Multivix - Mecânica dos fluidos parte2

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Parte 2 de Mecânica dos Fluidos I ministrada na Multivix 2014_1.

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Multivix - Mecânica dos fluidos parte2

  1. 1. 1 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS A pressão aplicada num ponto de um fluído em repouso transmite-se integralmente a todos os pontos do fluído. LEI DE PASCAL
  2. 2. 2 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS Na “figura a” o fluido apresenta uma superficie livre à atmosfera e as pressões hipotéticas são: P1 = 1N/cm2 // P2 = 2N/cm2 P3 = 3N/cm2 // P4 = 4N/cm2 LEI DE PASCAL
  3. 3. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 3 MECÂNICA DOS FLUÍDOS Na “figura b” ao aplicar uma força de 100N, tem-se um acréscimo de pressão igual a: [A] [F] [P]  2 5 100 [P] cm N  2 P  20N / cm LEI DE PASCAL
  4. 4. 4 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS LEI DE PASCAL Na “figura b” as pressões nos pontos indicados deverão ter portanto: P1 = 21N/cm2 // P2 = 22N/cm2 P3 = 23N/cm2 // P4 = 24N/cm2
  5. 5. 5 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS LEI DE PASCAL Torna-se evidente, então, o significado da lei de pascal que apresenta a sua maior importancia em problemas de dispositivos que transmitam e ampliam uma força atráves da pressão aplicada num fluído.
  6. 6. 6 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS Calcule a força de pressão no ponto 2 da prensa hidráulica esquematica que possua 2 embolos com áreas A1 = 10cm2 e A2 = 100 cm2 ao ser aplicado uma força de 200N no ponto. LEI DE PASCAL Exercicio
  7. 7. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 7 MECÂNICA DOS FLUÍDOS Sabemos que a pressão transmitida pelo embolo (1) é LEI DE PASCAL Exercicio 1 1 1 A F P  Mas pela lei de pascal ela será transmitida integralmente ao embolo (2), então: P1 = P2 Logo: P2A2 = P1A2 = F2 Como: P1 = 20N/cm2 Então: F2 = 20 x 100 = 2.000 N P1 = 20N/cm2
  8. 8. 8 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS Podemos notar que por meio deste dispositivo, não só é possivel transmitir uma força, como também ampliá-la. Este é o principio das prensa hidráulicas, dispositivos de controle e freios. LEI DE PASCAL P1 = 20N/cm2
  9. 9. 9 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS É a expressão que por meio de um manometro determinar a pressão de um reservatório ou a diferença de pressão entre eles. Pela lei de pascal a pressão de transmite integralmente a todos os pontos do fluído e pelo teorema de Stevin temos: EQUAÇÃO MANOMÉTRICA
  10. 10. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 10 MECÂNICA DOS FLUÍDOS Pressão no fundo esquerdo: Pfe  Pa  γa(h1 h2 ) γm.h2 EQUAÇÃO MANOMÉTRICA Pressão no fundo direito: Pfd  Pb  γb(h4  h3 ) γm.h3
  11. 11. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 11 MECÂNICA DOS FLUÍDOS Pressão no fundo esquerdo: Pfe  Pa  γa(h1 h2 ) γm.h2 EQUAÇÃO MANOMÉTRICA Pressão no fundo direito: Pfd  Pb  γb(h4  h3 ) γm.h3 Então: Pa  γa(h1 h2 ) γm.h2  Pb  γb(h4  h3 ) γm.h3 Logo: Pa  Pb  γb(h4  h3 ) γm.h3  γa(h1 h2 ) γm.h2
  12. 12. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 12 MECÂNICA DOS FLUÍDOS Pa  γ1.h1 γ2.h2  γ3.h3  γ4.h4  γ5.h5  γ6.h6  Pb Calcule a pressão no ponto b:
  13. 13. 13 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS Calcule a pressão manométrica na escala efetiva Pressão efetiva = 0 atm Calcule a força de pressão no topo do reservatório
  14. 14. 14 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS Calculando a pressão manométrica na escala efetiva Dado: 1 atm = 1,01325 × 105 Pa Peso especifico do ar = 12,7 N/m3 Na escala efetiva Patm = 0. Então temos: 030....222LsenγhγhγhγPOHOHOHóleoóleoararm0306,0100002,0100001,0800008,07,12xsenxxxxPm030002000800016,1mP2N/m 199mP
  15. 15. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 15 MECÂNICA DOS FLUÍDOS Calculando a força de pressão no topo do reservatório Fm  Pm x A Fm 199 x 10 Fm 1990 N
  16. 16. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 16 MECÂNICA DOS FLUÍDOS Na figura são mostrados dois cilindros mostrados em série. qual a força de pressão F1 necessária para manter o equilíbrio se P1 = 70Kgf/cm2? A1 = 60 cm2; A2 = 20 cm2; A3 = 40cm2 ; F2 = 1400kgf, F  0 F1  F2  P1  0 Calculando a força de pressão exercicida no cilindro superior pelo cilindro inferior 1 2 1' P A F  ' 1400 ' 70 20 1 1   F F x 1400 1400 ' 1 1 1 2     F F F F
  17. 17. 17 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS Se um fluído está em repouso, por definição, não podem existir forças tangenciais agindo nele, portanto, todas as forças serão normais a superficie submersa. FORÇAS EM UMA SUPERFICIE PLANA SUBMERSA
  18. 18. 18 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS O fluido exerce uma força perpendicular nas superfícies submersas quando está em repouso, devido a ausência de tensões de cisalhamento, e a pressão varia linearmente com a profundidade se o fluido for incompressível. FORÇAS EM UMA SUPERFICIE PLANA SUBMERSA O módulo da força resultante sobre a superfície inferior do tanque do líquido é:
  19. 19. 19 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS O fluido exerce uma força perpendicular nas superfícies submersas quando está em repouso, devido a ausência de tensões de cisalhamento, e a pressão varia linearmente com a profundidade se o fluido for incompressível. FORÇAS EM UMA SUPERFICIE PLANA SUBMERSA O módulo da força resultante sobre a superfície inferior do tanque do líquido é: p = pressão da superfície inferior A = área da superfície
  20. 20. 20 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS Se a pressão atmosférica atuar na superfície livre do fluido e na superfície inferior do tanque a força resultante na superfície inferior é devido somente ao líquido contido no tanque, porque as pressão atmosférica se anulam, já que são iguais mais sentidos inversos. FORÇAS EM UMA SUPERFICIE PLANA SUBMERSA A força resultante atua no centróide da área da superfície inferior porque a pressão é constante e está distribuída uniformemente nesta superfície.
  21. 21. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 21 MECÂNICA DOS FLUÍDOS A força que atua em dA (área diferencial localizada a uma profundidade h) é: FORÇAS EM UMA SUPERFICIE PLANA SUBMERSA dF  .h.dA γ = peso especifico do fluido // h = altura CP = Centro de pressão // CG = Centro de gravidade dA = Área diferencial // dF = Força diferencial
  22. 22. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 22 MECÂNICA DOS FLUÍDOS Segundo a lei de Stevin, neste caso, a pressão varia de ponto a ponto, portanto não é possivel obter diretamente a força através da expressão. F = pxA FORÇAS EM UMA SUPERFICIE PLANA SUBMERSA  Portanto a força de pressão será a somatória dos produtos de áreas pelas pressões elementares, ou seja, no elemento de área dA no qual a pressão é constante, temos: Portanto a força de pressão será a somatória dos produtos de áreas pelas pressões elementares, ou seja: dA = x.dy // P = y.h // h = Y.senθ
  23. 23. 23 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS FORÇAS EM UMA SUPERFICIE PLANA SUBMERSA Como: P = Y.h // h = Y.senθ Temos então: dApdF. dAhdF.. dAsenYdF)...( dAsenYdF)...( dAYsenF..
  24. 24. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 24 MECÂNICA DOS FLUÍDOS FORÇAS EM UMA SUPERFICIE PLANA SUBMERSA F  .sen Y.dA Y.dA Momento de primeira ordem área em relação ao eixo X. Portanto, pode-se escrever: Y.dA Yc.A    y é a coordenada y do centróide medido a partir do eixo X que passa através de O.
  25. 25. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 25 MECÂNICA DOS FLUÍDOS FORÇAS EM UMA SUPERFICIE PLANA SUBMERSA   F  .sen Y .dA γ.dA Y.A    F γ.senθ.Y.A   Logo: F .sen .Y .A .h.A      
  26. 26. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 26 MECÂNICA DOS FLUÍDOS FORÇAS EM UMA SUPERFICIE PLANA SUBMERSA F  .sen Y.dA γ.dA Y.A    F .sen .Y.A    Logo: F .sen .Y .A .h.A      
  27. 27. 27 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS FORÇAS EM UMA SUPERFICIE PLANA SUBMERSA Como todas forças diferenciais que compõem Fr são perpendiculares a superfície, a resultante destas forças também será perpendicular a superfície. Apesar de nossa intuição sugerir que a linha de ação da força resultante deveria passar através do centróide da área (centro de gravidade) este não é o caso.
  28. 28. 28 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS FORÇAS EM UMA SUPERFICIE PLANA SUBMERSA O centro de pressão (CP) é o ponto de aplicação da força resultante das pressões sobre uma área (dA). Analisando a figura a partir o eixo (Ox) a força de pressão elementar é na superficie submersa é dada por:
  29. 29. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 29 MECÂNICA DOS FLUÍDOS FORÇAS EM UMA SUPERFICIE PLANA SUBMERSA dF  p.dA dF  Y.( .sen ).dA Já desenvolvemos essa relação O momento da força de pressão é o produto da força pela distancia do eixo do centro de pressão Y.dF  (Y.( .sen ).dA).Y Y.dF Y . .sen .dA 2   
  30. 30. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 30 MECÂNICA DOS FLUÍDOS FORÇAS EM UMA SUPERFICIE PLANA SUBMERSA Admitindo que a resultante das forças de pressão for F e a distancia do ponto de aplicação ao eixo Ox for Ycp tem-se, integrando a equação: Y.dF  (Y.( .sen ).dA).Y Y.dF Y . .sen .dA 2    Ycp.dF  Y . .sen .dA 2   .  . Y .dA 2 Ycp F  sen
  31. 31. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 31 MECÂNICA DOS FLUÍDOS FORÇAS EM UMA SUPERFICIE PLANA SUBMERSA Momento de inércia de área Relembrando: Y.dA Momento de primeira ordem área em relação ao eixo X. Portanto, pode-se escrever: Então: .  . Y .dA 2 Ycp F  sen Y .dA 2 Momento de segunda ordem área em relação ao eixo X.
  32. 32. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 32 MECÂNICA DOS FLUÍDOS FORÇAS EM UMA SUPERFICIE PLANA SUBMERSA Momento de inércia de área Então: Y .dA 2 Momento de segunda ordem área em relação ao eixo X. O momento de inércia de segunda ordem área é uma propriedade geométrica da seção transversal de elementos estruturais. Esta expressão está os associada a forças aplicadas na área que variam linearmente com a distância. Normalmente aparece nas tabelas de seções em mm2 ou cm2
  33. 33. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 33 MECÂNICA DOS FLUÍDOS FORÇAS EM UMA SUPERFICIE PLANA SUBMERSA Momento de inércia de área Como: Y .dA 2 Momento de segunda ordem área em relação ao eixo X. Então:  Y .dA 2 I
  34. 34. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 34 MECÂNICA DOS FLUÍDOS FORÇAS EM UMA SUPERFICIE PLANA SUBMERSA Momento de inércia de área Então: .  . Y .dA 2 Ycp F  sen Ycp.F  .sen .I Como:  Y .dA 2 I Teremos:
  35. 35. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 35 MECÂNICA DOS FLUÍDOS FORÇAS EM UMA SUPERFICIE PLANA SUBMERSA Momento de inércia de área Ycp.F  .sen .I Teremos: Relembrando: Para que serve esta equação? F .sen .Y .A .h.A       Resposta: Calcular a força exercida no centro de gravida da superficie plana submersa
  36. 36. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 36 MECÂNICA DOS FLUÍDOS FORÇAS EM UMA SUPERFICIE PLANA SUBMERSA Momento de inércia de área Ycp.F  .sen .I Teremos: Relembrando: Para que serve esta equação? F .sen .Y .A .h.A       Resposta: Calcular a força exercida no centro de gravida da superficie plana submersa
  37. 37. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 37 MECÂNICA DOS FLUÍDOS FORÇAS EM UMA SUPERFICIE PLANA SUBMERSA Momento de inércia de área Ycp.F  .sen .I Porém a força resultante não está localizada no centro de gravidade e sim no centro de pressão Dividindo uma equação pela outra temos então: F .sen .Y .A    Força exercida no centro de gravidade Força exercida no centro de pressão sen Y A sen I F Ycp F . . . . . .       
  38. 38. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 38 MECÂNICA DOS FLUÍDOS FORÇAS EM UMA SUPERFICIE PLANA SUBMERSA Momento de inércia de área Dividindo uma equação pela outra temos então: sen Y A sen I F Ycp F . . . . . .        Y A I Ycp .   
  39. 39. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 39 MECÂNICA DOS FLUÍDOS FORÇAS EM UMA SUPERFICIE PLANA SUBMERSA Momento de inércia de área Pelo teorema de eixos paralelos (Propriedade do momento de inércia) Y A I Ycp .    I  ICG Y2 .A Substituindo as equações teremos: Y A I Y Y CG cp . 2    Y A Y A Y A I Y CG cp . . 2     Y A I Y Y CG cp .    
  40. 40. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 40 MECÂNICA DOS FLUÍDOS FORÇAS EM UMA SUPERFICIE PLANA SUBMERSA Momento de inércia de área Y A I Y Y CG cp . 2    Y A Y A Y A I Y CG cp . . 2     Y A I Y Y CG cp .    
  41. 41. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 41 MECÂNICA DOS FLUÍDOS FORÇAS EM UMA SUPERFICIE PLANA SUBMERSA Momento de inércia de área Y A I Y Y CG cp .     Até que enfim conseguimos deduzir a equação para calcular a cota Ycp do momento de inércia em Y E qual seria o valor deste momento de inercia em X? como calcular a cota Xcp? Xcp   x.p.dA
  42. 42. 42 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES EMPUXO Um corpo, quando imerso em água, perde “aparentemente” um pouco de seu peso, ou seja, é mais fácil levantar um corpo dentro da água do que fora dela. Podemos presumir, portanto, que a água exerce uma força sobre o corpo, de modo a equilibrar o peso resultante. Esta força exercida pelo fluido sobre o corpo é chamada de empuxo.
  43. 43. 43 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS Arquimedes enunciou, então, o seguinte princípio: “Todo corpo imerso em um fluido, está sujeito à ação de uma força vertical de baixo para cima (empuxo), cujo módulo é igual ao peso da quantidade de fluido deslocada”.
  44. 44. 44 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS Analisemos, agora, a influência do peso nas diversas situações:
  45. 45. 45 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS m = ρV P = ρc.Vc.g O líquido deslocado tem um certo peso e o empuxo representa o peso do líquido deslocado, quando da imersão do corpo. E = peso líquido deslocado E = ρLVs .g
  46. 46. 46 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS Um cilindro de 40 cm de altura está parcialmente imerso em óleo (0,90 g/cm3). A parte do cilindro que está fora do óleo, tem 10 cm de altura. Calcule a massa específica do cilindro. Se o corpo flutua, significa que ele está em equilíbrio. Portanto, é válido escrever que: E = P P = ρc.Vc.g E = ρLVs . g ρLVs . g = ρc.Vc.g
  47. 47. 47 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS Um cilindro de 40 cm de altura está parcialmente imerso em óleo (0,90 g/cm3). A parte do cilindro que está fora do óleo, tem 10 cm de altura. Calcule a massa específica do cilindro. ρL.Vd = ρc.Vc Não sabemos o valor de Vc e tampouco Vd. Todavia, sabemos calcular o volume de um cilindro que é igual à área da base, vezes a altura.
  48. 48. 48 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS Um cilindro de 40 cm de altura está parcialmente imerso em óleo (0,90 g/cm3). A parte do cilindro que está fora do óleo, tem 10 cm de altura. Calcule a massa específica do cilindro. Vc = A x H ρL.Vs = μc.Vc Vs = A x h ρc = [0,90 x (30/40)] ρc = ρL x h/H ρc = 0,675 g/cm3
  49. 49. 49 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS Um pequeno bloco de alumínio foi erguido por um fio e mergulhado completamente num reservatório com água, Através de uma balança, a massa medida para o bloco de alumínio foi de 800g. Determine o valor da tensão no fio de sustentação do bloco de alumínio antes e após o mesmo ser mergulhado. 33/107,2 mkgxAl
  50. 50. 50 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS 800 g De acordo com a figura, ao ser suspenso, podemos utilizar a segunda lei de Newton, a qual nos diz que a tensão no fio, chamada de T1 será igual ao peso (m.g) do bloco de alumínio. A tensão no fio antes do bloco de alumínio ser submerso no reservatório de água vale NTkgTmgT848,7 9,81 8,0 1x 11   
  51. 51. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 51 MECÂNICA DOS FLUÍDOS 800 g T N T kg T mg 7,848 0,8 9,81 1 1 x 1    Após o bloco ser completamente mergulhado no reservatório com água o bloco de alumínio sofrerá um empuxo (Fe) para cima exercido pela água, o que acarretará em uma redução na tensão suportada pelo fio.
  52. 52. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 52 MECÂNICA DOS FLUÍDOS 800 g T N T kg T mg 7,848 0,8 9,81 1 1 x 1    Para calcularmos o empuxo sofrido pelo bloco, precisamos calcular primeiramente o volume do bloco de alumínio. Assim, temos que: 3 3 Al  2,7x10 kg /m Al Al Al m V  
  53. 53. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 53 MECÂNICA DOS FLUÍDOS 800 g T N T kg T mg 7,848 0,8 9,81 1 1 x 1    Para calcularmos o empuxo sofrido pelo bloco, precisamos calcular primeiramente o volume do bloco de alumínio. Assim, temos que: 3 3 Al  2,7x10 kg /m 4 3 VAl 2,96x10 m  
  54. 54. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 54 MECÂNICA DOS FLUÍDOS 800 g T N T kg T mg 7,848 0,8 9,81 1 1 x 1    Agora podemos calcular a força de empuxo (Fe): 3 3 Al  2,7x10 kg /m 4 3 VAl 2,96x10 m   Fe = ρL . Vs . g Fe = 1 x 103 kg/m3. x 2,96x10-4 m3 x 9,81 m/s2
  55. 55. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 55 MECÂNICA DOS FLUÍDOS 800 g T N T kg T mg 7,848 0,8 9,81 1 1 x 1    Agora podemos calcular a força de empuxo (Fe): 3 3 Al  2,7x10 kg /m 4 3 VAl 2,96x10 m   Fe = ρL . Vs . g Fe = 2,9N
  56. 56. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 56 MECÂNICA DOS FLUÍDOS 800 g T N T kg T mg 7,848 0,8 9,81 1 1 x 1    Agora podemos aplicar novamente a segunda lei de Newton para calcular a tensão no fio após o bloco de alumínio ser completamente submerso. 3 3 Al  2,7x10 kg /m 4 3 VAl 2,96x10 m   Fe = 2,9N
  57. 57. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 57 MECÂNICA DOS FLUÍDOS 800 g T N T kg T mg 7,848 0,8 9,81 1 1 x 1    T1’ + Fe = mg 3 3 Al  2,7x10 kg /m 4 3 VAl 2,96x10 m   Fe = 2,9N T1’ + 2,9N = 7,848N T1’ = 7,848N - 2,9N T1’ = 4,948N
  58. 58. 58 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS Um cilindro de alumínio com 9 cm de altura e com uma área de base igual a 18 cm2, totalmente submerso em álcool etílico. Calcule o empuxo sofrido por este cilindro em virtude do fluido existente. Vcilindro = 18 x 9 Calculo do volume do cilindro Vcilindro = 162 cm3 Vcilindro = 162 x 10-6 m3 33/1081,0 mkgxAlcool
  59. 59. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 59 MECÂNICA DOS FLUÍDOS Um cilindro de alumínio com 9 cm de altura e com uma área de base igual a 18 cm2, totalmente submerso em álcool etílico. Calcule o empuxo sofrido por este cilindro em virtude do fluido existente. Calculo da força de empuxo 3 3 Alcool  0,81x10 kg /m Fe = ρL . Vs . g Fe = 0,81 x 103 x 162 x 10-6 x 9,81 Fe = 1,29N
  60. 60. 60 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS TIPOS DE ESCOAMENTO DE UM FLUIDO Os escoamentos dos fluidos estão sujeitos a determinadas condições gerais, princípios e leis da dinâmica e à teoria da turbulência. O escoamento de um fluido será “não viscoso”, “incompressível”, “irrotacional”, “estacionário”, “laminar” ou “turbulento”. Ex.: O movimento da água num rio, a fumaça de uma chaminé, os ventos são escoamentos de fluidos.
  61. 61. 61 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS ESCOAMENTO NÃO VISCOSO A viscosidade é uma espécie de atrito interno ao fluido; há uma resistência ao deslizamento de uma parte do fluido sobre a outra, que provoca perda de energia mecânica, a qual é transformada em térmica. Em certos casos a viscosidade é desejável, como nos óleos lubrificantes. O fluido ideal tem viscosidade nula.
  62. 62. 62 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS ESCOAMENTO INCOMPRESSÍVEL O escoamento é dito incompressível quando a massa especifica do fluido não varia ao longo do percurso e também não varia em relação ao tempo. Com os líquidos, que são pouco compressíveis, isso é fácil de conseguir, mas os gases é mais difícil, pois eles são facilmente compressíveis.
  63. 63. 63 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS ESCOAMENTO IRROTACIONAL O escoamento é irrotacional quando nenhuma porção do fluido efetua movimento de rotação em torno do seu centro de massa.
  64. 64. 64 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS ESCOAMENTO ESTACIONÁRIO A velocidade do fluido em qualquer ponto fixo não muda com o tempo. Neste tipo de escoamento a velocidade de um elemento de volume do fluido pode variar enquanto ele muda de posição, mas a velocidade do fluido em cada ponto do espaço permanece constante ao longo do tempo.
  65. 65. 65 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS ESCOAMENTO LAMINAR Ocorre quando as partículas de um fluido movem-se ao longo de trajetórias bem definidas. Este escoamento ocorre geralmente a baixas velocidades e em fluídos que apresentem grande viscosidade.
  66. 66. 66 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS ESCOAMENTO TURBULENTO Ocorre quando as partículas de um fluido não movem-se ao longo de trajetórias bem definidas, ou seja as partículas descrevem trajetórias irregulares, com movimento aleatório.
  67. 67. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 67 MECÂNICA DOS FLUÍDOS NÚMERO DE REYNOLDS O número de Reynolds (abreviado como Re) é um número adimensional usado em mecânica dos fluidos para o cálculo do regime de escoamento de determinado fluido sobre uma superfície.  D Re          D Re Número de Reynolds Massa especifica do fluído Viscosidade dinamica do fluído Velocidade do fluído Diametro para o fluxo no tubo Costuma-se caracterizar um fluido com escoamento laminar com Re < 2100 e escoamento turbulento com Re > 4000.
  68. 68. 68 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS VAZÃO A vazão de um fluido é a razão entre o volume de fluido escoado em um tempo e o intervalo de tempo considerado.
  69. 69. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 69 MECÂNICA DOS FLUÍDOS VAZÃO A vazão de um fluido é a razão entre o volume de fluido escoado em um tempo e o intervalo de tempo considerado. t V Q  V = volume // t = tempo //Q é a vazão.
  70. 70. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 70 MECÂNICA DOS FLUÍDOS A vazão também poderá ser calculada multiplicando-se a velocidade (v) do fluido, em dada seção do condutor, pela área (A) da seção considerada. t V Q  A t s Q x      t s v  VELOCIDADE Q  v x A
  71. 71. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 71 MECÂNICA DOS FLUÍDOS VAZÃO A vazão de um fluido é a razão entre o volume de fluido escoado em um tempo e o intervalo de tempo considerado. t V Q  É lógico que a equação acima não é verdadeira, pois a velocidade do fluido não é uniforme ao longo da seção transversal, ou seja, esta equação somente é valida quando sabemos a velocidade média de escoamento do fluido na seção transversal. V = volume // t = tempo //Q é a vazão. Q  v x A Q  vm x A
  72. 72. 72 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS VAZÃO Adotando um dA no entorno de um ponto que tenha uma velocidade genérica v, temos: dAvdQ.  AdAvdQ. AvdAvmA ..   AdAvvm. A1
  73. 73. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 73 MECÂNICA DOS FLUÍDOS   A vm v.dA A 1
  74. 74. 74 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS Uma tubulação de 20 cm2 de área de secção despeja água num reservatório. A velocidade de saída da água é de 60 cm3/s. Qual a vazão do fluido escoado? v = 60 cm3/s A = 20 cm2 Q = Av Q = 20 x 60 Q = 1.200 cm3/s
  75. 75. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 75 MECÂNICA DOS FLUÍDOS VAZÃO EM MASSA Vazão em Massa é a massa de fluido que escoa através de uma certa seção em um intervalo de tempo. t V Q    A vm v.dA A 1 Vazão em volume Q  vm x A Q   x vm x A Vazão em massa Q  x vm x A Vazão em massa
  76. 76. 76 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS EQUAÇÃO DE CONTINUIDADE NO REGIME PERMANENTE Um fluido encontra-se escoando em regime permanente quando a velocidade, num dado ponto, não varia com o tempo. Suponhamos, agora, um fluido qualquer escoando em regime permanente no interior de um tubo de seção variável.
  77. 77. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 77 MECÂNICA DOS FLUÍDOS EQUAÇÃO DE CONTINUIDADE NO REGIME PERMANENTE A velocidade do fluido no ponto A1 é V1, e no ponto A2 é V2 . Vamos admitir que a massa específica do fluido não varia ponto a ponto no interior do tubo. Portanto, podemos escrever:  x vm(1) x A1   x vm( 2) x A2 Admitindo que a massa específica do fluido varia ponto a ponto no interior do tubo. podemos escrever: 1 x vm(1) x A1   2 x vm( 2) x A2
  78. 78. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 78 MECÂNICA DOS FLUÍDOS Um gás escoa em regime permanente em uma tubulação industrial, conforme dados abaixo. Qual a velocidade do fluido na seção (2)? A1 = 20 cm2 A2 = 10 cm2 3 1   4 kg /m 3 2  12 kg /m V1 = 30 m/s
  79. 79. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 79 MECÂNICA DOS FLUÍDOS Um gás escoa em regime permanente em uma tubulação industrial, conforme dados abaixo. Qual a velocidade média do fluido na seção (2)? A1 = 20 cm2 A2 = 10 cm2 3 1   4 kg /m 3 2  12 kg /m 4 x 30 x 20 12 x vm(2) x 10 V1 = 30 m/s 1 x vm(1) x A1   2 x vm( 2) x A2
  80. 80. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 80 MECÂNICA DOS FLUÍDOS Um gás escoa em regime permanente em uma tubulação industrial, conforme dados abaixo. Qual a velocidade média do fluido na seção (2)? A1 = 20 cm2 A2 = 10 cm2 3 1   4 kg /m 3 2  12 kg /m 4 x 30 x 20 12 x vm(2) x 10 V1 = 30 m/s 30 10 20 12 4 vm(2)  x x
  81. 81. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 81 MECÂNICA DOS FLUÍDOS Um gás escoa em regime permanente em uma tubulação industrial, conforme dados abaixo. Qual a velocidade média do fluido na seção (2)? A1 = 20 cm2 A2 = 10 cm2 3 1   4 kg /m 3 2  12 kg /m V1 = 30 m/s 4 x 30 x 20 12 x vm(2) x 10 vm(2) 20 m/s
  82. 82. 82 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS O tubo de Venturi é um dispositivo para medir a velocidade do escoamento e a vazão de um líquido incompressível através da variação da pressão durante a passagem deste líquido por um tubo de seção mais larga e depois por outro de seção mais estreita. TUBO VENTURI
  83. 83. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 83 MECÂNICA DOS FLUÍDOS Determinar a velocidade de um fluido incompressivel se na garganta a área é 5cm2 e na seção de entrada a área é 20cm2 e velocidade de 2 m/s Area de 5cm2 velocidade de 2 m/s Area de 20cm2 velocidade ??? Pela equação de continuidade temos: vm(e) x Ae  vm(G) x AG 2 x 20  vm(G) x 5
  84. 84. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 84 MECÂNICA DOS FLUÍDOS Determinar a velocidade de um fluido incompressivel se na garganta a área é 5cm2 e na seção de entrada a área é 20cm2 e velocidade de 2 m/s Area de 5cm2 velocidade de 2 m/s Area de 20cm2 velocidade ??? Pela equação de continuidade temos: vm(e) x Ae  vm(G) x AG 5 20 vm(G)  2 x vm(G)  8 m/ s
  85. 85. 85 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS EQUAÇÃO DE ENERGIA NO REGIME PERMANENTE ENERGIA POTENCIAL Trabalho = Força x Deslocamento W = G.z W = m.g.z W = Ep Plano Horizontal de referencia
  86. 86. 86 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS EQUAÇÃO DE ENERGIA NO REGIME PERMANENTE ENERGIA POTENCIAL Toda particula em moviemnto possui energia potencial mgzE p
  87. 87. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 87 MECÂNICA DOS FLUÍDOS EQUAÇÃO DE ENERGIA NO REGIME PERMANENTE ENERGIA CINÉTICA 2 mv2 E C  Toda particula em moviemnto possui energia cinética
  88. 88. 88 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS EQUAÇÃO DE ENERGIA NO REGIME PERMANENTE ENERGIA DE PRESSÃO A energia de pressão corresponde ao trabalho potencial das forças de pressão que atuam no escoamento do fluido Admitindo que a pressão seja uniforme na seção, então a força aplicada pelo fluido F=p/A
  89. 89. 89 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS EQUAÇÃO DE ENERGIA NO REGIME PERMANENTE ENERGIA DE PRESSÃO A energia de pressão corresponde ao trabalho potencial das forças de pressão que atuam no escoamento do fluido Admitindo que a pressão seja uniforme na seção, então a força aplicada pelo fluido F=p/A    VprprprpdVEpdVdEdEdwpdVpAdsFdsdw
  90. 90. 90 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS EQUAÇÃO DE ENERGIA NO REGIME PERMANENTE ENERGIA MECÂNICA TOTAL DE UM FLUÍDO   VprcppdVmvmgzEEEEE22
  91. 91. 91 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS EQUAÇÃO DE BERNOULLI As hipóteses simplificadas são: Regime permanente Sem maquinas no trecho escoado em estudo Sem perdas por atrito (Fluido ideial) Seção uniforme Fluido incompressivel Sem trocas de calor
  92. 92. 92 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS EQUAÇÃO DE BERNOULLI a equação de Bernoulli, atribuída a Daniel Bernoulli, descreve o comportamento de um fluido que se move ao longo de um tubo Há basicamente duas formulações, uma para fluidos incompressíveis e outra para fluidos compressíveis. As hipóteses simplificadas são: Regime permanente Sem maquinas no trecho escoado em estudo Sem perdas por atrito (Fluido ideial) Seção uniforme
  93. 93. 93 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS EQUAÇÃO DE BERNOULLI Vamos considerar um fluido com densidade ρ constante, em escoamento estacionário em uma tubulação sem derivações
  94. 94. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 94 MECÂNICA DOS FLUÍDOS Sejam duas porções de fluido, ambas com volume V e massa ρV, uma na posição 1 e outra na posição 2. Num referencial fixo na tubulação, as energias dessas duas porções de fluido são dadas por: p dV dmv E dm g z E E E Ep c pr . 2 . . . 2      
  95. 95. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 95 MECÂNICA DOS FLUÍDOS 1 1 2 1 1 1 1 1 2 . . . p dV dm v dE  dm g z   A energia no ponto 1 é dado por:
  96. 96. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 96 MECÂNICA DOS FLUÍDOS 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . . . p dV dm v dE  dm g z   A energia no ponto 2 é dado por:
  97. 97. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 97 MECÂNICA DOS FLUÍDOS 1 2 dE  dE Como a energia no ponto 1 é igual a energia no ponto 2, temos então:
  98. 98. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 98 MECÂNICA DOS FLUÍDOS 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 . . . 2 . . . p dV dm v p dV dm g z dm v dm g z      Como a energia no ponto 1 é igual a energia no ponto 2, temos então:
  99. 99. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 99 MECÂNICA DOS FLUÍDOS Como a energia no ponto 1 é igual a energia no ponto 2, temos então: 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 . . . 2 . . . p dV dm v p dV dm g z dm v dm g z        dm dV dV dm   
  100. 100. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 100 MECÂNICA DOS FLUÍDOS 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 . . . . 2 . . .   dm p dm v dm g z dm p dm v dm g z        dm dV dV dm   
  101. 101. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 101 MECÂNICA DOS FLUÍDOS 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 . . . . 2 . . .   dm p dm v dm g z dm p dm v dm g z      Como o fluido é incompressivel ρ1 = ρ2 Como o regime de escoamento é permanente dm1 = dm2
  102. 102. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 102 MECÂNICA DOS FLUÍDOS                      2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 . . . 2 . .   v p dm g z v p dm g z Como o regime de escoamento é permanente dm1 = dm2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 . . . . 2 . . .   dm p dm v dm g z dm p dm v dm g z     
  103. 103. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 103 MECÂNICA DOS FLUÍDOS 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 . . 2 .   v p g z v p g z      Como o regime de escoamento é permanente dm1 = dm2
  104. 104. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 104 MECÂNICA DOS FLUÍDOS 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 . . 2 .   v p g z v p g z      Para fluidos incompressiveis temos ρ1 = ρ2, então:   2 2 2 2 1 2 1 1 2 . . 2 . v p g z v p g z     
  105. 105. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 105 MECÂNICA DOS FLUÍDOS Para fluidos incompressiveis temos ρ1 = ρ2, então:   2 2 2 2 1 2 1 1 2 . . 2 . v p g z v p g z      EQUAÇÃO DE BERNOULLI
  106. 106. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 106 MECÂNICA DOS FLUÍDOS Dividindo a equação por g, temos:   2 2 2 2 1 2 1 1 2 . . 2 . v p g z v p g z      g p g v g g z g p g v g g z   2 2 1 2 2 2 1 1 2 . . 2 .     
  107. 107. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 107 MECÂNICA DOS FLUÍDOS Dividindo a equação por g, temos:   2 2 2 2 1 2 1 1 2 . . 2 . v p g z v p g z      g p g v z g p g v z   2 2 2 2 1 2 1 1 2 . 2     
  108. 108. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 108 MECÂNICA DOS FLUÍDOS Já sabemos que: g p g v z g p g v z   2 2 2 2 1 2 1 1 2 . 2       g   2 2 2 2 1 2 1 1 2 . 2 p g v z p g v z     
  109. 109. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 109 MECÂNICA DOS FLUÍDOS   2 2 2 2 1 2 1 1 2 . 2 p g v z p g v z        2 2 2 2 1 2 1 1 2 . . 2 . v p g z v p g z      EQUAÇÃO DE BERNOULLI (Massa especifica) EQUAÇÃO DE BERNOULLI (Peso especifico) EQUAÇÃO DE BERNOULLI Resumo das equações
  110. 110. 110 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS EQUAÇÃO DE BERNOULLI Vamos analisar o escoamento de um líquido por um orifício na parede do recipiente conforme mostrado na figura: Pela lei de Stevin e utilizando os conceitos da equação de Bernoulli temos: 2 + 2 + P = 2 + gH + P222211ρv + z ) Hg( ρv 
  111. 111. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 111 MECÂNICA DOS FLUÍDOS EQUAÇÃO DE BERNOULLI Vamos analisar o escoamento de um líquido por um orifício na parede do recipiente conforme mostrado na figura: Como o recipente está aberto temos a pressão atmosférica atuando em P1 = P2 = Patm 2 + 2 = P + 2 P + gH + 2 2 2 2 1 1 ρv + z ) H g( ρv  
  112. 112. 112 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS EQUAÇÃO DE BERNOULLI Vamos analisar o escoamento de um líquido por um orifício na parede do recipiente conforme mostrado na figura: Como o recipente está aberto temos a pressão atmosférica atuando em P1 = P2 = Patm 2 + 2 = 2 + gH2221ρv + z ) Hg( ρv 
  113. 113. 113 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS EQUAÇÃO DE BERNOULLI Vamos analisar o escoamento de um líquido por um orifício na parede do recipiente conforme mostrado na figura: Re-escrevendo a equação temos:             22 = 22221v + z ) + Hg( vgH + 
  114. 114. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 114 MECÂNICA DOS FLUÍDOS EQUAÇÃO DE BERNOULLI Vamos analisar o escoamento de um líquido por um orifício na parede do recipiente conforme mostrado na figura: Re-escrevendo a equação temos:                 2 2 = 2 2 2 2 1 v + z ) + H g( v  gH +  2 2 = 2 2 2 2 1 v + z ) + H g( v gH +
  115. 115. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 115 MECÂNICA DOS FLUÍDOS EQUAÇÃO DE BERNOULLI Vamos analisar o escoamento de um líquido por um orifício na parede do recipiente conforme mostrado na figura: Vamos considerar o volume de líquido dentro do recipiente como sendo muito grande. 2 2 = 2 2 2 2 1 v + z ) + H g( v gH +
  116. 116. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 116 MECÂNICA DOS FLUÍDOS EQUAÇÃO DE BERNOULLI Vamos analisar o escoamento de um líquido por um orifício na parede do recipiente conforme mostrado na figura: Assim, o módulo da velocidade com que a superfície livre do líquido se move para baixo é muito menor do que o módulo da velocidade com que o líquido escoa pelo orifício na parede do recipiente. 2 2 = 2 2 2 2 1 v + z ) + H g( v gH +
  117. 117. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 117 MECÂNICA DOS FLUÍDOS EQUAÇÃO DE BERNOULLI Vamos analisar o escoamento de um líquido por um orifício na parede do recipiente conforme mostrado na figura: Matematicamente, v1 << v2. Podemos, então, desprezar v1, ou seja, v1=0 2 2 = 2 2 2 2 1 v + z ) + H g( v gH +
  118. 118. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 118 MECÂNICA DOS FLUÍDOS EQUAÇÃO DE BERNOULLI Vamos analisar o escoamento de um líquido por um orifício na parede do recipiente conforme mostrado na figura: Matematicamente, v1 << v2. Podemos, então, desprezar v1, ou seja, v1=0 2 2 = 2 2 2 2 1 v + z ) + H g( v gH + 2 2 = 2 2 v + z ) + H Desse modo, a expressão acima fica: gH g(
  119. 119. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 119 MECÂNICA DOS FLUÍDOS EQUAÇÃO DE BERNOULLI Vamos analisar o escoamento de um líquido por um orifício na parede do recipiente conforme mostrado na figura: Matematicamente, v1 << v2. Podemos, então, desprezar v1, ou seja, v1=0 2 2 = 2 2 2 2 1 v + z ) + H g( v gH + 2 2 = 2 2 v + z ) + H Desse modo, a expressão acima fica: gH g(
  120. 120. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 120 MECÂNICA DOS FLUÍDOS EQUAÇÃO DE BERNOULLI Vamos analisar o escoamento de um líquido por um orifício na parede do recipiente conforme mostrado na figura: Vamos reescrever a equação para encontrar a velocidade de escoamento no ponto 2 2 2 = 2 2 v + z ) + H gH g( + z ) gH H + g( v = 2 2 2 2 +gz gH gH + v = 2 2 2 2
  121. 121. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 121 MECÂNICA DOS FLUÍDOS EQUAÇÃO DE BERNOULLI Vamos analisar o escoamento de um líquido por um orifício na parede do recipiente conforme mostrado na figura: Vamos reescrever a equação para encontrar a velocidade de escoamento no ponto 2 +gz gH gH + v = 2 2 2 2 v +gH 2gz 2gH 2 2   v 2gH gH 2gz 2 2   
  122. 122. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 122 MECÂNICA DOS FLUÍDOS EQUAÇÃO DE BERNOULLI Vamos analisar o escoamento de um líquido por um orifício na parede do recipiente conforme mostrado na figura: Vamos reescrever a equação para encontrar a velocidade de escoamento no ponto 2 v 2gH gH 2gz 2 2    v gH 2gz 2 2   v gH 2z 2 2   v gH 2z 2  
  123. 123. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 123 MECÂNICA DOS FLUÍDOS EQUAÇÃO DE BERNOULLI Vamos analisar o escoamento de um líquido por um orifício na parede do recipiente conforme mostrado na figura: E qual o tempo de escoamento? 2 2 0 0 gt S  S V t  Sabemos que o escoamento vertical é MRUV 2 2 gt S  z H S   2 2 2 2 gt z H  
  124. 124. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 124 MECÂNICA DOS FLUÍDOS EQUAÇÃO DE BERNOULLI Vamos analisar o escoamento de um líquido por um orifício na parede do recipiente conforme mostrado na figura: 2 2 2 gt z H   gt H 2z 2   gt H 2z 2   g H z t  2  em que t representa o intervalo de tempo que o líquido leva para alcançar o solo. Esse intervalo de tempo fica dado, então, por:
  125. 125. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 125 MECÂNICA DOS FLUÍDOS EQUAÇÃO DE BERNOULLI Vamos analisar o escoamento de um líquido por um orifício na parede do recipiente conforme mostrado na figura: Qual o valor da cota x? O movimento do líquido ao longo da horizontal é um MRU. S  S  v t 0 S  v t S  x x v t 2  v gH 2z 2   g H z t  2 
  126. 126. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 126 MECÂNICA DOS FLUÍDOS EQUAÇÃO DE BERNOULLI Vamos analisar o escoamento de um líquido por um orifício na parede do recipiente conforme mostrado na figura: Qual o valor da cota x? v gH 2z 2   g H z t  2  x v t 2    g H z x g H z x 2 2       2 2            g H z x g H z
  127. 127. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 127 MECÂNICA DOS FLUÍDOS EQUAÇÃO DE BERNOULLI Vamos analisar o escoamento de um líquido por um orifício na parede do recipiente conforme mostrado na figura: Qual o valor da cota x?    2 2            g H z x g H z x  H  2zH  2z 2 2 x  H  4z
  128. 128. 128 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS TUBO VENTURI Vamos considerar que um líquido de massa especifica ρ constante, escoa pela tubulação em regime estacionário. Considerando a tubulação na horizontal, a equação de Bernoulli permite escrever: 22222211vPvP   22212221vvPP   21222vvP 
  129. 129. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 129 MECÂNICA DOS FLUÍDOS TUBO VENTURI Vamos considerar que um líquido de massa especifica ρ constante, escoa pela tubulação em regime estacionário. Considerando a tubulação na horizontal, a equação de Bernoulli permite escrever:   2 1 2 2 2 P  v v  Por outro lado, a equação da continuidade fornece: 1 1 2 2 V A V A 2 1 2 1 A A V V
  130. 130. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 130 MECÂNICA DOS FLUÍDOS TUBO VENTURI Vamos considerar que um líquido de massa especifica ρ constante, escoa pela tubulação em regime estacionário. Considerando a tubulação na horizontal, a equação de Bernoulli permite escrever:   2 1 2 2 2 P  v v  2 1 2 1 A A v  v                    1 2 2 1 1 2 v A A P v                     2 1 2 2 2 1 1 2 v A A P v                           1 2 2 2 2 1 1 A A P v 
  131. 131. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 131 MECÂNICA DOS FLUÍDOS TUBO VENTURI Vamos considerar que um líquido de massa especifica ρ constante, escoa pela tubulação em regime estacionário. Considerando a tubulação na horizontal, a equação de Bernoulli permite escrever:                          1 2 2 2 2 1 1 A A P v                     1 2 . 2 2 1 2 1 A v A P 
  132. 132. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 132 MECÂNICA DOS FLUÍDOS TUBO VENTURI Vamos considerar que um líquido de massa especifica ρ constante, escoa pela tubulação em regime estacionário. Finalmente a velocidade no ponto 1 é escrita por:                    1 2 . 2 2 1 2 1 A v A P                     1 2 2 2 1 2 1 A A P v                     1 2 2 2 1 1 A A P v 
  133. 133. 133 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS ESCOAMENTO LAMINAR E TURBULENTO. CÁLCULO DO NÚMERO DE REYNOLDS.
  134. 134. 134 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS ESCOAMENTO LAMINAR Ocorre quando as partículas de um fluido movem-se ao longo de trajetórias bem definidas. Este escoamento ocorre geralmente a baixas velocidades e em fluídos que apresentem grande viscosidade.
  135. 135. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 135 MECÂNICA DOS FLUÍDOS ESCOAMENTO TURBULENTO Ocorre quando as partículas de um fluido não movem-se ao longo de trajetórias bem definidas, ou seja as partículas descrevem trajetórias irregulares, com movimento aleatório, produzindo uma transferência de quantidade de movimento entre regiões de massa líquida. Este escoamento é comum na água, cuja a viscosidade e relativamente baixa.
  136. 136. 136 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS VISUALIZAÇÃO DE ESCOAMENTOS LAMINAR E TURBULENTO EM TUBOS FECHADOS
  137. 137. 137 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS NÚMERO DE REYNOLDS O número de Reynolds (abreviado como Re) é um número adimensional usado em mecânica dos fluídos para o cálculo do regime de escoamento de determinado fluido dentro de um tubo ou sobre uma superfície. É utilizado, por exemplo, em projetos de tubulações industriais e asas de aviões.
  138. 138. 138 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS NÚMERO DE REYNOLDS O seu nome vem de Osborne Reynolds, um físico e engenheiro irlandês. O seu significado físico é um quociente entre as forças de inércia e as forças de viscosidade.
  139. 139. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 139 MECÂNICA DOS FLUÍDOS NÚMERO DE REYNOLDS O número de Reynolds (abreviado como Re) é um número adimensional usado em mecânica dos fluidos para o cálculo do regime de escoamento de determinado fluido sobre uma superfície.  D Re          D Re Número de Reynolds Massa especifica do fluído Viscosidade dinamica do fluído Velocidade do fluído Diametro para o fluxo no tubo Costuma-se caracterizar um fluido com escoamento laminar com Re < 2100 e escoamento turbulento com Re > 4000.
  140. 140. 140 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS Tabelas de Viscosidade Dinâmica
  141. 141. 141 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS IMPORTANCIA DO NÚMERO DE REYNOLDS A importância fundamental do número de Reynolds é a possibilidade de se avaliar a estabilidade do fluxo podendo obter uma indicação se o escoamento flui de forma laminar ou turbulenta. O número de Reynolds constitui a base do comportamento de sistemas reais, pelo uso de modelos reduzidos.
  142. 142. 142 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS IMPORTANCIA DO NÚMERO DE REYNOLDS Um exemplo comum é o túnel aerodinâmico onde se medem forças desta natureza em modelos de asas de aviões. Pode-se dizer que dois sistemas são dinamicamente semelhantes se o número de Reynolds, for o mesmo para ambos.
  143. 143. 143 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS EXEMPLO DE ESCOAMENTO LAMINAR E TURBULENTO EM UM ENSAIO DE TÚNEL DE VENTO Laminar Turbulento
  144. 144. 144 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS NÚMERO DE REYNOLDS EM PERFIS AERODINÂMICOS Para aplicações em perfis aerodinâmicos, o número de Reynolds pode ser expresso em função da corda média aerodinâmica do perfil da seguinte forma.  cRe.. 
  145. 145. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 145 MECÂNICA DOS FLUÍDOS NÚMERO DE REYNOLDS EM PERFIS AERODINÂMICOS Para aplicações em perfis aerodinâmicos, o número de Reynolds pode ser expresso em função da corda média aerodinâmica do perfil da seguinte forma.   c Re . .          c Re Número de Reynolds Massa especifica do fluído Viscosidade dinamica do fluído Velocidade do fluído Corda média aerodinâmica
  146. 146. 146 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS Geralmente no estudo do escoamento sobre asas de aviões o fluxo se torna turbulento para números de Reynolds da ordem de 1x107, sendo que abaixo desse valor geralmente o fluxo é laminar. NÚMERO DE REYNOLDS EM PERFIS AERODINÂMICOS
  147. 147. 147 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS EXERCICIOS Calcule o numero de Reynolds e identifique se o escoamento é laminar ou turbulento sabendo que em uma tubulação com diametro de 4cm a água escoa com uma velocidade de 0,05 m/s
  148. 148. 148 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS Determine o número de Reynolds para uma aeronave em escala reduzida sabendo-se que a velocidade de deslocamento é v = 16 m/s para um vôo realizado em condições de atmosfera padrão ao nível do mar (ρ = 1,225 kg/m³). Considere c = 0,35 m e μ = 1,7894x10-5 kg/ms. EXERCICIOS
  149. 149. 149 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS
  150. 150. 150 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS
  151. 151. 151 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS ESCOAMENTO LAMINAR E TURBULENTO. CÁLCULO DO NÚMERO DE REYNOLDS.
  152. 152. 152 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS Na engenharia trabalhamos com energia dos fluidos por unidade de peso, a qual denominamos “carga”;
  153. 153. 153 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS Sabe-se que no escoamento de fluidos reais, parte de sua energia dissipa-se em forma de calor e nos turbilhões que se formam na corrente fluida;
  154. 154. 154 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS Essa energia é dissipada para o fluido vencer a resistência causada pela sua viscosidade e a resistência provocada pelo contato do fluido com a parede interna do conduto, e também para vencer as resistências causadas por peças de adaptação ou conexões (curvas, válvulas).
  155. 155. 155 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS Chama-se esta energia dissipada pelo fluido de PERDA DE CARGA (hp), que tem dimensão linear, e representa a energia perdida pelo líquido por unidade de peso, entre dois pontos do escoamento.
  156. 156. 156 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS A perda de carga é uma função complexa de diversos elementos tais como: Rugosidade do conduto; Viscosidade e densidade do líquido; Velocidade de escoamento; Grau de turbulência do movimento; Comprimento percorrido.
  157. 157. 157 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS Perda de Carga Com o objetivo de possibilitar a obtenção de expressões matemáticas que permitam prever as perdas de carga nos condutos, elas são classificadas em: Contínuas ou distribuídas Localizadas
  158. 158. 158 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS Perda de Carga Distribuída Ocorrem em trechos retilíneos dos condutos; A pressão total imposta pela parede dos dutos diminui gradativamente ao longo do comprimento;
  159. 159. 159 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS Perda de Carga Distribuída Permanece constante a geometria de suas áreas molhadas; Essa perda é considerável se tivermos trechos relativamente compridos dos dutos.
  160. 160. 160 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS Perda de Carga Localizada Ocorrem em trechos singulares dos condutos tais como: junções, derivações, curvas, válvulas, entradas, saídas, etc;
  161. 161. 161 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS Perda de Carga Localizada As diversas peças necessárias para a montagem da tubulação e para o controle do fluxo do escoamento, provocam uma variação brusca da velocidade (em módulo ou direção), intensificando a perda de energia;
  162. 162. 162 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS A equação de Bernoulli, stricto sensu, foi deduzida, para uma linha de corrente, no caso em que os efeitos viscosos sao irrelevantes e o escoamento incompressivel. Veremos agora que a sua aplicação pode ser estendida razoavelmente a certos tipos de tubos de corrente em que os efeitos viscosos são importantes. PERDA DE CARGA.
  163. 163. 163 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS Na prática esse caso em que não ha variação da pressão dinâmica, a ultima parcela das equações 1 e igual à variação da pressão piezométrica entre os pontos s1 e s2. Por isso, em tubos, essa parcela e referida como perda de carga, o que significa redução de pressão piezométrica. Para simplificar a notação, designaremos a partir de agora o termo da perda de carga por p:
  164. 164. 164 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS ESCOAMENTOS EM CONDUTOS Nos casos em que não há variação da pressão dinâmica, a última parcela das equacções são iguais à variacao da pressao piezometrica entre os pontos s1 e s2. Por isso, em tubos, essa parcela é referida como perda de carga, o que significa redução de pressão piezométrica.
  165. 165. 165 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS ESCOAMENTOS EM CONDUTOS Para simplificar a notação, designaremos a partir de agora o termo da perda de carga por p:
  166. 166. 166 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS
  167. 167. 167 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS Este resultado pode ser escrito de uma forma mais prática: O número adimensional f se denomina coeficiente de atrito.
  168. 168. 168 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS Se houver informação teórica ou experimental sobre f, consegue-se estimar Δp a partir da definição
  169. 169. 169 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS A equação de Bernoulli pode aplicar-se a escoamentos com perda de carga da seguinte forma:
  170. 170. 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br 170 MECÂNICA DOS FLUÍDOS  Para fluidos reais tem-se: cte g p v z g p v z       2 2 2 2 2 2 2 1 1 1   + hp Equação de Bernoulli para fluidos reais
  171. 171. 171 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS Quando a equação de Bernoulli é aplicada a dois pontos de um conduto com velocidade constante e mesma cota, tem-se a perda de carga dada por: Equação de Bernoulli para fluidos reais
  172. 172. 172 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS Fórmula universal da Perda de Carga distribuída A fórmula de Darcy-Weissbach, permite calcular a perda de carga ao longo de um determinado comprimento do condutor, quando é conhecido o parâmetro f, denominado “coeficiente de atrito”:
  173. 173. 173 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS CORRELAÇÕES TEÓRICAS E EXPERIMENTAIS PARA O FATOR DE ATRITO “F” Para a região de números de Reynolds inferiores a 2000 (regime laminar desenvolvido) o comportamento do fator de atrito pode ser obtido analiticamente por intermédio da equação de Hagen- Poiseuille conduzindo à função:
  174. 174. 174 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS O coeficiente de atrito de um escoamento turbulento desenvolvido é dado pela expressão implícita de Colebrook-White: ou
  175. 175. 175 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS Fórmula universal da Perda de Carga distribuída Darcy-Weissbach: O coeficiente de atrito, pode ser determinado utilizando-se o diagrama de Moody, partindo-se da relação entre: Rugosidade e Diâmetro do tubo (ε/D) Número de Reynolds (Re)
  176. 176. 176 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS
  177. 177. 177 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS
  178. 178. 178 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS Cálculo das perdas de Carga localizadas As perdas de carga localizadas podem ser expressas em termos de energia cinética (v2/2g) do escoamento. Assim a expressão geral: hp = k v2/2g Onde: v=velocidade média do conduto em que se encontra inserida a singularidade em questão; k=coeficiente cujo valor pode ser determinado experimentalmente
  179. 179. 179 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS
  180. 180. 180 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS FÓRMULAS EXPLÍCITAS DO FATOR DE ATRITO EM REGIME TURBULENTO
  181. 181. 181 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA DOS FLUÍDOS Sousa-Cunha-Marques Erro de 0,1%

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