Vat ly Dai cuong

1. Chương II
ĐỘNG LỰC HỌC
CHẤT ĐiỂM

2. I. Các khái niệm:
* Lực là một đại lượng đặc trưng cho mức độ tác
dụng của các vật xung quanh lên vật mà ta đang
xét. Lực được biểu diễn bằng một vectơ và phụ
thuộc vào vị trí tác dụng của nó.
Trong cơ học người ta chia lực ra làm hai loại:
lực gây ra do các vật tiếp xúc trực tiếp với nhau
(áp lực, lực ma sát) và lực tác dụng lên vật do
trường của các vật khác gây ra.

3. * Khối lượng: Thực nghiêm cũng chứng tỏ rằng,
mỗi vật đều chống lại bất kỳ một cố gắng nào làm
thay đổi trạng thái chuyển động của nó, tức làm
thay đổi vectơ vận tốc của nó về độ lớn hoặc
phương chiều hoặc cả hai. Tính chất bảo tồn trạng
thái chuyển động của vật được gọi là quán tính của
vật. Đại lượng đặc trưng cho quán tính của vật gọi
là khối lượng quán tính ( hay khối lượng) của vật.
Vật có khối lượng càng lớn thì quán tính càng lớn
nghĩa là càng khó thay đổi trạng thái chuyển động

4. II. CÁC ĐỊNH LUẬT NEWTON
1. ĐL Newton thứ nhất – Hệ qui chiếu quán tính.
Một chất điểm cô lập hoặc tổng các lực tác dụng
vào nó bằng không thì chất điểm sẽ đứng yên hoặc
chuyển thẳng đều.
HQC trong đó ĐL Newton I nghiệm đúng gọi là
HQC quán tính. Để giải phần lớn các bài toán kỹ
thuật với độ chính xác đủ dùng trong thực tế, ta
có thể xem HQC gắn với Trái đất là HQC quán
tính.
Các hệ QC chuyển động thẳng đều với HQC quán
tính cũng là HQC quán tính

5. 2. ĐL Newton thứ hai
: PT cơ bản ĐLH
3 Định luật Newton thứ ba
Nếu vật thứ nhất tác dụng lên vật thứ hai một
lực thì đồng thời vật thứ hai cũng tác dụng lên
vật thứ nhất một lực : hai lực đó cùng phương
,ngược chiều cùng độ lớn, tức là
amF 
12F
21F

1221 FF 

6. III. ĐỘNG LƯỢNG CHẤT ĐIỂM
1. ĐN:
2. Các định lý và định luật:
a)
b)
c) Nếu thì
Động lượng là đại lượng đặc trưng cho chuyển
động về mặt động lực hoc.
vmp 
( )d v d mv d p
F ma m
dt dt dt
   
  
 
2
1
2 1
t
t
d p Fdt p p Fdt    
    
0F p const


7. IV. Các lực
1. Lực liên kết: khi chuyển động của một vật bị
ràng buộc bởi các vật khác, thì các vật này sẽ tác
dụng lên vật một lực gọi là lực liên kết.
a) Phản lực pháp tuyến và lực ma sát: Phản lực R
do B tác dụng lên A được phân thành:
gọi là phản lực pháp tuyến
gọi là lực ma sát
R
 N

msF

F

AP

A
B
msR N F 
  
N

msF


8. vuông góc với bề mặt của B và hướng về phía
vật A gọi là phản lực pháp tuyến
nằm trong mặt phẳng tiếp xúc giữa các vật,
cùng phương và ngược chiều với vận tốc của vật
A(hoặc ngược chiều vận tốc tương đối của A đối
B, nếu B cũng chuyển động) gọi là lực ma sát
trượt hay ma sát động có độ lớn:
Fms = kN
k là hệ số ma sát trượt
N
msF


9. Nếu vật A chịu tác dụng của lực mà
không dịch chuyển đối với vật B thì lực
ma sát gọi là ma sát tỉnh (nghĩ) Fms0, nó
sẽ tự điều chỉnh giá trị để cân bằng
với khi F tăng. Tăng dần lực tác
dụng đến khi vật A bắt đầu dịch
chuyển đối với B, độ lớn của lực ma sát
nghĩ tăng từ 0 đến Fmsomax, gọi là lực ma
sát nghĩ cực đại. Trong tính toán lấy
Fmsomax bằng ma sát trượt kN
F
F

10. b) Lực căng dây: Lực căng tại một điểm A trên dây
là lực tương tác giữa hai nhánh của dây hai bên
điểm A. Trong các bài toán thông thường, lực
căng có cường độ không đổi dọc theo sợi dây.
Lực liên kết do dây tác dụng lên vật gọi là lực
căng dây, hướng dọc theo dây đến điểm treo
2. Trọng lực : là lực Trái đất tác dụng vào vật, có
phương thẳng đứng, chiều hướng xuống.
P mg
 

11. Các bước để giải bài toán bằng phương pháp
động lực học.
• Chọn chiều chuyển động của các vật (thường
chọn chiều chuyển động tự nhiên để gia tốc các
vật có cùng dấu)
• Xác định các lực tác dụng vào vật
• Thiết lập PT Newton II cho vật
• Chiếu PT Newton II lên các trục chọn (thường
lên phương chuyển động và phương thẳng góc
với phương chuyển động)

12. Bài 1: Cho hệ như hình vẽ, khối lượng của hai
vật A và B bằng 1kg, α = 300, β = 450, ròng rọc
khối lượng không đáng kể. Bỏ qua tất cả các lực
ma sát. Tìm gia tốc của hệ và lực căng của sợi
dây.
A
B
α β

13. • Giải:
• PT Newton II cho 2 vật:
• Chiếu các PT trên lên phương chuyển động của
các vật với chiều dương như hình vẽ, ta được:
• Vì gia tốc của hai vật bằng nhau: aA = aB = a và
ròng rọc không khối lượng nên: T1 = T2 = T. Do
đó:
A
B
α β
1
2
A A A
B B B
m g T m a
m g T m a
 
 
  
  
1
2
sin
sin
A A A
B A B
m g T m a
m g T m a


  
 
2sin sin
1 /B A
A B
m g m g
a m s
m m
 
 

mA g
mB g
T1
T2

14. Bài 2: Một vật đặt ở độ cao h trên mặt phẳng
nghiêng hợp với mặt phẳng nằm ngang một góc
α. Hỏi:
a) Lực ma sát tác dụng vào vật khi nó nằm yên
trên mặt phẳng nghiêng.
b) Giới hạn của hệ số ma sát giữa vật và mặt
phẳng nghiêng để vật có thể trượt xuống trên
mặt phẳng nghiêng đó.
c)Khi hệ số ma sát thỏa mãn điều kiện trên thì gia
tốc của vật bằng bao nhiêu.
d)Vận tốc của vật ở cuối dốc.

15. PT Newton 2
Chiếu PT trên lên phương
chuyển động và phương thẳng
góc với phương chuyển động ta được:
a) Khi vật nằm yên:
b) Điều kiện để vật trượt xuống là:
mg
N
Fms
α
msmg N F ma  
   
sin
cos 0 cos
msmg F ma
N mg N mg

 
 
   
cos ; 0
sin cos
msF kN kmg a
mg kmg k tg

  
  
   
0 sinms msoa F F mg    

16. c) Vật trượt xuống với gia tốc:
d) Chuyển động của vật là chuyển động thẳng thay
đổi đều nên:
(sin cos )a g k  
2
2 2 (sin cos )
sin
2 (sin cos )
sin
h
v as g k
g k h
v
 

 

  

 

17. Bài 4: Cho hệ như hình vẽ. Bỏ qua ma sát, khối
lượng của ròng rọc và dây. Tìm điều kiện để m1
chuyển động đi xuống, với điều kiện đó tìm gia
tốc của m1.
1m
2m

18. PT Newton 2 cho 2 vật
Chiếu lên PCĐ của hai vật:
Do trong cùng khoảng thời gian
quãng đường dịch chuyển của m1
gấp đôi m2 nên: a1 = 2a2 . Do đó:
Điều kiện:
Khi đó:
m1 g
m2 g
T
2T
1 21 1 2 2; 2m g T m a m g T m a   
     
1 1 1 2 2 2; 2m g T m a m g T m a    
2
1 2 1 1(2 ) (2 )
2
m
m m g m a  
2
1 10
2
m
a m  
1 2
1
1 2
2(2 )
4
m m g
a
m m



TT

19. Bài 6: Cho hai vật có cùng khối lượng M được nối
với nhau bằng một sợi dây nhẹ không dãn vắt
qua một ròng rọc không ma sát, khối lượng
không đáng kể. Người ta đặt thêm một gia trọng
khối lượng m lên một trong hai vật. Tìm áp lực
của gia trọng lên vật và lực mà trục ròng rọc phải
chịu khi ròng rọc đứng yên.
M
M

20. PT Newton 2 :
(M +m)g – T = (M + m)a (1)
T – Mg = Ma (2)
PT Newton cho vật m:
Chiếu xuống phương thẳng đứng:
Theo ĐL3 Newton: N’ = N
(1),(2)
2
mg
a
M m
 

mg N ma 
  
2
( )
2
Mmg
mg N ma N m g a
M m
     

M
M
(M+m)g
Mg
T
T
mg
N

21. Bài 7: Cho một hệ cơ học như hình vẽ, mặt nằm
ngang không ma sát, bỏ qua khối lượng của ròng
rọc. Tìm các sức căng dây và gia tốc của các vật
m1 và m2
m1
m2

22. PT Newton 2:
Chiếu xuống PCĐ của 2vật, ta được:
Ròng rọc không khối lượng nên: T2 = 2T1
Và a1 = 2a2 nên từ hai PT trên ta suy ra:
m1 g
m1
m2
T2
T2
T1
T1 T1
m2 g
N
1 1 1 1
1 2 1 2
m g N T m a
m g T m a
  
 
   
  
1 1 1 2 2 2 2;T m a m g T m a  
2
1
1 2
2
4
m g
a
m m



23. • Bài 3: Hai vật A và B có khối lượng m1 = m2 =
2kg được đặt trên mặt bàn mằm ngang và nối với
nhau bằng một sợi dây mảnh vắt qua ròng rọc cố
định như hình vẽ. Hệ số ma sát ở các mặt tiếp
xúc k = 0,2; bỏ qua khối lượng và ma sát ở ròng
rọc. Tác dụng vào vật A một lực F = 16N, có
phương nghiêng góc α = 300 so với phương nằm
ngang. Tìm gia tốc của mỗi vật và lực căng sợi
dây. Lấy g = 10m/s2.
m1
m2
α

24. N21 là phản lực pháp tuyến vật 2 tác dụng lên vật 1
N12 là phản lực pháp tuyến vật 1 tác dụng lên vật 2
Fms21 là lực ma sát vật 2 tác dụng lên vật 1
Fms12 là lực ma sát vật 1 tác dụng lên vật 2
N là phản lực pháp tuyến mặt đường tác dụng lên 2
Fms lực ma sát mặt đường tác dụng lên 2
m1
m2
α
Fms
F
m1 g
T
Fms21
N21
T
N
m2g
Fms12
N12

25. Theo ĐL Newton III: N21 = N12 ; Fms21 = Fms12
Hình chiếu PT Newton II của 2 vật
lên PCĐ:
Phương thẳng góc với PCĐ:
Từ (1) và (2) ta suy ra
21 1
12 2
cos (1)
(2)
ms
ms ms
F T F m a
T F F m a
   
  
21 1 21 1
12 2 1 2
sin 0 sin
0 ( ) sin
F N m g N m g F
N N m g N m m g F
 

     
      
21 12
1 2
cos ms ms msF F F F
a
m m
   



26. • Với
21 21 1
1 2
1 2
1 2
2
( sin )
(( ) sin )
cos (3 ) 3 sin
0,66 /
10,12
ms
ms
F kN k m g F
F kN k m m g F
F k m m g kF
a
m m
m s
T N


 
  
   
  
 


 

27. • Một tấm ván A dài l = 80cm, khối lượng m1 =
1kg, được đặt trên một mặt dốc nghiêng góc α =
30o . Một vật B khối lượng m2 = 100g được đặt
trên tấm ván tại điểm cao nhất của tấm ván. Thả
cho hai vật A và B cùng chuyển động. Tìm thời
gian để vật B rời khỏi A. Khi đó A đã đi được
đoạn đường dài bao nhiêu trên mặt dốc?
Cho biết HSMS giữa A và mặt dốc là k1 = 0,2;
giữa B và A là k2 = 0,1. Lấy g = 10m/s2

28. N12 phản lực pháp tuyến A tác dụng lên B
N21 phản lực pháp tuyến B tác dụng lên A
Fms12 lực ma sát A tác dụng lên B
Fms21 lực ma sát B tác dụng lên A
Fms lực ma sát dốc nghiêng tác dụng lên A
N phản lực pháp tuyến dốc nghiêng tác dụng lên A
N12
m2g
Fms12
N21
Fms21
N
Fms
m1g
 

29. Hình chiếu của PT Newton II của A và B
• Lên phương chuyển động:
a1 , a2 là gia tốc A và B đối với dốc nghiêng
a21 là gia tốc của B đối với A
• Lên phương thẳng góc với phương chuyển động:
Theo ĐL Newton III: N12 = N21 ; Fms12 = Fms21
1 21 1 1
2 12 2 2 2 1 21
sin (1)
sin ( ) (2)
ms ms
ms
m g F F m a
m g F m a m a a


  
   
1 21 21 1
2 12 12 2
cos 0 cos
cos 0 cos
m g N N N N m g
m g N N m g
 
 
     
   

30. Từ (1) và (2) ta suy ra:
Thời gian để B rời khỏi tấm ván:
Từ (1) suy ra :
Tấm ván đã đi được quãng đường:
2 2 1 21
21
1 2
2 1 1 2 2 1 2 2
1 2
22 1 2 1 2
1 2
( )
( ) cos ( ) cos
( ) ( )cos
0,95 /
ms msm F m m F
a
m m
m k m m g m m k m g
m m
m m m g k k
m s
m m
 

 

  

 
 
21
2
1,3
l
t s
a
 
2
1 3,184 /a m s 2
1
1,3
2
a t
s s 

31. • Cho hệ thống như hình vẽ. Bỏ qua ma sát, khối
lượng của ròng rọc và dây nối không đáng kể.
Tính gia tốc của m1 .
m
m1
m2

32. H/c PT Newton 2 của 3
vật lên phương chuyển động
chiều dương như hình vẽ
a, a1 , a2 : gia tốc của m, m1 và m2
Theo phép biến đổi gia tốc :
: gia tốc của m1 , m2 đối với m.
Với chiều dương chọn thì:
T
T
2T
2Tm
m1
m2
m1 g
m2 g
m g
1 1 1
2 2 2
2T ma
m g T m a
m g T m a

 
 
, ,
1 1 2 2;a a a a a a   
, ,
1 2,a a
, , 1 2
1 2
2
a a
a a a

   

33. Thay vào các PT trên ta được:
Giải hệ phương trình trên ta được:
1 1 1
2 2 1
2
(2 )
T ma
m g T m a
m g T m a a

 
  
1 2 1 2
1
1 2 1 2
4 ( )
4 ( )
m m m m m
a g
m m m m m
 

 

34. • Cho hệ như hình vẽ, hòn bi 1 có khối lượng bằng
n = 1,8 lần khối lượng thanh 2;
chiều dài thanh l = 100cm.
Khối lượng ròng rọc và của dây nối
cũng như lực ma sát đều không đáng
kể. Người ta đặt hòn bi ở vị trí ngang
với đầu dưới của thanh 2. Sau đó hệ
được thả chuyển động . Hỏi sau bao
lâu hòn bi ở ngang với đầu trên của thanh?
2
1

35. H/c PT Newton II của 2 vật lên phương
thẳng đứng, chiều dương hướng lên:
Với T1 = 2T2 ; a2 = 2arr = - 2a1
Gọi a12 là gia tốc của 1 đối 2, ta có: mg
Mg
2
1
T1
T2
1 1 2 2;T mg ma T Mg Ma   
2 1 2 1
1
2 ; 2
2
4
T mg ma T Mg Ma
M m
a g
m M
    

 

1 12 2 12 1 2 1
12
3
2 2 ( 4 ) 2 ( 4)
1,4
3(2 ) 3(2 )
a a a a a a a
l l m M l n
t s
a M m g n g
     
 
   
 

36. Một chất điểm có khối lượng m = 0,2kg
chuyển động trên mặt phẳng xOy, chịu tác
dụng của một lực F luôn luôn song song với
phương Oy, có hình chiếu Fy = 0,2cos5t.
Vận tốc đầu của chất điểm có phương
vuông góc với lực tác dụng hướng theo
chiều dương Ox, có độ lớn vo = 1m/s. Chất
điểm bắt đầu chuyển động từ gốc tọa độ O.
Viết phương trình quỹ đạo của chất điểm.

37. Giải:
0 0
0 0
2
0,2
cos5 cos5
0,2
1
cos5 sin5
5
1 1
sin5 (1 cos5 )
5 25
2
sin 2,5
25
y
y
y
y y y
v t
y y
t
F
F ma a t t
m
dv tdt v t
dy tdt y t
t
    
   
    

 
 

38. 0 0
2
0 0
0,08sin 2,5
x x x o
x t
o o
F a v v
dx v dt x v t t
y t
    
    
 
 

39. V. Nguyên lý tương đối Galilée – Phép biến đổi
Galilée
1.KG và TG theo cơ học cổ điển
a)Thời gian có tính tuyệt đối không phụ thuộc
HQC
b)Vị trí KG có tính tương đối phụ thuộc HQC
c)Khoảng KG có tính tuyệt đối, không phụ thuộc
HQC

40. 2. Nguyên lý tương đối Galilée :
Các định luật cơ học đều giống nhau trong các hệ
qui chiếu quán tính.
3. Phép biến đổi Galilée
Giả sử hệ qui chiếu quán tính K’ chuyển động
tương đối trong hệ qui chiếu quán tính K với vận
tốc không đổi như hình vẽ. Ta chọn t =0 vào lúc
hai điểm gốc O và O’ của hai hệ tọa độ trùng
nhau.
Ta có ; t’ = t (1)
(1) là phép biến đổi Galilée dưới dạng vectơ
tVrr '
V


41. O O’
y
x
z
y’
x’
z’
r r’

42. Chiếu (1) xuống các trục tọa độ ta được phép
biến đổi Galilée dưới dạng tọa độ:
x’ = x – Vt ; y’ = y ; z’ = z ; t’ = t
Lấy đạo hàm (1) theo thời gian ta được phép biến
đổi vận tốc
Lấy đạo hàm biểu thức trên một lần nữa, ta thu
được:
Nghĩa là PT Newton II cũng thỏa mãn trong hệ
K’. Vậy nếu K là HQC quán tính thì K’ cũng là
HQC quán tính.
Vvv '
' 'a a m a F  
   

43. VI. Hệ qui chiếu bất quán tính-Lực quán tính
1. Hệ qui chiếu bất quán tính là HQC chuyển động
có gia tốc đối với HQC quán tính.
2. Lực quán tính:
a) Trường hợp K’ chuyển động tịnh tiến với gia
tốc đối với HQCQT K
Theo phép biến đổi gia tốc:
Nhân hai vế với m:
Mà ; là tổng các lực tác dụng vào
chất điểm trong hệ K
Do đó
A

Aaa  '
Amamam  '
Fam  F

' ' ( ) qtF ma mA ma F mA F F       
       
qtF mA 
 

44. b)Trường hợp K’ chuyển động quay với gia tốc góc
đối với HQCQT K.
* Nếu chất điểm đứng yên trong hệ K’
là lực (quán tính) ly tâm
O là tâm QĐ, M là vị trí chất điểm
* Nếu chất điểm chuyển động trong hệ K’ với vận
tốc thì ngoài lực ly tâm chất điểm còn chịu tác
dụng của lực (quán tính) Coriolis
Lực Coriolis triệt tiêu nếu v’ = 0 hoặc song
song với


2
ltF m R
 
R OM
 
'v

2 ( ' )cF m v  
  
'v




45. Chú ý: các định luật Newton chỉ
đúng trong các hệ qui chiếu quán
tính. Nếu dùng HQC không quán
tính thì ngoài các lực tác dụng
vào chất điểm trong HQC quán
tính ta phải thêm vào lực quán
tính (Fqt , Flt , Fcor ).

46. Bài 1: Đặt một vật A khối lượng m = 500g tại đỉnh
B của một nêm có mặt BC dài l = 1,5m và
nghiêng góc α =300 so với phương ngang. Thả cho
A trượt xuống. Tính thời gian để vật A trượt tới
C trong các trường hợp:
1) Nêm đứng yên
2) Nêm được kéo với gia tốc a0 = 2m/s2
a) theo phương thẳng đứng đi lên, đi xuống
b) theo phương ngang sang trái, sang phải
c) theo phương song song với BC và đi xuống
Cho biết hệ số ma sát giữa A và mặt nêm k = 0,2.
Lấy g = 10m/s2

47. PT Newton 2 trong hệ QC gắn với nêm:
1) Nêm đứng yên:
Chiếu lên phương chuyển động :
msmg N F ma  
   
2
sin ; cos
(sin cos ) 3,27 /
2
0,96
ms msmg F ma F kN mg
a g k m s
l
t s
a
 
 
   
   
 
mg
NFms

48. 2)
a) Chiếu lên phương mặt nêm và phương thẳng
góc với mặt nêm :
'
ms qtmg N F F ma   
   
2
sin sin '
cos cos 0
; cos ( )
' ( )(sin cos ) 3,92 /
2
0,87
'
qt ms
qt
qt o ms o
o
mg F F ma
N mg F
F ma F kN km g a
a g a k m s
l
t s
a
 
 

 
  
  
   
    
 
mg Fqt
NFms
ao

49. Các câu khác làm tương tự:
a) đi xuống: a’ = 2,62m/s2 ; t = 0,98s
b) Sang trái a’ = 5,2m/s2 ; t = 0,76s
Sang phải a’ = 1,36m/s2 ; t = 1,47s
c) a’ = 1,27m/s2 ; t = 1,53s

50. Bài 2: Trên một đĩa nằm ngang đang quay, người
ta đặt một vật có khối lượng m = 1kg cách trục
quay r =50cm. Hệ số ma sát giữa vật và đĩa k
=0,25. Hỏi:
a)Lực ma sát phải có độ lớn bằng bao nhiêu để
vật được giữ trên đĩa nếu đĩa quay với vận tốc n
= 12vòng/phút.
b)Với vận tốc góc nào thì vật bắt đầu trượt khỏi
đĩa.

51. Chọn HQC gắn với đĩa
a)Vật nằm yên trên đĩa khi :
b)Vật bắt đầu trượt khỏi đĩa khi:
Mà :
2 2 2
4 0,79ms ltF F m r m n r N    
kmgkNFms 
srad
r
kg
rmFms /2,22
 

52. Bài 3: Một máy bay nhào lộn vạch
một nữa đường tròn thẳng đứng
bán kính R =500m với vận tốc
không đổi v =360km/h. Tính trọng
lượng của người lái khối lượng m =
70kg tại điểm cao nhất, điểm thấp
nhất và điểm giữa của đường bay.

53. Vì chuyển động của người lái là chuyển động tròn
đều nên:
Chiếu lên trục hướng tâm, ta được:
-Tại điểm cao nhất :
Trọng lượng người lái là lực mà người lái tác
dụng vào ghế ngồi , theo ĐL Newton III N’ = N
namamNgm 










g
R
v
mN
R
v
mmaNmg n
2
2
mg
N

54. - Tại điểm thấp nhất:
- Tại điểm giữa:










g
R
v
mN
R
v
mNmg
2
2
namamRgm 
2
2
2
( )
mv
R mg
R
 
   
 
mg
N
mg
man
R

55. Cho hệ như hình vẽ. Hệ số ma sát giữa
vật m và mặt phẳng thẳngđứng BC là k
= 0,1. Cho g = 10m/s2. Để m không
trượt xuống theo mặt BC, cần cho khối
ABCD chuyển động sang phải theo
phương ngang với gia tốc bằng bao
nhiêu? A
C
B
D
m

56. Chọn HQC gắn với khối ABCD,
PT Newton II cho vật:
Chiếu lên phương thẳng đứng ta được
'amFFNgm qtms 
'maFmg ms 
A
C
B
D
mg

N

msF

qtF


57. Chiếu lên phương ngang ta được:
oqtqt maFNFN  0
Để cho vật không trượt xuống theo
mặt BC thì
2
/100
0'
sm
k
g
a
kmamgkNF
a
o
oms




58. Treo vật vào trần thang máy như hình vẽ. Thang
máy gia tốc về phía trên 4m/s2 . Mỗi sợi dây có
khối lượng 1kg. Xác định sức căng dây ở các
điểm A, B, C, D.
A
B
C
D
10kg
10kg

59. PT Newton 2 trong hệ qui chiếu gắn với thang máy
Chiếu xuống trục thẳng đứng chiều dương hướng
xuống:
Tại A:
Tại B:
Tại C:
Tại D:
0qtT M g F  
  
0qt qtT Mg F T Mg F      
22 88 304qt AM kg F N T N    
21 84 290qt BM kg F N T N    
11 44 152qt CM kg F N T N    
10 40 138qt DM kg F N T N    

60. VII. Cơ năng của chất điểm
1. Công và công suất:
Công của lực trên độ chuyển dời vô cùng bé
là:
α là góc hợp bởi và , Fs là hình chiếu của lên
phương của .Công có thể dương, âm hoặc bằng
không.
Công của lực thực hiện trên toàn bộ quỹ đạo từ
vị trí 1 đến vị trí 2
F

ds

. . .cos sdA F ds F ds F ds  
 
F

ds

F

ds

F


2
1
. sdFA

61. Trường hợp nếu quỹ đạo là đường thẳng và
không đổi thì:
Trong hệ tọa độ Descartes:
Công suất:
F

cos..sFA 
kdzjdyidxrdsd ... 
. . .x y zF F i F j F k  
   
x y zdA F dx F dy Fdz  
vF
dt
rd
F
dt
dA
P .. 

62. 2. Động năng chất điểm
a) Định nghĩa:
b) ĐL biến thiên ĐN:
21
2
K m v
2 2 2
2
12 1
1 1 1
2 2
2 1 2 1
. .
1 1
2 2
dv
A F d s ma d s m d s mvdv
dt
mv mv K K
   
   
   

      

63. 3. Trường thế: Một chất điểm được gọi là
chuyển động trong một trường lực nếu tại
mỗi vị trí của chất điểm đều xuất hiện một
lực tác dụng lên chất điểm ấy, nếu công
của lực thực hiện trong sự di chuyển một
chất điểm giữa hai điểm bất kỳ của trường
không phụ thuộc dạng đường đi mà chỉ phụ
thuộc vào vị trí đầu và cuối của quãng đường
đi đó thì gọi là lực thế và trường lực gọi là
trường thế.
F

F

F


64. Nếu là lực thế thì:
Hay:
Hoặc dưới dạng vi phân:
F

1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 2 1
0
0
a b a b
a b
Fds Fds Fds Fds
Fds Fds
   
  
   
 
       
   
  0sdF
0Frot
2
a
1 b

65. 4.Thế năng:
a) ĐN:TN của chất điểm trong trường lực thế là
một hàm U phụ thuộc vị trí chất điểm sao cho
A12 = U1 – U2 (1)
b) Liên hệ giữa lực và thế năng
Từ (1) ta suy ra dA = -dU
Fs là hình chiếu của lên phương của
. .s
s
F ds dU F ds dU
dU
F
ds
     
  
 
F

ds


66. Trong hệ tọa độ Descartes:
là toán tử gradian trong hệ tọa
độ Descartes.
Vậy trong trường hợp tổng quát:
Trường hợp chỉ phụ thuộc một tọa độ, ví dụ x
thì:
x y zF F i F j F k
U U U
i j k i j k U
dx dy dz dx dy dz
  
        
          
   
   
     
i j k
dx dy dz
  
  
  
F U gradU   

F

dU
F
dx
 

67. Bài 1: Một hạt chuyển động theo một
quỹ đạo nào đó trong mặt phẳng xy từ
điểm 1 có bán kính vectơ
đến điểm 2 có bán kính vectơ
. Hạt đó chuyển động
dưới tác dụng của lực .
Tính công thực hiện bởi lực F.
)(21 mjir 
2 2 3 ( )r i j m 
  
3 4 ( )F i j N 
  

68. J
jiji
rrFrdFA
r
r
17203
)5)(43(
)( 12
2
1
12


 

69. Bài 2:Có hai trường lực dừng:
1)
2)
a, b là các hằng số. Xét xem các trường
lực đó có tính chất thế hay không?
iayF 
jbyiaxF 

70. 1)
Vì tích phân trên phụ thuộc đường đi nên F
không phải là lực thế.
b)
Vậy F là lực thế.
2 2 2
11 1
. .( )
r r x
xr r
F dr ayi dxi dy j dzk aydx     
 
 
     
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2 2 2
2 1 2 1
. ( ).( )
1 1
( ) ( )
2 2
r r
r r
x y
x y
F dr axi by j dxi dy j dzk
axdx bydy a x x b y y
   
     
 
 
 
 
      

71. Bài 3: Một đầu máy xe lửa khối
lượng m mở máy chạy từ nhà ga
sao cho tốc độ của nó cho bởi qui
luật , với A là hằng số, s là
quãng đường đi được. Tính công
tổng cộng của tất cả các lực tác
dụng lên đầu máy thực hiện trong t
giây đầu kể từ lúc mở máy.
v A s

72. Áp dụng ĐLBTĐN:
2 2
12 2 1
0 0
2 2
4 2
12
1 1
2 2
1
2
4
1
8
t s
A K K mv mA s
ds ds ds
v A s Adt
dt dt s
At s s A t
A mA t
   
    
   
 
 

73. Bài 4: Động năng của một
hạt chuyển động trên đường
tròn bán kính R, phụ thuộc
quãng đường đi theo qui luật
K = As2 , A là hằng số. Tính
lực tác dụng lên hạt theo s

74. Ta có:
2
2 2
2
2 2
2
1
2
2
. 2 .
2 2
2 1
t
t
n
t n
dK dv
K mv mv mva
dt dt
dK dK ds As
As v a
dt ds dt m
v K As
a
R mR mR
s
F ma m a a As
R
   
   
  
    

75. Bài 5: Một viên đạn khối lượng m =
10g đang bay với vận tốc v = 100m/s thì
gặp một bản gỗ dày và cắm sâu vào
bản gỗ một đoạn s = 4cm. Tìm:
a) Lực cản trung bình của bản gỗ lên
viên đạn.
b) Vận tốc viên đạn sau khi ra khỏi bản
gỗ chỉ dày d = 2cm.

76. a) Áp dụng ĐLBTĐN:
N
s
mv
F
sFmv
sFmvmv
c
c
c
1250
2
.
2
1
0
.
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2




77. b)
smv
m
dF
v
dFmvmv
dFmvmv
c
c
c
/70
.2
.
2
1
2
1
.
2
1
2
1
2
2
22
2
2
1
2
2




78. Bài 6:Một vật có khối lượng m = 2(kg) chịu
tác dụng lực của một lực bảo toàn (lực thế)
, x tính bằng m.
Cho U = 0 khi x = 1m.
a) Tính thế năng liên kết với lực này.
b) Tính độ biến đổi của thế năng và động
năng khi vật đi từ x = 2m đến x = 3m.
(2 8 ) ( )F x i N 
 

79. 1) Ta có:
2)
2
0 1
(2 8 )
(2 8 ) 4 2 2
x x
U x
dU
F dU F dx x dx
dx
dU x dx x x
       
       
2 2
12 1 2 (4.2 2.2 2) (4.3 2.3 2)
18
A U U
J
       
 

80. 7. Định luật bảo toàn cơ năng trong trường lực thế
Theo ĐLBTĐN: A12 = K2 - K1
Theo ĐNTN : A12 = U1 - U2
Nên K2 – K1 = U1 –U2  K1 + U1 = K2 + U
Vậy E1 = E2
Với E = K + U là cơ năng của chất điểm
Chú ý: Nếu ngoài các lực thế, chất điểm còn chịu
tác dụng của các lực không phải là lực thế (ví dụ
lực ma sát,…) thì cơ năng chất điểm không được
bảo toàn .

81. VIII. Trường hấp dẫn
1.ĐL Newton về lực hấp dẫn vũ trụ
Lực hấp dẫn giữa hai chất điểm khối lượng m1 và
m2 ở khoảng cách r là lực hút có chiều hướng vào
nhau và có độ lớn:
G = 6,67.10-11 (N.m2/kg2) là hằng số hấp dẫn
Để giải thích lực hấp dẫn, người ta cho rằng xung
quanh một vật có khối lượng, tồn tại một trường
hấp dẫn.
2
21
r
mm
GF 

82. 2. Thế năng trong trường hấp dẫn
Lực hấp dẫn giữa hai chất điểm m1 , m2 cách
nhau một khoảng r là:
Giả sử lực này làm thay đổi từ đến .
Công của lực F là:
Vì công này chỉ phụ thuộc vị trí đầu và cuối nên
lực hấp dẫn là lực thế.Vậy trường hấp dẫn là
trường thế.
1 2
2
.
m m r
F G
r r



2 2
1 1
12 1 2 1 22
2 1
1 1
.
r r
r r
dr
A F dr Gm m Gm m
r r r
 
     
 
 
 
r

1r

2r


83. Mà trong trường thế thì : A12 = U1 – U2
Vậy : là thế năng hấp dẫn
Nếu qui ước U = 0 khi thì const = 0
Lúc đó :
1 2m m
U G const
r
  
r  
1 2m m
U G
r
 

84. 3. Công của trọng lực và thế năng trong trường hấp
dẫn của Trái đất:
Giả sử chất điểm khối lượng m, chuyển động
trong trường hấp dẫn của QĐ từ độ cao h1 đến độ
cao h2 so với mặt đất. Công của trọng lực là:
M và R là khối lượng và bán kính Trái đất
Nếu h1 và h2 rất nhỏ so với R thì
12
2 12 1 (1 ) (1 )
GMm GMm GMm GMm
A
h hR h R h R R
R R
   
   
2 1
12 1 22
1 1 ( )
h hGMm GMm GMm
A h h
R R R R R
   
        
   

85. là gia tốc trọng trường trên mặt đất
Vậy A12 = mg( h1 –h2 )
Suy ra thế năng ở độ cao h là :
U = mgh
h là độ cao tính từ một mốc tùy ý
2
M
g G
R


86. Ví dụ 1: một vật khối lượng m = 10kg trượt
không vận tốc đầu từ đỉnh một mặt phẳng
nghiêng cao 20m xuống. Khi tới chân dốc vật có
vận tốc 15m/s. Tính công của lực ma sát.
Giải:
Áp dụng ĐLBTĐN:
2 2
2 2
1 1
2 2
1 1
835
2 2
o ms
ms o
mv mv mgh A
A mv mv mgh J
  
     

87. Ví dụ 2: Một vật khối lượng m lăn theo một
đường rãnh như hình vẽ. Hỏi độ cao h tối thiểu
phải bằng bao nhiêu để vật đi hết đường rãnh
nếu vận tốc của vật ở A bằng không.
A
B
M
C
O
h

88. Giả sử vật lăn đến điểm M . Pt Newton 2 cho vật
tại M:
Chiếu xuống phương OM (chiều + hướng đến O)
mg N ma 
  
2
2
2
cos( )
cos
cos
v
mg N m
R
v
mg N m
R
v
N mg m
R
 


  
   
  

89. Áp dụng ĐLBTCN tại vị trí ban đầu và tại M:
N có giá trị lớn nhất ở điểm B và giảm khi vật lăn
lên cao. Giá trị cực tiểu của N ứng với (điểm
cao nhất C):
Nếu vật còn ở trên rãnh tại điểm C thì nó sẽ đi
hết đường rãnh
2
2
1
(1 cos )
2
2 2 (1 cos )
3 cos 2 ( 1)
mgh mv mgR
mv mgh mgR
h
N mg mg
R



  
   
   
 
min (2 5)
h
N mg
R
 

90. Cho Nmin = 0 ta được:
min 2,5h R

91. Bài 1: Rãnh trượt gồm hai cung tròn
AB và BD bán kính R nằm trên mặt
phẳng thẳng đứng sao cho tiếp tuyến
BE tại điểm tiếp giáp có phương nằm
ngang. Bỏ qua lực ma sát, hãy xác định
độ cao h (so với đường BE) cần phải
đặt viên bi (xem như chất điểm) sao
cho nó có thể lăn tới điểm M1 nằm bên
dưới đường BE một khoảng cách cũng
bằng h.

92. PT Newton 2 cho viên bi tại M1
amNgm 
A
B
D
E
o
o
h
h
●
R
M1
mg
N


93. Chiếu lên trục hướng tâm:
Vì tại M1 viên bi rời khỏi cung BD nên N = 0,do đó:
Áp dụng ĐLBTCN ta được:
R
mv
maNmg n
2
cos 
R
mv
mg
2
cos 
Rh
R
hR
RRh
Rmgmvhmg
2,0
2
1
cos
2
1
2
cos
2
1
2
1
2 2







94. Bài 2: Ở đầu một sợi dây OA, dài l có
treo một vật nặng (hình vẽ). Hỏi tại
điểm thấp nhất A phải truyền cho vật
một vận tốc bé nhất bằng bao nhiêu để
vật có thể quay tròn trong mặt phẳng
thẳng đứng.
O
A

95. Sức căng T cực tiểu khi vật lên đến điểm cao nhất
PT Newton II tại điểm cao nhất B
Áp dụng ĐLBT cơ năng
Điều kiện
O
A
B
mg
T
2
min
Bv
mg T m
l
 
2 2
2
min
1 1
2
2 2
1 1
2
2 2
A B
A
mv mv mgl
mv mgl lT mgl
 
   
2
min
min
1 5
0 5
2 2
5
AT mv mgl v gl
v gl
    
 

96. IX. Momen động lượng và momen lực
1. ĐN:
* Momen ĐL của chất điểm đối với điểm O
* Momen của lực đối với điểm O
là động lượng của chất điểm
là vectơ vị trí của chất điểm
L r p 
  
F

r F 
  
M
p mv
 
r


97. có:
* điểm đặt tại O
* phương thẳng góc với và
* chiều xác định bằng qui tắc vặn nút chai
* độ lớn L = r.p.sinα , α là góc nhỏ hơn giữa hai
vectơ và
các định tương tự
L

r

p

r


M
O
●
L

r

p

p mv
 


98. 2. Các định lý và định luật
a)
b)
c) Nếu = 0 thì , mômen động lượng
của chất điểm được bảo toàn.
* Hình chiếu của lên một trục đi qua O là
momen động lượng và momen lực đối với trục đó.
dL dr d p
p r r F
dt dt dt
      
  
    
M
2 2 2
2 1
1 1 1
L t t
L t t
dL Mdt dL Mdt L L dt       
      
M

M L const

,L
 
M

99. X. Chuyển động của chất điểm trong THD
1. Khảo sát chuyển động của một chất điểm khối
lượng m trong THD của một chất điểm khối
lượng M đặt cố định tại O. Chọn O làm gốc tọa
độ. Áp dụng định lý momen động lượng đối với
chất điểm m:
F

d L
d t



M
O
p mv
 
L



100. Mà
Vì luôn vuông góc với , vậy quỹ đạo
của chất điểm phải nằm trong mặt phẳng đi qua
O và vuông góc với .
0 L const  
 
M
p mv
 
L

L


101. 2. Chuyển động trong trường hấp dẫn của QĐ
a) Vận tốc vũ trụ cấp một v1 : là vận tốc của một vệ
tinh chuyển động tròn đều quanh Trái Đất. Nếu
m là khối lượng của vệ tinh, r là bán kính quỹ
đạo của nó thì:
M, m là khối lượng của Trái Đất và của vệ tinh
Suy ra
2
2
r
Mm
G
r
mv

r
GM
v 

102. Khi nói vận tốc vũ trụ thứ nhất, người ta thường
hiểu ngầm là vệ tinh bay ở độ cao thấp, r xấp xỉ
bằng bán kính R của Trái Đất. Vậy:
Một vật chỉ có thể trở thành vệ tinh nhân tạo
chuyển động tròn nếu nó được truyền vận tốc có
độ lớn bằng v1 và có phương song song với mặt đất
skm
R
GM
v /8,71 

103. b). Vận tốc vũ trụ cấp II v2 : Đó là vận tốc tối thiểu
cần truyền cho một vật để nó bay ngày càng xa
QĐất. Áp dụng ĐLBTCN cho vật:
Vì
Vậy :













  GMmmv
R
Mm
G
mv
22
22
2
0
2
mv

2
2
2
mv Mm GM
G v
R R
   
skmvv /2,112 12 

104. Ví dụ: Chất điểm có khối lượng m
được ném lên từ điểm O trên mặt đất
với vận tốc ban đầu vo theo hướng
nghiêng góc với mặt phẳng nằm
ngang. Xác định tại 1 thời điểm t và đối
với O:
a) Momen ngoại lực tác dụng lên chất
điểm;
b)Momen động lượng của chất điểm.
Bỏ qua sức cản không khí


105. Ta có:
a)
b)
 21
2
cos
o o
o
r F gt v t mg mtv g
mtv g 
 
       
 
 
       
M
M
 2
2 2 2
2
1
2
1 1
2 2
1
cos
2
o o
o o o
o
L r p m gt v t gt v
m t g v t v g mt v g
L mgt v 
 
      
 
 
      
 
 
      
     