Vetores 
Tratamento Geométrico 
Prof.: Alexandro Scopel
Noção Intuitiva 
• Existem dois tipos de grandezas, as escalares e as vetoriais: 
1) As escalares são aquelas que ficam co...
Noção Intuitiva 
• As idéias de direção e sentido 
• Retas paralelas têm a mesma direção.
Noção Intuitiva 
• Consideremos um avião com uma velocidade constate de 
40 km/h, deslocando-se para nordeste, sob um ângu...
Noção Intuitiva 
• O vetor é representado por um segmento orientado. 
• Dois representantes orientados de mesmo compriment...
Noção Intuitiva 
v = AB  
• Dados um vetor e um ponto P, existe um só ponto 
Q tal que o segmento orientado PQ tem o mesm...
Casos Particulares de Vetores 
u v 
u v  // 
1) Dois vetores e são paralelos, e indica-se por , se os seus 
representa...
Casos Particulares de Vetores 
v 
v - 
4) A cada vetor não nulo corresponde um vetor v 
oposto , 
de mesmo módulo e mes...
Casos Particulares de Vetores 
u v  ^ 
6) Dois vetores u e v são ortogonais, e indica-se por , se 
algum representante d...
Casos Particulares de Vetores 
Três vetores poderão ser coplanares ou não.
Operações com Vetores 
• Adição de vetores 
Consideremos os vetores u e v, cuja soma u+v pretendemos 
encontrar. Tomemos u...
Operações com Vetores 
• Adição de Vetores 
Sendo u//v, a maneira de se obter o vetor u+v é a mesma. 
Abaixo temos a repre...
Operações com Vetores 
• Adição de Vetores 
No caso de os vetores u e v não serem paralelos, há uma 
outra maneira de se e...
Operações com Vetores 
• Adição de Vetores 
Para o caso de se determinar a soma de três vetores ou mais, 
o procedimento é...
Propriedades da Adição 
• Sendo u, v e w vetores quaisquer, a adição admite as 
seguintes propriedades: 
1) Comutativa: u+...
Adição de Vetores - Observação 
• O vetor u+(-v), escreve-se u-v, é chamado diferença entre u 
e v. 
Observemos que no par...
Multiplicação de Número Real por Vetor 
• Dado um vetor v, diferente de zero, e um número real n, 
diferente de zero, cham...
Observações 
1) Considerando o ponto O como origem de v, v diferente de 
zero, e de todos os vetores n.v que lhe são paral...
Observações 
2) Vimos em casos particulares que a cada vetor v, v diferente 
de zero, é possível associar dois vetores uni...
Ângulo de Dois Vetores 
• O ângulo entre os vetores não nulos u e v é o ângulo Ɵ 
formado por duas semi retas AO e OB de m...
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Material de apoio para a disciplina de Geometria Analítica e Álgebra Linear ofertado pela Faculdade Pitágoras em Linhares/ES - 2010

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Aula 01 - Vetores

  1. 1. Vetores Tratamento Geométrico Prof.: Alexandro Scopel
  2. 2. Noção Intuitiva • Existem dois tipos de grandezas, as escalares e as vetoriais: 1) As escalares são aquelas que ficam completamente definidas por apenas um número real (acompanhado de uma unidade adequada). São exemplos: comprimento, área, volume, massa, temperatura.... 2) As vetoriais, para ficarem bem caracterizadas necessitamos conhecer seu módulo (comprimento ou intensidade), sua direção e seu sentido. São exemplos: força, velocidade, aceleração...
  3. 3. Noção Intuitiva • As idéias de direção e sentido • Retas paralelas têm a mesma direção.
  4. 4. Noção Intuitiva • Consideremos um avião com uma velocidade constate de 40 km/h, deslocando-se para nordeste, sob um ângulo de 40° (na navegação aérea, as direções são dadas pelo ângulo considerado a partir do Norte, em sentido horário) essa grandeza (velocidade) seria representada por um segmento orientado, sendo seu módulo dado pelo comprimento do segmento, com a direção e sentido definidos pelo ângulo de 40°.
  5. 5. Noção Intuitiva • O vetor é representado por um segmento orientado. • Dois representantes orientados de mesmo comprimento, mesma direção (são paralelos ou colineares) e mesmo sentido são representantes de um mesmo vetor. • Todos os segmentos orientados paralelos, de mesmo sentido e mesmo comprimento de AB, representam o mesmo vetor, que é indicado por: v = AB = B - A 
  6. 6. Noção Intuitiva v = AB  • Dados um vetor e um ponto P, existe um só ponto Q tal que o segmento orientado PQ tem o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido de AB. Portanto, temos . v = PQ 
  7. 7. Casos Particulares de Vetores u v u v  // 1) Dois vetores e são paralelos, e indica-se por , se os seus representantes tiverem a mesma direção. u v u v  = 2) Dois vetores e são iguais, e indica-se por , se tiverem iguais o módulo, a direção e o sentido. 3) Qualquer ponto do espaço é representante do vetor zero (nulo), 0  AA que é indicado por ou (a origem coincide com a extremidade). Pelo fato desse vetor não possuir direção e sentidos definidos, considera-se o zero paralelo a qualquer vetor.
  8. 8. Casos Particulares de Vetores v v - 4) A cada vetor não nulo corresponde um vetor v oposto , de mesmo módulo e mesma direção de , porém, de sentido contrário. u u 5) Um vetor é unitário se | |=1. Para cada vetor v, diferente de zero, é possível associar dois vetores unitários com a mesma direção de v. O vetor u que tem o mesmo sentido de v é chamado versor de v.
  9. 9. Casos Particulares de Vetores u v  ^ 6) Dois vetores u e v são ortogonais, e indica-se por , se algum representante de u formar ângulo reto com algum representante de v. considera-se o vetor zero ortogonal a qualquer vetor. 7) Dois ou mais vetores são coplanares se existir algum plano onde esses vetores são representados. Dois vetores u e v quaisquer são sempre coplanares.
  10. 10. Casos Particulares de Vetores Três vetores poderão ser coplanares ou não.
  11. 11. Operações com Vetores • Adição de vetores Consideremos os vetores u e v, cuja soma u+v pretendemos encontrar. Tomemos um ponto A qualquer e, com origem nele, tracemos um segmento orientado AB representante do vetor u. Utilizemos a extremidade B para traçar o segmento orientado BC representante de v. O vetor representado pelo segmento orientado de origem A e extremidade C é, por definição, o vetor soma de u e v, u + v = AC  
  12. 12. Operações com Vetores • Adição de Vetores Sendo u//v, a maneira de se obter o vetor u+v é a mesma. Abaixo temos a representação de u e v de mesmo sentido e u e v de sentidos contrários.
  13. 13. Operações com Vetores • Adição de Vetores No caso de os vetores u e v não serem paralelos, há uma outra maneira de se encontrar o vetor soma u+v. Utiliza-se a regra do paralelogramo.
  14. 14. Operações com Vetores • Adição de Vetores Para o caso de se determinar a soma de três vetores ou mais, o procedimento é análogo e, em particular, se a extremidade do representante do último vetor coincidir com a origem do representante do primeiro, a soma deles será o vetor zero (u+v+w+t=0).
  15. 15. Propriedades da Adição • Sendo u, v e w vetores quaisquer, a adição admite as seguintes propriedades: 1) Comutativa: u+v=v+u 2) Associativa: (u+v)+w=u+(v+w) 3) Elemento neutro: u+0=u 4) Elemento oposto: u+(-u)=0
  16. 16. Adição de Vetores - Observação • O vetor u+(-v), escreve-se u-v, é chamado diferença entre u e v. Observemos que no paralelogramo determinado pelos vetores u e v verifica-se que a soma u+v é representada por uma das diagonais, enquanto a diferença u-v pela outra diagonal.
  17. 17. Multiplicação de Número Real por Vetor • Dado um vetor v, diferente de zero, e um número real n, diferente de zero, chama-se produto do número real n pelo vetor v, o vetor n.v tal que 1) Módulo: |n.v|=|n|.|v|, isto é, o comprimento de n.v é igual ao comprimento de v multiplicado por |n|; 2) Direção: n.v é paralelo a v; 3) Sentido: n.v e v tem mesmo sentido se n>0, e contrário se n<0.
  18. 18. Observações 1) Considerando o ponto O como origem de v, v diferente de zero, e de todos os vetores n.v que lhe são paralelos, se fizermos n assumir todos os valores reais, teremos representados em uma só reta todos os vetores paralelos a v. Por outro lado, supondo u//v, v diferente de zero, sempre existe um número n tal que u=n.v.
  19. 19. Observações 2) Vimos em casos particulares que a cada vetor v, v diferente de zero, é possível associar dois vetores unitários paralelos a v. O vetor unitário (1/|v|).v ou v/|v| de mesmo sentido de v é o versor de v. Por exemplo: Se |v|=5, o versor de v é v/5 Se |v|=1/3, o versor de v é 3.v Se |v|=10, o versor de –v é – v/10
  20. 20. Ângulo de Dois Vetores • O ângulo entre os vetores não nulos u e v é o ângulo Ɵ formado por duas semi retas AO e OB de mesma origem, onde u=AO, v=OB e 0≤Ɵ≤180°. • Se u//v e u e v tem o mesmo sentido, então Ɵ=0. É o que ocorre, por exemplo, com os vetores u e 2u que em o mesmo sentido. Se u//v e u e v tem sentidos contrários, então Ɵ=180°. É o caso de u e -3u.

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