Fisica geral -_excelente_para_engenharia

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Fisica geral -_excelente_para_engenharia

  1. 1. Como resolver problemas de Física Como resolver problemas de Física1ª ETAPA: LER O PROBLEMA: É preciso saber ler, quer dizer, sercapaz de imaginar a cena que o enunciado descreve. Nem sempre 1ª ETAPA: LER O PROBLEMA: É preciso saber ler, quer dizer, serentendemos tudo o que está escrito, mas podemos estar atentos aos capaz de imaginar a cena que o enunciado descreve. Nem sempredetalhes para "visualizar" corretamente o que se está dizendo. entendemos tudo o que está escrito, mas podemos estar atentos aos detalhes para "visualizar" corretamente o que se está dizendo.2ª ETAPA: FAZER UM ESQUEMA: Fazer um esquema ou desenhosimples da situação ajuda a visualizá-la e a resolvê-la. Procure indicar 2ª ETAPA: FAZER UM ESQUEMA: Fazer um esquema ou desenhoem seus esquemas informações básicas como o sentido e os valores simples da situação ajuda a visualizá-la e a resolvê-la. Procure indicarenvolvidos. Preste atenção que uma frase como "dar ré" indica o em seus esquemas informações básicas como o sentido e os valoressentido do movimento do objeto em questão. envolvidos. Preste atenção que uma frase como "dar ré" indica o sentido do movimento do objeto em questão.3ª ETAPA: MONTE AS EQUAÇÕES E FAÇA AS CONTAS: Umaequação só faz sentido se você sabe o que ela significa. Sabemos 3ª ETAPA: MONTE AS EQUAÇÕES E FAÇA AS CONTAS: Umaque é possível resolver a nossa questão porque há a conservação da equação só faz sentido se você sabe o que ela significa. Sabemosquantidade movimento total de um sistema. Quer dizer, a soma das que é possível resolver a nossa questão porque há a conservação daquantidades de movimento antes e depois do choque deverá ter o quantidade movimento total de um sistema. Quer dizer, a soma dasmesmo valor. Com isso, você consegue montar as contas. quantidades de movimento antes e depois do choque deverá ter o mesmo valor. Com isso, você consegue montar as contas.4ª ETAPA:INTERPRETE OS VALORES. (A ETAPA MAISIMPORTANTE!) Muito bem, você achou um número! Mas ainda não 4ª ETAPA:INTERPRETE OS VALORES. (A ETAPA MAISresolveu o problema. Não queremos saber somente o número, mas IMPORTANTE!) Muito bem, você achou um número! Mas ainda nãotambém o que aconteceu. O número deve nos dizer isso. Olhando resolveu o problema. Não queremos saber somente o número, maspara ele você deve ser capaz de chegar a alguma conclusão. também o que aconteceu. O número deve nos dizer isso. OlhandoDESCONFIE DOS NÚMEROS!!! Existe uma coisa que se chama erro para ele você deve ser capaz de chegar a alguma conclusão.nas contas, que pode nos levar a resultados errados. Pense bem no DESCONFIE DOS NÚMEROS!!! Existe uma coisa que se chama erroque o número está lhe dizendo e avalie se é uma coisa razoável. Se nas contas, que pode nos levar a resultados errados. Pense bem noachar que há um erro, confira suas contas e o seu raciocínio. Se o que o número está lhe dizendo e avalie se é uma coisa razoável. Senúmero insistir em lhe dizer coisas absurdas, considere a achar que há um erro, confira suas contas e o seu raciocínio. Se opossibilidade de que aquilo que você esperava não ser realmente o número insistir em lhe dizer coisas absurdas, considere aque acontece na prática. possibilidade de que aquilo que você esperava não ser realmente o que acontece na prática.Leituras de Física - MECÂNICA - Capítulo 1GREF - Grupo de Reelaboração do Ensino de Física Leituras de Física - MECÂNICA - Capítulo 1Instituto de Física da USP - junho de 1998 GREF - Grupo de Reelaboração do Ensino de Física Instituto de Física da USP - junho de 1998
  2. 2. Versão preliminar25 de março de 2002 Notas de Aula de Física01. MEDIÇÃO ..................................................................................................................... 2 ALGUMAS UNIDADES FUNDAMENTAIS: ................................................................................... 2 ALGUMAS UNIDADES DERIVADAS: ......................................................................................... 2 O MUNDO DA FÍSICA ........................................................................................................... 3 AS DIVISÕES DA FÍSICA ....................................................................................................... 4 COMO RESOLVER PROBLEMAS DE FÍSICA .............................................................................. 5
  3. 3. Prof. Romero Tavares da Silva01. Medição Para expressar quantitativamente uma lei física necessitamos de um sistema deunidades. Do mesmo modo, para medir uma grandeza física é necessário definir a priori aunidade na qual esta grandeza será medida. Existe uma enorme quantidade de grandezas físicas, mas apenas algumas sãoconsideradas fundamentais, sendo as demais derivadas delas. Tempo (segundo), espaço(metro), massa(quilograma) e carga elétrica(Coulomb) são exemplos de unidades funda-mentais. Velocidade (metro/segundo), aceleração (metro/segundo2) e força (quilogra-ma.metro/segundo2) são exemplos de unidades derivadas. Por razões históricas, o tempo foi a primeira quantidade a ser mensurada. Esteconceito surge a partir da duração do dia, da presença da luminosidade do Sol; e a suaausência: a noite. Com a evolução da humanidade e com os deslocamentos das comunidades surgeo conceito de distância, de comprimento, de temperatura e etc. A partir da necessidade de quantificar as mercadorias para troca surge o conceitode peso, e mais tarde a noção de massa. Outras grandezas surgem com o avançar da tecnologia e o desenvolvimento dométodo científico tais como pressão, intensidade luminosa, potência, carga elétrica, cor-rente elétrica, campo eletromagnético, calor específico, entropia e etc. De certo modo, cada cultura tecnológica autônoma desenvolveu um próprio siste-ma de unidades. Mas a interação entre as sociedades, de certo modo impôs que existisseuma uniformização para que as trocas acontecessem de modo transparente e inteligívelpata as partes. A Inglaterra medieval era praticamente isolada comercialmente do restoda Europa e isso contribuiu para que lá se estabelecesse um sistema de unidades dife-rente do restante: polegada, pé, milha, libra e etc.Algumas unidades fundamentais: Grandeza Sistema Internacional - SI CGS Comprimento Metro - m Centímetro - cm Tempo Segundo - s Segundo - s Massa Quilograma - kg Grama - s Carga elétrica Coulomb - CAlgumas unidades derivadas: Grandeza Sistema Internacional - SI CGS Velocidade m/s cm/s Aceleração m/s2 cm/s2 Força kg.m/s2 = Newton g.cm/s2 = Dina Energia kg.m2/s2 = Joule g.cm2/s2 = ErgCap 01 romero@fisica.ufpb.br 2
  4. 4. Prof. Romero Tavares da SilvaO mundo da Física A curiosidade do homem pode ser compreendida de várias maneiras: alguns dizemque vem de uma necessidade de sobrevivência, outros dizem que é uma forma de prazerou, ainda, no pensamento religioso, que é uma forma de conhecer a Deus. Mas uma coi-sa não podemos negar: o homem é curioso!- Por que as coisas caem?- O Sol é uma bola de fogo?- A Terra está parada? E a Lua, como ela fica lá em cima?- Quando começou o tempo?- Como surge o pensamento?- Como surgiu a vida? Existe vida depois da morte? Essas são perguntas que o homem vem se fazendo há muito tempo. Algumas sabe-mos responder, outras não. Algumas têm mais de uma resposta, a diferença está no mé-todo usado para respondê-las. Alguns métodos permitem conhecer o mundo que nos cer-ca, outros nos levam a ilusões sobre este mundo. Observe estes casos:HORÓSCOPO ESPELHO, ESPELHO MEU“A Lua energiza seu signo apesar de VOCÊ SABIA?estar em fase com Saturno com o qual “Para vermos inteiramente nosso rostoapresenta tensão. Você deve aprovei- num espelho plano é suficiente que eletar as vibrações de mercúrio que com- tenha metade do tamanho (altura) dopleta hoje seu ciclo. Assim, curta hoje rosto. Tente observar este fato.”os seus amigos.Número de sorte 23.” Os trechos escritos nos quadros acima poderiam ser encontrados num jornal oufalados pela televisão. Freqüentemente encontramos frases que propõem, sugerem, oumesmo ordenam que façamos, ou não façamos, certas coisas: “Não fume no elevador.Lei Municipal número tal”. Essa afirmação tenta nos dizer que se fumarmos no elevadorestaremos sujeitos às penas da tal lei. Voltemos aos quadros. O primeiro nos diz algumas coisas a respeito da situaçãodos astros em que podemos, ou não, acreditar. Mais ainda, nos fala para “curtir” os nos-sos amigos, o que é bom, e, indiretamente, propõe que joguemos no número 23. Dentrodo quadro encontramos palavras que parecem científicas: energizar, vibração. O textousa essa linguagem para tentar nos convencer de que tudo que foi escrito é verdade. Masos horóscopos são produtos da Astrologia que não é uma ciência. Suas definições nãosão exatas e variam de astrólogo para astrólogo. Na verdade o que foi dito é a opinião dequem fez o horóscopo e o astrólogo pode, ou não, acertar as suas previsões. No segundoquadro estamos no campo da ciência. Ele procura nos descrever um. Se uma pessoa, emqualquer lugar do mundo, seguir as instruções e se olhar num espelho que tenha, pelomenos, metade da altura do seu rosto, conseguirá ver o rosto por inteiro. Não estamosmais diante de uma opinião, mas sim de um fato, que pode ser verificado. Devemos ouvir o que as pessoas têm a dizer, porém devemos ser capazes de jul-gar o que foi dito. Não é porque “saiu no jornal” ou “deu na TV” que é verdade! Por outrolado, devemos ter cuidado, pois julgar não é discordar de tudo, o importante é fazer per-Cap 01 romero@fisica.ufpb.br 3
  5. 5. Prof. Romero Tavares da Silvaguntas, é ter curiosidade e ir em busca dos fatos e suas explicações. A ciência e seusmétodos podem nos ajudar a responder muitas perguntas, a tomar posições e a fazer jul-gamentos.Curso de Física do 2º grau - Capítulo 1Telecurso 2000As divisões da Física A Física estuda vários tipos de fenômenos da Natureza. Para facilitar o seu estudocostuma-se dividi-la. Até o início do século as principais partes da Física eram: a Mecâni-ca, a Termodinâmica e o Eletromagnetismo. No século XX, a partir de grandes descobertas, surgiram novos ramos, entre eles:Física Atômica e Nuclear Física Atômica e Nuclear Física Atômica e Nuclear Física Atô-mica e Nuclear Física Atômica e Nuclear, Mecânica Quântica Mecânica Quântica Mecâni-ca Quântica Mecânica Quântica Mecânica Quântica, Relatividade. Os novos conceitosintroduzidos neste século provocaram uma verdadeira revolução na Física. Hoje é comumtambém dividir a Física em Clássica (antes de 1900) e Moderna (após 1900). O quadro a seguir mostra algumas perguntas que podem surgir no nosso dia-a-dia,e identifica qual o ramo da Física que trata de respondê-las.PERGUNTAS QUEM RESPONDE ALGUNS CONCEITOS- Por que somos jogados para MECÂNICA Forçafrente do ônibus quando ele freia Espaçobruscamente? Inércia- Por que nos dias de chuva é Tempomais difícil freiar um automóvel? Velocidade- Como um navio consegue boiar? Massa Aceleração Energia Densidade- Como funciona um termômetro? TERMODINÂMICA Calor- Por que o congelador fica na Energia térmicaparte superior da geladeira? Pressão- O que ocorre com a naftalina, Volumeque “some” do fundo da gaveta? Dilatação Temperatura Mudanças de estado- Como vemos os objetos? ÓPTICA Raio de luz- Como os óculos ajudam a melho- Reflexãorar a visão? Refração- Como se forma a nossa imagem Lentesnum espelho? EspelhosCap 01 romero@fisica.ufpb.br 4
  6. 6. Prof. Romero Tavares da Silva- O que é a corrente elétrica? ELETROMAGNETISMO Carga elétrica- Como funciona um chuveiro elé- Corrente elétricatrico? Campos elétricos- Para que serve um fusível? Campos magnéticos Ondas eletromagnéticas- O que é, de fato, a luz? FÍSICA ATÔMICA Átomos- O que compõe todas as coisas? FÍSICANUCLEAR Núcleos- O que são microondas? Fótons ElétronsCurso de Física do 2º grau - Capítulo 1Telecurso 2000Como resolver problemas de Física1ª ETAPA: LER O PROBLEMA: É preciso saber ler, quer dizer, ser capaz de imaginar acena que o enunciado descreve. Nem sempre entendemos tudo o que está escrito, maspodemos estar atentos aos detalhes para "visualizar" corretamente o que se está dizendo.2ª ETAPA: FAZER UM ESQUEMA: Fazer um esquema ou desenho simples da situaçãoajuda a visualizá-la e a resolvê-la. Procure indicar em seus esquemas informações bási-cas como o sentido e os valores envolvidos. Preste atenção que uma frase como "dar ré"indica o sentido do movimento do objeto em questão.3ª ETAPA: MONTE AS EQUAÇÕES E FAÇA AS CONTAS: Uma equação só faz sentidose você sabe o que ela significa. Sabemos que é possível resolver a nossa questão por-que há a conservação da quantidade movimento total de um sistema. Quer dizer, a somadas quantidades de movimento antes e depois do choque deverá ter o mesmo valor. Comisso, você consegue montar as contas.4ª ETAPA: INTERPRETE OS VALORES. (A ETAPA MAIS IMPORTANTE!) Muito bem,você achou um número! Mas ainda não resolveu o problema. Não queremos saber so-mente o número, mas também o que aconteceu. O número deve nos dizer isso. Olhandopara ele você deve ser capaz de chegar a alguma conclusão. DESCONFIE DOSNÚMEROS!!! Existe uma coisa que se chama erro nas contas, que pode nos levar a re-sultados errados. Pense bem no que o número está lhe dizendo e avalie se é uma coisarazoável. Se achar que há um erro, confira suas contas e o seu raciocínio. Se o númeroinsistir em lhe dizer coisas absurdas, considere a possibilidade de que aquilo que vocêesperava não ser realmente o que acontece na prática.Leituras de Física - MECÂNICA - Capítulo 1GREF - Grupo de Reelaboração do Ensino de FísicaInstituto de Física da USP - junho de 1998Cap 01 romero@fisica.ufpb.br 5
  7. 7. Versão preliminar6 de setembro de 2002 Notas de Aula de Física02. VETORES E ESCALARES........................................................................................... 2 UM POUCO DE TRIGONOMETRIA............................................................................................ 2 MÉTODO GEOMÉTRICO ........................................................................................................ 2 MÉTODO ANALÍTICO ............................................................................................................ 3 MULTIPLICAÇÃO DE VETORES............................................................................................... 3 Multiplicação de um vetor por um escalar..................................................................... 4 Produto escalar ............................................................................................................. 4 Produto vetorial ............................................................................................................. 5 SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS ....................................................................................... 7 02 .................................................................................................................................. 7 06 .................................................................................................................................. 7 32 .................................................................................................................................. 8 39 .................................................................................................................................. 8 45 .................................................................................................................................. 9 46 .................................................................................................................................. 9 47 ................................................................................................................................ 10 51 ................................................................................................................................ 10
  8. 8. Prof. Romero Tavares da Silva02. Vetores e escalares Algumas grandezas físicas ficam completamente definidas quando informamos umnúmero e uma unidade. Quando dizemos que a temperatura de uma pessoa é 370C ainformação está completa. A temperatura é uma grandeza escalar. Se dissermos que avelocidade de um automóvel é de 50km/h não definimos completamente a informação.Não foi dito em que direção e sentido esse corpo se movimentava. A necessidade dessainformação complementar - direção e sentido - caracteriza a velocidade como um vetor. Os vetores são representados por setas, e costuma-se representar um vetor commódulo maior que outro por uma seta de tamanho maior. Usamos basicamente de doismodos de representar os vetores, o método geométrico e o método analítico.Um pouco de trigonometria Vamos considerar um triângulo retângulo com hipote-nusa a e catetos b e c respectivamente. O teorema dePitágoras diz que: a2 = b2 + c2 As funções seno e cosseno são definidas como: α c a c senθ = = cos α a θ b b cos θ = = sen α a E do Teorema de Pitágoras, encontramos que: sen 2 θ + cos 2 = 1 senθ c cos α = tan θ = = cot α = cos θ a sen αMétodo geométrico No método geométrico, a visualização dos vetores fica mais óbvia, mas não é ade-quado para a operações com diversos vetores. A força é uma grandeza vetorial. Método geométricoQuando consideramos duas forças atuandosobre um dado corpo, o efeito resultante será !igual à atuação de uma única força que seja a ! !a soma vetorial das duas forças menciona- b cdas. A soma desses dois vetores pode ser ! ! a befetuada usando-se a regra do paralelogra-mo. ! ! ! c =a+bCap 02 romero@fisica.ufpb.br 2
  9. 9. Prof. Romero Tavares da SilvaMétodo analítico O método analítico consiste basicamente em definir um sistema de coordenadascartesianas e decompor os vetores segundo as suas componentes nestes eixos. Vamos considerar um sistema de coordenadasbidimensional, definido pelos eixos x ! e y , comomostrados na figura ao lado. O vetor a tem compo-nentes cartesianas ax e ay que tem a forma: y ax = a . cosθ ay = a . senθ ! aOu de maneira inversa: ay θ a = a +a 2 2 ax x x y ay tan θ = ax Uma maneira de representar vetores é através de suas componentes num dadosistema de coordenadas, como foi antecipado na figura anterior. Desse modo: ! a = iˆa x + ˆa y jonde iˆ e ˆ são vetores unitários (ou versores) que apontam nas direções dos eixos x je y respectivamente e têm módulos iguais a um. A soma de dois vetores será então definida como: ! a = iˆa x + ˆa j y " ! !  c = iˆ (a x + b x ) + ˆ (a y + b y ) ! c =a+b onde ! e ⇒ j b = iˆb + ˆb j y  xou seja: c x = a x + b x !  c = iˆc x + ˆc y j onde  e c = a + b  y y yMultiplicação de vetores As operações com vetores são utilizadas de maneira muito ampla na Física, paraexpressar as relações que existem entre as diversas grandezas.Cap 02 romero@fisica.ufpb.br 3
  10. 10. Prof. Romero Tavares da SilvaMultiplicação de um vetor por um escalar ! ! Sejam dois vetores a e b e um escalar k. Defi-nimos a multiplicação mencionada como: ! ! b = ka ! ! ! ! a kaO vetor k a tem a mesma direção do vetor a . Terámesmo sentido se k for positivo e sentido contrário sek for negativo.Produto escalar ! Define-se o produto escalar de dois vetores a e!b como a operação: ! a ! ! ϕ a ⋅ b = ab cos ϕ !onde ϕ é o ângulo formado pelos dois vetores. b Podemos dizer que o produto escalar de dois vetores é igual ao módulo do primeirovezes a componente do segundo no eixo determinado pelo primeiro, ou vice-versa. Issopode-se resumir na propriedade : ! ! ! ! a ⋅b = b ⋅a Uma aplicação do produto escalar é a definição de trabalho W executado por umaforça constante que atua ao longo de um percurso d: ! ! W = F .d = Fd cos θ Usando o conceito de vetor unitário encontramos que: iˆ ⋅ iˆ = iˆ iˆ cos 0 0 = 1 z ˆ⋅ j =1 j ˆ k ⋅k =1 ˆ ˆ e de modo equivalente: ˆ k iˆ ⋅ ˆ = iˆ ˆ cos 90 0 = 0 j j iˆ ˆ j y iˆ ⋅ k = 0 ˆ x ˆ⋅k = 0 j ˆ Podemos utilizar a decomposição de um vetor segundo as suas componentes car-tesianas e definir o produto escalar:Cap 02 romero@fisica.ufpb.br 4
  11. 11. Prof. Romero Tavares da Silva ! a = iˆa x + ˆa y + ka z j ˆ ! b = iˆb x + ˆb y + kb z j ˆ ! ! ( )( a ⋅ b = iˆa x + ˆa y + ka z ⋅ iˆb x + ˆb y + kbz j ˆ j ˆ )e portanto: ! ! a ⋅ b = a x b x + a y by + a z bz Fica fácil perceber que: ! ! a ⋅ a = a 2 = a x + a y + a z2 2 2 !! ! ! a.b Como a ⋅ b = ab cos ϕ , temos que cos ϕ = , e assim poderemos calcular o abângulo entre os dois vetores, em função de suas componentes cartesianas: a x b x + a y by + az bz cos ϕ = a x + a y + a z b x2 + b y2 + b z2 2 2 2Produto vetorial ! Define-se o produto vetorial de dois vetores a e!b como a operação: ! ! ! ! c c = a×b ! be módulo c é definido como: ϕ c = ab sen ϕ ! a !onde c é um vetor perpendicular ao plano defino pe- ! !los vetores a e b e ϕ é o ângulo formado por essesdois últimos dois vetores. ! Uma aplicação do produto vetorial é a definição da força F que atua em uma car- !ga elétrica q que penetra com velocidade v numa região que existe um campo magnéti- !co B : ! ! ! F = qv ×Bou ainda: F = q v B senϕCap 02 romero@fisica.ufpb.br 5
  12. 12. Prof. Romero Tavares da Silva Usando a definição de produto vetorial, encon- ztramos que: iˆ × ˆ = k = − ˆ × iˆ j ˆ j j × k = iˆ = −k × ˆ ˆ ˆ ˆ j ˆ k k × iˆ = j = −iˆ × k ˆ ˆ ˆ iˆ ˆ j y iˆ × iˆ = j × j = k × k = 0 ˆ ˆ ˆ ˆ x De modo genérico, podemos definir o produto vetorial como: ! ! ! ( )( c = a × b = iˆa x + ˆa y + ka z × iˆb x + ˆb y + kb z j ˆ j ˆ )e usando os resultados dos produtos vetoriais entre os vetores unitários, encontramosque: ! c = iˆ(a y b z − a z b y ) + ˆ(a z b x − a x bz ) + k (a x b y − a y b x ) j ˆ Usando as propriedades de matrizes, encontramos que o produto vetorial pode serexpresso como o determinante da matriz definida a seguir:  iˆ ˆ j k ˆ ! ! !   c = a × b =  ax ay az    bx   by bz  Cap 02 romero@fisica.ufpb.br 6
  13. 13. Prof. Romero Tavares da SilvaSolução de alguns problemasCapítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição ! !02 Quais são as propriedades dos vetores a e b tais que: ! ! ! a) a+b =c e a+b=c Temos que: ! ( )( ) ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! c ⋅ c = a + b ⋅ a + b = a ⋅ a + b ⋅ b + 2a ⋅ b c b ou seja: c 2 = a 2 + b 2 + 2ab cos θ ! θ a Para que c = a + b é necessário que θ = 0 pois ! ! c2 = a2 + b2 + 2ab = (a + b)2 a b ! ! Portanto a b ! ! ! ! b) a+b =a−b Da equação acima, temos que: ! ! ! ! ! ! a − a = b + b ∴ 2b = 0 ∴ b = 0 ! ! ! c) a+b =c e a2 + b2 = c 2 Como c 2 = a 2 + b 2 + 2ab cos θ , para que ! 2 2 2 c = a + b + 2ab = (a + b) 2 b devemos ter θ π ! ! ! θ = portanto a ⊥ b a 2Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição ! ! O vetor a tem módulo de 3 unidades e está dirigido para Leste. O vetor b está diri-06 gido para 350 a Oeste do Norte e tem módulo 4 unidades. Construa os diagramas ! ! ! ! vetoriais para ! a + b e b - a . Estime o módulo e a orientação dos vetores ! ! ! a + b e a - b a partir desse diagramas. ! a = iˆa x  y ! ˆ b = i b x + ˆb y  j ! b a x = a = 3 θ  Oeste Leste b x = −b senθ = −4 sen 35 = −2,29 0 b = b cos θ == 4 cos 35 0 = 3,27 !  y a xCap 02 romero@fisica.ufpb.br 7
  14. 14. Prof. Romero Tavares da Silva a) ! ! ! c x = a x + b x c =a+b  c y = a y + b y cx = 3 - 2,29 = 0,71 cy = 3,27 c = c x + c y = 3,34 2 2 b) ! ! ! d x = b x − a x d = b −a  d y = b y − a y dx = -2,29 - 3 = -5,29 dy = 3,27 d = d x + d y2 = 6,21 2Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição Prove que dois vetores devem ter o mesmo módulo para que sua soma seja perpen-32 dicular á sua diferença. (a + b )⋅ (a − b ) = a ! ! ! ! 2 − b2 = 0 ⇒ a=bCapítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição39 Mostre que num sistema de coordenadas destrógiro: iˆ ⋅ iˆ = ˆ ⋅ ˆ = k ⋅ k = 1 j j ˆ ˆ e iˆ ⋅ ˆ = ˆ ⋅ k = k ⋅ iˆ = 0 j j ˆ ˆ ! ! A definição de produto escalar é tal que: a ⋅ b = a b cos θ , onde θ é o ângulo formado pelos vetores. Logo: iˆ ⋅ iˆ = iˆ iˆ cos 0 0 = 1.1.1 = 1 e iˆ ⋅ ˆ = iˆ ˆ cos 90 0 = 1.1.0 = 0 j j Os outros itens seguem-se como extensão desses anteriores.Cap 02 romero@fisica.ufpb.br 8
  15. 15. Prof. Romero Tavares da SilvaCapítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição45 A soma de três vetores é igual a zero, como mostra a α ! figura. Calcule: ! c b θ ! a ! ! a) a ⋅ b = ? ! ! π a ⋅ b = a b cos = 0 ! ! 2 b) a ⋅ c = - a c cosθ = -a c (a/c) = - a2 ! ! c) b ⋅ c = - b c cosα = - b c (b/c) = - b2 Podemos concluir que: ! ! ! c +a+b =0 ! ! ! ! ! ! c ⋅c + c ⋅b + c ⋅a = 0 logo: c2 = a2 + b2Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição46 Para o problema anterior, calcule: ! ! a) a × b = ? ! b Suponhamos que o eixo z seja! perpendicular ao pla- ! no definido pelos vetores a e b . β ! ! a × b = z a b sen(π/2) = z a b ˆ ˆ ! a ! ! b) a × c = ? θ ! a ! ! ! a × c = a c senθ c ! ! a × c = (- z ) a c senθ = - z a c (b/c) = - z a b ˆ ˆ ˆ ! ! c) b×c =? ! ! ! b × c = b c senα b ! ! b × c = z b c senα = z b c (a/c) ˆ ˆ ! ! b×c = z a b ˆ ! c αCap 02 romero@fisica.ufpb.br 9
  16. 16. Prof. Romero Tavares da SilvaCapítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição47 Produto escalar em função das coordenadas: Suponha que dois vetores sejam representados em termos das coordenadas como: ! ! a = iˆa x + ˆa y + ka z e b = iˆb x + ˆb y + kb z j ˆ j ˆ mostre que: ! ! a ⋅ b = a x b x + a y by + a z bz Por definição temos que: ! ! ( )( a ⋅ b = iˆa x + ˆa y + ka z ⋅ iˆb x + ˆb y + kb z j ˆ j ˆ ) Usando os resultados do problema 39, resolvido anteriormente, temos a resposta pedida. ! ! a ⋅ b = a x b x + a y by + a z bzCapítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição ! !51 Dois vetores são dados por a = 3iˆ + 5 ˆ e b = 2iˆ + 4 ˆ . Calcule: j j ! ! a) a × b =?  iˆ ˆ k  j ˆ ! !   a × b =  3 5 0  = k (3.4 − 5.2) = 2k ˆ ˆ  2 4 0    ! ! b) a ⋅ b =? ! ! a ⋅ b = 3.2 + 5.4 = 26 c) (a + b )⋅ b =? ! ! ! (a + b )⋅ b = (5iˆ + 9 jˆ)⋅ (2iˆ + 4 jˆ)= 5.2 + 9.4 = 46 ! ! !Cap 02 romero@fisica.ufpb.br 10
  17. 17. Versão preliminar6 de setembro de 2002 Notas de Aula de Física03. MOVIMENTO RETILÍNEO ............................................................................................ 2 POSIÇÃO E DESLOCAMENTO ................................................................................................ 2 VELOCIDADE MÉDIA E VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA ............................................................... 3 VELOCIDADE INSTANTÂNEA E VELOCIDADE ESCALAR .............................................................. 3 ACELERAÇÃO ..................................................................................................................... 4 ACELERAÇÃO CONSTANTE - UM CASO ESPECIAL .................................................................... 4 Exemplo: ....................................................................................................................... 6 ACELERAÇÃO DE QUEDA LIVRE ............................................................................................. 7 SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS ....................................................................................... 8 15 .................................................................................................................................. 8 19 ................................................................................................................................ 10 34 ................................................................................................................................ 11 38 ................................................................................................................................ 11 41 ................................................................................................................................ 11 43 ................................................................................................................................ 12 45 ................................................................................................................................ 12 54 ................................................................................................................................ 13 57 ................................................................................................................................ 14 61 ................................................................................................................................ 14 69 ................................................................................................................................ 15 78 ................................................................................................................................ 15 79 ................................................................................................................................ 16 82 ................................................................................................................................ 17
  18. 18. Prof. Romero Tavares da Silva03. Movimento retilíneo Vivemos num mundo que tem com uma das principais característica o movimento.Mesmo corpos que aparentemente estão em repouso, só estão neste estado em relaçãoa um certo referencial. Quando estamos deitados em nossa cama, tudo à nossa volta pa-rece estar em repouso. E de fato, tudo está em repouso em relação ao nosso corpo. Masnão está em repouso em relação à Lua, ou ao Sol. Se estivéssemos deitado em umacama de um vagão de um trem dormitório, todos os objetos do quarto ainda nos pareceri-am parados, apesar desse conjunto se mover em relação aos trilhos. Daí concluirmos quemovimento (ou repouso) é uma característica de um corpo em relação a um certo referen-cial específico Quando um objeto real está em movimento, além de sua translação ele tambémpode tanto girar quanto oscilar. Se fôssemos sempre considerar essas características, omovimento de um corpo seria sempre um fenômeno bastante complicado de se estudar.Acontece, que em diversas situações o fenômeno mais importante é a translação. Dessemodo, sem incorrer em grande erro, podemos isolar este tipo movimento e estudá-locomo o único existente. Devemos ainda considerar que corpos que apresentam apenas o movimento detranslação podem ser estudados como partículas, porque todas as partes do corpo comesse movimento descreverão a mesma trajetória. Num estágio inicial, o estudo ainda pode ser mais simplificado porque matemati-camente, uma partícula é tratada como um ponto, um objeto sem dimensões, de tal ma-neira que rotações e vibrações não estarão envolvidas em seu movimento. Em resumo: vamos tratar como pontos materiais (ou partículas) os corpos que te-nham apenas movimento de translação, e o caso mais simples será quando ele apresen-tar um movimento retilíneo.Posição e deslocamento A localização de uma partícula é fundamentalpara a análise do seu movimento. O seu movimento P Qé completamente conhecido se a sua posição no xi xfespaço é conhecida em todos os instantes. Vamos considerar que esse movimento xcomponha-se de uma trajetória retilínea que tem Qcomo posição inicial o ponto P com coordenada xi xfno instante ti e posição final com coordenada xfno instante tf . O deslocamento ∆x é uma medida da dife-rença entre as posições inicial xi que a partículaocupou e a sua posição final xf xi P α ∆x = xi - xfe o intervalo de tempo é expresso como: ∆t = tf - ti ti tf tCap 03 romero@fisica.ufpb.br 2
  19. 19. Prof. Romero Tavares da Silva À medida que o intervalo de tempo ∆t diminui o ponto Q se aproxima do ponto P,na figura anterior. No limite quando ∆t → 0 , quando o ponto Q tende ao ponto P , a retaque os une passa a coincidir com a própria tangente à curva no ponto Q , ou sejav = tanα . Assim, a velocidade instantânea em um dado ponto do gráfico espaço versustempo é a tangente à curva neste ponto específico.Velocidade média e velocidade escalar média A velocidade de uma partícula é a razão segundo a qual a sua posição varia com otempo. Podemos analisar um movimento de diversas maneiras, dependendo da sofistica-ção dos nossos instrumentos de medida. A velocidade escalar média é definida como a razão entre a distância percorrida eo tempo gasto no percurso: distância percorrida v = ∆t Se uma viagem entre duas cidades distantes de 120km durou 1,5h nós dizemosque o percurso foi vencido com uma velocidade escalar média de 80km/h . Na vida coti-diana essa informação é suficiente para descrever uma viagem. Já a velocidade média é definida como a razão entre o deslocamento e o temponecessário para esse evento. ∆x v = ∆t Para calcularmos a velocidade média da viagem entre as duas cidades, devería-mos saber a distância em linha reta entre elas. Essa distância seria o deslocamento,que foi definido anteriormente. No movimento unidimensional percurso e deslocamento são conceitos pratica-mente idênticos, de modo que só existirá uma diferença marcante entre as velocidadesmédia e escalar média nos movimentos bidimensional ou tridimensional. Percurso é adistância percorrida por uma partícula num certo intervalo de tempo; enquanto que deslo-camento é a diferença entre as posições inicial e final da partícula no intervalo de tempoconsiderado.Velocidade instantânea e velocidade escalar A velocidade instantânea v nos dá informações sobre o que está acontecendonum dado momento. Ela é definida como: ∆x dx v = Lim = ∆t → 0 ∆t dtCap 03 romero@fisica.ufpb.br 3
  20. 20. Prof. Romero Tavares da Silva Como foi mencionado, a velocidade média representa o que aconteceu entre o iní-cio e o fim de uma viagem. Já a velocidade instantânea em um dado momento representao que aconteceu naquele momento. Colecionando as velocidades instantâneas de cadaum dos momentos temos uma informação completa de como variou a velocidade ao longode toda viagem. A velocidade escalar é o módulo da velocidade é a velocidade sem qualquer indi-cação de direção e sentido.No movimento retilíneo e uniforme a partícula se move com velocidade constante. A suacaracterística é que a velocidade em qualquer instante é igual à velocidade média. Por-tanto a equação que define este tipo de movimento é: X=vtAceleração A aceleração de uma partícula é a razão segundo a qual a sua velocidade variacom o tempo. Ela nos dá informações de como a velocidade está aumentando ou dimi-nuindo à medida que o corpo se movimenta. Para analisar a variação da velocidade durante um certo intervalo de tempo ∆t nósdefinimos a aceleração média deste intervalo como: vf − vi ∆v a = = tf − ti ∆t Quando queremos saber o valor da aceleração em cada instante do intervalo con-siderado, deveremos calcular a aceleração instantânea: ∆v dv a = Lim = ∆ → t 0 ∆t dt Quando um corpo em movimento está aumentando a sua velocidade temos que asua aceleração será positiva pois: ∆v Vf > vi ⇒ ∆v = vf - vi > 0 ⇒ a = 〉0 ∆t Se o corpo estiver diminuindo a sua velocidade a sua aceleração será negativa.Aceleração constante - um caso especial O exemplo anterior do movimento de um automóvel que varia a sua velocidade éuma situação típica de translação com aceleração constante em alguns trechos e nula emoutros. Vamos considerar o movimento com velocidade constante de uma partícula, entreum instante inicial t0 e um instante posterior t . No instante inicial t0 a partícula seCap 03 romero@fisica.ufpb.br 4
  21. 21. Prof. Romero Tavares da Silvaencontrava na posição inicial x0 com velocidade inicial v0 e no instante t ela se encon-trava na posição x com velocidade v . A velocidade média da partícula neste intervalo entre t0 e t é dada por: x − x0 v + v 0 v = = t − t0 2onde a última igualdade é válida apenas para movimentos com aceleração constante,como esse caso específico. Podemos colocar as equações anteriores com a seguinte forma que define x : v + v0  x = x 0 + v (t − t 0 ) = x 0 +  (t − t 0 )  2  Como a aceleração é constante, podemos usar a definição de aceleração médiaque é a própria aceleração constante neste caso presente: v − v0 a=a = t − t0ou seja: v = v 0 + a(t − t 0 )ou ainda v −v0 (t − t ) = 0 a Usando este valor de v na equação que define x , encontraremos:  t − t0   t − t0  x = x0 + v 0   + [v 0 + a(t − t 0 )]   2   2 e rearrumando os vários termos teremos: x = x 0 + v 0 (t − t 0 ) + a(t − t 0 ) 1 2 2 Usando o valor de ( t - t0 ) na equação que define x encontraremos:  v + v 0  v − v 0  x = x0 +     2  a ou seja: v 2 −v0 2  x − x0 =   2a    e finalmente: v 2 = v 0 + 2a(x − x 0 ) 2Cap 03 romero@fisica.ufpb.br 5
  22. 22. Prof. Romero Tavares da Silva Se estivéssemos considerando um movimento tridimensional, com aceleraçãoconstante nas três direções, poderíamos estender facilmente os resultados anteriorespara as seguintes equações vetoriais:  ! ! ! 1! 2  r = r 0 + v 0 t + 2 at  ! ! !  v = v 0 + at ! ! ! v 2 = v 2 + 2a ⋅ (r − r )  0 0 onde fizemos o instante inicial t0 = 0 . A última equação é conhecida como equação deTorricelli.Exemplo: Um motorista viaja ao longo de uma estrada reta desenvolvendo uma velocidadede 15m/s quando resolve aumentá-la para 35m/s usando uma aceleração constante de4m/s2 . Permanece 10s com essa velocidade, quando resolve diminui-la para 5m/susando uma aceleração constante de 10m/s2 . Trace os gráficos de x versus t , v versus t e a versus t para o todo o movimentomencionado. 700 40 600 35 500 30 25 400 x 20 v 300 15 200 10 100 5 0 0 0 5 10 15 20 25 30 35 0 5 10 15 20 25 30 35 t t 6 4 2 0 0 5 10 15 20 25 30 35 -2 a -4 -6 -8 -10 -12 tCap 03 romero@fisica.ufpb.br 6
  23. 23. Prof. Romero Tavares da SilvaTabela associada ao exemplo: Intervalo Aceleração Velocidade Espaço 0 → 5s Nula Constante Reta ascendente 5s → 10s Positiva Reta ascendente Parábola com concavidade voltada para cima 10s → 20s Nula Constante Reta ascendente 20s → 23s Negativa Reta descendente Parábola com concavidade voltada para baixo > 23s Nula Constante Reta ascendenteAceleração de queda livre Podemos particularizar o conjunto de equações vetoriais anteriormente deduzidas,para a situação do movimento de queda livre. Para todos os efeitos práticos, um corpo que cai próximo à Terra, se comportacomo se a superfície fosse plana e a aceleração da gravidade g fosse constante. Iremosusar valor de g =9,8m/s2 , e considerar o eixo z apontando para cima da superifície daTerra. Para a aceleração, temos que: z ! ! a = g = −kg ˆ ! Para o espaço percorrido, temos que: g ˆ ˆ ˆ 1 ˆ 2 ( ) kz = kz 0 + kv 0 t + − kg t 2 gt 2 z = z0 + v 0 t − 2Para a velocidade desenvolvida pela partícula, temos que: ˆ ˆ ( kv = kv 0 + − kg t ˆ )ou seja: v = v0 - gte também: 2 ˆ( )( v 2 = v 0 + 2 − kg ⋅ kz − kz 0 ˆ ˆ ) v 2 = v 0 − 2g (z − z 0 ) 2Esta última equação é conhecida como equação de Torricelli.Cap 03 romero@fisica.ufpb.br 7
  24. 24. Prof. Romero Tavares da SilvaSolução de alguns problemasCapítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição15 Dois trens trafegam, no mesmo trilho, um em direção ao outro, cada um com uma velocidade escalar de 30km/h . Quando estão a 60km de distância um do outro, um pássaro, que voa a 60km/h , parte da frente de um trem para o outro. Alcançando o outro trem ele volta para o primeiro, e assim por diante. (Não temos idéia da razão do comportamento deste pássaro.) Vamos considerar d = 60km e d1 a distância que o trem da direita viaja enquanto o pássaro decola dele e atinge o tem da esquerda e t1 o tempo gasto nesta primeira viagem.. A velocidade de cada trem é v = 30km/h e a velocidade do pássaro é vp = 60km/h . Para a primeira viagem do pássaro, temos: d D1 d1 d d = D1 + d1 = vpt1 + vt1 = ( vp + v )t1 ⇒ t1 = v +vp Para a segunda viagem, temos: d2 D2 d = 2d1 + ( d2 + D2 ) = 2vt1 + ( vpt2 + vt2 )   t 2 (v + v p ) = d − 2vt 1 = d − 2v d 2v = d 1 −  v +v   v +vp  p  d     t2 = 1 − 2v  ∴ t 2 = t 1 1 − 2v  v +vp  v +v   v +v   p   p  Para a terceira viagem, temos D3 d3 d = 2d1 + 2d2 + ( d3 + D3 )Cap 03 romero@fisica.ufpb.br 8
  25. 25. Prof. Romero Tavares da Silva d3 + D3 = d - 2d1 - 2d2 ∴ vt3 + vpt3 = d - 2vt1 - 2vt2 d v v v v t3 = − 2t 1 − 2t 2 = t 1 − 2t 1 − 2t 2 v +vp v +vp v +vp v +vp v +vp ou ainda  2v  v v t 3 = t 1 1 −  2t − 2 v +v = 2 − 2 v +v t 2t  v +v  p  p p ou seja:  2v  t 3 = t 2 1 −   v +v   p  Por outro lado, já mostramos que:  2v  t 2 = t 1 1 −   v +v   p  d 60 2 t1 = = = h = 40 min v + v p 30 + 60 3 Podemos inferir então que:  2v  t N = t N −1 1 −   v +v   p  ou seja: N −1  2v  t N = t 1 1 −   v +v   p  Concluímos que tN é o ene-ésimo termo de uma progressão geométrica cujo 2v 2.30 2 1 primeiro termo a1 = t1 = 40min e razão q = 1 − = 1− = 1− = . v +vp 30 + 60 3 3 a) Quantas viagens o pássaro faz de um trem para o outro, até a colisão? As viagens do pássaro ficarão cada vez com um percurso menor até tornarem-se infinitesimais, por isso serão necessárias um número infinito de viagens de um trem para o outro. b) Qual a distância total percorrida pelo pássaro? O tempo necessário para o percurso será a soma dos termos da progressão: a1 (1 − q N ) S= 1− q e quando |q| < 1 e N tende a infinito:Cap 03 romero@fisica.ufpb.br 9
  26. 26. Prof. Romero Tavares da Silva a1 t1 v + vp   d  v + v p  d S= = = t1  =  = 1− q 2v  2v  v + v  2v  2v    p   v +vp ou seja d 60 t= = = 1h 2 v 2.30 Dp = vpt = 60km/h . 1h = 60km Uma forma direta de resolver este problema, mas que no entanto perde-se todo o detalhamento dos acontecimentos, é calcular o tempo necessário para a colisão dos dois trens: d 60 d = ( v + v ) t = 2vt ⇒ t = = = 1h 2 v 2.30 Esse tempo t é aquele que o pássaro tem para as suas viagens, logo a distância percorrida será: Dp = vp t = 60kmCapítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 1019 Qual a posição final de um corredor, 8 cujo gráfico velocidade x tempo é v(m/s) dado pela figura ao lado, 16 segun- 6 dos após ter começado a correr? 4 2 A distância percorrida por uma partí- cula é a área abaixo da curva num 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 gráfico v versus t . Podemos de- monstrar a afirmação anterior de t(s) vários modos, por exemplo: Método 1: xf tf Área = d = ∫ dx = ∫ v dt xi ti d = Área = A1 + A2 + A3 + A4 onde A1 é a área do triângulo que tem como base (0-2), A2 é a área do retângulo que tem com base (2-10) , A3 é a área do paralelogramo que tem como base (10- 12) e A4 é a área do retângulo que tem como base (11-16). d= 1 (2x 8) + (8 x8 ) +  1 (2 x 4) + (2x 4) + (4 x 4)   2 2  d = 100mCap 03 romero@fisica.ufpb.br 10
  27. 27. Prof. Romero Tavares da Silva Método 2: Usar as equações da cinemática diretamente para cada percurso, e cal- cular as distâncias correspondentes.Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição A cabeça de uma cascavel pode acelerar 50m/s2 no instante do ataque. Se um car-34 ro, partindo do repouso, também pudesse imprimir essa aceleração, em quanto tem- po atingiria a velocidade de 100km/h ? 10 3 m v = 100km/h = 10 2 ≅ 27m/s 3600s v 27 m / s v = v0 + at ; t = = a 50 m / s 2 t = 0,54sCapítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição38 Um jumbo precisa atingir uma velocidade de 360km/h para decolar. Supondo que a aceleração da aeronave seja constante e que a pista seja de 1,8km , qual o valor mínimo desta aceleração? v = 360km/h v = (v0) + 2ad ∴ a = v /2d 2 2 2 d = 1,8km v0 = 0 2 2 a = 36000 km/h = 2,7 m/s se g = 9,8m/s2 teremos a = 0,27 gCapítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição41 Um carro a 97km/h é freiado e pára em 43m . a) Qual o módulo da aceleração (na verdade, da desaceleração) em unidades SI e em unidades g ? Suponha que a aceleração é constante. v2 = (v0)2 - 2ad ∴ a = (v0)2/2d = 8,28m/s2 v0 = 96km/h = 26,7 m/s d = 43m Se g = 9,8m/s2 temos que a = 0,84 g v=0 b) Qual é o tempo de frenagem? Se o seu tempo de reação treação , para freiar é de 400ms , a quantos "tempos de reação" corresponde o tempo de frenagem? v = v0 - at ∴ t = v0/a ou seja: t = 3,22s treação = 400ms = 400 . 10-3s = 0,4s T = t + treação T= 3,62sCap 03 romero@fisica.ufpb.br 11
  28. 28. Prof. Romero Tavares da SilvaCapítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição43 Em uma estrada seca, um carro com pneus em bom estado é capaz de freiar com uma desaceleração de 4,92m/s2 (suponha constante). a) Viajando inicialmente a 24,6ms , em quanto tempo esse carro conseguirá parar? v = v0 - at ∴ t = v0/a = 24,6/4,92 a = 4,92m/s2 v0 = 24,6 m/s t = 5s v=0 b) Que distância percorre nesse tempo? v2 = (v0)2 - 2ad ∴ d = (v0)2/2a = (24,6)2/(2.4,92) d = 61,5m c) Faça os gráficos x versus t e v versus t para a desaceleração. x(t) = 24,6t - 2,46t2 em metros v(t) = 24,6 - 4,92t em m/s 30 70 25 60 50 20 v(t) 40 15 x(t) 30 10 20 5 10 0 0 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 t tCapítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição45 Os freios de um carro são capazes de produzir uma desaceleração de 5,2m/s2. a) Se você está dirigindo a 140km/h e avista, de repente, um posto policial, qual o tempo mínimo necessário para reduzir a velocidade até o limite permitido de 80km/h ? v = v0 - at v0 = 140km/h = 39,2m/s v = 80km/h = 22,4m/s t = (v0 - v)/a = 16,8/5,2 a = 5,2m/s2 t=3,2sCap 03 romero@fisica.ufpb.br 12
  29. 29. Prof. Romero Tavares da Silva b) Trace o gráfico x versus t e v versus t para esta desaceleração. Consideramos que até o instante t = 5s o carro vinha desenvolvendo a veloci- dade de 39,2m/s , quando começou a freiar até 3,2s mais tarde, quando passou a desenvolver a velocidade de 22,4m/s . 45 40 35 O gráfico x versus t é uma 30 reta para 0 < t < 5s , 25 v(t) 20 15 é uma parábola com concavi- 10 dade para baixo para 5 5s < t < 8,2s 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 t e volta a ser uma reta para t > 8,2s . 450 400 Nestes intervalos temos res- 350 300 pectivamente: movimento 250 x(t) uniforme, movimento unifor- 200 memente acelerado e nova- 150 100 mente movimento uniforme. 50 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 tCapítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição54 Quando a luz verde de um sinal de trânsito acende, um carro parte com aceleração constante a = 2,2m/s2 . No mesmo instante, um caminhão, com velocidade constante de 9,5m/s , ultrapassa o automóvel. a) A que distância, após o sinal, o automóvel ultrapassará o caminhão? 120 Automóvel Caminhão 100 x = at2/2 X=Vt 80 No instante t = tE o automóvel vai 60 alcançar o caminhão, logo: 40 xE = X E 20 2 0 at E 2V 2.9,5 = Vt E ⇒ t E = = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 a 2,2 t tE = 8,6s Curva azul = X = Caminhão XE = V tE = 9,5.8,6 = 81,7m. Curva vermelha = x = AutomóvelCap 03 romero@fisica.ufpb.br 13
  30. 30. Prof. Romero Tavares da Silva b) Qual a velocidade do carro nesse instante? Velocidade vE = v0 + a tE = 2,2 + 8,6 25 20 vE = 18,9m/s 15 10 5 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 tCapítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição57 Dois trens, em movimento retilíneo, viajam na mesma direção e em sentidos opostos, um a 72km/h e o outro a 144km/h . Quando estão a 950m um do outro, os maqui- nistas se avistam e aplicam os freios. Determine se haverá colisão, sabendo-se que a desaceleração em cada um dos trens é de 1,0m/s2 . Vamos chamar x e X as distâncias que cada trem per- v0 = 72km/h = 20m/s correrá antes de parar. Neste instante teremos v = V =0. V0 = 144km/h = 40m/s d = 950m v = (v0) - 2ax ∴ x = (v0) /2a 2 2 2 a = 1m/s2 V2 = (V0)2 - 2aX ∴ X = (V0)2/2a A distância D necessária para os dois trens pararem é D = x + X v 0 + V02 2 D= = 1000m 2a Como essa distância D é maior que a distância d disponível, acontecerá a colisão entre os dois trens.Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição61 Considere que a chuva cai de uma nuvem, 1700m acima da superfície da Terra. Se desconsiderarmos a resistência do ar, com que velocidade as gotas de chuva atingi- riam o solo? Seria seguro caminhar ao ar livre num temporal? v2 = (v0)2 + 2ah = 2gh v0 = 0 a = g = 9,8m/s2 v = 2gh = 2.9,8.1700 =182,5m/s h = 1700m v = 657km/hCap 03 romero@fisica.ufpb.br 14
  31. 31. Prof. Romero Tavares da Silva Decididamente não seria seguro caminhar ao ar livre num temporal com gotas alcan- çando a superfície da terra com esta velocidade.Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição69 Um objeto é largado de uma ponte 45m acima da água. O objeto cai dentro de um barco que se desloca com velocidade constante e estava a 12m do ponto de im- pacto no instante em que o objeto foi solto. Qual a velocidade do barco? h = 45m v0 = 0 d = 12m h d d = vt  gt2  d gd 2  ⇒ t= ∴ h= h= V 2V 2 2  g 9,8 V =d = 12 = 3,9m / s 2h 2.45 V = 14,1km/hCapítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição78 Do cano de um chuveiro, a água pinga no chão, 200cm abaixo. As gotas caem em intervalos regulares, e a primeira gota bate no chão, no instante em que a quarta gota começa a cair. Determine as posições da segunda e terceira gotas, no instante em que a primeira gota bate no chão. 4 Seja ti o tempo de vôo da i-ésima gota: 3 2 gt h = h1 = 1 2 2 2 h gt 2 h2 = 2 gt 32 h3 = 2 1Cap 03 romero@fisica.ufpb.br 15
  32. 32. Prof. Romero Tavares da Silva Como existe um intervalo ∆t entre cada gota, temos que t1 = 3∆t ; t2 = 2∆t e t3 = ∆t . Logo h2 t 2 (2∆t ) 2 2 4 4 8 = 2 = = ∴ h2 = h1 = m h1 t 1 (3∆t ) 9 2 9 9 h3 t 32 = 2 = (∆t ) = 1 ∴ h = 1 h = 2 m 2 h1 t 1 (3∆t )2 9 3 9 1 9Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição79 Uma bola de chumbo é deixada cair de um trampolim localizado a 5,2m acima da superfície de um lago. A bola bate na água com uma certa velocidade e afunda com a mesma velocidade constante. Ele chegará ao fundo 4,8s após ter sido largada. a) Qual a profundidade do lago? h1 = 5,2m v0 h1 t = t1 + t2 = 4,8s v1 2 gt 2h1 h1 = ∴ t1 = 1 h2 2 g t1 = 1,03s e t2 = 3,77s v2 v 12 = v 0 + 2gh1 2 ∴ v 1 = 2gh1 = 10,09m / s h2 = v1 t2 = 38,06m b) Qual a velocidade média da bola? ∆x espaço h1 + h2 5,2 + 38,06 v = = = = = 9,01m / s ∆t tempo t1 + t 2 4,8 c) Suponha que toda água do lago seja drenada. A bola é atirada do trampolim, e novamente chega ao fundo do lago 4,8s depois. Qual a velocidade inicial da bola? Vamos considerar V0 a nova velocidade inicial: gt 2 h gt h = V0 t + ∴ V0 = − = 7,92 − 23,52 = −15,60m / s 2 t 2 Na equação acima o sinal de g é positivo significando que o referencial positivo foi tomado como apontando para baixo. Desse modo, como V0 calcula- do é negativo, a bola foi lançada para cima.Cap 03 romero@fisica.ufpb.br 16
  33. 33. Prof. Romero Tavares da Silva 0 < t < 1,03s 50 45 O movimento da bola de 40 35 chumbo é de queda livre, 30 portanto a curva no gráfico 25 y y versus t será uma pará- 20 bola e a curva no gráfico v 15 versus t será uma reta in- 10 5 clinada em relação à hori- 0 zontal. 0 1 2 3 4 5 t t > 1,03s 12 O movimento da bola de 10 chumbo é de retilíneo e 8 uniforme, portanto a curva 6 v no gráfico y versus t será uma reta inclinada em rela- 4 ção à horizontal e a curva 2 no gráfico v versus t será uma reta paralela à hori- 0 0 1 2 3 4 5 zontal. tCapítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição82 Uma pedra é largada de uma ponte a 43m acima da superfície da água. Outra pe- dra é atirada para baixo 1s após a primeira pedra cair. Ambas chegam na água ao mesmo tempo. a) Qual era a velocidade inicial da segunda pedra? 2 1 h = 44m v0 ∆t = 1s t2 = t1 - ∆t h gt 12 2h h= ∴ t1 = = 2,99s ≅ 3s 2 g O tempo gasto pela segunda pedra será: t2 = t1 - ∆t = 2s Logo: 2 gt 2 h gt h = v 0t2 + ∴ v0 = − 2 2 t2 2 v0 = 12,2m/sCap 03 romero@fisica.ufpb.br 17
  34. 34. Prof. Romero Tavares da Silva b) Faça o gráfico da velocidade versus tempo para cada pedra, considerando t = 0 o instante em que a primeira pedra foi largada. 40 Curvas das velocidade: 35 30 Vermelho = primeira pedra 25 20 Marrom = segunda pedra 15 10 5 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 t Curvas das distâncias: 80 70 Vermelho = primeira pedra 60 50 Marrom = segunda pedra 40 30 20 10 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 tCap 03 romero@fisica.ufpb.br 18

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