Função expenencial

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Função expenencial

  1. 1. Função ExponEncial Conta a lenda que um rei solicitou aos seus súditos que lhe inventassem um novo jogo, a fim de diminuir o seu tédio. O melhor jogo teria direito a realizar qualquer desejo. Um dos seus súditos inventou, então, o jogo de xadrez. O astuto inventor pediu então que as 64 casas do tabuleiro do jogo de xadrez fossem preenchidas com moedas de ouro, seguindo a seguinte condição: na primeira casa seria colocada uma moeda e em cada casa seguinte seria colocado o dobro de moedas que havia na casa anterior. Tal foi sua surpresa quando os tesoureiros do reino lhe apresentaram a suposta conta, pois apenas na última casa o total de moedas era de: O rei estava falido!  
  2. 2. aplicaçõEs As funções exponenciais desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia e outras. Exemplos de aplicação da teoria das exponenciais:  Lei do resfriamento dos corpos  Curvas de aprendizagem  Desintegração radioativa  Crescimento populacional  Matemática financeira
  3. 3. DEFinição Chama-se função exponencial de base a à correspondência f: lR x lR + x a , com a > 0 e a ≠ 1  Note que, a variável da função é o expoente.  Se a = 1, a função é constante.
  4. 4. GráFicos Exponencial crescente: base a > 1 Exponencial decrescente: base 0 < a < 1
  5. 5. Observações  A função exponencial é definida sómente para base a positiva, uma vez que se a é negativo teríamos valores da imagem ax não pertencente ao conjunto dos números reais. Por exemplo para a = -2 e x = 1/2, ax é igual à raiz quadrada de -2, contradizendo a definição da função exponencial;  A base também tem que ser diferente de 1 porque para todo x real teríamos como imagem, sempre, o valor 1, uma vez que 1 elevado a x é igual a 1 para qualquer que seja o x. Em outras palavras a imagem seria o conjunto unitário {1}, o que também contradiz a definição. E a não pode ser zero pois teríamos uma indeterminação para x = 0;  A função obtida acima é denominada de função constante, f(x) = c, x real, onde c = 1;
  6. 6. 0  Qualquer que seja a função exponencial, temos que: para x = 0 => f(0) = a = 1. Ou seja, o par ordenado (0, 1) pertence à função para todo a no conjunto dos reais positivos diferente de 1. Isto significa que o gráfico cartesiano da função exponencial corta o eixo y no ponto de ordenada 1;  A função exponencial é crescente se, e somente se, a > 1.  A função exponencial é decrescente se, e somente se, 0 < a < 1.  A função exponencial é injetora e sobrejetora, ou seja, ela é bijetora. Exemplos:
  7. 7. a COnstante e de euler  Existe uma importantíssima constante matemática definida por: e = exp(1)  O número e é um número irracional e positivo.  Este número é denotado por e em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783), um dos primeiros a estudar as propriedades desse número.  O valor deste número expresso com 40 dígitos decimais, é: e = 2,718281828459045235360287471352662497757 Conexão entre o número e e a função exponencial  Se x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser escrita como a potência de base e com expoente x, isto é: ex = exp(x)
  8. 8. Equação ExponEncial  Para termos uma equação devemos ter uma igualdade ou seja, alguma coisa igualada à outra.  E para ser equação exponencial devemos ter uma igualdade que tenha uma variável (normalmente X) colocada no expoente (potência). Para resolvê-las utilizamos métodos que se valem das propriedades de potenciação
  9. 9. ExEmplos O nosso objetivo é sempre o mesmo, igualar as bases. Vamos fatorar ambos os lados. Temos agora que utilizar as propriedade de potenciação Pronto, estamos com as bases iguais. Vamos cortar e resolver a equação do primeiro grau novamente. 2x-2=5 2x=5+2 2x=7 x=7/2 Aplicando as propriedades operatórias. Esta é a solução
  10. 10. Novamente começamos fatorando. Para igualar as bases, vamos aplicar as propriedades de potenciação e radiciação. Com as bases iguais vamos operar os expoentes Esta é a nossa solução x=4
  11. 11. Precisamos igualar as bases mas nenhum dos lados da igualdade pode ser fatorado. Iremos usar uma propriedade que aprendemos na lição passada: o qualquer número elevado na potência zero vale 1 (X =1). Então o lado direito da igualdade pode ser 3o. Agora com as bases igualadas vamos corta-las. x -x-6=0 Agora é uma equação do segundo grau. Aplicando Báscara achamos suas raizes. {-2 e 3} Esta é a solução, "x" pode ser qualquer um destes valores. 2
  12. 12. Inequação exponencIal  É uma inequação porque não é uma equação (hehehe, até parece brincadeira), ou seja, pois na expressão não há uma IGUALDADE (=).  É "Exponencial" pois em um dos termos da inequação há um expoente com uma incógnita, ou também chamada, variável (normalmente é "x"). Os sinais de desigualdades são: Símbolo > < Significado maior menor maior ou igual menor ou igual
  13. 13. observação  Sempre que tivermos uma base maior que 1 “(base>1)”, devemos conservar o sinal da desigualdade quando "cortar" as bases.  Sempre que tivermos uma base menor que 1 e maior que 0 “(0<base<1)”, devemos inverter o sinal da desigualdade quando "cortar" as bases.
  14. 14. exemplos 2x < 83 2x < (23)3 2x < 2 9 x<9 Como em uma equação, vamos fatorar ambos os lados: Aplicando as propriedades de potenciação Pronto, com as bases iguais podemos cortá-las e trabalhar somente com os expoentes. Gran finale!! Esta é a resposta
  15. 15. Já igualadas as bases, vamos cortá-las. Mas com o cuidade de inverter a desigualdade. 4x + 5 2x + 3 Agora é só resolver. 4x - 2x 3 - 5 Agora sim esta é a resposta certa! 2x -2 x -1

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