Álgebra Boleana

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Álgebra Boleana

  1. 1. Faculdade Pitágoras – Campus Linhares Colegiado de Engenharia Lógica Matemática e Computacional Professor: Alexandro José Correia Scopel 1 Introdução à Álgebra de Boole Uma álgebra Booleana pode ser definida com um conjunto de operadores e um conjunto de axiomas, que são assumidos verdadeiros sem necessidade de prova. Em 1854, o matemático inglês George Boole (1815-1864), através da obra intitulada An Investigation of the Laws of Thought, introduziu o formalismo que até hoje se usa para o tratamento sistemático da lógica, que é a chamada Álgebra Booleana. No início da “era eletrônica”, todos os problemas eram resolvidos por sistemas analógicos, também conhecidos como sistemas lineares. Em 1938, o engenheiro americano Claude Elwood Shannon aplicou esta álgebra para mostrar que as propriedades de circuitos elétricos de chaveamento podem ser representadas por uma álgebra Booleana com dois valores, para isto, publicou o trabalho Symbolic Analysis Relay and Switching, praticamente introduzindo na área tecnológica o campo da eletrônica digital. Esse ramo da eletrônica emprega em seus sistemas um pequeno grupo de circuitos básicos padronizados conhecidos como portas lógicas. Através da utilização conveniente destas portas, podemos “implementar” todas as expressões geradas pela álgebra de Boole, que constituem a base dos projetos dos sistemas já referidos. Diferentemente da álgebra ordinária dos reais, onde as variáveis podem assumir valores no intervalo ; , as variáveis Booleanas só podem assumir um número finito de valores. Em particular, na álgebra Booleana de dois valores, cada variável pode assumir um dentre dois valores possíveis, os quais podem ser denotados por V ou V (falso ou verdadeiro), ou 0 (zero) ou 1 (um). Nesta disciplina, adotaremos a notação [0,1], a qual também é utilizada em eletrônica digital. Como o número de valores que cada variável podem assumir é finito (e pequeno), o número de estados que uma função Booleana pode assumir também será finito, o que significa que podemos descrever completamente as funções Booleanas utilizando tabelas. Devido a este fato, uma tabela que descreva uma função Booleana recebe o nome de tabela verdade, e nela são listadas todas as combinações de valores que as variáveis de entrada podem assumir e os correspondentes valores da função (saídas). Álgebra Booleana Dizemos que o sistema algébrico (B,+, . ) é uma Álgebra de Boole quando e somente quando a,b,c B , valem os axiomas: Axiomas da Álgebra de Boole A1) a b B A2) a.b B
  2. 2. Faculdade Pitágoras – Campus Linhares Colegiado de Engenharia Lógica Matemática e Computacional Professor: Alexandro José Correia Scopel 2 A3) a b b a A4) a.b b.a A5) a (b.c) (a b).(a c) A6) a.(b c) a.b a.c A7) 0 B tal que para cada a B , a 0 0 a a A8) 1 B tal que para cada a B , a.1 1.a a A9) Para cada a B , a B tal que a a 1, a.a 0 Teoremas da Álgebra de Boole T1) Princípio da dualidade: Todo resultado dedutível dos axiomas de uma Álgebra de Boole permanece válido se trocarmos + por x e 0 por 1, e vice versa. Ex1.: Dualizar a expressão x.y’+x’.y.z+y.z’ Ex2.: Dar o dual da expressão x’+y=0 T2) a a a , a.a a , a B T3) a 1 1, a.0 0, a B T4) (Lei da Absorção) a a.b a, a.(a b) a T5) a (a.b) a b T6) a (b c) (a b) c , a.(b.c) (a.b).c T7) a a T8) a.b a.b a T9) 0 1, 1 0 T10) (De Morgan) (a.b) a b , (a b) a.b T11) a.b a.c b.c a.b a.c T12) (a b).(a c)(b c) a.c a.b T13) (a b).(a c) a.c a.b Ex3.: Simplificar as expressões seguintes utilizando os teoremas e axiomas da Álgebra de Boole. a) (a+b).(a+b’+c’) b) (p+q.r).(p’.q’+r’)+p’.q’.r’ c) p.q’+p.q.r+p’.r
  3. 3. Faculdade Pitágoras – Campus Linhares Colegiado de Engenharia Lógica Matemática e Computacional Professor: Alexandro José Correia Scopel 3 Ex4.: Determine o complemento de p.q’+p’.q Exercícios 1) Simplificar as expressões a seguir, justificando cada passagem: a) (a.b)+(a.b’) b) (p.q)+(p.(q’.r)) c) (b.(a.c))+(a.(b.c’)) d) p+((p’.(p+q))+(q.r)) e) (x+(y.z)).(x+(y’.z)) 2) Simplificar: a) ab+ac+abc+ab’c’ b) (p+q+r).(p+q+s) c) x’+xy’+xyz+xy’z’ d) (a+b’)(b+c’)(c+d’)(d+a’) e) (a+b)(b+c)(c+a)

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