5 ⎬
⎪� � x2+1 � + �� 2 � 𝑥+ � � x2+1 � 𝑥2 + � � x2 +1 � 𝑥3 + 𝑥4 ⎪
4 3 2
x −x 5 x7 −x5 5 x7 −x5 5 x7 −x5
⎩ x +1
⎭
⎧ ⎫
⎪ − x5 ⎪
x7 −x5
= Lim x2 +1
𝑥→∞ ⎨ 5 7 5 4
⎬
3 2
⎪� � 2 � + � � 2 � 𝑥+ � � 2 � 𝑥 2 + � � 2 � 𝑥 3 + 𝑥 4 ⎪
x −x 5 x7 −x5
5 x7 −x5 5 x7 −x5
⎩ x +1 x +1 x +1 x +1 ⎭
⎧ ⎫
⎪ ⎪
𝑥 7 −𝑥 5 −𝑥 5 (𝑥 2 +1)
= 𝐿𝑖𝑚 𝑥 2 +1
𝑥→∞ ⎨ 4 3 2
⎬
⎪�� � + �� � 𝑥+ � � � 𝑥2 + � � � 𝑥3 + 𝑥4 ⎪
5 𝑥 7 −𝑥 5 5 𝑥 7 −𝑥 5 5 𝑥 7 −𝑥 5 5 𝑥 7 −𝑥 5
⎩ 𝑥 2 +1 𝑥 2 +1 𝑥 2 +1 𝑥 2 +1 ⎭
𝑥7 − 𝑥5 − 𝑥7 − 𝑥5
= 𝐿𝑖𝑚 4 3 2
𝑥→∞
(𝑥 2 + 1) �� � � + �� � 𝑥+ � � � 𝑥2 + � � � 𝑥3 + 𝑥4�
5 𝑥 7 −𝑥 5 5 𝑥 7 −𝑥 5 5 𝑥 7 −𝑥 5 5 𝑥 7 −𝑥 5
𝑥 2 +1 𝑥 2 +1 𝑥 2 +1 𝑥 2 +1
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12. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009
−2𝑥 5
= 𝐿𝑖𝑚 𝑥5
𝑥→∞
4 3 2
5 𝑥7 −𝑥5 5 𝑥7 −𝑥5 5 𝑥7 −𝑥5 5 𝑥7 −𝑥5
�� � 2 � +� � 2 � 𝑥+� � 2 � 𝑥 2 + � � �𝑥 3 +𝑥 4 �
(𝑥 2 +1) 𝑥 +1 𝑥 +1 𝑥 +1 𝑥2 +1
𝑥1 𝑥4
−2𝑥 5
= 𝐿𝑖𝑚 4 3
𝑥5
2
⎧ 5 ⎫
𝑥→∞
� 1 + 1� � � � + �� + �� �
𝑥7 −𝑥5 𝑥7 −𝑥5 𝑥7 −𝑥5 𝑥7 −𝑥5
� � 2 + � � +
5 5 5
𝑥2 1 𝑥2 +1 𝑥2 +1 𝑥 𝑥2 +1 𝑥2 𝑥2 +1 𝑥3 𝑥4
𝑥 𝑥 ⎨ 𝑥5 𝑥5 𝑥 𝑥5 𝑥 𝑥5 𝑥3 𝑥4 ⎬
⎩ ⎭
−2𝑥 5
= 𝐿𝑖𝑚 4 3
𝑥5
2
𝑥→∞
� + � �� � � + �� � + �� � + �� � + �
𝑥2 1 5 𝑥 7 −𝑥 5 5 𝑥 7 −𝑥 5 𝑥 5 𝑥 7 −𝑥 5 𝑥2 5 𝑥 7 −𝑥 5 𝑥3 𝑥4
𝑥 1 𝑥 1 𝑥 7 +𝑥 5 𝑥 7 +𝑥 5 𝑥 𝑥 7 +𝑥 5 𝑥 2 𝑥 7 +𝑥 5 𝑥 3 𝑥4
−2
= 𝐿𝑖𝑚 4 3 2
𝑥→∞
𝑥7 𝑥5 𝑥7 𝑥5 𝑥7 𝑥5 𝑥7 𝑥5
�𝑥 + 𝑥� ��� � + �� � + �� � + �� � + 1�
1 5 − 5 − 5 − 5 −
𝑥7 𝑥7 𝑥7 𝑥7 𝑥7 𝑥7 𝑥7 𝑥7
7 𝑥5 7 𝑥5 7 𝑥5 7 𝑥5
+ + + +
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
𝑥7 𝑥7 𝑥7 𝑥7 𝑥7 𝑥7 𝑥7 𝑥7
−2
= 𝐿𝑖𝑚
𝑥→∞ (𝑥)(5)
−2 1
= 𝐿𝑖𝑚 = 0
5 𝑥→∞ 𝑥
∴ 𝑳𝒊𝒎 � � − 𝒙� = 𝟎
𝟓 𝒙 𝟕 −𝒙 𝟓
𝒙→∞ 𝒙 𝟐 +𝟏
Rpta
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13. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009
7. Usando la definición, probar que:
𝟏− 𝒙
𝑳𝒊𝒎 = −∞
𝒙→𝟐 ( 𝒙 − 𝟐) 𝟐
Resolución
Se tiene que: Domf ( x ) =¡ −{2} ⇒ x =2 es un punto de acumulación del dominio.
La definición del límite de f ( x ) = cuando f(x) tiende a −∞ , si x tiende a 2 es:
1− x
( x − 2)2
1− x
lim = −∞ ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 / x ∈Domf ( x ) ∧ si 0 < x − 2 < δ ⇒ f ( x ) < − M
x →2 ( x − 2)2
1− x
⇒ f (x)
= < − M ……………………………..….(1)
( x − 2)2
1 1 1 1 3
Si 0 < x − 2 < δ1 = ⇒ − < x − 2 < ⇒ < x −1<
2 2 2 2 2
Como: ( x − 2)2 > 0; siendo x ≠ 2 ⇒ multiplicamos la expresión anterior por:
1
( x − 2)2
1 x −1 3
⇒ < <
2( x − 2) ( x − 2) 2( x − 2)2
2 2
3 1− x 1
⇒ − < <− …………………...(2)
De las ecuaciones (1) y (2):
2 2
2( x − 2) ( x − 2) 2( x − 2)2
1 1
⇒ − < −M ⇒ >M
2( x − 2)2 2( x − 2)2
1 1 1
⇒ 2( x − 2)2 < ⇒ ( x − 2)2 < ⇒ x −2 <
M 2M 2M
1
Si 0 < x − 2 < δ se toma: δ =
2M
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14. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009
∴ 𝜹 = { 𝜹 𝟏 ; 𝜹 𝟐 } = 𝒎í𝒏 � ; � � Rpta
𝟏 𝟏
𝟐 𝟐𝑴
8. Calcular:
(𝒕𝒂𝒏 𝒙 − 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝒙) + 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒙 − (𝒔𝒊𝒏 𝒙) 𝟐 + 𝟎. 𝟓 𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙
𝑳𝒊𝒎
𝒙→𝟎 𝒙 𝟑 (𝟏 − 𝒔𝒊𝒏 𝒙 − 𝒄𝒐𝒔 𝒙)
Resolución
Sea f ( x ) = ( tgx − 2senx ) + senx .tgx − sen x + 0, 5sen2x
2
Reduciendo la función:
3
x (1 − senx + cosx )
 1  senx
senx  − 2  + senx . − sen2 x + 0, 5 × 2senx .cosx
f (x ) =  cosx  cosx
x 3(1 − senx + cosx )
 1 senx 
senx  −2+ − senx + cosx 
 cosx cosx 
f (x ) =
x 3(1 − senx + cosx )
 1 senx 
senx  − 1+ − 1 − senx + cosx 
 cosx cosx 
f (x ) =
x 3(1 − senx + cosx )
 1 cosx senx 
senx  − + − 1 − senx + cosx 
f (x ) =  cosx cosx cosx 
3
x (1 − senx + cosx )
 1 − cosx + senx 
senx  − (1 − cosx + senx )
 cosx 
f (x ) = 3
x (1 − cosx + senx )
 1 
senx (1 − cosx + senx )  − 1
f (x ) =  cosx 
3
x (1 − cosx + senx )
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15. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009
 1 − cosx  senx 2x 
senx   (1 − cosx ) tgx ⋅ 2sen  2 
 cosx  cosx  
f (x )
= = = 3 3 3
x x x
x  x  x 
sen2   sen2   sen2  
tgx 2 = x ⋅
tg  2  =tgx ⋅
1 2
f (x ) = ⋅
2 2 ⋅
x x 2
x x 
2
2 x x 
2
4   
Reemplazando en el límite:
2 2
x  x 
sen2   sen2  
1 tgx  2 1 tgx  2  = 1 ⋅ 1⋅ 1
lim f ( x ) = lim ⋅ ⋅ = lim ⋅ lim
x→0 x→0 2 x x 
2
2 x→0 x x→0
x 
2
2
   
2 2
∴ 𝑳𝒊𝒎 𝒇( 𝒙) =
𝟏
𝒙→𝟎 𝟐
Rpta
9. Sea f la función definida por:
𝟓
𝐟(𝐱) = |𝐱 + 𝟓| +
|𝐱| − 𝟒
Bosqueje el gráfico de f mostrando sus asíntotas.
Resolución
El dominio de la función f(x) será:
Domf ( x =
) {x ∈ ¡ / x − 4 ≠ 0}
= {x ∈ ¡ / x ≠ 4} {x ∈ ¡ / x ≠ 4 ∨ x ≠ −4}
=
Redefiniendo la función:
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑥 = −5, 𝑥 = 0 (𝑥 ≠ 0)
Se tienen 3 intervalos:
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16. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009
∗ x < −5 ⇒ x+5 = −( x + 5) ∧ −x
x =
5
⇒ f1( x ) = −( x + 5) + ; x < −5
−x − 4
∗ −5≤ x < 0 ⇒ x+5 x + 5 ∧
= −x
x =
5
⇒ f2 ( x )= x + 5 − ; − 5 ≤ x < 0 , x ≠ −4
x +4
∗ x >0 ⇒ x
x+5 = + 5 ∧ x =x
5
⇒ f3 ( x ) = x + 5 + ; x ≥ 0, x ≠ 4
Luego:
x −4
  5 
−  x + 5 + x + 4  ; x < −5

 
 5
f ( x= x + 5 −
) ; − 5 ≤ x < 0 , x ≠ −4
 x +4
 5
x + 5 + ; x ≥ 0, x ≠ 4
Asíntotas verticales:
 x −4
Las posibles asíntotas verticales de la gráfica de f(x) serán en los puntos de
acumulación del dominio (𝑥 = ±4).
 5  5
∗ lim − f ( x ) =lim −  x + 5 −  =4 +5− − =+∞ =
− 1 +∞
x →−4 x →−4  x +4 0
 5  5
∗ lim + f ( x ) =lim +  x + 5 −  =4 +5− + =−∞ =
− 1 −∞
∴ 𝒙 = −𝟒 es una Asíntota Vertical
x →−4 x →−4  x +4 0
 5  5
∗ lim− f ( x ) =lim−  x + 5 +  = +5+ − = −∞ =
4 9 −∞
x →4 x →4  x −4 0
 5  5
∗ lim+ f ( x ) =lim+  x + 5 +  = +5+ + = +∞ =
4 9 +∞
∴ 𝒙 = 𝟒 es una Asíntota Vertical
x →4 x →4  x −4 0
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17. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009
Asíntotas horizontales:
 5 
∗ lim f ( x ) = lim  x + 5 +  = +∞ + 0 = +∞ ∉ ¡
x →+∞ x →+∞  x −4
 5 
∗ lim f ( x ) = lim −  x + 5 +  = − ( −∞ + 0 ) = +∞ ∉ ¡
∴ No tiene Asíntota Horizontal
x →−∞ x →−∞  x +4
Asíntotas oblicuas: 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃
 A.O.D:
5
x +5+
f (x ) x −4  5 5 
= lim = lim
m = lim 1 + + = 1
x →+∞ x x →+∞ x x →+∞ 
 x x( x − 4 ) 

 5   5 
=b lim f ( x ) − mx 
= lim x + 5 + −x
= lim 5 + = 5
x →+∞   x →+∞ 
 x −4  x →+∞ 
 x − 4

∴ y= x + 5
 A.O.I:
  5
−x + 5 + 
f (x )  x + 4  = lim  1 + 5 + 5 
m= lim = lim − =1
−
x →−∞ x x →−∞ x x →−∞ 
 x x(x + 4 ) 

  5    5   5 
b= lim f ( x ) − mx 
= lim −  x + 5 + + x
= lim −x − 5 − + x  lim  −5 −
= = −5
x →−∞   x →−∞ 

 x +4  x →−∞ 
 x +4  x →−∞  x − 4

Gráfico:
∴ y = −x − 5
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18. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009
X=-4 X=4
y
5
x
-5
10. Dada la función definida por:
𝑺𝒈𝒏(𝒙 𝟐 − 𝟖) − 𝟑; 𝒙 ≤ −𝟑
𝒙
𝒇(𝒙) = 𝒙 � � + 𝟓𝒔𝒈𝒏(𝒙 − 𝟓); −𝟑 < 𝑥 < 𝟎
𝟑
𝒙− 𝟑
; 𝒙≥ 𝟎
𝒙𝟐 − 𝒙− 𝟔
Determinar los puntos de discontinuidad. Determinar el
tipo de discontinuidad y si es posible redefinir la función
para evitar la discontinuidad.
Resolución
Redefiniendo la función f(x). Para ello hallaremos:
∗ Si: x ≤ −3 ⇒ x 2 ≥ 9 ⇒ x 2 − 8 ≥ 1 > 0 ⇒ sgn( x 2 − 8 ) =1
𝑥 𝑥
∗ 𝑆𝑖: − 3 < 𝑥 < 0 ⟹ −1 < < 0 ⟹ � � = −1
3 3
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19. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009
∗ Si: − 3 < x < 0 ⇒ − 8 < x − 5 < −5 ⇒ sgn( x − 5) = 1
−
x −3 x −3 1
∗ = = ; x ≥ 0, x ≠ 3
2
x −x −6 ( x − 3)( x + 2 ) x + 2
Luego:
 
1 − 3 ; x ≤ −3 −2 ; x ≤ −3
 
f ( x )= x ( −1) + 5( −1) ; − 3 < x < 0 ⇔ f ( x ) = −x − 5 ; − 3 < x < 0
 1  1
 ; x ≥0  ; x ≥ 0, x ≠ 3
Graficando f(x):
x + 2 x + 2
y
1/2
-3 -2
3 x
-2
-5
Se observa que la función es discontinua en x=0. El
tipo de discontinuidad es inevitable. Lo que me indica
que no es posible redefinir la función para hacerla
continua en dicho punto.
Rpta
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20. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009
11. Resolver:
𝟑
� 𝟔+ √ 𝒙 −𝟐
a) Sea 𝒇(𝒙) = ; 𝒙 ≠ 𝟔𝟒; ¿Cómo debe ser definida
𝟔
𝒙−𝟔𝟒
f(64), de modo que la función sea continua en x= 64?
b) Un automóvil viaja de noche por una carretera en
forma de parábola con vértice en el origen, el
vehículo parte de un punto a 100 m al oeste y a 100
m al norte del origen y viaja en dirección general
hacia el este. Hay una estatua a 100 m al este y 50
m al norte de origen ¿en qué punto de la carretera
los faros del automóvil la iluminaria?
Resolución
a) Debemos redefinir la función en x=64 a fin de hacerla continua en dicho punto.
Aplicamos límite de una función cuando x tiende a 64:
(Forma indeterminada)
3
6+ 6 x −2 0
lim f ( x )
= lim
=
Levantando la indeterminación:
x → 64 x → 64 x − 64 0
3
6+ 6 x −2 3
6 + 6 x − 2 3 ( 6 + 6 x )2 + 3 6 + 6 x .2 + 22
= lim
lim f ( x ) = lim ⋅
x → 64 x → 64 x − 64 x → 64 x − 64 3
( 6 + 6 x )2 + 3 6 + 6 x .2 + 22
6+ 6 x −8 1
= lim
lim f ( x ) ⋅
x → 64 x → 64 x − 64 3
( 6 + 6 x )2 + 2 3 6 + 6 x + 4
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21. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009
1 x − 2 6 x 5 + 6 x 4 ⋅ 2 + 6 x 3 ⋅ 22 + ... + 25
6
= lim
lim f ( x ) ⋅ ⋅
( 6 + 6 x )2 + 2 3 6 + 6 x + 4 x − 64 6 x 5 + 6 x 4 ⋅ 2 + x 3 ⋅ 22 + ... + 25
x → 64 x → 64 3 6
1 x − 64 1
= lim
lim f ( x ) ⋅ ⋅
( 6 + 6 x )2 + 2 3 6 + 6 x + 4 x − 64 6 x 5 + 6 x 4 ⋅ 2 + x 3 ⋅ 22 + ... + 25
x → 64 x → 64 3 6
1 1 1 1
lim f ( x ) = ⋅ 5
= ⋅ 5
x →64 3
( 6 + 2)2 + 2 3 6 + 2 + 4 6 ⋅ 2 3 ⋅ 4 6 ⋅ 2
1
lim f ( x ) =
2304
La función redefinida será:
x → 64
3 6 + 6 x −2
 ; x ≠ 64

f ( x ) =  x − 64
Rpta
 1 ; x = 64
 2304

b) Graficando:
N
y
O E
S
Partida
100
50 Estatua
-100 100 x
P(a,b)
Ecuación general de la parábola con vértice en el origen:
y = ax 2 ........................... (1)
Pero ( −100; 100 ) ∈ Parábola ⇒ En la Ec.(1) : 100 =a( −100 ) ⇒ a =
2 1
100
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22. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009
1
⇒ y =x 2 .............................. (2)
100
Hallando la ecuación de la recta LT de la iluminación en el punto P:
Para ello consideramos el punto de paso (100; 50): (de la estatua)
y − 50 = m( x − 100 )
⇒ y = mx + 50 − 100m ............................. (3)
Cálculo de la pendiente “m” con la ecuación de la parábola:
2 1
m =y ¢= x ⇒ m= x
Reemplazando en (3):
100 50
1 2
⇒ y
= x − 2x + 50 .........................(4)
50
Igualando las ecuaciones (2) y (4):
1 2 1 2
x= x − 2x + 50
100 50
0 =2 − 200x + 5000
x
Resolviendo: x
200 ± 2002 − 4(1)( 5000 ) 200 ± 100 2
= =
2 2
x = 100 ± 50 2 ⇒ x 1 = 100 − 50 2 ∨ x 2 = 100 + 50 2
En la ecuación (2): ⇒ y =
1
(100 − 50 2 )2 = (10 − 5 2 )2 = 150 − 100 2
100
Finalmente el punto P pedido es:
∴ 𝑷(𝒂; 𝒃) = (𝟏𝟎𝟎 − 𝟓𝟎√𝟐; 𝟏𝟓𝟎 − 𝟏𝟎𝟎√𝟐) Rpta
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23. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009
12. Hallar c y d para que f(x) sea continua:
  x 2 + 8 − 3 x 2 − 24 x + 2 
c   ; x < −1
  3 7 − x + 5− x2 − 4 
 

 −1
f ( x ) = cd ; x = −1
 −2 5
d (
31 − x − 6 x − 8
; x > −1
)
 3
 26 − x − 5x − 8

Resolución
Sea f1( x )
 x 2 + 8 − 3 x 2 − 24 x + 2  d −2 ( 5 31− x − 6 x − 8)
= c =  ; x < −1 ∧ f2 ( x ) ; x > −1
 3 7− x + 5− x 2 − 4  3
26 − x − 5 x − 8
La función f(x) será continua en x 0 =1 ⇔ se cumplen las tres condiciones siguientes:
 
−
i) ∃f ( −1) = −1
cd
 x 2 + 8 − 3 x 2 − 24 x + 2  d −2 ( 5 31− x − 6 x − 8)
ii) lim f1( x ) =c 
lim f2 ( x ) ⇔ lim =lim+ 3
x →−1− x →−1+ x →−1−  3 7 − x + 5 − x 2 − 4  x→−1 26 − x − 5 x − 8
 
 x 2 + 8 − 3 x 2 − 24 x + 2  ( x 2 + 8 − 3) − ( 3 x 2 − 24 x + 2 − 3)
= lim− c 
∗ lim− f1( x ) = c lim− 
x →−1 
x →−1 3
7 − x + 5 − x 2 − 4  x →−1 ( 3 7 − x − 2) + ( 5 − x 2 − 2)
Multiplicando cada término por sus factores racionalizantes:
 
x2 +8 +3 3
( x 2 − 24 x + 2)2 + 3 3 x 2 − 24 x + 2 + 32
( x 2 + 8 − 3)⋅ − ( 3 x 2 − 24 x + 2 − 3)⋅
x2 +8 +3 3
( x 2 − 24 x + 2)2 + 3 3 x 2 − 24 x + 2 + 32
lim− f1( x ) = c lim−
x →−1 x →−1 3
(7 − x )2 + 2 3 7 − x + 22 5− x 2 +2
( 3 7 − x − 2)⋅ + ( 5 − x 2 − 2)⋅
3
(7 − x )2 + 2 3 7 − x + 22 5− x 2 +2
x2 +8 −9 x 2 − 24 x + 2 − 27
−
x2 +8 +3 ( x 2 − 24 x + 2)2 + 3 3 x 2 − 24 x + 2 + 32
3
lim− f1( x ) = c lim−
x →−1 x →−1 [7 − x − 8] 5− x2 − 4
+
3
(7 − x )2 + 2 3 7 − x + 22 5− x2 +2
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24. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009
x 2 −1 x 2 − 24 x − 25
−
x2 +8 +3 ( x 2 − 24 x + 2)2 + 3 3 x 2 − 24 x + 2 + 9
3
lim− f1( x ) = c lim−
x →−1 x →−1 −( x +1) −( x 2 −1)
+
3
(7 − x )2 + 2 3 7 − x + 4 5− x2 +2
( x +1) ( x −1) ( x +1) ( x − 25)
−
2
x +8 +3 ( x − 24 x + 2)2 + 3 3 x 2 − 24 x + 2 + 9
3 2
lim− f1( x ) = c lim−
x →−1 x →−1 − ( x +1) ( x +1) ( x −1)
−
3
(7 − x )2 + 2 3 7 − x + 4 5− x2 +2
x −1 x − 25
−
2
x +8 +3 ( x − 24 x + 2) + 3 3 x 2 − 24 x + 2 + 9
3 2 2
lim− f1( x ) = c lim−
x →−1 x →−1 −1 x −1
−
2
3 3
(7 − x ) + 2 7 − x + 4 5− x2 +2
Evaluando el límite:
−2 −26 1 26 17
− − +
6 3(9) 68
lim− f1( x ) =
c⋅ = 3 27 = 27 = c
c⋅ c⋅
x →−1 −1 −2 1 1 5 45
− − +
3(4) 2(2) 12 2 12
5
31− x − 6 x − 8 ( 5 31− x − 2) − 6( x +1)
= d= d −2 lim+ 3
∗ lim+ f2 ( x ) −2 lim+ 3
x →−1 x →−1 26 − x − 5 x − 8 x →−1 ( 26 − x − 3) − 5( x +1)
Multiplicando por sus factores racionalizantes:
5
(31− x )4 + 5 (31− x )3 .2 + ... + 24
( 5 31− x − 2)⋅ − 6( x +1)
−2
5
(31− x )4 + 5 (31− x )3 .2 + ... + 24
lim f2 ( x ) = d lim
x →−1+ x →−1+ 3
(26 − x )2 + 3 3 26 − x + 32
( 3 26 − x − 3)⋅ − 5( x +1)
3
(26 − x )2 + 3 3 26 − x + 32
31− x − 32
− 6( x +1)
−2
5
(31− x )4 + 5 (31− x )3 .2 + ... + 24
lim f2 ( x ) = d lim
x →−1+ x →−1+ 26 − x − 27
− 5( x +1)
3
(26 − x )2 + 3 3 26 − x + 32
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25. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009
− ( x +1)
− 6 ( x +1)
−2
5
(31− x )4 + 5 (31− x )3 .2 + ... + 24
lim f2 ( x ) = d lim
x →−1+ x →−1+ − ( x +1)
− 5 ( x +1)
3
(26 − x )2 + 3 3 26 − x + 32
−1
−6
−2
5
(31− x )4 + 5 (31− x )3 .2 + ... + 24
lim f2 ( x ) = d lim
x →−1+ x →−1+ −1
−5
3
(26 − x )2 + 3 3 26 − x + 32
Evaluando el límite:
−1 1 481
−6 − −6
4 481×27
lim+ f2 ( x ) = −2 ⋅ 5⋅2
d = −2 ⋅ 80
d = −2 ⋅ 80 = −2 ⋅
d d
x →−1 −1 1 136 80×136
2
−5 − −5
3⋅3 27 27
68 481×27
⇒ lim f ( x ) = − f1( x ) = + f2 ( x ) ⇒
lim lim d−
c =2 ⋅
x →−1 x →−1 x →−1 45 80×136
68 481×27
iii) lim f ( x ) = −1 ⇒
cd d−
c =2 ⋅ = −1
cd
x →−1 45 80 ×136
Igualando:
68 45
∗ c = c d −1 ⇒ d = Rpta
45 68
∗ 𝑐𝑑 −1 = 𝑑 −2 . ⟹ 𝑐= . ⟹ 𝑐= .
481𝑥27 1 481𝑥27 68 481𝑥27
80𝑥136 𝑑 80𝑥136 45 80𝑥136
∴ 𝒄=
𝟏𝟒𝟒𝟑
𝟖𝟎𝟎
Rpta
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26. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009
13. Halle el área de la región comprendida por la recta
tangente normal a la curva cuya ecuación es 𝒙 𝟐 + 𝒙𝒚 +
𝒚 𝟐 = 𝟕 en el punto (1;2) y la asíntota oblicua derecha a
𝟐𝒙 𝟑 + 𝟑𝒙 + 𝟏
la gráfica de la función:
𝒇(𝒙) = +� 𝒙𝟐+ 𝟔
𝒙 𝟐− 𝒙− 𝟔
Resolución
Sean LT y LN rectas tangente y normal respectivamente a la curva x 2 + xy + y 2 = el
7 en
punto (1;2).
Entones:
LT : y − 2 m( x −1)
= ⇒ y= mx + 2 − m ……………………….. (1)
1 1 1
LN : y − 2 =− ( x −1) ⇒ y = x + 2 + ……………………..
− (2)
Calculando “m”:
m m m
Derivando implícitamente la ecuación de la curva x 2 + xy + y 2 =
7
2 x + y + xy ¢ 2 yy ¢= 0 ⇒ ( x + 2 y ) y ¢ - (2 x + y )
+ =
2x + y
⇒ y¢ m= -
=
x +2y
En (1,2) la pendiente m será: m = -
2(1) + 2 4
=−
Reemplazando en las ecuaciones (1) y (2):
1+ 2(2) 5
4 14 5 3
LT : y = x +
− ∧ LN : y = +
x
Calculando ahora, la asíntota oblicua derecha a la gráfica de la función:
5 5 4 4
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27. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009
2 x 3 + 3 x +1
=
f (x) + x2 +6
Sea la ecuación de la asíntota oblicua derecha de f(x):
2
x − x −6
………….(3)
Hallando “a” y “b”:
= ax + b
y
2 x 3 + 3 x +1
+ x2 +6 3 2
= lim
∗ a = lim
f (x) x 2 −= lim 2 x + 3 x +1 + x + 6
x −6
x →+∞ x x →+∞ x x →+∞ x ( x 2 − x − 6) x
Evaluando:
 3 1 6 3 1
x 3  2 + 2 + 3  x 1+ 2 2+ 2 + 3
a = lim  x x  = lim+ x x x + 1+ 6
x →+∞  1 6  x x →+∞ 1 6 x2
x 3 1− − 2  1− − 2
 x x  x x
2+0+0
=a + 1+ 0 ⇒ a 3
=
1− 0 − 0
 2 x 3 + 3 x +1 
= lim [f ( x= lim  2
∗ b ) − ax ] + x 2 + 6 −3x 
x →+∞ x →+∞  x − x − 6 
 2 x 3 + 3 x +1    2 x 2 +15 x +1 x2 +6 + x 
= lim  2
b − 2 x  + ( x 2 + 6 − x ) lim  2
= + ( x 2 + 6 − x )⋅ 
x →+∞  x − x − 6   x →+∞  x − x − 6
 x2 +6 + x 

 2  15 1  
 2 x 2 +15 x +1 x 2 + 6 − x 2   x 2+ x + x2 
 + 6 
= lim  2
b + = lim 
 x→+∞ 
x →+∞
 x − x −6 x2 +6 + x   x 2 1− 1 − 6   6 
   x  1+ 2 +1 
  x x2   x 
Evaluando el límite se obtiene: b = +
2 6
= +0 ⇒ b =
2 2
En la ecuación (3): (Ecuación de la asíntota oblicua derecha de f(x))
1 ∞⋅2
Con las rectas obtenidas, determinamos sus puntos de intersección:
= 3x +2
y
4 14 5 3
LT : y = x +
− ∧ LN : y = +
x ∧ A.O.D: y =+ 2
3x
5 5 4 4
Resolviendo se obtienen: (1;2),  ;  ,  − ; − 
 4 50  5 1
 
Graficando las ecuaciones de rectas halladas:
 19 19   7 7
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28. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009
y A.O.D.
LT
B  4 ; 50  LN
 
 19 19 
A f (x)
(1;2)
C x
 5 1
− ;− 
 7 7
Finalmente el área sombreada:
AB ⋅ AC
Area = ………………………………(4)
2
2 2 2 2
 4   50   15   12  3 41
=
AB  −1 +  − 2  =   +  =
 19   19   19   19  19
2 2 2 2
 5  1  12   15  3 41
AC = 1+  +  2 +  =   +  =
En (1):
 7  7 7 7 7
𝑨𝒓𝒆𝒂 = ⟹ ∴ 𝑨𝒓𝒆𝒂 =
𝟑√𝟒𝟏 𝟑√𝟒𝟏
𝟏𝟗
. 𝟕 𝟑𝟔𝟗
𝟐 𝟐𝟔𝟔
Rpta
14. Sea
x 3   nπx +1 2  nπx +1 
=
f (x) cos  nx  − sen  nx  +1
4 + mx      
1
Hallar n m si: xlim f ( x ) = −
2
→+∞ 24
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29. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009
Resolución
Transformando f(x):
x 3   nπx +1 2  nπx +1  
=
f (x) cos  nx  − sen  nx  +1
4 + mx      
x 3   nπx +1 2  nπx +1 2  nπx +1 2  nπx +1

=f (x) cos   − sen   + sen   + cos  
4 + mx   nx 
  nx   nx   nx   
x 3   nπx +1 2  nπx +1 
=f (x) cos  nx  + cos  nx 
4 + mx     
3
x  nπx +1   nπx +1
f ( x ) =cos  ⋅  1+ cos  
4 + mx  nx    nx  
x3  nπx +1 2  nπx +1
f ( x ) = ⋅cos   ⋅2cos  
4 + mx  nx   2nx 
2
2x3  1    π 1 
=f (x) ⋅cos  π+  ⋅ cos  + 
4   nx    2 2nx 
x  +m
x 
2
2x2   1    1 
f=
(x) ⋅ −cos   ⋅ −sen 
4  nx     2nx 
+m 
x
 1 
2 sen2  
−2 x  1  1  −2  1  2nx 
f ( x ) = ⋅cos   ⋅sen2   = ⋅cos   ⋅
4  nx   2nx  4 + m  nx  1
+m
x x x2
2
 1  1   1 
sen2   − 2  sen 2nx  
−2  1  2nx  = ⋅cos  1  ⋅
2n  
f ( x ) = ⋅cos   ⋅  
4  nx  4n2 ⋅ 1  4 + m  nx   1 
+m  2 2  
x  4n x  x  2nx 
Luego, por condición: lim f ( x ) = −
1
x →+∞ 24
2
1   1 
− 2
 1  sen 2nx   1
⇒ lim 2n ⋅cos   ⋅   =−
x →+∞ 4  nx   1  24
+m  
x  2nx 
Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 29

30. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009
1
−
⇒ 2n2 ⋅(1)⋅(1)2 = 1
−
m 24
∴ 𝒏 𝟐 𝒎 = 𝟏𝟐 Rpta
𝒙 𝟐 √ 𝒙 + 𝟐 − �|𝒙 + 𝟓| − 𝒙
15. Calcular:
𝐥𝐢𝐦
𝟑
𝒙→−𝟏 �|𝒙 𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟓|
Resolución
Dominio |𝑥 2 + 6𝑥 + 5| > 0|𝑥 2 + 6𝑥 + 5| = 𝑥 2 + 6𝑥 + 5
𝑥 2 √ 𝑥 + 2 − �|𝑥 + 5| − 𝑥 𝑥 2 √ 𝑥 + 2 − �|𝑥 + 5| − 𝑥
lim = lim+
3 3
𝑥→−1+ �|𝑥 2 + 6𝑥 + 5| 𝑥→−1 �|𝑥 + 5||𝑥 + 1|
𝑥 → −1+ → 𝑥 > −1 ∴ 𝑥+5>4 |𝑥 + 5| = 𝑥 + 5
𝑥+1 >0 |𝑥 + 1| = 𝑥 + 1
𝑥 2 √ 𝑥 + 2 − �|𝑥 + 5| − 𝑥 𝑥 2 � √ 𝑥 + 2 − 1� − �√𝑥 + 5 − 2� − (𝑥 − 2)(𝑥 + 1)
3
lim = lim+
3
𝑥→−1+ �|𝑥 2 + 6𝑥 + 5| 𝑥→−1 �(𝑥 + 5)(𝑥 + 1)
Dividiendo entre 𝑥 + 1 = �(𝑥 + 1)2
x 2 � √x + 2 − 1� �√x + 5 − 2� (x − 2)(x + 1)
3
lim+ − lim+ + lim+ … . (∗)
x→−1 �(x + 5)(x + 1) x→−1 �(x + 5)(x + 1) x→−1 �(x + 5)(x + 1)
𝑎3 − 𝑏 3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2
𝑎 = √𝑥 + 2 ∧ 𝑏 = 1
3
𝑥 + 2 − 1 = � √𝑥 + 2 − 1�( �(𝑥 + 2)2 + √𝑥 + 2 + 1)
3 3 3
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31. CALCULO DIFERENCIAL
𝑥+1
UNFV – BASE 2009
√𝑥 + 2 − 1 =
3
�(𝑥 + 2)2 + √ 𝑥 + 2 + 1
3 3
𝑥2 𝑥+1 𝑥 2 �(𝑥 + 1)
lim + .3 = lim + =0
𝑥→−1 �(𝑥 + 5)�(𝑥 + 1) �(𝑥 + 2)2 + √ 𝑥 + 2 + 1 𝑥→−1
�(𝑥 + 5)�(𝑥 + 2) 2+ 3 𝑥+2+1
√
3
3
�(𝑥 + 5) − 2 �(𝑥 + 5) + �(𝑥 + 1) �(𝑥 + 5)�(𝑥 + 1)𝑥 + 1
lim+ . = lim+
𝑥→−1 �(𝑥 + 5)�(𝑥 + 1) �(𝑥 + 5) + �(𝑥 + 1) 𝑥→−1
��(𝑥 + 5) + 2�
√𝑥+1
= lim+ =0
𝑥→−1
�(𝑥 + 5) ��(𝑥 + 5) + 2�
lim + = lim + =0
(𝑥−2)(𝑥+1) (𝑥−2)
𝑥→−1 �(𝑥+5)�(𝑥+1) 𝑥→−1 √ 𝑥+5
En *
∴ 𝐥𝐢𝐦 = 𝟎− 𝟎− 𝟎= 𝟎
𝒙 𝟐 √𝒙+𝟐−�|𝒙+𝟓|−𝒙
𝟑
𝒙→−𝟏 ��𝒙 𝟐 +𝟔𝒙+𝟓�
Rpta
16. Calcular.
Hallar la derivada de:
𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔 𝟑 (�𝟏 − 𝒙)
𝟑
Resolución
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