Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Conte´udo da apresenta¸c˜ao
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Tabela de car´ateres
Mapa do semin´ario
1 Tabela de car´ateres
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Tabela de car´ateres
Representa¸c˜oes de um elemento
Grupo −→ cole¸c˜ao ...
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Tabela de car´ateres
Representa¸c˜oes de um elemento
-1 0 1
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Tabela de car´ateres
Grupo do Diamante
Vamos estudar o grupo de simetria...
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Tabela de car´ateres
Grupo do Diamante
As a¸c˜oes sobre vetores (x,y,z)
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Tabela de car´ateres
Grupo do Diamante
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T. S. Mosque...
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Montando representa¸c˜oes
Mapa do semin´ario
1 Tabela de car´ateres
2 Mo...
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Montando representa¸c˜oes
Vetores para montar representa¸c˜oes
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Montando representa¸c˜oes
Rota¸c˜ao, sentido ante hor´ario, em torno de ...
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Rota¸c˜ao, sentido ante hor´ario, em torno de ...
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Rota¸c˜ao, sentido ante hor´ario, em torno de ...
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Rota¸c˜ao, sentido ante hor´ario, em torno de ...
Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Montando representa¸c˜oes
Espelho no plano x-y: σhyz = iC2x
Tu(σhyz)u =
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Montando representa¸c˜oes
Espelho no plano x-y: σhyz = iC2x
Tu(σhyz)u =
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Montando representa¸c˜oes
Base das Irreps
Todos os car´ateres da represe...
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Montando representa¸c˜oes
Tabela mais completa
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Montando representa¸c˜oes
Mias referˆencias
http://www.cryst.ehu.es/
T. ...
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Orbitais atˆomicos como bases de irreps
Mapa do semin´ario
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Orbitais atˆomicos como bases de irreps
Orbitais atˆomicos
Vamos testar ...
Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Orbitais atˆomicos como bases de irreps
Orbitais atˆomicos
Analogamente,...
Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Orbitais atˆomicos como bases de irreps
Invers˜ao dos Orbitais
Estudo al...
Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Orbitais atˆomicos como bases de irreps
Invers˜ao dos Orbitais
Estudo al...
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Orbitais atˆomicos como bases de irreps
Invers˜ao dos Orbitais
Estudo al...
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Orbitais atˆomicos como bases de irreps
Invers˜ao dos Orbitais
Estudo al...
Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias
Orbitais atˆomicos como bases de irreps
Invers˜ao dos outros Orbitais
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Orbitais atˆomicos como bases de irreps
Invers˜ao dos Orbitais
Estudo al...
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Orbitais atˆomicos como bases de irreps
Invers˜ao dos Orbitais
Estudo ge...
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Orbitais atˆomicos como bases de irreps
Invers˜ao dos Orbitais
Estudo ge...
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Significado de ∼
Mapa do semin´ario
1 Tabela de car´ateres
2 Montando rep...
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Significado de ∼
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x e x transformam-se d...
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Significado de ∼
Tabela com orbitais e bases para irreps
Significado de ∼
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Significado de ∼
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Significado de ∼
Segundo a tabela, ψ+
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Conclus˜ao
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  1. 1. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias Conte´udo da apresenta¸c˜ao Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias Thiago Schiavo Mosqueiro e Esmerindo Bernardes Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo 30 de Junho de 2010 T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 1/32
  2. 2. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias Conte´udo da apresenta¸c˜ao ?????? ??? T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 1/32
  3. 3. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias Conte´udo da apresenta¸c˜ao Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias Conte´udo resumido... Tabela de car´ateres Montagem de representa¸c˜oes Orbitais atˆomicos como bases de irreps Significado de “∼” Exemplo pr´atico: Xj | Pk | Xp = 0? T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 2/32
  4. 4. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias Tabela de car´ateres Mapa do semin´ario 1 Tabela de car´ateres 2 Montando representa¸c˜oes 3 Orbitais atˆomicos como bases de irreps 4 Significado de ∼ 5 Conclus˜ao T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 3/32
  5. 5. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias Tabela de car´ateres Representa¸c˜oes de um elemento Grupo −→ cole¸c˜ao de opera¸c˜oes Opera¸c˜oes sobre quem? Conjunto de ve- tores. A representa¸c˜ao depende da base escolhida Existe uma base que simultaneamente reduz todas as representa¸c˜oes de todos os elemen- tos `a forma blocodiagonal → irreps g • x = y → Ax = y g−1 • y = x → A−1 y = x Suponha g: rota¸c˜ao bidimensional por 90o no sentido hor´ario, e x os vetores usuais no plano. g • 1 1 = −1 1 0 −1 1 0 1 1 = −1 1 T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 4/32
  6. 6. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias Tabela de car´ateres Representa¸c˜oes de um elemento -1 0 1 0 1 -1 0 1 0 1 g 0 −1 1 0 1 1 = −1 1 Neste caso, A = 0 −1 1 0 O car´ater de A ´e definido como χA(g) := Tr(A) = 0 O car´ater de cada elemento depende da representa¸c˜ao . T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 5/32
  7. 7. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias Tabela de car´ateres Grupo do Diamante Vamos estudar o grupo de simetria (pontual) do Di- amante: Oh Oh = Td ⊗ C2 → mesmo grupo do Zincblende, adicionando a invers˜ao espacial S˜ao 48 diferentes opera¸c˜oes. 48 = 1 + 1 + 1 + 1 + 22 + 22 + 32 + 32 + 32 + 32 H´a 4 irreps unidimensionais, 2 bidimensionais e 4 tridimensionais T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 6/32
  8. 8. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias Tabela de car´ateres Grupo do Diamante As a¸c˜oes sobre vetores (x,y,z) T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 7/32
  9. 9. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias Tabela de car´ateres Grupo do Diamante Tabela de car´ateres T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 8/32
  10. 10. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias Montando representa¸c˜oes Mapa do semin´ario 1 Tabela de car´ateres 2 Montando representa¸c˜oes 3 Orbitais atˆomicos como bases de irreps 4 Significado de ∼ 5 Conclus˜ao T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 9/32
  11. 11. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias Montando representa¸c˜oes Vetores para montar representa¸c˜oes Escolhida uma base, podemos montar a representa¸c˜ao de cada um dos elementos do grupo. Vamos denotar a (matriz) representa¸c˜ao da opera¸c˜ao g, na base j, por Tj(g). Assim, podemos calcular χT (g) para cada g diferente e comparar com a ta- bela de caracteres. Vamos criar dois vetores e montar as representa¸c˜oes para estes veto- res. u =   x y z   v =   xz yz xy   T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 10/32
  12. 12. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias Montando representa¸c˜oes Rota¸c˜ao, sentido ante hor´ario, em torno de x por π: C2x Tu(C2x)u =   x −y −z   =   1 0 0 0 −1 0 0 0 −1     x y z   −→ χTu (C2x) = −1 Tv(C2x)v =   −xz yz −xy   =   −1 0 0 0 1 0 0 0 −1     xz yz xy   −→ χTv (C2x) = −1 T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 11/32
  13. 13. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias Montando representa¸c˜oes Rota¸c˜ao, sentido ante hor´ario, em torno de x por π: C2x Tu(C2x)u =   x −y −z   =   1 0 0 0 −1 0 0 0 −1     x y z   −→ χTu (C2x) = −1 Tv(C2x)v =   −xz yz −xy   =   −1 0 0 0 1 0 0 0 −1     xz yz xy   −→ χTv (C2x) = −1 Mesmos car´ateres T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 11/32
  14. 14. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias Montando representa¸c˜oes Rota¸c˜ao, sentido ante hor´ario, em torno de x + y por π: C2xy Tu(C2xy)u =   y x −z   =   0 1 0 1 0 0 0 0 −1     x y z   −→ χTu (C2x) = −1 Tv(C2x)v =   −yz −xz xy   =   0 −1 0 −1 0 0 0 0 1     xz yz xy   −→ χTv (C2x) = 1 T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 12/32
  15. 15. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias Montando representa¸c˜oes Rota¸c˜ao, sentido ante hor´ario, em torno de x + y por π: C2xy Tu(C2xy)u =   y x −z   =   0 1 0 1 0 0 0 0 −1     x y z   −→ χTu (C2x) = −1 Tv(C2x)v =   −yz −xz xy   =   0 −1 0 −1 0 0 0 0 1     xz yz xy   −→ χTv (C2x) = 1 Car´ateres diferentes! T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 12/32
  16. 16. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias Montando representa¸c˜oes Espelho no plano x-y: σhyz = iC2x Tu(σhyz)u =   −x y z   =   −1 0 0 0 1 0 0 0 1     x y z   −→ χTu (σhyz) = 1 Tv(σhyz)v =   −xz yz −xy   =   −1 0 0 0 1 0 0 0 −1     xz yz xy   −→ χTv (σhyz) = −1 T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 13/32
  17. 17. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias Montando representa¸c˜oes Espelho no plano x-y: σhyz = iC2x Tu(σhyz)u =   −x y z   =   −1 0 0 0 1 0 0 0 1     x y z   −→ χTu (σhyz) = 1 Tv(σhyz)v =   −xz yz −xy   =   −1 0 0 0 1 0 0 0 −1     xz yz xy   −→ χTv (σhyz) = −1 Car´ateres diferentes! T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 13/32
  18. 18. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias Montando representa¸c˜oes Base das Irreps Todos os car´ateres da representa¸c˜ao Tu concordam com os da irrep Γ− 15, ent˜ao u ´e dito base para Γ− 15 . Todos os car´ateres da representa¸c˜ao Tv concordam com os da irrep Γ+ 25, ent˜ao v ´e dito base para Γ+ 25 . Caso n˜ao concordasse com nenhuma das representa¸c˜oes, existe uma pres- cri¸c˜ao simples que indica qual a “com- bina¸c˜ao de irreps” que constroi a repre- senta¸c˜ao em quest˜ao. T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 14/32
  19. 19. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias Montando representa¸c˜oes Tabela mais completa http://www.webqc.org/symmetry.php H´a tabelas mais completas Bases com potˆencias de coordena- das Nota¸c˜ao - A s˜ao ireps 1D, E s˜ao 2D e T s˜ao 3D O ´ındice g significa sim´etrico (ge- rade) e u, antissim´etrico (ungerade) T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 15/32
  20. 20. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias Montando representa¸c˜oes Mias referˆencias http://www.cryst.ehu.es/ T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 16/32
  21. 21. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias Orbitais atˆomicos como bases de irreps Mapa do semin´ario 1 Tabela de car´ateres 2 Montando representa¸c˜oes 3 Orbitais atˆomicos como bases de irreps 4 Significado de ∼ 5 Conclus˜ao T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 17/32
  22. 22. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias Orbitais atˆomicos como bases de irreps Orbitais atˆomicos Vamos testar a seguir alguns orbitais atˆomicos e descobrir como se transformam segundo os elementos do grupo Oh. Vamos utilizar quatro orbitais: s e 3p. ψ± x (r) = (x + a)φ(|r + aˆx|)±(x − a)φ(|r − aˆx|) x = 0 + + ++ - - -- 2a x = 0 + + ++ - - -- 2a T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 18/32
  23. 23. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias Orbitais atˆomicos como bases de irreps Orbitais atˆomicos Analogamente, definimos os outros 2 orbitais p: ψ± y (r) = yφ(|r + aˆx|) ± yφ(|r − aˆx|) ψ± z (r) = zφ(|r + aˆx|) ± zφ(|r − aˆx|) x = 0 + + + + - - -- 2a Por ´ultimo, temos os orbitais s: ψ± s (r) = ϕ(|r + aˆx|) ± ϕ(|r − aˆx|) Vamos usar a invers˜ao espacial i para estudar estes orbitais: i xyz → ¯x¯y¯z. T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 19/32
  24. 24. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias Orbitais atˆomicos como bases de irreps Invers˜ao dos Orbitais Estudo alg´ebrico iψ± x = (−x + a)iφ(|r + aˆx|) ± (−x − a)iφ(|r − aˆx|) = (−x + a)φ i−1 |r + aˆx| ± (−x − a)φ i−1 |r − aˆx| i2 xyz = i (i xyz) = i ¯x¯y¯z = xyz → ∴ i2 = e ou i = i−1 i|r+aˆx| = i|(x+a, y, z)| = |(−x+a, y, z)| = (−x+a)2 + y2 + z2 = |r−aˆx| i|r−aˆx| = i|(x−a, y, z)| = |(−x−a, y, z)| = (−x − a)2 + y2 + z2 = |r+aˆx| T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 20/32
  25. 25. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias Orbitais atˆomicos como bases de irreps Invers˜ao dos Orbitais Estudo alg´ebrico iψ± x = (−x + a)iφ(|r + aˆx|) ± (−x − a)iφ(|r − aˆx|) = (−x + a)φ i−1 |r + aˆx| ± (−x − a)φ i−1 |r − aˆx| i2 xyz = i (i xyz) = i ¯x¯y¯z = xyz → ∴ i2 = e ou i = i−1 i|r+aˆx| = i|(x+a, y, z)| = |(−x+a, y, z)| = (−x+a)2 + y2 + z2 = |r−aˆx| i|r−aˆx| = i|(x−a, y, z)| = |(−x−a, y, z)| = (−x − a)2 + y2 + z2 = |r+aˆx| T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 20/32
  26. 26. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias Orbitais atˆomicos como bases de irreps Invers˜ao dos Orbitais Estudo alg´ebrico iψ± x = (−x + a)iφ(|r + aˆx|) ± (−x − a)iφ(|r − aˆx|) = (−x + a)φ i−1 |r + aˆx| ± (−x − a)φ i−1 |r − aˆx| i2 xyz = i (i xyz) = i ¯x¯y¯z = xyz → ∴ i2 = e ou i = i−1 i|r+aˆx| = i|(x+a, y, z)| = |(−x+a, y, z)| = (−x+a)2 + y2 + z2 = |r−aˆx| i|r−aˆx| = i|(x−a, y, z)| = |(−x−a, y, z)| = (−x − a)2 + y2 + z2 = |r+aˆx| T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 20/32
  27. 27. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias Orbitais atˆomicos como bases de irreps Invers˜ao dos Orbitais Estudo alg´ebrico iψ± x = −(x − a)iφ(|r − aˆx|) ∓ (x + a)iφ(|r + aˆx|) = ∓ [(x + a)φ(|r + aˆx|) ± (x − a)φ(|r − aˆx|)] Car´ateres diferentes! T±(i)ψ± x (r) = ∓ψ± x (r) Car´ater para i: χ±(i) = ∓1 T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 21/32
  28. 28. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias Orbitais atˆomicos como bases de irreps Invers˜ao dos outros Orbitais Estudo alg´ebrico Fazemos o mesmo com os orbitais px e py. iψ± y = −yiφ(|r+aˆx|)±(−y)iφ(|r−aˆx|) = −y φ i−1 |r + aˆx| ± φ i−1 |r − aˆx| = ∓ yφ i−1 |r + aˆx| ± yφ i−1 |r − aˆx| = ∓ψ± y iψ± z = −ziφ(|r+aˆx|)±(−z)iφ(|r−aˆx|) = −z φ i−1 |r + aˆx| ± φ i−1 |r − aˆx| = ∓ zφ i−1 |r + aˆx| ± zφ i−1 |r − aˆx| = ∓ψ± z T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 22/32
  29. 29. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias Orbitais atˆomicos como bases de irreps Invers˜ao dos Orbitais Estudo alg´ebrico Para os ramos +, definimos u =   ψ+ x ψ+ y ψ+ z   u ´e dito base de Γ− 15 Para os ramos −, definimos v =   ψ− x ψ− y ψ− z   u ´e dito base de Γ+ 25 T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 23/32
  30. 30. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias Orbitais atˆomicos como bases de irreps Invers˜ao dos Orbitais Estudo geom´etrica Podemos ver isso tamb´em geometricamente Ao efetuar a invers˜ao, ψ+ x → −ψ+ x Similarmente, ψ− x → ψ− x Isso se reflete na diferen¸ca de car´ateres para estas duas fun¸c˜oes. Todas as outras opera¸c˜oes podem ser feitas de forma similar + + ++ - - -- + + ++ - - -- T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 24/32
  31. 31. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias Orbitais atˆomicos como bases de irreps Invers˜ao dos Orbitais Estudo geom´etrica Podemos ver isso tamb´em geometricamente Ao efetuar a invers˜ao, ψ+ x → −ψ+ x Similarmente, ψ− x → ψ− x Isso se reflete na diferen¸ca de car´ateres para estas duas fun¸c˜oes. Todas as outras opera¸c˜oes podem ser feitas de forma similar + + ++ - - -- + + ++ - - -- T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 25/32
  32. 32. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias Significado de ∼ Mapa do semin´ario 1 Tabela de car´ateres 2 Montando representa¸c˜oes 3 Orbitais atˆomicos como bases de irreps 4 Significado de ∼ 5 Conclus˜ao T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 26/32
  33. 33. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias Significado de ∼ Significado de ∼ Observamos que ψ+ x e x transformam-se de forma semelhante, ambos sendo base para Γ− 15. Por isso, podemos dizer que ψ+ x transforma-se como a coordenada x. a ∼ b se lˆe a transforma-se como b Sim´etrico: a ∼ b → b ∼ a Ligando os orbitais atˆomicos `as bases das irreps, em geral facilitam-se as contas! As tabelas nos ajudam a explorar as simetrias: ´e muito mais f´acil transformar o vetor (x, y, z) comparado ao (ψ+ x , ψ+ y , ψ+ z ); o mesmo para (ψ− x , ψ− y , ψ− z ), usando o vetor (xz, yz, xy) T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 27/32
  34. 34. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias Significado de ∼ Tabela com orbitais e bases para irreps Significado de ∼ T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 28/32
  35. 35. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias Significado de ∼ Orbitais s Significado de ∼ Segundo a tabela, ψ+ s ∼ Γ+ 1 e ψ− s ∼ Γ− 2 . iψ± s = φ(i|r + aˆx|) ± φ(i|r − aˆx|) = φ(i|r − aˆx|) ± φ(|r + aˆx|) ± {φ(i|r + aˆx|) ± φ(|r − aˆx|)} iψ± s = ±ψs s ψ+ s ∼ x2 + y2 + z2 ψs − + ∼ xyz T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 29/32
  36. 36. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias Conclus˜ao Mapa do semin´ario 1 Tabela de car´ateres 2 Montando representa¸c˜oes 3 Orbitais atˆomicos como bases de irreps 4 Significado de ∼ 5 Conclus˜ao T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 30/32
  37. 37. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias Conclus˜ao Breves coment´arios A tabela de car´ateres resume as informa¸c˜oes mais pertinentes sobre as irreps Dada uma fun¸c˜ao, h´a uma prescri¸c˜ao para descobrir como ela transforma-se Conhecendo as bases das irreps que transformam a fun¸c˜ao auxilia para argumentos de simetria Com essas irreps, podemos utilizar diversos teoremas de Teoria de Grupos T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 31/32
  38. 38. Orbitais Atˆomicos do Ponto de Vista de Simetrias Conclus˜ao Obrigado pela aten¸c˜ao Uma boa referˆencia: Uma Introdu¸c˜ao `a Teoria de Grupos com Aplica¸c˜oes em Mol´eculas e S´olidos, Adalberto Fazzio e Kazunori Watari The crystallographic site at the Condensed Matter Physics Dept. of the University of the Basque Country: http://www.cryst.ehu.es/ The Online Chemistry Education: http://www.webqc.org/symmetry.php Trabalho sobre o suporte de Beamer, Fedora 13 β e diversos outros pacotes e programas. T. S. Mosqueiro e E. Bernardes @ Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo - 30 de Junho de 2010 32/32

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