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Mediciones
Comenzaremos nuestro curso de física médica con un estudio de las cifras significativas y la
transformación de unidades.
.
1. Prefijos
2. Notación Científica
3. Concepto de Medición
4. Cifras Significativas
5. Factores de conversión y Cambio de Unidades
Sección 1. Prefijos
Prefijos del Sistema Internacional
Factor Prefijo Símbolo Factor Prefijo Símbolo
101 deca da 10-1 deci d
102 hecto h 10-2 centi c
103 kilo k 10-3 mili m
106 mega M 10-6 micro µ
109 giga G 10-9 nano n
1012 tera T 10-12 pico p
1015 peta P 10-15 femto f
1018 exa E 10-18 atto a
1021 zetta Z 10-21 zepto z
1024 yotta Y 10-24 yocto y
Sección 3. Notación Científica
Cuando expresamos un número grande como la masa de la Tierra, o un número muy pequeño
como la masa de un electrón, se usa la notación científica. . El formato básico de la notación
científica es M * 10n, donde M es cualquier número real entre 1 y 10 y n es un número entero.
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100 = 1
101 = 10
102 = 10 * 10 = 100
103 = 10 * 10 * 10 = 1000
10-1 = 1 / 10 = 0.1
10-2 = 1 / 10 / 10 = 0.01
10-3 = 1 / 10 / 10 / 10 = 0.001
Por ejemplo, la masa de la Tierra es de aproximadamente
6,000,000,000,000,000,000,000,000 kg
y se puede escribir como 6.0 * 1024 kg.
También, la masa de un electrón es
0.000000000000000000000000000000911 kg
y se puede expresar como 9.11 * 10-31 kg.
PROBLEMA: Expresa 8.213 * 102 con números decimales.
Comprueba
PREGUNTA: Resuelve 4 * 102 + 3.2 * 103.
Comprueba
Sección 2. Concepto de Medición
q Cantidad Física
q Magnitud
q Valor
q Unidad
q Dimensión
q Cantidad Física : Es aquella que se utiliza para la descripción cuantitativa de un fenómeno
o propiedad. Las cantidades físicas se agrupan en categorías o clases mutuamente
comparables.
Ejemplo : Diámetros, Alturas, Distancia entre dos ciudades; pertenecen a la categoría de
las LONGITUDES.
q Unidad : Tamaño del patrón escogido para medir una cantidad física.
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q Valor : Es el número que resulta al comparar lo medido con la unidad patrón.
q Magnitud : Es lo cuantificable o medible de una cantidad física. Se expresa por el par =
{valor, unidad}: Magnitud = Valor·Unidad
q Dimensión : Es la coordenada asignada a una magnitud de acuerdo a la naturaleza (clase o
categoría) de la cantidad física
1. "El edificio tiene una altura de 85 metros."
Cantidad física: Altura
Valor: 85
Unidad: metros
Magnitud: 85m
Dimensión longitud (L)
2. La rapidez que lleva la sangre en el capilar es 12 cm/h
3. La presión manométrica arterial del señor Alvarez es 140 mmHg.
4. Un niño de 14 años visita al pediatra.
Después de auscultarlo, el doctor le pide al paciente que se suba a la balanza.
El médico le informa que su masa es 123,4.
Comente este resultado .
Sección 4. Cifras Significativas
Las cifras significativas representan los dígitos válidos de un número. El siguiente es un
resumen de las reglas para reconocer las cifras significativas:
1. Los dígitos distintos de cero son todos significativos.
2. Todos los ceros finales después del punto decimal son significativos.
3. Los ceros entre dos dígitos significativos son también significativos.
4. Los ceros usados solamente para espaciar el punto decimal no son significativos.
La tabla siguiente es un ejemplo:
valores # de cifras significativas
5.6 2
0.012 2
0.0012003 5
0.0120 3
0.0012 2
5.60 3
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En la suma y en la resta, se dejará el resultado con tantos decimales como los que tenga el
factor menos preciso. Por ejemplo:
24.686 + 2.343 + 3.21 = 30.239 = 30.24
ya que 3.21 es la cantidad menos precisa, ya que tiene sólo dos decimales.
En la multiplicación y en la división, se conservarán en el resultado tantas cifras como las que
tenga el factor que tenga menos cifras significativas. Por ejemplo:
3.22 * 2.1 = 6.762 = 6.8
ya que 2.1 tiene 2 cifras significativas.
En un problema con mezcla de sumas, restas, multiplicación o división, se redondeará la
respuesta al final, no en mitad de los cálculos. Por ejemplo:
3.6 * 0.3 + 2.1 = 1.08 + 2.1 = 3.18 = 3.2.
PROBLEMA: Soluciona 5.123 + 2 + 0.00345 - 3.14.
Comprueba
PROBLEMA: Soluciona -9.300 + 2.4 * 3.21.
Comprueba
Cifras significativas
 Sargento, ¿cuántos soldados enemigos vió?
 Mil uno, mi general.
 ¿Y cómo es que lo sabe con tanta precisión?
 Es que venía uno adelante y como mil atrás...
Lo que ocurre en este cuento es muy común en las ciencias físicas y para evitarlo se utilizan las
cifras significativas. ¿Cuánto es mil más uno? ¿Mil uno? No. Depende de la precisión con la
que se haya determinado el "mil". Si tenemos aproximadamente mil y le sumamos uno,
obtenemos  aunque usted no lo crea aproximadamente mil. El "uno" queda por debajo de
la incertidumbre del "aproximadamente mil".
¿Y a qué nos referimos con cifras significativas? Son las cifras que se miden con precisión,
según el instrumento utilizado; o también, si se realizan cálculos a partir de los valores
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medidos, son las cifras del resultado en las que podemos tener confianza de que son precisas.
Para saber cuántas cifras significativas hay en un resultado se pueden utilizar ciertas reglas que
veremos a continuación.
Todo esto suena muy cualitativo. ¿Cómo se sabe, para una magnitud dada, cuáles son las cifras
significativas?
1.
Los ceros a la izquierda no son significativos. Por lo tanto, el número 103 tiene tres
cifras significativas, y el 0.000000103 también. Esto se debe a que los ceros a la
izquierda no le añaden precisión a la medición, sino que solamente sirven para
establecer la posición del punto decimal. Generalmente es mejor hacer esto utilizando la
notación exponencial; así, los números mencionados se convertirían en 1.03 × 102 y
1.03 × 10–7. Entonces, para contar las cifras significativas se parte del primer dígito
distinto de cero y se cuentan todos los dígitos a partir de éste.
2.
Los ceros a la derecha sí son significativos. Esto es muy importante: los ceros a la
derecha deben escribirse si y solamente si son una parte verdadera de la medición. Por lo
tanto, no es lo mismo decir que algo pesa 1 kg que decir que pesa 1.00 kg. La primera
magnitud implica que la medición se realizó con una balanza graduada en kilogramos.
La segunda medición fue realizada en una balanza graduada en centésimos de
kilogramo. La segunda medición es cien veces más precisa que la primera; la primera
tiene una cifra significativa y la segunda tiene tres cifras significativas. Por ello es
extremadamente importante no olvidar escribir los ceros a la derecha cuando se sabe que
son significativos. Por ejemplo, en una balanza analítica que tiene precisión de
diezmilésimas de gramo, si la balanza marca 0.5700 g es necesario registrar el número
con los dos ceros a la derecha, y no como 0.57 g. Sin embargo, a veces hay que tener
cuidado con los ceros a la derecha. Para eso está la siguiente regla.
3.
Los ceros a la derecha no son significativos cuando su función es únicamente la de
especificar la posición del punto decimal. Por ejemplo, si se dice que el sol está a una
distancia de 150 000 000 000 m, ¿cuántas cifras significativas hay? Ciertamente no son
doce, porque esto implicaría que se conoce la distancia con una precisión del orden de
1 m. Además de que es una precisión imposible en la práctica, sería demasiada
coincidencia que tal magnitud física tuviera tantos ceros. Pero podría ser que el primer
cero, o tal vez incluso el segundo, fueran significativos. Así como está escrito el número,
no hay manera de saberlo. La única manera de evitar esta ambigüedad es utilizando la
notación científica. Si nos dicen que el sol está a 1.50 × 1011 m, podemos saber sin duda
alguna que sólo el primer cero es significativo y por lo tanto hay tres cifras
significativas.
4.
Los números que son enteros por naturaleza se consideran como si tuvieran una
cantidad infinita de cifras significativas. Dicho de otra manera, los enteros por
naturaleza se pueden conocer con exactitud perfecta. Por ejemplo, en electroquímica hay
una ecuación que dice: ∆G = nF∆E. Sin meternos en más detalles, basta con saber que n
es el número de electrones intercambiados en una reacción redox. Por ejemplo, si
tenemos la reacción Cu2+ + Zn → Cu + Zn2+. Aquí se intercambian dos electrones y no
hay ninguna incertidumbre al respecto. Por ello, para determinar el número de cifras
significativas en el resultado final, no se toma en cuenta la precisión de n. Podemos
verlo como si n fuera igual a 2.000000000000000000000000000000000000...
5.
Los factores de conversión generalmente son exactos. O sea que, al igual que los
números enteros, puede considerarse como si tuvieran un número infinito de cifras
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significativas. Aunque hay algunos casos de conversiones que no son exactas porque
están determinadas empíricamente, otras son exactas. Por ejemplo, una pulgada es
exactamente igual a 2.54 cm por definición, y una caloría son 4.184 J. Además, todas las
conversiones dentro de un mismo sistema son exactas (1 km son exactamente 1000 m, y
un pie son exactamente 12 pulgadas).
Ahora veremos cómo se decide cuántas cifras significativas tiene el resultado de un cálculo.
1.
En una multiplicación o división, hay que quedarse con el número de cifras
significativas del factor menos preciso. Por ejemplo, 1.5 × 3.14159265359 = 4.7. No
importa que la calculadora diga 4.71238898038; el resultado tiene solamente dos cifras
significativas y debe reportarse como 4.7. No hay que olvidar redondear el último dígito:
por ejemplo, 10.0 / 1.5 = 6.7, aunque la calculadora diga 6.6666666666.
2.
En una suma o resta, hay que "alinear los puntos decimales" y quedarse con la
precisión del número que tenga menos cifras significativas después del punto decimal.
Veamos varios ejemplos. 1.44 + 2.35 × 10–5 = 1.44. Aunque la calculadora dice
1.4400235, el segundo sumando es despreciable con respecto al primero, por lo que no
afecta la suma. Para que quede claro a que nos referimos con "alinear el punto decimal",
hay que ver la suma de la siguiente manera:
1 . 44 (dos cifras después del punto)
+0 . 0000235 (siete cifras después del punto, pero solamente tres
significativas)
1 . 44 (se toman solamente dos después del punto)
Veamos ahora otro ejemplo: 37.59 + 8.3 = 45.9 (la calculadora da 45.89; no hay que
olvidar el redondeo).
37 . 59 (dos cifras después del punto)
+8 . 3 (una cifra después del punto)
45 . 9 (una cifra después del punto)
Con las restas hay que tener especial cuidado, ya que dos números con muchas cifras
significativas pero valores muy parecidos pueden dar un resultado con muy pocas cifras
significativas. Por ejemplo, 125.890657 – 125.890643 = 1.4 × 10–5.
125 . 890657 (seis cifras después del punto)
–125 . 890643 (seis cifras después del punto)
0 . 000014 (seis cifras después del punto, pero solamente dos
son significativas)
Como último ejemplo de esta sección, no olvidemos que en el resultado pueden quedar
ceros a la derecha. 5.57 – 2.372 = 3.20 (la calculadora da 3.198).
5 . 57 (dos cifras después del punto)
–2 . 372 (tres cifras después del punto)
3 . 20 (dos cifras después del punto)
3.
Los resultados intermedios conviene guardarlos con todas sus cifras, o por lo menos
con una cifra no significativa. Las cifras significativas hay que tomarlas en cuenta para
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reportar el resultado final de una operación con una precisión realista; sin embargo, en
los resultados intermedios conviene guardar más cifras porque con cada redondeo que se
haga se va perdiendo precisión. Si la cadena de operaciones es muy larga estos pequeños
errores se van acumulando hasta volverse significativos. Nota: si es necesario reportar
un resultado intermedio hay que reportarlo con sus cifras significativas, pero hay
también hay que apuntarlo con todas sus cifras en la hoja de operaciones (o en la
memoria de la calculadora) para su uso en cálculos posteriores.
4. Para operaciones combinadas, hay que hacer el análisis paso por paso. Veamos un
ejemplo complicado: (((5.4356 × 11.29) – 12.7) / 4.4) + 1.6456.
Paso 1: 5.4356 × 11.29 = 61.367924. Los números más pequeños son cifras no
significativas que se guardan para las siguientes operaciones.
Paso 2: 61.367924 – 12.7 = 48.667924.
Paso 3: 48.667924 / 4.4 = 11.0608918182.
Paso 4: 11.0608918182 + 1.6456 = 12.7064918182. Por lo tanto, el valor que hay que
reportar finalmente es 13 (¡no hay que olvidar el redondeo!). O, para que no haya dudas,
se puede reportar como 1.3 × 101.
5.
Finalmente, para operaciones como raíces cuadradas, potencias, logaritmos y
exponenciales no hay reglas tan sencillas. Pero como primera aproximación se pueden
usar las mismas reglas que para la multiplicación y división (¡solamente recuerda que al
elevar un número al cuadrado o al cubo lo estás elevando a una potencia entera!).
© 2000 por Iván Tubert
Sección 5. Factores de Conversión
Los factores de conversión son una herrmaienta muy útil en física, ya que garantizan que el
cambio de unidades se ha efectuado correctamente.
Sabemos que 1 pulgada es igual a 2,54 cm, algebraicamente podemos escribir
1 pulgada = 2,54 cm
luego, podemos escribir
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, o bien,
los anteriores son factores de conversión, que se puedenusar para transformar unidades de
pulgadas a centímetros, obien de centímetros a pulgadas.
Nota: Todo factor de conversión nace de una igualdad, y como todo factor de conversión es igual
a 1 se puede elevar a cualquier potencia.
Ejercicios:
1. Cuántas pulgadas son 42 cm
R=
2. Cuántos centímetros son 14,5 pulgadas
R=
3. Halle el volumen de una esfera de 2,7 cm de radio, exprese el resultado en pulgadas
cúbicas.
R=
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