Álgebra Booleana, postulados, teoremas, formas canônicas e padrão, simplificação

1. Álbebra Booleana
Prof. Tony Alexander Hild
Lógica Digital – 1 CC – Unicentro – 2013

2. Princípio da Dualidade
●
Em álgebra Booleana a dualidade pode ser obtida
trocando operadores · e + e substituindo 0s por 1s e
vice-versa.
Exemplo:
(a · b) + c' = (a' + b') · c
2

3. Postulados e Teoremas da Álgebra
Booleana
●
Postulado 1 – Operações:
A álgebra Booleana tem um conjunto K de 2 ou mais valores e duas
operações · e +, de modo que para todo a, b pertencentes a K:
a·b∈K
a+b∈K
●
Postulado 2 – Valores Neutros:
Existem valores 0 e 1 tais que:
a+0=a
a·1=a
3

4. Postulados e Teoremas da Álgebra
Booleana
●
Postulado 3 – comutatividade:
a+b=b+a
a·b=b·a
●
Postulado 4 – associatividade:
a + (b + c) = (a + b) + c
a · (b · c) = (a · b) · c
●
Postulado 5 – distributividade:
a + (b · c) = (a + b) · (a + c)
a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
4

5. Postulados e Teoremas da Álgebra
Booleana
●
Postulado 6 – existência de complemento:
Para todo a ∈ K, existe um e apenas um a' ∈ K,
chamado de complemento de a, tal que:
a + a' = 1
a · a' = 0
5

6. Postulados e Teoremas da Álgebra
Booleana
●
Teorema 1 (Idempotência):
A soma ou o produto de um valor por ele mesmo é igual
a ele mesmo.
a+a=a
a·a=a
____________________________
Prova
6

7. Postulados e Teoremas da Álgebra
Booleana
●
Teorema 2 (Aniquilação):
a+1=1
a·0=0
____________________________
Prova
7

8. Postulados e Teoremas da Álgebra
Booleana
●
Teorema 3 (Involução):
●
Teorema 4 (Absorção):
a + (a · b) = a
a · (a + b) = a
____________________________
Prova
8

9. Postulados e Teoremas da Álgebra
Booleana
●
Teorema 5:
a + a' · b = a + b
a · (a' + b) = a · b
____________________________
Prova
9

10. Postulados e Teoremas da Álgebra
Booleana
●
Teorema 6 (Adjacência lógica):
a · b + a · b' = a
(a + b) · (a + b) = a
____________________________
Prova
10

11. Postulados e Teoremas da Álgebra
Booleana
●
Teorema 7:
a · b + a · b' · c = a · b + a · c
(a + b) · (a + b + c) = (a + b) · (a + c)
____________________________
Prova
11

12. Postulados e Teoremas da Álgebra
Booleana
●
Teorema 8 (Leis de DeMorgan):
(a + b)' = a' · b'
(a · b)' = a' + b'
____________________________
Prova
12

13. Postulados e Teoremas da Álgebra
Booleana
●
Teorema 9 (Teorema do Consenso):
a · b + a' · c + b · c = a · b + a' · c
(a + b) · (a' + c) · (b + c) = (a + b) · (a' + c)
____________________________
Prova
13

14. Leis de DeMorgan
14

15. Leis de DeMorgan
15

16. Universalidade das portas NAND
16

17. Universalidade das portas NOR
17

18. Resumo dos Postulados e Teoremas
18

19. Postulados e Teoremas expressos por meio de
portas lógicas
19

20. Representação alternativa
20

21. Exemplos de simplificações
21

22. Exemplos de simplificações
22

23. Exemplos de simplificações
23

24. Exemplos de simplificações
24

25. Exemplos de simplificações
25

26. Exemplos de simplificações
26

27. Mais exemplos de simplificações
27

28. Formas Canônica e Padrão
●
Precisamos considerar técnicas formais para a
simplificação de funções booleanas.
–
–
–
–
–
Funções idênticas terão exatamente a mesma forma
canônica;
Mintermos e maxtermos;
Soma dos mintermos e Produtos dos maxtermos;
Produto e soma de termos;
Soma de Produtos (SOP) e Produto de Somas (POS).
28

29. Definições
●
Literal: Uma variável ou o seu complemento;
●
Termo Produto: literais conectados por ·;
●
Termo Soma: literais conectados por +;
●
●
Mintermo: um termo Produto em que todas as
variáveis aparecem exatamente uma vez, seja
complementada ou não complementada;
Maxtermo: um termo de Soma em que todas as
variáveis aparecem exatamente uma vez, seja
complementada ou não complementada.
29

30. Mintermo
●
●
●
●
Representa exatamente uma combinação na tabela verdade;
Denotado por mj, onde j é o equivalente decimal dos mintermos
correspondente à combinação binária (bj);
Uma variável em mj é complementada se seu valor em bj for 0, caso
contrário é não complementada;
Exemplo: Dadas 3 variáveis (A,B,C), e j=3. Então, bj = 011 e seu
mintermo correspondente é denotado por mj = A’BC.
30

31. Maxtermo
●
●
●
●
Representa exatamente uma combinação na tabela verdade;
Denotado por Mj, onde j é o equivalente decimal dos maxtermos
correspondente à combinação binária (bj);
Uma variável em Mj é complementada se seu valor em bj for 1,
caso contrário é não complementada;
Exemplo: Dadas 3 variáveis (A,B,C), e j=3. Então, bj = 011 e
seu maxtermo correspondente é denotado por Mj = A+B'+C'.
31

32. Tabela verdade para a notação de Mintermos e
Maxtermos
●
●
Mintermos e Maxtermos são fáceis de denotar usando
uma tabela verdade;
Examplo: Assuma 3 variáveis A,B,C (com ordem fixa).
Decimal A
0
0
1
0
2
0
3
0
4
1
5
1
6
1
7
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
f(A,B,C)
1
0
1
1
0
0
1
1
Mintermos
m0 = A'B'C'
m1 = A'B'C
m2 = A'BC'
m3 = A'BC
m4 = AB'C'
m5 = AB'C
m6 = ABC'
m7 = ABC
Maxtermos
M0 = A + B + C
M1 = A + B + C'
M2 = A + B' + C
M3 = A + B' + C'
M4 = A' + B + C
M5 = A' + B + C'
M6 = A' + B' + C
M7 = A' + B' + C'
32

33. Formas Canônicas (Únicas)
●
●
Qualquer função Booleana f( ) pode ser expressada
como uma soma única de mintermos ou um produto
único de maxtermos (sob uma ordem de variáveis fixa);
Em outras palavras, toda função f( ) possui duas formas
canônicas:
–
–
Soma de Produtos Canônica (soma de mintermos);
Produto de Somas Canônico (produto de maxtermos).
33

34. Formas Canônicas (cont.)
●
Soma de Produtos Canônica:
Os mintermos incluídos são os mj tal que f( ) = 1 na
linha j da tabela verdade para f( ).
Produto de Somas Canônico:
–
●
–
Os maxtermos incluídos são os Mj tal que f( ) = 0 na
linha j da tabela verdade para f( ).
34

35. Exemplo
●
Tabela verdade para f(A,B,C);
●
A forma canônica de soma de produtos para f é:
–
●
A forma canônica de produto de somas para F é:
–
●
f(A,B,C) = m1 + m2 + m4 + m6 = A’B’C + A’BC’ + AB’C’ + ABC’
f(A,B,C) = M0 · M3 · M5 · M7 = (A+B+C) · (A+B’+C’) · (A’+B+C’) ·
(A’+B’+C’)
Observe que: mj = Mj’.
0
1
2
3
4
5
6
7
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
F
0
1
1
0
1
0
1
0
35

36. Abreviatura: ∑ e ∏
●
●
●
f(A,B,C) = ∑ m(1,2,4,6), onde ∑ indica que é a forma Soma de
Produtos, e m(1,2,4,6) indica que os mintermos que devem ser
incluídos são m1, m2, m4, e m6.
f(A,B,C) = ∏ M(0,3,5,7), onde ∏ indica que é a forma Produto
de Somas, e M(0,3,5,7) indica que os maxtermos que devem ser
incluídos são M0, M3, M5, e M7.
Como mj = Mj’ para todo j,
∑ m(1,2,4,6) = ∏ M(0,3,5,7) = f(A,B,C)
36

37. Conversão entre Formas Canônicas
●
●
Substitua ∑ por ∏ (ou vice versa) e substitua os j’s que estão na forma
original pelos que não estão.
Example:
f(A,B,C) = A’B’C + A’BC’ + AB’C’ + ABC’
= m1 + m2 + m4 + m6
= ∑(1,2,4,6)
= ∏(0,3,5,7)
= (A+B+C)·(A+B’+C’)·(A’+B+C’)·(A’+B’+C’)
37

38. Formas Padrão (Não Únicas)
●
●
●
Formas Padrão são “como” Formas Canônicas, exceto
que nem todas as variáveis precisam aparecer nos
termos produto (SOP) ou soma (POS) individuais;
Exemplo:
f(A,B,C) = A’B’C + BC’ + AC’
é uma forma padrão de soma de produtos.
f(A,B,C) = (A+B+C)·(B’+C’)·(A’+C’)
é uma forma padrão de produto de somas.
38

39. Conversão de SOP da forma padrão para a
forma canônica
●
●
●
Expanda os termos não-canônicos inserindo o
equivalente a 1 em cada variável x ausente:
(x + x’) = 1
Remova os mintermos duplicados
f(A,B,C) = A’B’C + BC’ + AC’
= A’B’C + (A+A’)BC’ + A(B+B’)C’
= A’B’C + ABC’ + A’BC’ + ABC’ + AB’C’
= A’B’C + ABC’ + A’BC + AB’C’
39

40. Conversão de POS da forma padrão para a
forma canônica
●
●
●
Expanda os termos não-canônicos adicionando 0 nos termos
com variáveis faltantes (e.g., xx’ = 0) e use a lei distributiva.
Remova os maxtermos duplicados.
f(A,B,C) = (A+B+C)·(B’+C’)·(A’+C’)
= (A+B+C)·(AA’+B’+C’)·(A’+BB’+C’)
= (A+B+C)·(A+B’+C’)·(A’+B’+C’)·
(A’+B+C’)·(A’+B’+C’)
= (A+B+C)·(A+B’+C’)·(A’+B’+C’)·(A’+B+C’)
40