Aula 5 - Derivadas

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Material de apoio para Cálculo 1 da Faculdade Pitágoras em Linhares - 2010

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Aula 5 - Derivadas

  1. 1. Derivadas Aula 01 Prof. Eraldo
  2. 2. • A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , é igual ao valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y=f(x), no ponto x = x0, ou seja, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0.
  3. 3. • A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos: y' , dy/dx ou f ' (x). • A derivada de uma função f(x) no ponto x0 é dada por:
  4. 4. Algumas derivadas básicas • Nas fórmulas abaixo, u e v são funções da variável x. • a, b, c e n são constantes. • Derivada de uma constante • Derivada da potência • Portanto:
  5. 5. • Soma / Subtração • Produto por uma constante • Derivada do produto • Derivada da divisão
  6. 6. • Potência de uma função • Derivada de uma função composta
  7. 7. Regra da cadeia • A fórmula: • é conhecida como regra da cadeia. Ela pode ser escrita como: • Outra fórmula similar é a seguinte:
  8. 8. Derivada como taxa de variação: • Até aqui entendemos a derivada de uma função como a inclinação da reta tangente ao seu gráfico, mas o conceito de derivada está relacionado a várias outras interpretações. Dentre estas, talvez a mais importante é o problema de calcular a velocidade de um objeto móvel. Os conceitos de velocidade e de aceleração, definidos como taxas de variação instantânea, desempenharam um papel de primordial importância no desenvolvimento feito por Newton, em seus esforços para descobrir os princípios da Dinâmica e compreender os movimentos dos planetas.
  9. 9. • Veremos agora a interpretação da derivada como uma taxa da variação entre duas quantidades, ou melhor, como uma razão da variação entre a variável dependente e a variável independente. Esta interpretação é importante em vários ramos da Ciência.
  10. 10. • Sabemos que as grandezas variam. Em nosso dia a dia, pensamos muitas vezes na variação de grandezas, como, por exemplo, o tempo gasto para chegar à faculdade, o quanto engordamos ou emagrecemos no último mês, a variação de temperatura num dia específico, e assim por diante. • De modo geral, quando uma grandeza y está expressa em função de x, ou seja, y = f(x), observamos que, para uma dada variação de x, ocorre, em correspondência, uma variação de y, desde que y não seja uma função constante.
  11. 11. • A derivada pode, então, ser interpretada como uma taxa de variação. Vista desta forma, a derivada pode representar quantidades como a taxa na qual uma população aumenta, a velocidade de um objeto que se move, o custo marginal de um produtor, a taxa de inflação e a taxa na qual recursos naturais estão sendo gastos. • A taxa de variação de uma função em relação à sua variável independente é igual à inclinação de seu gráfico, a qual é medida pela inclinação da reta tangente no ponto em questão. Como a inclinação da reta tangente é dada pela derivada da função, segue-se que a taxa de variação é igual à derivada. • Vamos entender estas idéias.
  12. 12. Velocidade Média e Velocidade Instantânea Exemplo 1: • Suponha que você faça uma viagem de carro do Rio a São Paulo pela Via Dutra. Quando parte do Rio você zera o velocímetro e começa a cronometrar o tempo. Considere s a distância percorrida pelo carro, dada em km, como uma função do tempo decorrido t, dado em horas. Veja a tabela abaixo que indica, para algumas localizações do carro durante o percurso, o tempo transcorrido e a distância percorrida.
  13. 13. Percurso Rio de janeiro Barra Pirai Resende Taubaté APNorte São Bernardo São Paulo T 0 1,5 2 2,7 3 4 5 S(t) 0 100 150 240 280 350 420
  14. 14. • A partir dos dados desta tabela é possível calcular a velocidade média desta viagem. Como sabemos a velocidade média é definida como: velocidade média = distância tempo • Assim, a velocidade média desenvolvida pelo automóvel, no percurso completo do Rio a São Paulo foi de 420/5= 84km/h.
  15. 15. • Façamos uma análise da viagem estudando o gráfico, traçado abaixo, da distância com o função do tempo:
  16. 16. • Podemos calcular, facilmente, a velocidade média entre cada cidade do percurso, assinalada na tabela. Os valores obtidos são: 66,67 100 128,6 133,3 70 70 • Note que estas velocidades médias correspondem à inclinação das retas que, no gráfico acima, ligam os pontos Pi a Pi+1, cujas coordenadas fornecem, respectivamente, o tempo transcorrido e a distância percorrida pelo automóvel, para cada cidade assinalada no percurso.
  17. 17. • Por exemplo, no percurso do Rio (que corresponde no gráfico ao ponto (0,0)=(0,s(0)) a Barra do Piraí (ponto (1,5, 100)= (1,5, s(1,5)), a velocidade média desenvolvida pelo automóvel foi de 66.67 km/h. Geometricamente este valor representa a inclinação da reta que liga os pontos (0, 0) a (1,5, 100).
  18. 18. • De modo geral a velocidade média, desenvolvida pelo automóvel no percurso Rio de Janeiro, ponto (t0, s(t0)), a cada uma das cidades destacadas na tabela, ponto (t, s(t)), é dada pela fórmula:
  19. 19. • Como , a fórmula acima pode ser reescrita como: • A velocidade média nos fornece, então, uma medida da velocidade desenvolvida pelo automóvel durante todo o trajeto ou parte dele, mas como determinar a velocidade que o velocímetro do automóvel indicava no exato instante em que ele passava por um determinado ponto do percurso, por exemplo, pelo km 78 da rodovia. **

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