Cap´ıtulo 18Determina¸c˜ao de distˆanciasO m´etodo mais comum para se medir distˆancias grandes, a pontos ina-cess´ıveis, ...
Como se pode medir BC, DE e EC, pode-se calcular o lado AB e, ent˜ao,conhecer a distˆancia da ´arvore.Vemos que a dire¸c˜a...
Ent˜ao:d =Dp(rad)Como p ´e medido em radianos, d ter´a a mesma unidade de D.Recapitulando, para um triˆangulo de base D, a...
18.1 Paralaxe geocˆentrica e heliocˆentricaO mesmo m´etodo de triangula¸c˜ao ´e usado para medir as distˆancias de objetos...
para p sendo a paralaxe heliocˆentrica.18.2 Unidades de distˆancias astronˆomicas18.2.1 A unidade astronˆomicaA unidade ma...
18.2.2 O ano-luzO ano-luz (AL) ´e a distˆancia percorrida pela luz em um ano. Essa distˆanciaequivale a:1 AL = velocidade ...
onde c ´e a velocidade da luz, e d(T−J)T0´e a distˆancia entre a Terra e J´upiterna posi¸c˜ao T0.Ap´os um tempo (T4 −T0), ...
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At´e h´a poucos anos, com os telesc´opios de solo dispon´ıveis na Terra, amaior distˆancia de estrelas que se podia medir ...
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Astronomia e astrof´+¢sica parte 001

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Astronomia e astrof´+¢sica parte 001

  1. 1. Cap´ıtulo 18Determina¸c˜ao de distˆanciasO m´etodo mais comum para se medir distˆancias grandes, a pontos ina-cess´ıveis, ´e a triangula¸c˜ao. Na figura a seguir, est´a esquematizada, comoexemplo, a maneira de medir a distˆancia de uma ´arvore localizada do outrolado de um rio, sem atravess´a-lo:AdBCDETomando a ´arvore como um dos v´ertices, constru´ımos os triˆangulos se-melhantes ABC e DEC. BC ´e a linha de base do triˆangulo grande, ABe AC s˜ao os lados, que s˜ao as dire¸c˜oes do objeto (a ´arvore) vistas de cadaextremidade da linha base. Logo:ABBC=DEEC171
  2. 2. Como se pode medir BC, DE e EC, pode-se calcular o lado AB e, ent˜ao,conhecer a distˆancia da ´arvore.Vemos que a dire¸c˜ao da ´arvore, vista de B, ´e diferente da dire¸c˜ao da´arvore vista de C. Esse deslocamento aparente na dire¸c˜ao do objeto obser-vado devido `a mudan¸ca de posi¸c˜ao do observador chama-se paralaxe. Emastronomia, no entanto, costuma-se definir a paralaxe como a metade dodeslocamento angular total medido, como est´a ilustrado na figura a seguir.A1 A2dO2D2pSuponha que o ponto O seja o objeto cuja distˆancia se quer medir (a´arvore da figura anterior). 2D ´e a linha de base do triˆangulo, e os ˆangulosA1 e A2 s˜ao os ˆangulos entre a dire¸c˜ao do objeto visto de cada extremidadeda linha de base e a dire¸c˜ao de um objeto muito mais distante, tomado comoreferˆencia (pode ser uma montanha no horizonte, no exemplo anterior).Pela trigonometria, sabemos quetan p =DdComo p ´e conhecido p = A1+A22 , e D tamb´em ´e conhecido, podemos medira distˆancia d. Para ˆangulos pequenos, a tangente do ˆangulo ´e aproximada-mente igual ao pr´oprio ˆangulo medido em radianos. Ent˜ao, se p ≤ 4◦, tan p ≈p(rad).172
  3. 3. Ent˜ao:d =Dp(rad)Como p ´e medido em radianos, d ter´a a mesma unidade de D.Recapitulando, para um triˆangulo de base D, altura d, diagonal B eˆangulo θ entre D e B, temosB cos θ = D −→ B = D/ cos θB senθ = d −→ d = D senθ/ cos θ = D tan θComo na paralaxe medimos o ˆangulo p entre B e d, temostan p = D/d −→ d = D/ tan p D/p (rad)para ˆangulos menores que 4 graus.Transforma¸c˜ao de graus em radianos: em radianos, o valor de umˆangulo ´e igual ao arco que ele encerra, dividido pelo raio. Na figura a seguir,o arco de circunferˆencia a corresponde ao ˆangulo α. Logo, o valor de α emradianos ´eα(rad) =arrαaUma circunferˆencia de raio R tem per´ımetro de 2πr e abrange um ˆangulode 360◦. Usando a f´ormula anterior, vemos que o valor, em radianos, desses360◦ ´e 2πrr = 2π.O valor, em graus, de 1 radiano, ser´a:1 rad =360◦2π= 57, 29◦α(radianos) = α(graus)π180o−→ α(graus) = α(radianos)180oπ173
  4. 4. 18.1 Paralaxe geocˆentrica e heliocˆentricaO mesmo m´etodo de triangula¸c˜ao ´e usado para medir as distˆancias de objetosastronˆomicos. Mas, como esses objetos est˜ao muito distantes, ´e necess´arioescolher uma linha de base muito grande. Para medir a distˆancia da Lua oudos planetas mais pr´oximos, por exemplo, pode-se usar o diˆametro da Terracomo linha de base. Para se medir a distˆancia de estrelas pr´oximas, usa-seo diˆametro da ´orbita da Terra como linha de base.18.1.1 Paralaxe geocˆentricaAtualmente, a determina¸c˜ao de distˆancias de planetas ´e feita por radar en˜ao mais por triangula¸c˜ao, mas, antes da inven¸c˜ao do radar, os astrˆonomosmediam a distˆancia da Lua e de alguns planetas usando o diˆametro da Terracomo linha de base.A posi¸c˜ao da Lua em rela¸c˜ao `as estrelas distantes ´e medida duas vezes,em lados opostos da Terra e a paralaxe corresponde `a metade da varia¸c˜aototal na dire¸c˜ao observada dos dois lados opostos da Terra. Essa paralaxe ´echamada paralaxe geocˆentrica e ´e expressa por:p(rad) =RTerrad−→ d =RTerrap(rad)para p sendo a paralaxe geocˆentrica.18.1.2 Paralaxe heliocˆentricapt=0t=3 mesesSolr=1UAdA paralaxe heliocˆentrica ´e usada para medir a distˆancia das estrelas maispr´oximas. `A medida que a Terra gira em torno do Sol, podemos medir adire¸c˜ao de uma estrela em rela¸c˜ao `as estrelas de fundo quando a Terra est´ade um lado do Sol, e tornamos a fazer a medida seis meses mais tarde,quando a Terra est´a do outro lado do Sol. A metade do desvio total naposi¸c˜ao da estrela corresponde `a paralaxe heliocˆentrica, que ´e expressa por:p(rad) =raio da ´orbita da Terrad−→ d =1 UAp(rad)174
  5. 5. para p sendo a paralaxe heliocˆentrica.18.2 Unidades de distˆancias astronˆomicas18.2.1 A unidade astronˆomicaA unidade mais adequada para medir distˆancias dentro do sistema solar ´e aunidade astronˆomica (UA), que ´e a distˆancia m´edia da Terra ao Sol. Em 1 deoutubro de 1672 o planeta Marte estava muito pr´oximo da estrela brilhanteφ Aquarii e pr´oximo do perigeu. Com as observa¸c˜oes sumultˆaneas de JeanRicher (1630-1696) em Cayenne, na Guiana Francesa, Jean Picard (1620-1682) e Olaus Roemer (1644-1710) em Paris, Giovanni Domenico Cassini(1625-1712) estimou a paralaxe em 18”. Considerando que Marte est´a a1,52 UA do Sol, conforme determinado por Cop´ernico, estimou a unidadeastronˆomica como sendo 140 milh˜oes de km. O valor atual ´e de 149,59787069milh˜oes de km.A resolu¸c˜ao do olho humano ´e da ordem de 4’. A f´ormula da resolu¸c˜ao ´esen θ = 1, 22λ/Donde D ´e o diaˆametro da lente (ou olho ou espelho) e o fator 1,22 ´e a primeiraraiz da fun¸c˜ao de Bessel para uma forma esf´erica.Atualmente, a t´ecnica mais acurada para determinar o comprimento daunidade astronˆomica ´e medida por radar. No entanto, a determina¸c˜ao n˜aopode ser feita diretamente, pois se um sinal de r´adio fosse emitido direta-mente ao Sol, seu eco ficaria perdido no meio de todos os sinais de r´adio queo Sol emite. Portanto, se usa uma medida indireta.Por exemplo: suponha que um sinal de radar ´e enviado a Marte, quandoesse planeta est´a em oposi¸c˜ao, sendo encontrado que sua distˆancia `a Terra´e 77 790 890 km. A distˆancia m´edia de Marte ao Sol ´e determinada pelaterceira lei de Kepler como sendo de 1,52 UA. A distˆancia entre Terra eMarte, para Marte em oposi¸c˜ao, ´e portanto 0,52 UA. Ent˜ao:1UA =77 790 890 km0, 52= 1, 496 × 108kmA distˆancia de qualquer objeto, calculada em unidades astronˆomicas, ´edada por:d(UA) =1p(rad)175
  6. 6. 18.2.2 O ano-luzO ano-luz (AL) ´e a distˆancia percorrida pela luz em um ano. Essa distˆanciaequivale a:1 AL = velocidade da luz × 1 ano = 2, 9979 × 105km/s × 3, 1557 × 107s,1 AL = 9, 46 × 1012km.Determina¸c˜ao da velocidade da luzA determina¸c˜ao da velocidade da luz foi feita pela primeira vez em 1675, peloastrˆonomo dinamarquˆes Olaus Roemer (1644 - 1710), medindo o intervaloentre sucessivos eclipse da lua Io, de J´upiter (P=1,769138 d), para diferentespontos da ´orbita da Terra.TTTTTTTT01234567JupiterIoO intervalo de tempo entre os sucessivos eclipses ´e o per´ıodo de revolu¸c˜aodo sat´elite, que pode ser calculado pela 3a. Lei de Kepler. Roemer verificouque os eclipses ficavam atrasados quando J´upiter estava mais distante daTerra e adiantados quando J´upiter estava mais pr´oximo da Terra. O atrasototal quando a Terra ia de T0 para T4 era de 1000 segundos. Roemer atribuiuo efeito ao tempo que a luz levava para ir de um ponto da ´orbita da Terraao outro, isto ´e, do tempo que a luz levava para atravessar a diferen¸ca dadistˆancia entre o sat´elite e a Terra.Para ficar mais claro, vamos considerar que tT0 ´e a hora em que ocorre oeclipse quando a terra est´a na posi¸c˜ao T0. Como a luz tem velocidade finita,o eclipse s´o ser´a visto na Terra num tempo posterior, dado por:tT0= tT0 +d(T−J)T0c,176
  7. 7. onde c ´e a velocidade da luz, e d(T−J)T0´e a distˆancia entre a Terra e J´upiterna posi¸c˜ao T0.Ap´os um tempo (T4 −T0), a Terra estar´a na posi¸c˜ao T4, e vamos chamarde tT4 a hora prevista para acontecer o eclipse. Mas na Terra, o eclipse s´oser´a observado a uma hora:tT4= tT4 +d(T−J)T4c.Logo, o intervalo de tempo observado entre os eclipses, (tT4− tT0), ´emaior do que o intervalo de tempo real entre os eclipses, (tT4 − tT0 ). Adiferen¸ca vai ser:(tT4− tT0) − (tT4 − tT0 ) =d(T−J)T4− d(T−J)T0c.Se essa diferen¸ca ´e de 1000 s, ent˜ao:c =d(T−J)T4− d(T−J)T01000s=diˆametro da ´orbita da Terra1000s.Como a melhor estimativa para o eixo maior da ´orbita da Terra naquela´epoca era 241 500 000 km, Roemer deduziu a velocidade da luz como sendoc241 500 000 km1000 s= 241 500 km/sHoje sabemos que o eixo maior da ´orbita da Terra ´e 299 795 786 km,ent˜ao a velocidade da luz ´e:c =299 795 786 km1000 s= 299 795, 796 km/s 300 000 km/sSe um avi˜ao pudesse viajar `a velocidade da luz, ele daria sete voltascompletas em torno do equador da Terra em 1 segundo.18.2.3 O parsecUm parsec ´e a distˆancia de um objeto tal, que um observador nesse objetoveria o raio da ´orbita da Terra com um tamanho angular de 1 , ou, em outraspalavras, ´e a distˆancia de um objeto que apresenta paralaxe heliocˆentrica de1 .177
  8. 8. d = 1 pcp = 1"1 UAA distˆancia de qualquer objeto, em unidades astronˆomicas, correspondea:d(UA) =1p(rad)Se a distˆancia for 1 parsec, ent˜ao a paralaxe ser´a 1 . O ˆangulo de 1 ,expresso em radianos, vale:1 =1◦36002π rad360◦= 4, 848 × 10−6radLogo:1 pc =1 UA4, 848 × 10−6= 206 265 UAA distˆancia de um objeto, expressa em parsecs, ´e dada por:d(pc) =1p( )Um parsec, portanto, ´e igual a 206 265 UA, e ´e igual a 3,26 AL.Resumindo as trˆes unidades, para uma estrela com paralaxe heliocˆentricaqualquer, sua distˆancia ser´a:d(UA) =1p(rad)=206265p( )d(pc) =1p( )d(anos − luz) =3, 26p( )A estrela mais pr´oxima da Terra, Pr´oxima Centauri, est´a a uma distˆanciade 4,3 AL, que ´e maior do que 1 pc. Logo, mesmo para a estrela maispr´oxima, a paralaxe ´e menor do que 1 (na verdade ´e 0,76 ).178
  9. 9. At´e h´a poucos anos, com os telesc´opios de solo dispon´ıveis na Terra, amaior distˆancia de estrelas que se podia medir com precis˜ao melhor do que10% era 20 pc, que corresponde a paralaxes ≥ 0, 05 . O uso de CCDs etelesc´opios dedicados baixou a incerteza das observa¸c˜oes feitas em solo paraat´e 1 milisegundo de arco, similar `a incerteza das observa¸c˜oes com o sat´eliteHipparcos (HIgh-Precison PARallax COllecting Satellite), constru´ıdo paramedir com alta precis˜ao a posi¸c˜ao e paralaxe de 120 000 estrelas de nossagal´axia. ´E importante notar que 1 milisegundo de arco ´e o tamanho angularde uma pessoa na Lua vista da Terra. Para atingir essa precis˜ao, foi ne-cess´ario fazer a correc¸c˜ao pelo efeito relativ´ıstico do desvio da luz pelo Sol,que ´e de 1,7 segundos de arco na borda do Sol e 4 milisegundos de arco a90◦ do Sol.179

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