Introdução à análise diferencial do movimento dos fluidos

1.977 visualizações

Publicada em

Disciplina ofertada na Faculdade Multivix em Vitória-ES.

Publicada em: Engenharia
0 comentários
1 gostou
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
1.977
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
6
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
98
Comentários
0
Gostaram
1
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Introdução à análise diferencial do movimento dos fluidos

  1. 1. Mecânica dos Fluidos 2 Prof. João Felipe Bassane Engenharias 1 Introdução à análise diferencial dos movimentos dos fluidos
  2. 2. 2 Capítulo 3 – Introdução à análise diferencial dos movimentos dos fluidos As equações integrais são úteis quando estamos interessados no comportamento genérico de um campo de escoamento e nos seus efeitos sobre um ou mais dispositivos. Contudo, a abordagem integral não nos permite obter conhecimentos detalhados ponto por ponto do campo de escoamento. Para obter o conhecimento detalhado, devemos aplicar as equações de movimento dos fluidos na forma diferencial. Como o objetivo é chegar á equações diferenciais, a análise será em termos de sistemas e volumes de controle infinitesimais.
  3. 3. 3 3.1) Conservação da massa  Sistema de coordenadas retangulares Volume de controle: Cubo infinitesimal com lados de comprimento dx, dy, dz. Massa específica no centro do cubo: 𝜌 Velocidade no centro do cubo: 𝑉 = 𝑢𝑖 + 𝑣𝑗 + 𝑤𝑘
  4. 4. 4 3.1) Conservação da massa Para avaliar as propriedades em cada uma das seis faces da superfície de controle usa-se uma expansão por série de Taylor em torno do ponto O. 𝜌 𝑥+ 𝑑𝑥 2 = 𝜌 + 𝜕𝜌 𝜕𝑥 𝑑𝑥 2 + 𝜕 𝜌2 𝜕𝑥2 1 2! 𝑑𝑥2 2 + ⋯ Desprezando os termos de ordem superior, podemos escrever: 𝜌 𝑥+ 𝑑𝑥 2 = 𝜌 + 𝜕𝜌 𝜕𝑥 𝑑𝑥 2 𝑢 𝑥+ 𝑑𝑥 2 = 𝑢 + 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝑑𝑥 2 𝜌 𝑥− 𝑑𝑥 2 = 𝜌 + 𝜕𝜌 𝜕𝑥 −𝑑𝑥 2 = 𝜌 − 𝜕𝜌 𝜕𝑥 𝑑𝑥 2 𝑢 𝑥− 𝑑𝑥 2 = 𝑢 + 𝜕𝑢 𝜕𝑥 −𝑑𝑥 2 = 𝑢 − 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝑑𝑥 2
  5. 5. 5 3.1) Conservação da massa Enunciado da conservação de massa: A massa dentro do volume de controle em qualquer instante é o produto da massa específica pelo volume: 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑒 + 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑒 = 0 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑒 = 𝜕𝜌 𝜕𝑡 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
  6. 6. 6 3.1) Conservação da massa Tabela: Fluxo de massa através da superfície de controle de um VC diferencial retangular
  7. 7. 7 3.1) Conservação da massa Tabela: Fluxo de massa através da superfície de controle de um VC diferencial retangular
  8. 8. 8 3.1) Conservação da massa Em coordenadas retangulares a equação diferencial para a conservação de massa é, então: 𝜕𝜌𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕𝜌𝑣 𝜕𝑦 + 𝜕𝜌𝑤 𝜕𝑧 + 𝜕𝜌 𝜕𝑡 = 0 Forma diferencial da equação da continuidade Uma vez que o operador 𝛻, em coordenadas retangulares é dado por: 𝛻 = 𝜕 𝜕𝑥 𝑖 + 𝜕 𝜕𝑦 𝑗 + 𝜕 𝜕𝑧 𝑘 Então a equação da continuidade pode ser escrita como: 𝛻 ∙ 𝜌𝑉 + 𝜕𝜌 𝜕𝑡 = 0
  9. 9. 9 3.1) Conservação da massa • Para escoamento permanente: 𝛻 ∙ 𝜌𝑉 = 0 • Para um fluido incompressível: 𝛻 ∙ 𝑉 = 0
  10. 10. 10 3.1) Conservação da massa  Sistema de coordenadas cilíndricas Volume de controle: 𝑑𝑟, 𝑑𝜃 𝑒 𝑑𝑧 Massa específica no centro do VC: 𝜌 Velocidade no centro do VC: 𝑉 = 𝑉𝑟 𝑒 𝑟 + 𝑉𝜃 𝑒 𝜃 + 𝑉𝑧 𝑘
  11. 11. 11 3.1) Conservação da massa Tabela: Fluxo de massa através da superfície de controle de um VC diferencial cilíndrico.
  12. 12. 12 3.1) Conservação da massa Tabela: Fluxo de massa através da superfície de controle de um VC diferencial cilíndrico.
  13. 13. 13 3.1) Conservação da massa A massa dentro do volume de controle em qualquer instante é o produto da massa específica pelo volume: 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑒 = 𝜕𝜌 𝜕𝑡 𝑟𝑑𝜃𝑑𝑟𝑑𝑧 A equação diferencial para a conservação de massa em coordenadas cilíndricas é dada por: 1 𝑟 𝜕(𝑟𝜌𝑉𝑟 𝜕𝑟 + 1 𝑟 𝜕(𝜌𝑉𝜃 𝜕𝜃 + 𝜕(𝜌𝑉𝑧 𝜕𝑧 + 𝜕𝜌 𝜕𝑡 = 0 Forma diferencial da equação da continuidade
  14. 14. 14 • Para escoamento permanente: 𝛻 ∙ 𝜌𝑉 = 0 • Para um fluido incompressível: 𝛻 ∙ 𝑉 = 0 Uma vez que o operador 𝛻, em coordenadas cilíndricas é dado por: 𝛻 = 𝜕 𝜕𝑟 𝑒 𝑟 + 1 𝑟 𝜕 𝜕𝜃 𝑒 𝜃 + 𝜕 𝜕𝑧 𝑘 Então a equação da continuidade pode ser escrita como: 𝛻 ∙ 𝜌𝑉 + 𝜕𝜌 𝜕𝑡 = 0 3.1) Conservação da massa
  15. 15. 15 3.2) Equação da quantidade de movimento
  16. 16. 16 3.2) Equação da quantidade de movimento
  17. 17. 17 3.2) Equação da quantidade de movimento Equação diferencial da quantidade de movimento:
  18. 18. 18 3.2) Equação da quantidade de movimento Fluidos Newtonianos: Equação de Navier Stokes para escoamento incompressível com viscosidade constante:
  19. 19. 19 3.2) Equação da quantidade de movimento Para escoamento sem atrito (Equação de Euler): 𝜌 𝐷𝑉 𝐷𝑡 = 𝜌𝑔 − 𝛻𝑝

×