Resistencia metriais mrm101

Escola Técnica Eletro-Mecânica da Bahia
Resistência dos Materiais
MRM - 101
André Gonçalves
Érico Oliveira
Vania Batista
- Maio de 2012 -

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Resistência dos Materiais
Conteúdo Programático
1. Introdução a resistência
2. Generalidades
3. Tração e compressão
3.1. Introdução a tração e compressão
3.2. Tensão normal
3.3. Tipos de deformações
3.4. Tipos de materiais
3.5. Lei de hooke
3.6. Deformação longitudinal
3.7. Deformação transversal
3.8. Tensão admissível
4. Cisalhamento
4.1. Introdução a cisalhamento
4.2. Tensão de cisalhamento
4.3. Força cortante
4.4. Pressão de contato ou tensão de esmagamento
4.5. Junta rebitada
5. Flexão
5.1. Cálculo de reações em peças isostáticas
5.2. Momento fletor
5.3. Flexão simples
5.4. Tensão normal de flexão
5.5. Momento de inércia
6. Torção
6.1 Definição
6.2 Momento torçor ou torque
6.3 Potência

3
Conteúdo
1. Introdução a Resistência dos materiais. ............................................................................5
2. Generalidades....................................................................................................................6
2.1 Equilíbrio de forças e momentos ...............................................................................6
2.1.1 Resultante das Forças. ........................................................................................7
2.1.2 Resultante dos Momentos...................................................................................7
2.1.3 Equações Fundamentais da Estática...................................................................7
2.2 Esforços. ....................................................................................................................7
2.2.1 Quanto à origem: ................................................................................................7
2.2.2 Quanto a deformação do corpo:..........................................................................8
3. Tração e Compressão......................................................................................................10
3.1 Definição:.................................................................................................................10
3.1.1 Esforço de Tração:............................................................................................10
3.1.2 Esforço de Compressão:...................................................................................11
3.2 Tensão Normal (T)...................................................................................................11
Exercícios. ..........................................................................................................................12
3.3 Deformações. ...........................................................................................................14
3.3.1 Deformação Elástica:........................................................................................14
3.3.2 Deformação Plástica:........................................................................................14
3.4 Classificação dos Materiais Utilizados em Elementos Estruturais..........................14
3.4.1 Materiais Dúcteis:.............................................................................................14
3.4.2 Materiais Frágeis: .............................................................................................15
3.4.3 Tensão de Ruptura:...........................................................................................16
3.5 Cálculo da deformação de um corpo. ......................................................................16
3.5.1 Lei de Hooke. ...................................................................................................16
3.6 Deformação Longitudinal (£) ..................................................................................18
3.7 Deformação Transversal (£t) ...................................................................................18
Exercício de Alongamento. ....................................................................................................19
3.8 Tensão Admissível (Tadm)......................................................................................20
3.8.1 Coeficiente de segurança (k) ............................................................................20
Exercício de Tensão admissível. ........................................................................................20
Exercício de Revisão. .........................................................................................................21
4. CISALHAMENTO.........................................................................................................22
4.1 Esforço de Cisalhamento. ........................................................................................22
4.1.1 Força Cortante (Q)............................................................................................22

4
4.1.2 Esforço de Cisalhamento..................................................................................22
4.2 Tensão de Cisalhamento. .........................................................................................22
4.3 Cálculo das forças de corte ......................................................................................23
Exercício de Cisalhamento.................................................................................................23
4.4 Pressão de Contato ou Tensão de Esmagamento (Td).............................................25
Exercício de Pressão de Contato (Td) ................................................................................26
4.5 Junta Rebitada..........................................................................................................26
Exercício de Junta Rebitada. ..............................................................................................27
5. FLEXÃO. .......................................................................................................................28
5.1 Cálculo de reações em peças isostáticas. .................................................................28
5.2 Momento Fletor (MF)...............................................................................................29
Exercício:............................................................................................................................29
5.3 Flexão Simples.........................................................................................................30
5.4 Tensão Normal na Flexão........................................................................................31
5.5 Momento de Inércia:................................................................................................31
Exercício de Flexão. ...........................................................................................................33
6. TORÇÃO........................................................................................................................34
6.1 Definição:.................................................................................................................34
6.2 Momento Torçor ou Torque: ..................................................................................34
6.3 Potência (P)..............................................................................................................34
Exercício de torção:............................................................................................................36

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1. Introdução a Resistência dos materiais.
A resistência dos materiais é um assunto bastante antigo. Os cientistas da antiga Grécia já
tinham o conhecimento do fundamento da estática, porém poucos sabiam do problema de
deformações. O desenvolvimento da resistência dos materiais seguiu-se ao desenvolvimento
das leis da estática. Galileu (1564-1642) foi o primeiro a tentar uma explicação para o
comportamento de alguns membros submetidos a carregamentos e suas propriedades e
aplicou este estudo, na época, para os materiais utilizados nas vigas dos cascos de navios
para marinha italiana.
Podemos definir que a ESTÁTICA considera os efeitos externos das forças que atuam num
corpo e a RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS, por sua vez, fornece uma explicação mais
satisfatória, do comportamento dos sólidos submetidos a esforços externos, considerando o
efeito interno.
Na construção mecânica, as peças componentes de uma determinada estrutura devem ter
dimensões e proporções adequadas para suportarem esforços impostos sobre elas.
Exemplos:

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O comportamento de um membro submetido a forças, não depende somente destas, mas
também das características mecânicas dos materiais de fabricação dos membros. Estas
informações provêm do laboratório de materiais onde estes são sujeitos a ação de forças
conhecidas e então observados fenômenos como ruptura, deformação, etc.
O que é Resistência dos Materiais? É o estudo sobre a capacidade que os materiais têm
para resistir a certos tipos de forças externas que causam esforços internos em função do tipo
de material, dimensões, processo de fabricação, entre outros. Esta disciplina usa a estática
para considerar os efeitos externo (forças), e a partir de então considerar os efeitos internos
(esforços). O objetivo desta primeira parte da disciplina de Elementos de Máquinas é
conhecer as diferentes solicitações mecânicas (esforços internos causados por forças
externas) para definir o melhor tipo de dimensionamento e material.
Porque estudar Resistência dos Materiais?
Por um lado, esse estudo evita que peças de máquinas estejam sub-dimensionadas, ou seja,
possuam uma dimensão insuficiente em relação às forças que nela atuam e que provocará
quebras. Por outro lado, evita o super-dimensionamento, ou seja, evita gasto excessivo com
material quando não é necessário, influenciando diretamente no custo final dos produtos e
tornando-os inviáveis (caro em relação aos demais concorrentes).
2. Generalidades
2.1 Equilíbrio de forças e momentos
Para que um corpo esteja em equilíbrio, é necessário que este obedeça as três condições de
equilíbrio que são:

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2.1.1 Resultante das Forças.
A resultante do sistema de forças atuante será nulas, tanto horizontais, quanto verticais, ou
seja, o somatório das forças atuantes será zero.
2.1.2 Resultante dos Momentos.
A resultante dos momentos atuantes em relação a um ponto qualquer do plano de força será
nula.
2.1.3 Equações Fundamentais da Estática.
Concluindo o que foi dito no item 1 e 2 que para as forças coplanares, ∑Fx=0, ∑Fy=0 e
∑M=0.
É definida como força axial ou normal a carga que atua na direção do eixo longitudinal da
peça. A denominação normal ocorre, em virtude de ser perpendicular, a secção transversal.
Resumindo:
Para que um corpo esteja em equilíbrio é necessário que o somatório das forças atuantes e o
somatório dos momentos em relação a um ponto qualquer sejam nulos.
2.2 Esforços.
2.2.1 Quanto à origem:
Externo – Força que age sobre o corpo.

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Forças Reativas – força que age nos apoios e está vinculada ao esforço externo.
2.2.2 Quanto a deformação do corpo:
1. Tração: É quando as forças agem para fora do corpo, tendendo a alonga-lo no
sentido da sua linha de aplicação.
2. Compressão: É quando as forças agem para dentro do corpo, tendendo a encurtá-
lo no sentido da carga aplicada.

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3. Cisalhamento: é o que ocorre quando um corpo tende a resistir a ação de duas
forças agindo paralelamente, mas em sentidos contrários.
4. Flexão: é uma solicitação transversal em que o corpo sofre uma deformação que
tende a modificar seu eixo longitudinal.
5. Torção: é um tipo de solicitação que tende a girar as seções de um corpo, uma em
relação à outra.

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6. Flambagem: é a perda da estabilidade da peça pela aplicação de um esforço de
compressão acima do valor crítico.
3. Tração e Compressão.
3.1 Definição:
3.1.1 Esforço de Tração:
É quando um corpo ou peça está sujeito a uma força normal F, atuando sobre a seção
transversal da peça, no sentido do interior para o exterior da peça.

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3.1.2 Esforço de Compressão:
É quando um corpo ou peça está sujeito a uma força normal F atuando sobre a seção
transversal da peça, no sentido do exterior para o interior da peça.
3.2 Tensão Normal (T).
É determinada através da relação entre a força aplicada, e a área da seção transversal da peça
em que essa força foi aplicada.
𝑇 =
𝐹
𝐴
Onde:
T= Tensão Normal.
F = Força Normal.
A = Área da seção transversal.
Unidades de Tensão Normal:
Sistema SI : 𝑁 𝑚²
1 Pascal corresponde a força de 1N agindo sobre uma área de 1m².
1𝑃𝑎 =
𝑁
𝑚²
Outras unidades de tensão normal.
𝐾𝑔𝐹
𝑐𝑚2
e
𝐾𝑔𝐹
𝑚𝑚 ²
Múltiplos da unidade Pascal:
Kilo Pascal (KPa) = 10³ Pa.
Mega Pascal (MPa) = 106
Pa.
Obs.: N/mm² ou seja 1m² = 106
mm².

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Exercícios.
1) Um cabo de aço de diâmetro ¼ “ (Polegada) (6,35 mm) é utilizado num
guindaste para elevar uma carga de peso 4750N. Calcular a tensão normal de
tração que atua no cabo de aço. (Resp. 149,98 MPa)
2) Uma peça madeira de seção transversal retangular, cujos lados medem 80 cm e
20 cm, está sujeita a uma tensão normal de compressão de 80MPa. Calcular a
intensidade da força normal de compressão atuante na peça. (Resp. 12,8 MN)
3) Determine a área da seção transversal de uma barra maciça de alumínio que está
sujeita a um esforço de tração 24kN, de modo que a tensão atuante na
mencionada barra não ultrapasse o valor de 60MPa. (Resp. 0.0004 m²)
4) A peça vazada de seção transversal quadrada mostrada na figura suporta um
esforço de compressão F=32kN. Calcular a tensão normal de compressão
suportada pela peça. (Resp. T=20MPa)
5) Um fio de aço com diâmetro 8mm é utilizado para elevar um corpo de peso igual
a 9043,2N. Calcular a tensão normal de tração atuante no fio. Expresse o
resultado em MPa. (Resp. 180MPa)
6) Dois cabos de aço iguais com diâmetro 7,8mm são utilizados para elevar um
carro de peso igual a 8500N. Calcule a tensão normal de tração que atua em cada
um dos cabos de aço. (Resp. 89MPa)
7) Calcular a área da seção transversal de um cabo que suporta um esforço de tração
10kN, de modo que a tensão atuante no cabo citado é 35MPa. (Resp. 285,71
mm²)
8) Um cabo de cobre é utilizado para elevar um corpo com peso igual a 2000N de
modo que a tensão normal de tração é 31,45MPa. Calcular o diâmetro do cabo de
aço. (Resp. 9mm).
9) Dois cabos de aço são utilizados para elevar um peso de 10kN. A tensão atuante
em cada cabo é 100MPa. Calcule o diâmetro do cabo de aço. (Resp. 7,98mm)
10) Uma barra circular de diâmetro 18mm suporta um esforço de intensidade 7,8kN.
Calcular a tensão normal de tração atuante na barra. (Resp. 30,66MPa)

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11) Uma barra possui área de seção transversal A=120mm², na qual atua uma tensão
de 41MPa. Calcule a força atuante no sistema. (Resp. 4920N)
12) Duas barras de aço, de forma circular, soldadas na seção (BB) como mostra a
figura. Calcule a tensão normal em cada uma das barras. (Resp. T2= 25,53MPa,
T1= 9,17MPa)

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3.3 Deformações.
O corpo quando sujeitos a esforços apresentam por menos que sejam, deformações. Estas
deformações com comportamentos diversos em função do material e do tipo de esforço que
age sobre o corpo.
As deformações sofridas por um corpo são classificadas em dois tipos: Deformação elástica
e Deformação Plástica.
3.3.1 Deformação Elástica:
É aquela apresentada por um corpo sujeito a um carregamento e que a deformação
desaparece com a retirada do carregamento.
Ou seja, o corpo volta a ter as suas dimensões iniciais.
3.3.2 Deformação Plástica:
É aquela apresentada por um corpo sujeito a um carregamento e que a deformação
não desaparece por completo com a retirada do carregamento.
Ou seja, o corpo não volta a ter as suas dimensões iniciais. Mantém uma deformação
residual.
3.4 Classificação dos Materiais Utilizados em Elementos
Estruturais.
3.4.1 Materiais Dúcteis:
São os materiais que submetidos ao esforço de tração ou de compressão
apresentam a deformação elástica, seguida da deformação plástica, para
atingirem o rompimento.
Exemplos: aço, alumínio, cobre, bronze e outras ligas metálica.

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3.4.2 Materiais Frágeis:
São os materiais que submetidos ao esforço de tração ou de compressão apresentam a
deformação elástica e em seguida atingem o rompimento. Não apresentam a
deformação plástica.
Exemplos: Ferro Fundido, Concreto, Vidro, Cerâmica, Porcelana e outras.

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3.4.3 Tensão de Ruptura:
É a tensão que leva o material ao rompimento.
3.5 Cálculo da deformação de um corpo.
3.5.1 Lei de Hooke.
O cientista inglês, Robert Hooke, em 1678, constatou que uma série de materiais, quando
submetidos à ação de carga normal, sofre variação na sua dimensão linear inicial, bem como
na área se seção transversal inicial.

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Esse fenômeno ele denominou de alongamento, constatando que:
Quanto maior a carga normal aplicada, e o comprimento inicial da peça, maior o
alongamento, e que, quanto maior a área da seção transversal e a rigidez do material, medido
através do seu módulo de elasticidade, menos o alongamento, resultando daí a equação:
Δ𝐿 =
𝐹. 𝐿
𝐴. 𝐸
Onde:
ΔL= alongamento da peça.
F= força normal.
A= área da seção transversal.
E= módulo de elasticidade do material.
L= comprimento inicial da peça.
O alongamento será positivo, quando a carga aplicada tracionar a peça, e será negativo
quando a carga aplicada comprimir a peça.

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3.6 Deformação Longitudinal (£)
Consiste na deformação que ocorre em uma peça submetida à ação de carga axial.
Sendo definida pela relação:
£ =
Δl
L
3.7 Deformação Transversal (£t)
É o produto entre a deformação unitária (£) e o coeficiente de Poisson (v).
εt= - (y x ε)
Onde:
£t = deformação transversal.
y = coeficiente de Poisson adimensional.
ε = deformação longitudinal.

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Exercício de Alongamento.
1) Numa ponte rolante é utilizado um cabo de aço de diâmetro 10mm e comprimento
tracionado de 3,6m , para suspender um equipamento de peso 11680N. Calcular:
a) A tensão normal atuante no cabo de aço. (Resp. 148,78MPa)
b) O alongamento. (Resp. ΔL= 2,55mm)
*Considere Eaço = 2,1x 105
MPa..
2) Um fio de aço de 6mm de diâmetro e extensão 3,0 m é utilizado para elevar um
corpo de peso igual a 15000N. Calcular o alongamento do corpo.
*Considere Eaço = 2,1x 105
.MPa (Resp. ΔL= 7,58 mm)
3) Um perfil de aço de comprimento 3,0m e área da seção transversal igual a 14,2 cm² é
tracionado de modo a apresentar um alongamento de 0,5mm. Calcular a força de
tração que atua no perfil. Considere Eaço = 2,1x 105
MPa . (Resp. F=4,97. 104
N)
4) Dois fios de aço de 8mm de diâmetro e extensão 5m são tracionados por um corpo de
peso igual a 30kN.
Considere Eaço = 2,1x 105
MPa , Yaço = 0,3.
a) Calcule a tensão normal de tração.
b) O alongamento.
c) A deformação longitudinal.
d) A deformação transversal.

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3.8 Tensão Admissível (Tadm)
Tensão admissível é a tensão ideal de trabalho definida em projeto para a estrutura.
Geralmente essa tensão dever ser mantida na região de deformação elástica do material, há
casos em que a tensão admissível poderá estar na região da deformação plástica do material.
A tensão admissível é determinada através da relação Te (tensão de escoamento) e o
coeficiente de segurança para os materiais dúcteis, Tr (tensão de ruptura) e o coeficiente de
segurança para os materiais frágeis.
𝑇𝑎𝑑𝑚 =
𝑇𝑒
𝐾
(𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑖𝑠 𝑑ú𝑡𝑒𝑖𝑠)
𝑇𝑎𝑑𝑚 =
𝑇𝑟
𝐾
(𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑖𝑠 𝑓𝑟á𝑔𝑒𝑖𝑠)
3.8.1 Coeficiente de segurança (k)
Definido pelo projetista através da norma ou por sua própria experiência. Este possui
por objetivo de garantir a melhor relação “Custo x Segurança” do projeto.
Exercício de Tensão admissível.
1) Determine o diâmetro da barra que suporta uma força de 16kN. O material é o aço
ABNT 1010 com Te=220MPa e o coeficiente de segurança K= 2,0. (Resp.
13.61mm) Dica: encontre a tensão admissível e após o diâmetro da barra.
2) Dimensionar um cabo de aço a ser utilizado num guindaste para elevar uma carga de
7825,4N. Considere: Te=220MPa e K= 2,0. (Resp. D=9,51mm)
3) Dimensionar uma peça de madeira de seção transversal quadrada para suportar uma
carga de 258kN. Outros dados: Tr=180MPa e K= 1,5.
4) Determine o diâmetro de um fio-condutor de bronze que está submetido a um
esforço de tração de 12,6kN. Considere Te cobre= 250MPa e K=2,0.(Resp:
D=11,33mm)
5) Dimensione um cabo de aço para que suporte um esforço de tração de 32,6kN.
Considere Te= 220MPa e K=2,5. (Resp.: 21,72 mm)
6) Projetar uma peça de madeira de seção transversal retangular, para que suporte um
esforço de compressão de 150kN. Por razões arquitetônicas, a altura da seção deverá
ser o dobro da sua base. Considere Trupt/madeira= 150MPa e K= 1,5.
Resp (b= 27,39mm e h= 54,78mm).

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Exercício de Revisão.
1)Um fio de aço de diâmetro 8mm, é utilizado para elevar um corpo de peso igual a
9043,2N. Calcular a tensão normal de tração atuante no fio. Expresse o resultado em MPa.
2)Considerando um coeficiente de segurança CS=2,5. Determine a tensão admissível dos
materiais relacionados na tabela.
Material Te (MPa) Trupt (MPa)
Concreto ------- 5
Bronze 250 425
Ferro Fundido ------ 275
Aço ABNT 1030-L 300 480
3)Uma barra circular de aço, diâmetro 32mm e comprimento 400mm, suporta um esforço de
tração de intensidade 12,8kN. Calcular: Considere Eaço=2,1x105
MPa.
a)A tensão normal atuante.
b)O alongamento.
4)Uma barra chata possui área de seção transversal A=240mm² e comprimento L=1,2m. Ao
ser tracionada por uma carga axial de 6kN, apresenta um alongamento ΔL=256µm. Qual o
módulo de elasticidade do material (E):

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4. CISALHAMENTO.
4.1 Esforço de Cisalhamento.
4.1.1 Força Cortante (Q)
É a força que age tangencialmente ao plano da secção transversal de um corpo.
4.1.2 Esforço de Cisalhamento.
Um corpo ou peça estrutural está submetido ao esforço de cisalhamento quando duas
forças cortantes “Q” atuam com sentidos contrários em uma dada secção transversal.
4.2 Tensão de Cisalhamento.
T = Tensão de Cisalhamento (Unidades: Pa, M/m², KgF/cm², KgF/mm²).
Q= Força Cortante (Unidade: N, KgF).
Ac = Área da seção transversal do corpo (Unidades: m², cm², mm²)
𝑇 =
𝑄
𝐴𝑐
(𝑈𝑚 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎 𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙𝐻𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜)
𝑇 =
𝑄
𝑛 𝑥 𝐴𝑐
(𝑉á𝑟𝑖𝑜𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑎 𝑠𝑖𝑠𝑎𝑙𝑎𝐻𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜)
𝑇 =
𝑄
𝐴𝑐
𝑉á𝑟𝑖𝑜𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑎𝑜 𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙𝐻𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
Onde:
∑Ac = Somatório das áreas cisalhadas (Ac1+ Ac2+...+Acn)
n = Número de elementos iguais.
Ac = Área cisalhada.

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4.3 Cálculo das forças de corte
Q1= Tc x Ac1
Q2= Tc x Ac2
Qn= Tc x Acn
Exercício de Cisalhamento.
1)As chapas mostradas a seguir, estão interligados através da utilização de rebites e suporta,
em cada caso, um esforço de tração de 6330N. Calcule:
a)A tensão de cisalhamento em cada rebite.
b)A força cortante em cada rebite.
1)

24
2)
3)
4)
5)

25
6)
7)
4.4 Pressão de Contato ou Tensão de Esmagamento (Td).
Primeiro caso: Um elemento de ligação.
𝑇𝑑 =
𝑄
𝑑 𝑥 𝑒

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Segundo caso: elementos de ligação iguais entre si.
𝑇𝑑 =
𝑄
𝑛(𝑑𝑥𝑒)
Terceiro caso: elementos de ligação diferentes entre si.
𝑇𝑑1 =
𝑄1
𝑑1 . 𝑒
,
𝑇𝑑2 =
𝑄2
𝑑2 . 𝑒
Onde: Q = Força Cortante.
d = Diâmetro do elemento de ligação.
e = espessura da chapa.
Exercício de Pressão de Contato (Td)
1) Estabeleça o diâmetro do rebite usado em uma junta para que suporte uma carga de
125kN. A junta deverá conter 5 rebites iguais. Outros dados: Tc= 105MPa; Td=
225MPa; e= 8mm. Resp.: 17mm.
4.5 Junta Rebitada.
Distribuição dos rebites de acordo com a ABNT-NB14.

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Exercício de Junta Rebitada.
1) Distribua os parafusos para fazer a união de duas barras, conforme figura abaixo.
Dparafuso = 12,7mm. Conforme ABNT.
2) No dimensionamento de uma junta com 4 parafusos iguais, foi determinado uma área
∑Ac = 334mm², ache o diâmetro aproximado e distribua os parafusos conforme a
figura abaixo:

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3) Projetar a junta rebitada para que suporte um esforço de tração de 150KN. Os rebites
deverão ser iguais em cada caso. Outros dados: Tcadm =150 Mpa, Tdadm= 225 MPa e
e=12mm.
Caso 1:
Caso 2:
5. FLEXÃO.
5.1 Cálculo de reações em peças isostáticas.
Para que uma viga esteja em equilíbrio ela tem que obedecer a três condições:
1. Primeira condição de equilíbrio.
O somatório das forças e das reações horizontais será zero.
2. Segunda condição de equilíbrio.
O somatório das forças e das reações verticais é zero.
3. Terceira condição de equilíbrio.
O somatório dos momentos fletores é zero.
Obs .1: Por convenção a força cortante será positiva, quando seguir a seguinte orientação:

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Obs. 2: Os apoios são classificados em dois tipos:
1)Apoio Livre: Oferece reação na vertical.
É representado por : ou .
2)Apoio Fixo: Oferece reação tanto na horizontal quanto na vertical.
É representado por: .
5.2 Momento Fletor (MF)
Definição:
É a tendência ao giro causada por uma força cortante em relação a uma determinada secção
transversal (Eixo de Rotação).
Fórmula:
MF = F x S
Onde:
S= Distância entre o ponto de aplicação da força e a secção em estudo.
F = Força atuante.
Exercício:
Dada as vigas a seguir em equilíbrio. Determine os valores das forças cortantes e do
momento fletor em cada caso:
a)

30
b)
c)
d)
5.3 Flexão Simples.

31
5.4 Tensão Normal na Flexão
𝑇𝐹 =
𝑀 . 𝑌
𝐽
Onde:
TF = Tensão normal de flexão.
M = Momento fletor atuante na secção transversal em estudo.
Y = Distancia entre a linha neutra e o ponto onde se quer medir a tensão normal na flexão.
J = Momento de inércia da seção transversal.
5.5 Momento de Inércia:
a) Quadrado:
𝐽 =
𝑙4
12
𝑌 =
𝑕
2

32
b) Retângulo:
c) Círculo.
d) Coroa Circular.
𝐽 =
𝑏 . 𝑕³
12
𝑌 =
𝑕
2
𝐽 =
𝜋 . 𝐷4
64
𝐽 =
𝜋 . (𝐷4
− 𝑑4
)
64

33
Exercício de Flexão.
1) Dada as vigas a seguir, determine os valores de tensão normal na flexão nas secções
em destaque.
a)
b)
c)

34
6. TORÇÃO.
6.1 Definição:
Uma peça é submetida a esforço de torção quando atua um torque em uma das suas
extremidades e um contratorque na extremidade oposta.
6.2 Momento Torçor ou Torque:
O torque atuante na peça representada na figura é definido através do produto entre a
intensidade da carga aplicada e a distância entre o ponto de aplicação da carga e o centro da
secção transversal (pólo).
MT= 2F . S
Onde:
MT – Momento de torço ou torque.
F – Carga aplicada.
S – Distância entre o ponto de aplicação da carga e o pólo.
Para transmissões mecânicas (Polias, engrenagens, correntes, etc.):
MT = FT . r
Onde:
MT – Momento de torço ou torque.
FT - Força tangencial.
r – Raio da peça.
6.3 Potência (P)
Potência se define como a realização de um trabalho na unidade de tempo.
𝑃 =
𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙𝑕𝑜
𝑇𝑒𝑚𝑝𝑜
Como Trabalho = Força . Deslocamento (S).

35
Conclui-se que
𝑃 =
𝐹 . 𝑆
𝑇
Mas V = S / T, portanto, pode-se concluir que
P= F.V
Nos movimentos circulares escreve-se que:
P = FT. Vp
Onde:
P = Potência.
FT = Força Tangencial.
Vp = Velocidade periférica.
Unidades de Potência:
>Sistema Internacional (S.I).
𝑃 =
𝑁 . 𝑚
𝑠
𝑊 (𝑊𝑎𝑡𝑡)
>Outras unidades:
Cavalo Vapor - 1CV = 735,5W.
Horse Power – 1HP = 745,6W.
>Definições importantes:
Velocidade angular (ω).
𝜔 = 2 𝜋 𝑓 (
𝑟𝑎𝑑
𝑠
)
Frequência ( f ).
𝑓 =
ω
2𝜋
(Hz)
Rotação (n).
𝑛 =
30ω
𝜋
(rpm)

36
Velocidade periférica ou tangencial (Vp).
Vp = ω r (Unidade: m/s).
Exercício de torção:
1) Uma árvore de aço possui diâmetro d=30mm, gira com uma velocidade angular ω =
20𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠, movida por uma força tangencial FT = 18kN.
Determinar para o movimento da árvore:
a) rotação (n)
b) freqüência (f)
c) velocidade periférica (vp)
d) potência (P)
e) torque (Mt)

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