Aula 7 - Derivadas (exemplos e atividades)

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Material de apoio para Cálculo 1 da Faculdade Pitágoras em Linhares - 2010

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Aula 7 - Derivadas (exemplos e atividades)

  1. 1. Derivadas Exemplos e Exercícios 01 Prof. Eraldo Alves dos Santos
  2. 2. Derivada de uma função em um ponto 1)Qual a derivada de f(x)=x² no ponto x0=3? ( ) ( ) ( ) f = f + D x - f ' 3 lim 3 3 0 D x D ® '(3) lim (3 ) 3 lim 6 ( ) lim(6 ) 6 0 2 x x = D + D 0 2 2 f x = + D - 0 = + D = D D D ® D ® D ® x x x x x x x
  3. 3. Função Derivada 1) Qual a função derivada de f(x)=x²? ( ) ( ) ( ) ' = lim + D - D ® 0 D ( ) ( ' = lim + D ) - = lim 2 x D x + ( D x ) lim ( 2 x x) 2 x x f x f x x f x x f x x x x x x x x x 0 2 0 2 2 0 = + D = D D D ® D ® D ®
  4. 4. Atividades 1) Para cada função f(x), determine a derivada no ponto indicado: a) f(x) = x² = 4 b) f(x) = 2x + 3 = 3 c) f(x) = -3x = 1
  5. 5. 2) Determine a função derivada para cada função do exercício anterior.
  6. 6. Derivada das principais funções Derivada de uma função constante: f ( x ) = 5 Þ f ' ( x ) = 0 f ( x ) = e 2 Þ f '( x ) = 0
  7. 7. Derivada de uma função potência: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 f x = x Þ f ' x = 3 x = Þ = ' 8 = = Þ = - = - 1 ' 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) x - - ' 1 1 f x x x f x x x x f x x x f x f x x f x x 2 1 2 1 2 2 4 3 4 3 8 7 - = = Þ = =
  8. 8. Derivada de uma função logarítmica: Se f(x) = ln x, então '( ) 1 . x f x =
  9. 9. Aplicações das propriedades: Exemplos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5ln ' 5 1 x f x x f x = Þ = × ln ' 2 1 = + Þ = + 2 2 = Þ = × + × = + × ( ) ( ) ln 3 1 ( ) 2 2 ö çè 2 3 x x x 3 ln ( ) 2 ( )2 3 2 ln ln ' ln ln ' 1 2 ln 2 ln x x x x x x f x x f x x x x x x x x f x x x f x x x f x x x f x x = - × ÷ø × - æ = Þ =
  10. 10. Atividades 1) Obtenha a derivada de cada função a seguir: a) f(x) = 10 b) F(x) = c) F(x) = 10 d) F(x) =
  11. 11. Função composta – Regra da Cadeia • Consideremos a função Poderíamos achar a derivada de f(x) desenvolvendo a expressão cubo de uma diferença. Todavia, poderíamos fazer u=x²-1 e nossa função ficaria sob a forma u³. Assim, para calcularmos uma imagem dessa função, procedemos em duas etapas: • a.) para um dado valor de x, uma primeira função calcula a imagem u=x²-1; • b.) para o valor de u assim encontrado, uma segunda função calcula a imagem v=u³. • Dizemos que a função f(x) é uma composição dessas duas funções. ( ) ( 1) . f x = x2 - 3
  12. 12. • Para o cálculo da derivada de f(x), podemos usar o seguinte raciocínio intuitivo: u x v = D u f x × D D D D D • Sob condições bastante gerais, quando Δx tende a zero, o mesmo ocorre com Δu, de forma que: ( ) ( ) ( ) f x = v u × u x ' ' ' , derivada de u f x derivada de v ( ) ÷ø ö çè æ × ÷ø ö çè æ = em relação a x em relação a u ' • Essa fórmula é conhecida como regra da cadeia.
  13. 13. Atividades 1)Obtenha a derivada das funções: a.) f ( x) = ln(3x + 6) Fazendo u=3x+6, temos v=ln u. Assim: ' 1 ' 1 ( ) 3 3 3 6 3 6 + × = + = × = x x u u f x
  14. 14. b.) f ( x) = (x2 + 5x + 7)4 2 5 7 u x x = Þ = + + 4 v u f '( x) = (4u3 )×u'= 4(x2 + 5x + 7)×(2x + 5)
  15. 15. Atividades 1) Obtenha a derivada das seguintes funções:

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