Aula 8 - Limites

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Material de apoio para Cálculo 1 da Faculdade Pitágoras em Linhares - 2010

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Aula 8 - Limites

  1. 1. Limites Prof. Eraldo Alves dos Santos Cálculo I
  2. 2. Visão geral da disciplina O Cálculo Diferencial e Integral, como o próprio nome sugere, divide-se, essencialmente em duas grandes áreas: o estudo das Derivadas (diferenciação) e o estudo das Integrais. O Cálculo Diferencial aborda o problema das retas tangentes, uma vez que a derivada de uma função pode ser definida como o coeficiente angular da reta tangente à curva de uma função no ponto analisado. O Cálculo Integral, por sua vez, aborda, de maneira resumida, o estudo das áreas sob ou entre curvas.
  3. 3. Estas duas grandes áreas do Cálculo não estão dissociadas, muito pelo contrário, há uma relação direta entre o Cálculo Diferencial e o Integral. Assim, saber inter-relacionar estes conceitos também é importante. O objeto básico do estudo do Cálculo, entretanto, são as funções, que representam a relação de dependência entre as variáveis. Dessa forma, ter bons conhecimentos de Matemática básica é fundamental para uma boa desenvoltura no Cálculo.
  4. 4. As aplicações do Cálculo Diferencial e Integral se estendem a uma enorme variedade de problemas da Física, Engenharia, Economia, Administração, Biologia entre outras áreas das Ciências. Neste sentido, o Cálculo apresenta um amplo conjunto de ferramentas de suporte à decisão, por meio de análise de variações de funções, taxas de variação, análise de erros, e, principalmente, otimização. Para as Engenharias, em especial, o cálculo auxilia na construção de um importante embasamento de raciocínio lógico e crítico, necessário para a estruturação e resolução de problemas diversos.
  5. 5. A idéia de limite é intuitiva quando pensamos em algumas situações de nosso cotidiano, como limite de tempo, de velocidade ou mesmo no orçamento doméstico, uma vez que os recursos são, na grande maioria dos casos, limitados. O zero absoluto é outro exemplo, uma vez que ainda não se conseguiu atingir esta temperatura – na qual não existe agitação molecular – este é um valor limite. Um exemplo no campo da engenharia ocorre quando se projeta um novo motor, ou um veículo, uma vez que os dados divulgados pelo fabricante consideram condições ideais, que, na realidade, são situações-limite.
  6. 6. Limite de funções • O conceito de limite de funções tem grande utilidade na determinação do comportamento de funções nas vizinhanças de um ponto fora do domínio, no comportamento de funções quando x aumenta muito (tende para infinito) ou diminui muito (tende a menos infinito). Além disso, o conceito de limite é utilizado em derivadas. • Intuitivamente, dada uma função f(x) e um ponto b do domínio, dizemos que o limite da função é L quando x tende a b pela direita se, à medida que x se aproxima de b pela direita, os valores de f(x) se aproximam de L. Simbolicamente, f x L lim x b   
  7. 7. Analogamente, dizemos que o limite da função é M quando x tende a b pela esquerda se, à medida que x se aproxima de b pela esquerda, os valores de f(x) se aproximam de M. Simbolicamente, f x M lim   x b  Caso L=M, ou seja, os limites laterais são iguais, dizemos que existe o limite de f(x) quando x tente a b e escrevemos lim f x  M  L. x  b Quando os limites laterais são distintos, dizemos que não existe o limite de f(x) quando x tende a b.
  8. 8. Exemplo1: Consideremos a função dada por:      x se x  2,  3 x se x 2 ,  3  f x Limite pela esquerda: Consideremos uma sucessão que convirja para 3 pela esquerda, por exemplo, (2,9;2,99;2,999;...). Nesse caso, temos: x   2,9 2,99 2,999 ... f x 4,9 4,99 4,999 ... lim   5    3  f x x
  9. 9. Limite pela direita: Consideremos uma sucessão que convirja para 3 pela direita, por exemplo, (3,1;3,01;3,001;...). Nesse caso, temos: x   3,1 3,01 3,001 ... f x 6,2 6,02 6,002 ... lim   6    3  f x x
  10. 10. Neste caso, como os limites laterais existem, mas são diferentes, dizemos que não existe o limite global de f(x) quando x tende a 3.
  11. 11. Exemplo 2 f x  x2 Consideremos a função e calculemos os limites laterais quando x tende a 3. Limite pela esquerda: x   2,9 2,99 2,999 ... f x 8,41 8,9401 8,9940 ... lim   9    3  f x x
  12. 12. Limite pela direita: x   3,1 3,01 3,001 ... f x 9,61 9,0601 9,0060 ... lim   9    3  f x x
  13. 13. Neste caso, como os limites laterais existem, e são iguais, dizemos que existe o limite global de f(x) quando x tende a 3, e, portanto: lim   9 3   f x x
  14. 14. Propriedades de limites: Se f e g são funções tais que existam e sejam números reais os limites limf x e lim g  x  xa xa Então:                   a .) lim f x  g x  lim f x  lim g x x  b x  b x  b b .) lim f x  g x  lim f x  lim g x x  b x  b x  b     c k f x k f x .) lim    lim em que k é uma contante x  b x  b              d .) lim f x  g x  lim f x  lim g x x  b x  b x  b     desde que lim   0 lim x  b lim .) lim f x      g x g x f x g x e x b x b x b
  15. 15. Formas indeterminadas • Consideremos a função 2  x   . 4 2   x f x • Vejamos qual é o limite quando x tende a 2. Se x tende a 2 pela esquerda ou pela direita, notamos que o numerador tende a 0, bem como o denominador. Teríamos então uma fração impossível de ser calculada (0/0) e que é chamada de fórmula indeterminada. • Todavia, podemos simplificar a função ao fatorarmos o denominador, como segue.   1 2  x  2  2   2     x x x f x
  16. 16. • Assim sendo, as funções 2  x     2  têm um comportamento idêntico (exceto para x=2, em que a primeira não é definida). Assim, 2 1 4    x e h x x f x 1 4 2 1 lim 2  x 4  x lim  2 2 2     x x x
  17. 17. Convém lembrar que:  a 2 b 2   a b  a b       2 2 2        a ab b a b   2    2 2 2 a ab b a b      ax bx c a x x x x       1 2 2 2  a 3 b 3   a b  a 2 ab b 2   3 3    2 2        a b a b a ab b      
  18. 18. Exemplo     5  x x x x x x         x x   x x x x x      5 1 lim 8 8 8   10 25   6 5 lim x 8 x .) lim lim 5 4 1 lim 1 .) lim lim 5 0 5 lim 5 .) lim x x 0 0 2 0 1 1 2 1 5 2 5 2 5                       x x x c x x x b x x x a x x x
  19. 19. Limites infinitos Consideremos a função   3 5   x f x definida para todos os números reais diferentes de 3. Se calcularmos o valor da função (a imagem) na vizinhança de 3, teremos que:       5   5   5   5   50000 0,0001 3,0001 5000 0,001 3,001 500 0,01 3,01 50 0,1 3,1   f f f f
  20. 20. • Assim, 5     f x lim lim 3 3 x      3  x x • O mesmo ocorre se analisarmos o limite da função pela esquerda. • De um modo geral, o limite de uma função é infinito, quando os valores de f(x) vão ficando cada vez maiores, superando qualquer valor fixado; da mesma forma, dizemos que o limite de uma função é menos infinito quando os valores de f(x) vão ficando cada vez menores, de modo a se situarem abaixo de qualquer valor fixado.
  21. 21. Limites nos extremos do domínio • Quando estudamos funções, vimos a importância de conhecer o comportamento de uma função quando x era muito grande ou muito pequeno. O que queríamos era, na verdade, determinar os valores dos limites, chamados limites nos extremos: f x ou f x lim lim x x • A maneira de obtermos esses limites consiste em escolher uma sucessão que divirja para mais infinito, ou simplesmente para infinito ou menos infinito, e determinarmos o comportamento da nova sucessão gerada por f(x).
  22. 22. Exemplo f x  1   x Consideremos a função e tomemos uma sequência que divirja para infinito, por exemplo, (10,100,1000,10000,...,10n,...). Assim:       1   1   1   1   0,0001 10000 10000 0,001 1000 1000 0,01 100 100 0,1 10 10   f f f f
  23. 23. Exemplo Notamos que as correspondentes imagens convergem para 0. Dizemos que o limite de f(x) quando x tende a infinito é zero. O mesmo ocorrerá, nesse caso, quando x tende a menos infinito: sua imagem converge a zero.
  24. 24. Continuidade de uma função Intuitivamente, a idéia de uma função contínua decorre da análise de seu gráfico. Quando seu gráfico não apresenta interrupções, dizemos que ela é contínua. Se houver algum ponto de interrupção, dizemos que é um ponto de descontinuidade.
  25. 25. f x f x f b 1 1 1 lim  lim      x b x b      f x f x lim lim     x x 2 0 2 0 lim f  x  1 e lim f  x  2 3 0 3 0       x x
  26. 26. lim f  x  lim f  x  4 4 2 4 2       x x       f x e f x lim lim     x x 5 0 5 0
  27. 27. Pela análise dos gráficos vemos que, com exceção de f1(x), todas as outras funções apresentam interrupções em algum ponto. Uma função f(x) é contínua em um ponto b se: f x f x f b lim lim       x b x b Caso a função não seja contínua no ponto b, diremos que ela é descontínua nesse ponto.
  28. 28. Assim:           é descontínua em 0. é contínua em todos os pontos do domínio; f x f x x é descontínua em  0; f x x é descontínua em  0; f x x é descontínua em 2; 1 2 3 4 5   f x x
  29. 29. • Nos casos (a) e (b), dizemos que a reta de equação x=x0 é uma assíntota vertical daquelas funções. • Nos casos (c) e (d), dizemos que a reta horizontal de equação y=y0 é uma assíntota horizontal das correspondentes funções.
  30. 30. Assíntotas verticais e horizontais • Formalmente, podemos dizer que, se existir um número x0 tal que um dos limites laterais de x0 seja infinito, ou menos infinito, então a reta x=x0 é uma assíntota vertical da função considerada. • Geralmente, x0 é um ponto de descontinuidade da função. • Se existirem os limites lim f  x   c e lim f  x   c 1 2 x  x  então as retas y=c1 e y=c2 são chamadas de assíntotas horizontais da função considerada.
  31. 31. Limite exponencial fundamental f x  11 xx • Consideremos a função que aparece em curvas de crescimento em geral. • À medida que x cresce, tendendo a infinito, a fração 1/x tende a zero. Entretanto, tal fração somada a 1 e o resultado elevado a x não tem um valor de convergência evidente. • O matemático Leonardo Euler parece ter sido o primeiro a perguntar a importância dessa função. Ele demonstrou que o limite daquela função para x tendendo a infinito era um número irracional compreendido entre 2 e 3, simbolizado por e. É possível provar que, quando x tente a menos infinito, a função também tem limite em e.

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