Teorema de Lagrange

8.477 visualizações

Publicada em

Demostração do Teorema de Lagrange

Publicada em: Educação
0 comentários
2 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
8.477
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
7
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
108
Comentários
0
Gostaram
2
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Teorema de Lagrange

  1. 1. Teorema de Lagrange Telma Cristhina
  2. 2. Biografia • Joseph Louis Lagrange
  3. 3. Biografia Turim, 25 de janeiro de 1736.
  4. 4. BiografiaAos 16 anos de idade,Lagrange, já estava sededicando à matemática. Adedicação foi grande ecomeçou após terconhecido um trabalho feitopor Edmond Halley(Haggerston, 08/11/1656-Greenwich, 14/01/1742, omatemático e astrônomobritânico, o descobridor docometa).
  5. 5. Biografia Em 1754, com 18 anos, escreveu o seu primeiro trabalho científico. Com 19 anos, ou seja, em 1755, começou a atuar profissionalmente como professor de matemática na Escola Real de Artilharia, na sua terra natal, Turin. Ele ficou nesta escola até 1766. Começou lecionando Geometria, mas, posteriormente, dadas as suas intensas pesquisas matemáticas em trabalhos escritos por matemáticos conhecidos como:
  6. 6. Biografia Isaac Newton (Woolsthorpe-by- Colsterworth, 4 de janeiro de 1643 (no calendário Gregoriano) —Londres, 31 de março de 1727).
  7. 7. Biografia Gottfried Wilhelm von Leipzig (Leipzig, 1 de julho de 1646 — Hanôver, 14 de novembro de 1716)
  8. 8. Biografia Daniel Bern (Groningen, 8 de fevereiro de 1700 — Basileia, 17 de março de 1782)
  9. 9. Biografia Leonard Euler (Basiléia, Suíça 15 de abril de 1707, e morreu em São Petersburgo 18 de setembro de 1783).
  10. 10. Biografia O seu domínio sobre Análise Matemática acabou o credenciando a fazer análises e avaliações de alguns desses trabalhos. Tanto que, aos 23 anos, ele pegou um trabalho de Isaac Newton e aplicou cálculos integrais à teoria das probabilidades. Ele e outros intelectuais formaram uma produtiva Castelo e Vila Medieval de Turin sociedade científica que, inclusive, fundou a Academia de Ciências de Turin.
  11. 11. Biografia Em 02 de outubro de 1759, não só foi convidado a participar do quadro de membros estrangeiros da Academia Prussiana de Ciências, em Berlim, assim como organizou o primeiro volume das memórias concernentes à referida academia.
  12. 12. Biografia No caso, um registro interessante é o de que sua indicação à Academia foi feita por Euler e dAlembert, pois eles já conheciam o enorme potencial de Lagrange.
  13. 13. Biografia Em 1761, Lagrange, já era tido como um dos maiores matemáticos da época, por isso foi indicado para substituir Euler na Academia Pussiana de Ciências (Berlim, em 1766). Em 1762, a conceituada Academia de Ciências de Paris abriu um prêmio aos cientistas objetivando a explicação de como se poderia ver um pouco mais de cinquenta por cento da superfície da lua se esta se move desde seu eixo enquanto gira ao redor da Terra. Lagrange foi o vencedor. O resultado foi dado após dois anos de análises feitas pela comissão de estudos científicos dos trabalhos apresentados, isto é, em 1764 aos 28 anos.
  14. 14. Biografia Dois anos depois, em 1766, a mesma academia lançou um outro troféu para quem explicasse matematicamente sobre as órbitas das luas de Júpiter. Novamente, Lagrange venceu.
  15. 15. Biografia No ano de 1788, aos 52 anos, é publicada sua grande obra Méchanique analytique (Mecânica analítca) em Paris. Nesta obra, ele resumiu todos os feitos sobre mecânica, desde a época de Newton, transformando a mecânica em um ramo da análise matemática, usando a teoria das equações diferenciais.
  16. 16. Biografia Diz ele na abertura de seu livro: “Nenhum diagrama (desenho) será visto neste trabalho”, e acrescenta que “a ciência da mecânica pode ser considerada como a geometria de um espaço com quatro dimensões – três coordenadas cartesianas e um tempo-coordenada, suficientes para localizar uma partícula móvel tanto no espaço quanto no tempo”.
  17. 17. Biografia Além deste hove outros grandes trabalhos,os que foram vencedores na Académie des Sciences de Paris, nos anos de 1772, 1774 e 1778. No prêmio de 72, por exemplo, ele descobriu cinco pontos de equilíbrio especiais nas proximidades de duas massas em órbita, são os chamados pontos de Lagrange (correspondem a pontos especiais de equilíbrio dentro da geometria das órbitas dos satélites).
  18. 18. Biografia Em 1794, foi indicado para a Escola Politécnica (em francês, École Polytechnique), Lagrange, foi o planejador do curso de matemática e primeiro professor.
  19. 19. Biografia Dessa época tem-se o trabalho intitulado “Teoria das funções analíticas”, fruto das anotações de suas aulas.
  20. 20. Biografia Ele também contribuiu bastante com o seu estudo sobre Cálculo das Variações, pois, graças a esta sua teoria, vários problemas sobre isometria foram solucionados. Ainda dentro de suas contribuições não se poderia deixar de citar também a dada à Teoria dos Números, onde ele demonstra inclusive que todo inteiro positivo é a soma de no máximo quatro quadrados perfeitos.
  21. 21. Biografia Lagrange faleceu aos 76 anos, no dia 10 de abril de 1813. Ele está enterrado no Panthéon e seu nome consta na relação de 72 nomes ilustres na famosa Torre Eiffel.
  22. 22. Teorema de Lagrange Teorema do Valor Médio afirma que: se f contínua em [a, b] e derivável em ]a, b[ então existirá pelo menos um ponto c em ]a,b[ tal que :
  23. 23. Teorema de Lagrange DemonstraçãoSeja f uma função definida em [a,b]. Consideremos a função S dada por:
  24. 24. Teorema de LagrangeO gráfico de S é a reta que passando pelos pontos ((a, f(a)) e (b,f(b)). S f g(x) a b
  25. 25. Teorema de LagrangeNa demonstração do TVM iremos utilizar a função dada porObserve que
  26. 26. Teorema de LagrangeComo g é contínua em [a,b]; derivável em ]a,b[ eg(a) = g(b), pelo teorema de Roller que diz:Se f for contínua em [a,b], derivável em ]a,b[ ef(a) = f(b), então existirá pelo menos um c em ]a,b[tal que f’(c)=0. a c b
  27. 27. Teorema de LagrangeTemos:AssimDaí,Portanto
  28. 28. Teorema de Lagrange Geometricamente, isto significa que a tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa c é paralela à secante que passa pelos pontos de abcissas a e b.
  29. 29. Aplicação do Teorema de Lagrange O Teorema do Valor Médio também tem uma interpretação em termos físicos: se um objeto está em movimento e se a sua velocidade média é v , então, durante esse percurso (intervalo [a,b]), há um instante (ponto c) em que a velocidade instantânea também é v.

×