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  1. 1. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. MachadoCÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MINAS GERAIS – UEMG FUNDAÇÃO EDUCACIONAL DE DIVINÓPOLIS – FUNEDI INSTITUTO SUPERIOR DE ENSINO E PESQUISA – INESP APOSTILA DE CÁLCULO IV EQUAÇÕES DIFERENCAIS ENGENHARIA CIVIL ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Prof. Luiz Elpídio de Melo Machado Versão: 2010/2 1
  2. 2. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. MachadoCÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PLANO DE ENSINOCURSO DISCIPLINAENGENHARIA DE PRODUÇÃO CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAISNº DE AULAS SEMANAIS ANO 2010 03 SEMESTRE 2ºCARGA HORÁRIA PERÍODO 4º 54 UNIDADE ACADÊMICA INESPEMENTAEquações diferenciais de primeira e segunda ordem. Aplicação de equação diferencialem: cinemática, dinâmica, vibrações mecânicas, biologia, economia.OBJETIVOSAo final do curso o aluno deverá ser capaz de utilizar as técnicas de resolução dasequações diferenciais para resolver problemas.CONTEÚDO PROGRAMÁTICOI – Equações Diferenciais de Primeira Ordem1.1 – Equações Lineares e Não-Lineares1.2 – Equações de Variáreis Separadas1.3 – Aplicações das Equações Lineares de Primeira Ordem1.4 – Problemas de Mecânica1.5 – Equações Exatas e Fatores Integrantes1.6 – Equações Homogêneas1.7 – Problemas e Aplicações Diversos1.8 –Teorema da Existência e Unicidade1.9 – Equações Diferenciais de Primeira OrdemII – Equações Lineares de Segunda Ordem2.1 – Equações Homogêneas com os Coeficientes Constantes2.2 – Soluções Fundamentais das Equações Homogêneas Lineares2.3 – Independência Linear2.4 – Raízes Complexas da Equação Característica2.5 – Raízes Repetidas; Redução de Ordem2.6 – Método dos Coeficientes Independentes2.7 – Método de Variação de Parâmetros2.8 – Oscilações Mecânicas e Oscilações Elétricas2.9 – Oscilações ForçadasMÉTODOS E RECURSOS DIDÁTICOSAula expositiva, seguida de debates, exercícios de sondagem e fixação; Proposição desituações problemáticas, mediante condições explicativas para as possíveis soluções,pesquisa em livros e na www.Quadro negro, giz, internet, e-mail.Atividades extra-classe:- Resolução de listas de exercícios de fixação e aprofundamento.- Resolução virtual de exercícios em editor de texto matemático.AVALIAÇÃOSerão distribuídos 100 créditos no decorrer do semestre através de trabalhos e provas.Serão distribuídos 30 pontos no primeiro bimestre letivo, 35 pontos no segundo bimestree 35 pontos no terceiro bimestre.As recuperações das avaliações ocorrerão ao longo do semestre.BIBLIOGRAFIA BÁSICA 2
  3. 3. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. MachadoCÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAISBOYCE, W. E. & PRIMA, R. C. Di. Equações diferenciais elementares e problemas devalores de contorno. 6.ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: Ed. Harbra, 1994.ABUNAHMAN, Sergio. Equações diferenciais. 2.ed. Rio de Janeiro: Erica, 1993.BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARSIMMIONS, G. F. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: MacGraw-Hill, 1987.STEWART, James. Cálculo. 5. São Paulo: Thomson, 2006.PISKUNOV, N.. Cálculo diferencial e integral. 7. ed. Porto: Lopes da Silva, 1984.GOLDSTEIN, Larry J.. LAY, David C. e SCHNEIDER, David I.. Matemática aplicada:economia, administração e contabilidade. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000.LANG, Serge. Cálculo. Rio de Janeiro: Livros técnicos e científicos, 1975. 3
  4. 4. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. MachadoCÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 1 – Equações Diferenciais Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função sua variável e suas derivadas, ou seja1.1 – Equações de Variáveis Separáveis A equação geral de primeira ordem assume a forma dy  f x, y  . (Eq.1) dxSe a Eq.(1) é não-linear, isto é , se f não é uma função linear da variável dependente y , não existe um método geralpara resolver a equação. Consideremos uma subclasse das equações de primeira ordem para as quais um processodireto de integração pode ser usado. Em primeiro lugar, reescrevemos a Eq.(1) dy  f x, y  dx dy M  x , y  dy dy   N x, y   M  x, y   M  x, y   N  x, y   0 , N x, y   0 dx N  x , y  dx dx dy  M  x, y   N x, y  0 Eq.(2) dxCaso M seja uma função apenas de x e N seja uma função apenas de y , a Eq.(2) se torna dy  M  x   N y  0 Eq.(3) dxUma equação deste tipo é dita separável porque é escrita na forma diferencial  M  x dx  N  y dy  0 N  y dy  M  x dx  N y dy   M  x dxExemplos 2 dy xEx.-1 Resolva a equação  . dx 1  y 2 2 dy x  dx 1  y 2 1  y dy  x dx 2 2  1  y dy   x dx 2 2 3 3 y x 3 3 y  C ou 3y  y  x  C 3 3 4
  5. 5. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. MachadoCÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS dy 3x 2  4 x  2Ex.-2 Achar a solução do problema de valor inicial  , y 0   1 . Determine y em função de dx 2 y  1 x. 2 dy 3 x  4 x  2  dx 2 y  1  2 y  1dy   3x  2  4 x  2 dx  y2  x 3 x 2 2  y  3  4  2x  C  2  3 2   2 3 2 y  2 y  x  2x  2x  C como y 0    1 então  12  2   1  03  2  02  2  0  C 1 2  C  C  3 2 3 2 y  2 y  x  2x  2x  3 2 3 2 y  2 y  1  x  2x  2 x  3  1  y  1  x 3  2 x 2  2 x  4 3 2 y  1  x  2 x  2x  4 3 2 3 2 y  1  x  2x  2 x  4 ou y  1  x  2x  2 x  4 1 2 dy y cos x Ex.-3 Resolver o problema de valor inicial  , y 0   1 . dx 1  2 y 2 2 2 dy y cos x  1 2y 1 2y dy  cos x dx  dy  cos x dx  dx 1  2 y 2  y  y   1 2y2  1  y 2   dy  cos x dx    2 y dy  cos x dx  ln x  2   sen x   C  y  y    y     2 2 ln y  y  sen x   C  1 então ln 1  1  sen0  C  0  1  0  C  C  1 2 como y 0 2 ln y  y  sen x   1Exercícios Resolva a equação diferencial proposta: x2 x2 E-1. y  E-2. y  y  y 1  x3  5
  6. 6. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. MachadoCÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAISE-3. y  y 2 sen x   0 dy x  e  x E-7.  dx y  e y 3x 2  1E-4. y  3  2y dy x2 E-8. E-5. y  cos 2  x  cos 2 2 y  dx 1  y 2E-6.  xy  1  y 2  12 Determine a solução do problema de valor inicial dado:E-9. y  1  2 x  y 2 e y 0    1 . E-17. y   x x 1 2  e y 0    1 . 6 3 2 4y y  1  2 x  y 1    2 .E-10. e 3x 2  e x y E-18. y  e y 0   1 . 2y  5E-11. xdx  ye  x dy  0 e y 0   1 . e x  e x yxsen x  E-19. y  e y 0   1 .E-12. y  e y 3 3  4y 2 2 y 0  E-20. sen2 x dx  cos3 y dy  0 e 2 dr r E-13.  e r 1   2. y    d    3  2  2xE-14. y  e y 0    2 . y  x2 y E-21.  y2 1  x2 12 dy  arcsen x dx eE-15. y  xy 3 1  x 2   1 2 e y 0   1 . y 0   0 2xE-16. y  e y 2   0 . 1 2yRespostas y 2 x3R-1  c ou 3 y 2  2x 3  c 2 3 y2 1R-2  ln 1  x 3  c ou 3 y 2  2 ln 1  x 3  c 2 3 1 1 1R-3   cos x   c ou  c  cos x  ou y  y y c  cos x R-4 3y  y 2  x3  x  c 1 1 xR-5 tg 2 y   sen2 x    C ou 2tg 2 y   sen2 x   2 x  K 2 4 2R-6 6
  7. 7. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. MachadoCÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS y2 x2R-7  ey   e x  c ou y 2  2e y  x 2  2e  x  c 2 2 y 3 x3R-8 y  c ou 3y  y 3  x3  c 3 3 1 2 1 2R-9   xx 6 ou  x  x6 y y 2 y 2 2 2R - 10  xx 2 ou y  2x  2 x  4 2 2 y x x 1 2 x xR - 11   xe  e  ou y  2 xe  2e  1 2 2 2 y 9  4 ln 3R - 12 2 ln y    x cos x   sen x   ou 2 2 2 y 2 ln y    x cos x   sen x   6,69 2 1 1R - 13   ln( ) r 2 2R - 14 y 2 2  ln 1  x  2   ou 2  y  2 ln 1  x  4 2  1  x  1 2 2 3 1 2 3 1 2R - 15  2 1  ou  2  1 x  ou 2  3  2 1 x 2y 2 2y 2 y 2 2R - 16 y y  x 4 4 2 2 4 x x 1 2 x 1R - 17 y    ou y  4 2 4 2 2 3 xR - 18 y  5y  x  e  3 2 x xR - 19 2 y  3 y  e e 7 sen3 y  cos2 x  1R - 20   ou 2sen3 y   3 cos2 x   3 3 2 2R - 21BibliografiaBOYCE, W. E. & DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. Tradução Horacio Macedo. Rio de Janeiro: LTC, 1999, 6ª ed. 532p. 3
  8. 8. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. MachadoCÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 2 – Equações Diferenciais de Primeira Ordem As equações diferenciais de primeira ordem dy  f x, y  (1) dxonde f é uma função de duas variáveis. Qualquer função diferenciável y  g x  que satisfaça a estacondição para todos os valores de x em um certo intervalo é considerada como uma solução; nossoobjetivo é determinar as essas soluções existem e, em caso afirmativo, desenvolver métodos paraencontrá-las. Infelizmente, para uma função arbitrária f , não existe nenhum método geral para revolvera equação em termos de funções elementares. Assim, vamos descrever vários métodos, cada um dosquais se aplica a uma subclasse das equações de primeira ordem. As subclasses mais importantes sãoas das equações lineares e das equações separáveis. Se a função f da Eq. (1) depende linearmente da variável dependente y, então a equaçãopode ser escrita na forma dy  p x  y  q x   y  p x  y  q x  , (2) dxque é chamada equação diferencial linear de primeira ordem.2.1 – Para p x  e q x  constantes A equação mais geral de primeira ordem com coeficientes constantes é dy  a yb (3) dxonde a e b são constantes a   p x e b  q x   .dy   a y  b dividindo o segundo membro por a , temosdx dy  b  dy dx  b  a  y   para a  0 . Assim temos,  a  para y dx  a  y b a  ad ln y  b a   a recordando que d ln u  k   1  . Então, ln y  b a  ax  C0dx  dx ukonde C0 é uma constante arbitrária. Tomando as exponenciais dos dois membros, ln y b a be  e axC0  y  b a  e ax e C0  y   eC0 e ax , para c  eC0 temos: a b y  ceax . (4) a O comportamento geral da solução (3) depende principalmente do sinal do parâmetro a. Sea  0 , então e ax  0 quando x   , e os gráficos de todas as soluções tendem para a assíntota 4
  9. 9. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. MachadoCÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS b axhorizontal y . Por outro lado, se a  0 , e   quando x   , e os gráficos das soluções a bdivergem da reta y . a b A solução constante y é freqüentemente chamada de solução de equilíbrio, já que a dy é sempre zero para esta solução. dxExemplo dyEx.-4 Resolva a equação diferencial  2y  6 dx dy dy dy dy  2y  6   2 y  6   2 y  3   2dx dx dx dx  y  3 dy   y  3  2 dx  ln y  3  2 x  C ln y  3 e  e  2 x C  y  3  e 2 x e C  y  3  e C e  2 x  y  3  ke 2 x y  3  ke 2 x dyEx.-5 Resolva a equação diferencial  2y  8 usando a solução da Eq. (4) dx dy dy Escrevendo na forma da Eq. (3)  2y  8   2 y  8 assim temos a  2 e dx dx b  8 , então: 8 y  ce 2 x  y  4  ce2 x 2Ex.-6 Resolva a equação diferencial y  4 y  4 . a) Determine a função que passa pelo ponto  1, 0  . b) Determine a função que passa pelo ponto  0 , 1  . c) Verifique se as funções satisfazem a equação.Exercício Resolva a equação diferencial:E-22. y  6 y  18  0 E-24. y  y  2  0E-23. y  y  3  0 E-25. y  2y  3  0 5
  10. 10. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. MachadoCÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAISE-26. y  3 y  6 E-29. 3y  y  6E-27. 2 y  4 y  3 E-30.  y  y  1E-28. 2 y  y  2 E-31. y  2 y  3 Resolva a equação diferencial e determine a função que passa pelo ponto dado:E-32. y  2 y  10  0  0 ,3  e E-35. y  2 y  3 e 1, 0 E-33. y  3y  9 e  0 , 2  E-36.  y  3 y  15 e  2 , 0 E-34. y  y  2  0 e  0 ,1  E-37.  y  5 y  5 e  3 , 0 RespostasR - 22 y t   3  ke6t R - 29 y t   6  ket 3R - 23 y t   3  ket R - 30 y t   1  ketR - 24 y t   2  ket R - 31 y t   3  ke 2t 2 3R - 25 y t    ke 2t R - 32 2 R - 33 3 tR - 26 y t   2  ke R - 34 R - 35 3R - 27 y t    ke 2t R - 36 4 R - 37R - 28 y t   2  ke t 22.2 – Fator Integrante O objetivo é multiplicar a equação diferencial (2) por um fator integrante apropriado e assimcoloca-lo em uma forma integrável. Para determinar esse fator integrante, primeiro multiplicamos a Eq. (2)por uma função m x  , ainda indeterminada. Temos então y  p x  y  q x    m x . (5) m x  y  m x  p x  y  m x q x  Devemos reconhecer o lado esquerdo da Eq.(5) como a derivada de alguma função. O fato deque existem dois termos e um dos termos é m x  y sugere que o lado esquerdo da Eq.(5) pode ser aderivada do produto m x  y . Para que isto seja verdade, o segundo termo do lado esquerdo da Eq.(5),m x  p x  y , deve ser igual a m x  y . Isto, por sua vez, significa que m x  deve satisfazer à equaçãodiferencial m x   m x  p x  . (6) 6
  11. 11. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. MachadoCÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Se admitirmos, temporariamente, que m x  é positiva, podemos escrever a Eq.(6) como m x  d   m x   p x   dx   ln m x   p x   para m x   0 . (7)   Integrando os dois termos, tem-se: ln m x    p x  dx  C0 . ln m x   p x  dx  C0 e e p x  dxC0 m x   e  . (8) Observe que m x  é positiva para todo x conforme admitido na Eq.(7). Depois de determinarmos o fator integrante m x  , voltamos à Eq.(5). Como m x  satisfaz àEq.(6), a Eq.(5) se reduz a d dx   m x  y  m x q x  . (9) Integrando ambos os membros da Eq.(9), obtemos: m x  y   m x q x dx  c  m x q x dx  c y . (10) m x  Uma vez que y representa qualquer solução da Eq.(2), concluímos que toda solução da Eq.(2)está incluída no segundo membro da Eq.(10). Portanto, esta expressão é uma solução geral da Eq.(2).Observe que para se encontrar a solução dada pela Eq.(10) são necessárias duas integrações, a primeirapara ter m x  pela Eq.(8) e a segunda para determinar y pela Eq.(10). Nota-se primeiramente, que antes de determinar o fator integrante m x  pela Eq.(8) énecessário ter certeza de que a equação diferencial tem exatamente a forma da Eq.(2); em particular ocoeficiente de y deve ser a unidade. De outra forma, a função p x  usada para o cálculo de m x  seráincorreta. Em segundo lugar, depois de encontrar m x  e de multiplicar a Eq.(2) pelo fator integrante épreciso verificar que os termos envolvendo y e y são, de fato, a derivada de m x  como devem ser.Esta verificação proporciona certeza sobre a correção de m x  . Como é natural, uma vez que se tenhaencontrado a solução y, é possível também verificar a sua correção, substituindo-a na equaçãodiferencial. A interpretação geométrica da Eq. (10) é a de uma família de curvas, uma para cada valor de c.Estas curvas são as curvas integrais da equação diferencial. Muitas vezes é importante selecionar ummembro da família de curvas integrais, o que faz pela identificação de um ponto particular  x0 , y0 contido no gráfico da solução. Esta exigência se escreve, usualmente, como 2
  12. 12. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS y x0   y0 , (11) e é conhecida como uma condição inicial. Uma equação diferencial de primeira ordem, como a Eq.(1) ou Eq. (2), e uma condição inicial, como a Eq. (11), constituem, em conjunto, um problema de valor inicial. Exemplo Ex.-7 Determine a solução geral da equação diferencial ty  3 y  4t 2 . 2 ty  3 y  4t  t 2 t 3 4t y  y t t t 3 y  y  4t t p  t  y Ex.-8 Determine a solução do problema de valor inicial y   e x e y 0    1 . 2 Ex.-9 Achar a solução do problema de valor inicial y  2ty  t e y 0   0 .Ex.-10 Achar a solução do problema de valor inicial y  2 y  t e y 0   0 . Exercício Determine a solução geral para a equação diferencial y  3 y  t  e 2 t 2 E-38. E-44. y  2 ty  2 te t E-39. y  2 y  t 2 e2t E-45. 1  t y 2   4 ty  1  t 2  2 E-40. y  y  t e2t  1 E-46. 2 y  y  3t 1 E-41. y  y  3 cos2 t  , t  0 E-47. ty  y  t 2e t t 2 t E-42. y  2 y  3 et E-48. y  3 y  te E-43. ty  2 y  sen t  , t  0 E-49. 2 y  y  3t 2 Ache a solução do problema de valor inicial proposto E-50. y  y  2 te 2 t , y 0   1 2 cost  E-53. y  y  2 , y    0 , t  0 t t E-51. y  2 y  2 te 2 t , y 1   0 E-54. y  2 y  e 2 t , y 0   2 1 E-52. ty  2 y  t 2  t  1 , y 1   , E-55. ty  2 y  sent  , y    1 2    2  t0 3
  13. 13. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. MachadoCÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAISE-56. t 3 y  4 t 2 y  e  t , y 1   0 E-57. ty  t  1 y  t , y ln 2   1Respostas t 1 2 t 3 t CR - 38 y    e  Ce R - 46 y  3t  6  t 2 t  3 9 t  e 3 2t 2 t t t e 2t R - 47 y  t e  te  CtR - 39 y   Ce t  t  3 2 t 2 t 3t te e 2t t 2t R - 48 y  te e  CeR - 40 y    1  Ce t  t  3 9 2 C 2 4 C R - 49 y t2 R - 41 y  sen2t   cos2t   t  t te t t  3 9t t R - 50 R - 51 t 2tR - 42 y  3e  Ce R - 52 t  R - 53 1 1 C R - 54R - 43 y   cost   2 sent   2 t  t t t R - 55 3 R - 56 t C R - 57R - 44 y  2t t  e arctg t   CR - 45 y  t  1  t  2 22.3 – Discussão sobre as Equações Lineares Já foi visto que achar soluções dos problemas de valor inicial, com equações lineares de primeiraordem, é possível mediante o fator integrante para transformar a equação diferencial numa formaintegrável. Agora vamos analisar algumas questões de natureza geral que são: a) Os problemas de valor inicial mencionados têm sempre uma solução? b) Podem ter mais de uma solução? c) A solução vale para todos os t , ou somente para um intervalo restrito nas vizinhanças do ponto inicial?Teorema: Se as funções p e q são contínuas num intervalo aberto I :  t, que contém oponto t  t0 , então existe uma única função y  t  que satisfaz à equação diferencialy  p t  y  q t  para cada t em I e que também satisfaz à condição inicial y t0   y0 , onde y0 éum valor inicial arbitrário. O teorema afirma que dado um problema de valor inicial tem uma solução e também que aproblema tem somente uma solução. Em outra palavras, teorema assegura a existência e a unicidade da 25
  14. 14. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS solução do problema de valor inicial y  p t  y  q t  e y t0   y0 . Além disso, o teorema afirma que a solução existe em algum intervalo I que contenha o ponto inicial t0 , no qual os coeficientes p e q sejam contínuos. Isto é, a solução pode ser descontínua ou pode não existir, somente nos pontos onde pelo menos uma das funções p e q seja descontínua. Estes pontos podem ser identificados, muitas vezes, por simples inspeção. ExemploEx.-11 Determine o intervalo no qual o problema de valor inicial ty  2 y  4t 2 e y 1   2 , tem uma solução única. Determine essa solução.Ex.-12 Achar a solução do problema de valor inicial y  2 ty  1 e y 0   0,5 . 2 t  s2 Obs.: ref t   e ds é a função erro, que foi extensamente tabelada e é considerada  0 uma função conhecida, dado um valor t , podem consultar uma tabela de valores de função erro, ou então lançar mão de um procedimento numérico. A seguir temos algumas das mais importantes propriedades das equações diferenciais lineares de primeira ordem e respectivas soluções. a) Há uma solução geral, com uma constante arbitrária, que inclui todas as soluções da equação diferencial. Uma solução particular, que satisfaz a uma certa condição inicial, pode ser determinada pela escolha conveniente do valor da constante arbitrária.  m x q x dx  c b) Há uma expressão fechada para a solução, a equação y ou a equação m x  t  m s q s ds  y0 t0 y . Além disso, embora a expressão envolva duas integrações, é uma m x  solução explícita para y  t  e não uma equação defina  implicitamente. c) Os possíveis pontos de descontinuidade, ou singularidades, da solução podem ser identificados (sem a resolução do problema) pela determinação dos pontos de descontinuidade dos coeficientes. Assim, se os coeficientes forem contínuos para todos os t, então a solução também existe e é contínua para todos os t Exercício Achar a solução geral da equação diferencial: 1 sen t  E-58. y  y  sen t  , t  0 E-59. t 2 y  3ty  , t0 t t 2
  15. 15. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E-60. y  2 y  2e t  t E-61. 2 y  y  t 1 RESPOSTAS 3 3 C R - 61 R - 58 y t   sen2t   cos2t   2 4t t R - 59 R - 60BibliografiaBOYCE, W. E. & DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. Tradução Horacio Macedo. Rio de Janeiro: LTC, 1999, 6ª ed. 532p. 25
  16. 16. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Capítulo 3 – Equações Lineares de Segunda Ordem 3.1 Equações Homogêneas com os Coeficientes Constantes d2y Uma equação diferencial ordinária de segunda ordem tem a forma  f  dy  , onde f é dt 2  t, y,   dt  uma função conhecida. Dizemos que esta equação é linear quando a função f é linear em y e suas dy derivadas, isto é, quando f dy   g  t   p t   q t  y . Neste caso a equação fica  t,y,   dt  dt y  p t  y  q  t  y  g  t  . Uma equação diferencial linear de segunda ordem é homogênea se o termo gt  for nulo para todo t. Vamos dirigir a atenção para as equações nas quais as funções P, Q e R são constantes. Neste caso a equação fica ay  by  cy  0 . A equação ar 2  br  cr  0 é a equação característica da equação diferencial ay  by  cy  0 , y  c1e r1t  c 2 e r2t é uma solução esta equação diferencial. Exemplo Ex.-13 Achar a solução geral da equação y  7y  6y  0. Ex.-14 Dado y  5y  6y  0 , y 2 e y  3. 0  0  a) Ache a solução do problema de valor inicial. b) Faça o gráfico da função. c) Determine o ponto crítico. d) Descreva seu comportamento quando t aumenta indefinidamente. 1Ex.-15 Achar a solução do problema de valor inicial 4 y  8y  3y  0 , y 2 e y  . Faça o gráfico da 0  0  2 função e determine o ponto crítico. Descreva seu comportamento quando t aumenta. 24
  17. 17. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. MachadoCÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAISExercícios Achar a solução geral da equação diferencial proposta: E-62. y  2 y  3y  0 E-66. y  5y  0 E-63. y  3y  2y  0 E-67. 4y  9y  0 E-64. 6y  y  y  0 E-68. y  9y  9y  0 E-65. 2 y  3y  y  0 E-69. y  2y  2y  0 Determine a solução do problema de valor inicial dado. Desenhe o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando t aumenta. E-70. Corrigir E-76. y  8y  9 y  0 , y 1 e 1 E-71. y  4 y  3y  0 , y 2 e 0  y  0. 1 y  1 . 0  E-77. 4y  y  0 , y 1 e 2  E-72. 6y  5y  y  0 , y 4 e 0  y  1 . 2  y  0. 0  E-78. y  5y  2y  0 , y 1 e 0  E-73. y  3y  0 , y  2 e y  3. 0  0  y  1. 0  E-74. y  5y  3y  0 , y 1 e 0  y  0. 0  E-75. 2y  y  4y  0, y 0 e 0  y  1. 0  Respostas 24
  18. 18. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. MachadoCÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS t 3tR - 62 y ce c e t  1 2 t 2 tR - 63 y ce c e t  1 2 t t  2 3R - 64 y ce c e t  1 2 t 2 tR - 65 y ce c e t  1 2 5 tR - 66 y c c e t  1 2 3t 3t  2 2R - 67 y ce c e t  1 2 9 3 5 9 3 5 t t 2 2R - 68 y ce c e t  1 2 1 3  t 1 3  tR - 69 y ce c e t  1 2 tR - 70 y e ; quando t temos que y  . t  5  t 1 3 tR - 71 y  e  e ; quando t   temos que y 0. t  2 2 t t 3 2R - 72 y  12e  8e ; quando t temos que y   . t  3tR - 73 y  1  e ; quando t temos que y  1 . t  5 13 5 13 t t 13  5 13 2 13  5 13 2R - 74 y  e  e . t  26 26 1 33 1 33 t t 2 4 2 4R - 75 y  e  e . t  33 33 1 9t 9 9 t 1R - 76 y  e  e ; quando t   temos que y. t  10 10 t 2 t2 1 2 3  2R - 77 y  e  e ; quando t temos que y   . t  2 2 3 33 3 33 t t 7  33 2  7  33 2R - 78 y  e  e ; quando t temos que y. t  2 33 2 33 17
  19. 19. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 3.2 – Raízes complexas da equação característica A equação ay  by  cy  0 onde a, b e c são números reais. Se procurarmos rt soluções de y como combinação de ce , então r deve ser raiz da equação característica ar 2  br  cr  0 . Se as raízes r e r foram complexas temos que r    i e r    i 1 2 1 2    i  t  i  t onde  e  são reais. As expressões correspondentes de y são y e e y e . 1t  2 t  2 t Pelo cálculo direto, podemos mostrar que o wronskiano de u e v é W  e . u ,v t  Assim, desde que   0 , o wronskiano W não é zero, e assim u e v formam um conjunto fundamental de soluções. Portanto, se as raízes da equação forem números complexos   i ,então a t t solução geral da equação ay  by  cy  0 é y  c e cost   c e sent  , onde c e t  1 2 1 c são constantes arbitrárias. 2 Se  0 a função y é decrescente, se  0 a função y é crescente e se  0 a t  t  função y oscila de forma permanente. t  Exemplo Ex.-16 Achar a solução geral de y  y  y  0. Ex.-17 Achar a solução geral de y  9y  0 . Ex.-18 Achar a solução do problema de valor inicial 16 y  8 y  145 y  0 y  2 e y  1. 0  0  Exercícios Achar a solução geral da equação diferencial: E-79. y  2y  2y  0 E-84. 4y  9y  0 E-80. y  2y  6y  0 E-85. y  2 y  1,25 y  0 E-81. y  2y  8y  0 E-86. 9y  9y  4y  0 E-82. y  2y  2y  0 E-87. y  y  1,25 y  0 E-83. y  6 y  13 y  0 E-88. y  4 y  6,25 y  0 18
  20. 20. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. MachadoCÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Achar a solução do problema de valor inicial proposto: E-89. y  4y  0 , y 0 e y 1 0  0  E-90. y  4y  5y  0 , y 1 e y 0 0  0  E-91. y  2y  5y  0 , y 0 e y 2         2  2 E-92. y  y  0, y 2 e y  4         3 3 E-93. y  2 y  1,25 y  0 , y 3 e y 1 0 0  E-94. y  2y  2y  0 , y 2 e y  2         4  4Respostas t tR - 79 y  c e cost   c e sent  t  1 2R - 80 t   y  c e cos 5 t  c e sen 5 t t  1 2 t  R - 81 t   y  c e cos 7 t  c e sen 7 t t  1 2 t   t tR - 82 y  c e cost   c e sent  t  1 2 3t 3tR - 83 y ce cos2t   c e sen2t  t  1 2  3t   3t R - 84 y  c cos   c sen  t  1 2  2  2 t t t tR - 85 y  c e cos   c e sen  t  1 2 2 2 t 4t 3 3R - 86 y ce c e t  1 2 t t   cost   c e sent  2 2R - 87 y ce t  1 2 2 t  3t  2 t  3t R - 88 y ce cos   c e sen  t  1 2 2 2 1R - 89 y  sen2t  a oscilação é estacionária. t  2 2 t 2 tR - 90 y e cost   2e sent  a oscilação é amortecida. t 
  21. 21. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. MachadoCÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS  t sen2t  a oscilação é crescente. 2R - 91 y  e t R - 92   y  1  2 3 cost   1  2 3 sent  t    a oscilação é estacionária. t t  5 2 cost   e sen t  2R - 93 y  3e a oscilação é amortecida. t  2   t  t cost   2 e sent  a oscilação é amortecida. 4 4R - 94 y  2e t 1.7 BibliografiaBOYCE, Willian E. & DI-PRIMA, Richard C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1997. 532p.
  22. 22. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICAÇÃO Oscilações Mecânicas Equação do movimento da massa è mP  P k P F t  t  t  t  onde m é a massa em kg N  é a viscosidade do meio ms N k é a constante elástica da mola m F força externa t  Condições iniciais P P posição inicial P P velocidade inicial 0  0 0  0 ExemploEx.-19 Um corpo de massa 4 kg estica uma mola 5 cm. O corpo é deslocado 15 cm, na direção positiva e depois é solto. O corpo está em um meio que exerce uma resistência viscosa de 60N quando a sua velocidade é 0,5m/s. Determine a função que modela o movimento. Resolução a) Coeficiente elástico da mola F  kd m 2 mg  kd d  5cm  0,05m g  10 m s m  4 kg 4  10  k  0,05 40  0,05k k  800 N m b) Coeficiente de viscosidade do meio F  v F  60N v  0,5 m s v v 60    0,5 0,5   60   120 N s m c) Equação diferencial mP  P k P F t  t  t  t 
  23. 23. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 4 P  120 P  800 P 0 t  t  t  4 P  120 P  800 P  04 t  t  t  P  30 P  200 P 0 t  t  t  d) Equação característica P  30 P  200 P 0 t  t  t  r  10 e r  20 1 2 e) Equação posição rt rt 1 2 P ce c e t  1 2 10 t 20t P ce c e t  1 2 d) Condições “O corpo é deslocado 15 cm” P  15 cm  0,15 m 0 Ex.-20 Um corpo de massa 10 kg provoca um deslocamento de 5cm em uma mola. Se o corpo for deslocado de 5cm e depois posto em movimento, com velocidade inicial, de 0,2m/s, determine a posição do corpo nos instantes posteriores. Exercícios E-95. Um corpo de 2kg de massa estica 15cm uma mola. Se o corpo for puxado mais 10cm e depois liberado, se não houver resistência do ar, determine a sua posição em qualquer instante t. E-96. Um corpo de massa 100g estica 5cm uma mola. Se o corpo for impulsionada, a partir do equilíbrio, com uma velocidade para baixo de 10cm/s, e se não houver resistência do ar, determinar a posição em qualquer instante t. E-97. Um corpo, pesa 30N, estica em 8cm uma mola. Se o corpo for empurrado para cima, contraindo 3cm a mola, e depois for impulsionado para baixo,com velocidade de 0,8m/s, e se não houver resistência do ar, achar a sua posição em qualquer instante t. E-98. Um corpo pesando 16N estica 10cm uma mola. O corpo está ligado a um amortecedor viscoso, com constante de amortecimento 2Ns/m. Se o corpo for movimentado, da posição de equilíbrio, com velocidade para baixo de 0,6m/s, achar a sua posição em qualquer instante t. E-99. Uma mola é esticada 10cm por uma força de 3N. Um corpo com massa de 2kg é pendurado na mola e também é ligado a um amortecedor viscoso que exerce uma força de 3N quando a velocidade for 5m/s. Se o corpo for puxado para baixo 5cm além da posição de equilíbrio, e receber uma velocidade inicial para baixo de 10m/s, determinar a sua posição em qualquer instante t.
  24. 24. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. MachadoCÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAISRespostasR - 95 P  0,1 cos8,16 t  t R - 96 P  0,0071 sen14,14 t  t R - 97 P  0,03 cos11,18 t   0,072 sen11,18 t  t R - 98R - 99BibliografiaBOYCE, Willian E. & DI-PRIMA, Richard C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. 6.e. Rio de Janeiro: LTC, 1997. 532p.

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