DERIVADAS 
Aula 02 
Prof. Eraldo Alves dos Santos
• Derivada de uma função:
Assim, a derivada de uma função f é uma função f ‘ que 
fornece a declividade da reta tangente ao gráfico de f e,m 
qualqu...
• A declividade da reta tangente em P(x, f(x)) é f’(x); f varia à 
taxa de f’(x) unidades para cada variação de uma unidad...
• O cálculo da derivada de f se faz mediante o 
seguinte procedimento em quatro etapas:
Exemplos 
1) Encontre a declividade da reta tangente ao 
gráfico de f(x)=3x+5 em um ponto qualquer 
(x,f(x)). 
Solução: 
-...
• Esse resultado era esperado, visto que a reta 
tangente a uma reta r é sempre a mesma, e 
portanto tem a mesma declivida...
2) Seja f(x)= x². 
a) Calcule f’(x). 
b) Calcule f’(2) e interprete o resultado obtido. 
Solução: 
a) Para calcular f’(x),...
b) f’(2) = 2(2) = 4. 
- Isso nos diz que a declividade da reta tangente 
ao gráfico de f no ponto (2, 4) é 4. 
- Também no...
• O gráfico de f e a reta tangente em (2, 4) é 
demonstrado a seguir:
3) Seja f(x) = x² - 4x 
a) Encontre f’(x). 
b) Encontre o ponto no gráfico de f onde a reta 
tangente é horizontal. 
c) Es...
Solução: 
a) Para encontrarmos f’(x), usamos o 
procedimento de quatro passos:
b) No ponto do gráfico onde a reta tangente é 
horizontal, e portanto tem declive zero, a 
derivada f’ de f é zero. 
- Por...
c) O gráfico de f e sua tangente: 
d) A taxa de variação de f em x = 2 é zero.
Atividades 
1) Seja f(x) = 1/x. 
a) Calcule f’(x). 
b) Calcule a declividade da reta tangente T ao 
gráfico de f no ponto ...
2) Seja f(x) = 2x² + 1. 
a) Calcule a derivada de f’ de f. 
b) Encontre uma equação para a reta tangente 
ao gráfico no po...
3) Seja f(x) x² - 2x + 1. 
a) Calcule a derivada f’ de f. 
b) Determine o ponto do gráfico de f onde a 
reta tangente ao g...
4) Seja f(x) = -x² - 2x + 3. 
a) Calcule a derivada f’ de f, usando a definição de 
derivada. 
b) Calcule a declividade da...
• Solução: 
a)
b) Pelo resultado da parte (a), vemos que a 
declividade da reta tangente ao gráfico de f no 
ponto (x, f(x)) é dada por f...
d) Usando o resultado da parte (b), vemos que a 
equação solicitada para a reta tangente é:
5) As perdas (em milhões de dólares) em razão de maus 
empréstimos feitos pelos presidentes do Brasil, 
principalmente aos...
Solução: 
a) A taxa de variação dos prejuízos em qualquer 
instante t é dada por f’(t)
• Portanto, a taxa de variação dos prejuízos que o 
banco sofreu no início de 1997 (t = 3) foi: 
f’(3) = -2(3) + 10 = 4 
o...
• Finalmente, no início de 2001 (t = 7), 
f’(7) = -2(7) + 10 = -4 
e assim concluímos que os prejuízos 
decrescerão a taxa...
Derivada: regra do produto e regra 
do quociente. 
Exemplo 2 
Quando detritos orgânicos são despejados em um 
lago, o cons...
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• Por cento de seu nível normal.
a) Determine uma expressão genérica para a 
taxa de variação de oxigênio no lago em 
qualquer instante de tempo t. 
b) Com...
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  1. 1. DERIVADAS Aula 02 Prof. Eraldo Alves dos Santos
  2. 2. • Derivada de uma função:
  3. 3. Assim, a derivada de uma função f é uma função f ‘ que fornece a declividade da reta tangente ao gráfico de f e,m qualquer ponto (x, f(x)) e também a taxa de variação de f em x.
  4. 4. • A declividade da reta tangente em P(x, f(x)) é f’(x); f varia à taxa de f’(x) unidades para cada variação de uma unidade em x no ponto x. • Outras notações para a derivada de f são as seguintes: • As últimas duas são usadas quando f é escrita na forma y= f(x).
  5. 5. • O cálculo da derivada de f se faz mediante o seguinte procedimento em quatro etapas:
  6. 6. Exemplos 1) Encontre a declividade da reta tangente ao gráfico de f(x)=3x+5 em um ponto qualquer (x,f(x)). Solução: - A declividade da reta tangente em um ponto qualquer do gráfico é dada pela derivada de f em x. - Para encontrarmos a derivada, usamos o procedimento de quatro passos:
  7. 7. • Esse resultado era esperado, visto que a reta tangente a uma reta r é sempre a mesma, e portanto tem a mesma declividade.
  8. 8. 2) Seja f(x)= x². a) Calcule f’(x). b) Calcule f’(2) e interprete o resultado obtido. Solução: a) Para calcular f’(x), procedemos em quatro passos:
  9. 9. b) f’(2) = 2(2) = 4. - Isso nos diz que a declividade da reta tangente ao gráfico de f no ponto (2, 4) é 4. - Também nos diz que a função f varia à taxa de 4 unidades para cada variação de uma unidade em x no ponto x=2.
  10. 10. • O gráfico de f e a reta tangente em (2, 4) é demonstrado a seguir:
  11. 11. 3) Seja f(x) = x² - 4x a) Encontre f’(x). b) Encontre o ponto no gráfico de f onde a reta tangente é horizontal. c) Esboce o gráfico de f e da reta tangente à curva no ponto encontrado na parte (b). d) Qual é a taxa de variação de f neste ponto?
  12. 12. Solução: a) Para encontrarmos f’(x), usamos o procedimento de quatro passos:
  13. 13. b) No ponto do gráfico onde a reta tangente é horizontal, e portanto tem declive zero, a derivada f’ de f é zero. - Portanto, para encontrar esses pontos, fazemos f’(x) = 0, o que equivale a 2x-4=0, ou x = 2. - O valor correspondente de y é y = f(2) = -4, e o ponto pretendido é (2, -4).
  14. 14. c) O gráfico de f e sua tangente: d) A taxa de variação de f em x = 2 é zero.
  15. 15. Atividades 1) Seja f(x) = 1/x. a) Calcule f’(x). b) Calcule a declividade da reta tangente T ao gráfico de f no ponto cuja abscissa é x=1. c) Encontre uma equação da reta tangente T na parte (b).
  16. 16. 2) Seja f(x) = 2x² + 1. a) Calcule a derivada de f’ de f. b) Encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico no ponto (1, 3). c) Esboce o gráfico de f.
  17. 17. 3) Seja f(x) x² - 2x + 1. a) Calcule a derivada f’ de f. b) Determine o ponto do gráfico de f onde a reta tangente ao gráfico é horizontal. c) Esboce o gráfico de f e a reta tangente ao gráfico no ponto encontrado na parte (b). d) Qual é a taxa de variação de f nesse ponto?
  18. 18. 4) Seja f(x) = -x² - 2x + 3. a) Calcule a derivada f’ de f, usando a definição de derivada. b) Calcule a declividade da reta tangente ao gráfico de f, no ponto (0, 3). c) Encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico de f no ponto (0, 3). d) Esboce o gráfico de f e a tangente à curva no ponto (0, 3).
  19. 19. • Solução: a)
  20. 20. b) Pelo resultado da parte (a), vemos que a declividade da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x, f(x)) é dada por f’(x) = -2x – 2. em particular, a declividade da reta tangente ao gráfico de f em (0, 3) é f(0) = -2. c) A taxa de variação de f quando x=0 é dada por f’(0) = -2, ou seja, -2 unidades para cada aumento de uma unidade em x.
  21. 21. d) Usando o resultado da parte (b), vemos que a equação solicitada para a reta tangente é:
  22. 22. 5) As perdas (em milhões de dólares) em razão de maus empréstimos feitos pelos presidentes do Brasil, principalmente aos setores de Indústrias, Imobiliários, transportes e energias, podem ser estimados pela função: A = f(t) = -t² + 10t + 30 (0 < t < 10), Onde t é o tempo em anos (t = 0 corresponde ao início de 1994). a) A que velocidade se acumulam os prejuízos no inicio de 1997? b) A que velocidade os prejuízos se acumulam no início de 2001?
  23. 23. Solução: a) A taxa de variação dos prejuízos em qualquer instante t é dada por f’(t)
  24. 24. • Portanto, a taxa de variação dos prejuízos que o banco sofreu no início de 1997 (t = 3) foi: f’(3) = -2(3) + 10 = 4 ou seja, os prejuízos cresciam à taxa de $ 4 milhões/ano. No início de 1999(t = 5), f’(5)= -2(5) + 10 = 0 e assim vemos que a variação dos prejuízos devidos a maus empréstimos era igual a zero naquele momento.
  25. 25. • Finalmente, no início de 2001 (t = 7), f’(7) = -2(7) + 10 = -4 e assim concluímos que os prejuízos decrescerão a taxa de $ 4 milhões/ano.
  26. 26. Derivada: regra do produto e regra do quociente. Exemplo 2 Quando detritos orgânicos são despejados em um lago, o consequente processo de oxidação reduz a quantidade de oxigênio do lago. No entanto, dado o tempo suficiente, a natureza restaurará a quantidade de oxigênio ao seu nível natural. Suponha que a quantidade de oxigênio, t dias após os detritos orgânicos serem despejados no lago, seja igual a:
  27. 27. t t ²  10  100 0 < t <          ² 20 100 ( ) 100. t t f t   • Por cento de seu nível normal.
  28. 28. a) Determine uma expressão genérica para a taxa de variação de oxigênio no lago em qualquer instante de tempo t. b) Com que rapidez a quantidade de oxigênio no lago está mudando um dia, dez dias e 20 dias após os detritos terem sido despejados.

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