การเคลื่อนที่แบบหมุน

1. Physics Online II http://www.pec9.com บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน
ฟ สิ ก ส บทที่ 7 การเคลื่ อ นที่ แ บบหมุ น
ตอนที่ 1 การขจดเชงมม ความเรวเชงมม และ ความเรงเชิงมุม
ั ิ ุ ็ ิ ุ
การกระจัดเชิงมุม (6 ) คือ มุมที่กวาดไป (เรเดียน)
ความเรวเชงมมเฉลย ( ⊇ ) คือ อัตราสวนของการ
็ ิ ุ ่ี
ขจัดเชิงมุมตอเวลาที่ใชกวาดมุมนั้น ( rad / s )
″
เฉลี่ย = t
⊇
และ ÷ = 2± , ÷ = 2± f
T T คือ คาบของการเคลือนที่ (วินาที)
่
f คือ ความถีของการเคลือนที่ (Hz)
่ ่
1. ลอหมุนอันหนึง หมุนได 25 เรเดียน ในเวลา 10 วินาที จงหาอัตราเร็วเชิงมุมเฉลียของ
่ ่
การหมุนลอนี้ ( 2.5 rad /s )
วธทา
ิี ํ
ความเรงเชิงมุม ( ′ ) คือ อัตราสวนของความเร็วเชิงมุมทีเ่ ปลียนตอเวลาทีใช ( rad / s2 )
่ ่
÷ Λ÷o
′ = t
ความเร็ว และ ความเรงเชิงมุม ถือเปนปริมาณเวกเตอร สามารถหาทิศทางได โดยใชกฎ
มือขวา โดยใชมือขวากําแกนหมุน แลวใหนวทังสีวนตามการเคลือนที่ นิวหัวแมมอ
้ิ ้ ่ ่ ้ ื
จะชี้ทิศของ การกระจด ความเร็ว และ ความเรงเชิงมุมทันที
ั
2. ลออันหนึง ในตอนแรกหมุนดวยความเร็วเชิงมุมคงตัว 50 เรเดียน/วินาที ตอมา ลดลง
่
เหลือ 10 เรเดียน/วินาที ในเวลา 10 วินาที จงหาความเรงเชิงมุม ( –4 rad /s2 )
วธทา
ิี ํ
52

2. Physics Online II http://www.pec9.com บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน
ควรทราบ 1. เมือเปรียบเทียบการเคลือนทีแบบเสนตรง และการเคลื่อนที่แบบหมุน
่ ่ ่
s Ÿ ⊗ , a Ÿ × , u Ÿ ⊇o , v Ÿ ⊇
การเคลอนทแบบเสนตรง
่ื ่ี  การเคลือนทีแบบหมุน
่ ่
v = u+at ⊇ = ⊇o + × t
S = Ψu ∴ v Ζ t
2
⊇ ∴⊇
⊗ = ( o2 ) t
S = ut + 1 a t2
2 ⊗ = ⊇o t + 1 × t2
2
v2 = u 2 + 2 a s ⊇2 = ⊇o 2 + 2 × ⊗
2. v = ⊇ R เมอ v คอ ความเรวเชงเสน ( เมตร/วินาที )
่ื ื ็ ิ 
a = ′ R a คอ ความเรงเชิงเสน ( เมตร/วินาที2 )
ื
(คือ ความเร็วและความเรงของมวลทีเ่ คลือนทีตามเสนรอบวง)
่ ่
3. วัตถุกอนหนึงหมุนรอบตัวเองดวยความเร็วเชิงมุม 5 เรเดียน/วินาที เมอใหแรงกระทาในทศ
 ่ ่ื  ํ ิ
เดยวกบการหมน ปรากฏวาวัตถุกอนนันมีความเรงเชิงมุม 2 เรเดียน/วินาที2 จงหาวาถาให
ี ั ุ  ้
แรงกระทานาน 10 วินาที คาความเร็วเชิงมุม ณ.วนาทท่ี 10 นันมีคาเทาใด
ํ ิ ี ้  ( 25 rad/s )
วธทา
ิี ํ
4. วงลอวงหนงมเี สนผาศนยกลาง 1 เมตร เรมหมนรอบแกนจากหยดนงดวยแรงขนาดหนง
 ่ึ   ู  ่ิ ุ ุ ่ิ  ่ึ
ทําใหลอนันมีความเร็วปลาย 40 เรเดียน/วินาที ในเวลา 10 วินาที จงหาคาความเรงเชิงมุม
 ้
วธทา
ิี ํ ( 4 rad/s2 )
5. จากขอทผานมา จงหามมทวงลอนนกวาดไปได
 ่ี  ุ ่ี  ้ั ( 200 rad )
วธทา
ิี ํ
53

3. Physics Online II http://www.pec9.com บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน
6. ลออันหนึงใชเวลา 3 วินาที ในการหมุนไปไดมมทังหมด 234 เรเดียน วัดความเร็วเชิงมุม
่ ุ ้
ขณะนันได 108 เรเดียน/วินาที จงหาความเร็วเชิงมุมตอนเริมตน
้ ่ ( 48 rad/s )
วธทา
ิี ํ
7. จากขอทผานมา จงหาความเรงเชิงมุมของการหมุน
 ่ี  ( 20 rad/s2 )
วธทา
ิี ํ
8. ลออันหนึง มีรศมี 2 เมตร หมุนจากหยุดนิงจนมีความเร็วเชิงมุมคงตัว 100 เรเดียน/วินาที
่ ั ่
ในเวลา 20 วินาที จงหาความเรงเชงมม
 ิ ุ (5 rad /s2)
วธทา
ิี ํ
9. จากขอทผานมา จงหามมทหมนไปไดทงหมดตงแตตน
 ่ี  ุ ่ี ุ  ้ั ้ั   (1000 เรเดียน)
วธทา
ิี ํ
54

4. Physics Online II http://www.pec9.com บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน
10. จากขอทผานมา จงหาความเรว และความเรงทผวลอ ณ.วนาทท่ี 20
 ่ี  ็ ่ี ิ  ิ ี (200 m/s, 10 m/s2)
วธทา
ิี ํ
11. รถจกรยานคนหนงแลนเปนเสนตรงพบวาลอมความเรงเชงมม 2 rad/s2 ถาลอรถมเี สนผา
ั ั ่ึ      ี ิ ุ    
ศนยกลาง 1 เมตร จงหาระยะทางทเ่ี คลอนทไดใน 20 วินาที นบจากเรมตน
ู  ่ื ่ี  ั ่ิ  (200 ม.)
วธทา
ิี ํ
12. มวล 0.5 kg เคลอนทเ่ี ปนวงกลมรอบจดหมนดวยรัศมี 2 เมตร จากหยดนงจนมความเรว
่ื  ุ ุ  ุ ่ิ ี ็
เชงเสน 20 m/s เมอเวลาผานไป 10 วินาที จงหาจํานวนรอบทีเ่ คลือนทีได
ิ  ่ื  ่ ่ (7.96 รอบ)
วธทา
ิี ํ
55

5. Physics Online II http://www.pec9.com บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน
ตอนที่ 2 โมเมนตความเฉื่อย และ โมเมนตของแรง
โมเมนตความเฉื่อย ( I ) คอ สภาพตานการหมุนของวัตถุ
ื
หากโมเมนตความเฉือย ( I ) มคามาก ความเรงเชงมม (×) จะมีคานอย ( หมุนยาก )
่ ี  ิ ุ 
กรณวตถเุ ลกๆ หมุนรอบจุดหมุน หรอ วงลอ โมเมนตความเฉอยจะหาคาไดจาก
ีั ็ ื   ่ื  
I = m R2
เมอ I = โมเมนตความเฉือย (kg . m2)
่ื ่
m = มวล (kg)
R = รัศมการหมนของมวลนน (m)
ี ุ ้ั
หากรอบแกนหมุนมีมวลยอยๆ หลายชินหมุนพรอมกัน การหาโมเมนตความเฉือย ใหหาโมเมนต
้ ่
ความเฉือยของมวลแตละกอน แลวนํามารวมกัน
่
2 2 2
I = m 1 R1 + m2 R 2 + m3 R 3
I = θ mR2
13. จากรูป มวล 3 กอน เคลอนทรอบแกน
่ื ่ี
หมุนเดียวกันพรอมกัน จงหาโมเมนตแหง
ความเฉอยของการหมนน้ี (39 kg.m2)
่ื ุ
วธทา
ิี ํ
14(En 41) ทรงกระบอกเสนผาศนยกลาง 0.12 เมตร เมอดงเชอกท่ี
  ู  ่ื ึ ื
พันรอบทรงกระบอกดวยแรง 9.0 นิวตัน พบวาเชอกมความเรง
 ื ี 
0.36 เมตรตอวนาที2 จงหาโมเมนความเฉื่อยของทรงกระบอก
 ิ
1. 0.05 kg.m2 2. 0.09 kg.m2
3. 0.12 kg.m2 4. 1.20 kg.m2 (ขอ 2)

วธทา
ิี ํ
56

6. Physics Online II http://www.pec9.com บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน
ในกรณีวตถุรปรางอืนๆ เราอาจหาคาโมเมนตความเฉือยไดดงนี้
ั ู ่ ่ ั
รูปรางวัตถุ แกนหมุน รูป โมเมนตความเฉื่อย
ทรงกลมตัน รอบแกนผาน
มวล m รัศมี R จุดศูนยกลาง I ∴ 2 mR 2
5
ทรงกลมกลวง รอบแกนผานจุดศูนย
มวล m รัศมี R กลาง I ∴ 2 mR 2
3
ทรงกระบอกตัน รอบแกนของทรง
มวล m รัศมี R กระบอก I ∴ 1 mR 2
2
ยาว L
แผนกลมบาง รอบแกนผานศูนยกลาง
มวล m รัศมี R ตังฉากกับแผน
้ I ∴ 1 mR 2
2
แผนกลมบาง รอบแกนผานศูนยกลาง
มวล m รัศมี R บนระนาบของแผน I ∴ 4 mR 2
1
แทงวัตถุเล็ก รอบแกนผานศูนยกลาง
มวล m ยาว L มวล ตั้งฉากกับแทง I ∴ 12 mL2
1
การหมนของวตถทงหมดในตารางน้ี เปนการหมนรอบแกนผานศนยกลางมวล และ
ุ ั ุ ้ั  ุ  ู 
เปนสมมาตรของวตถซงแกนนนตองอยกบท่ี ถาเลือนแกนหมุนไปเปนระยะ L ขนานกบ
 ั ุ ่ึ ้ั  ู ั ่ ั
แกนสมมาตรเดิม โมเมนตความเฉือยจะเพิมขึนอีก m L2 โมเมนตความเฉอยรวม
่ ่ ้  ่ื
จึงตองนํา m L2 บวกเพิมเขาไปดวย
่
โมเมนตของแรง คอ แรง x รัศมีการหมุน
ื
× = FR
เมือ ∝ (เรียกวา ทอรก) คอ โมเมนตของแรง (Nm)
่ ื
F คอ แรงทีทาใหเกิดการหมุน (N)
ื ่ ํ
R คอ รัศมีการหมุน (m)
ื
และ × = Iϒ
57

7. Physics Online II http://www.pec9.com บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน
15. จากรูปจงหาทอรกทีกระทําตอวัตถุน้ี
่
วธทา
ิี ํ F=5N
.O
R = 0.2 m ( 1 N.m )
16. ลอวงหนึงมีโมเมนตความเฉือยรอบแกนหมุน 500 กิโลกรัม.เมตร2 จงหาคาทอรกที่
่ ่
ทําใหวงลอนีหมุนดวยความเรงเชิงมุม 4 เรเดยน/วนาท2
้ ี ิ ี ( 2000 N.m )
วธทา
ิี ํ
17. จงหาทอรกททาใหลอมวล 8 กิโลกรัม รัศมี 25 เซนตเิ มตร หมุนดวยความเรง 3 เรเดียน/วินาที2
 ่ี ํ  
1. 0.5 N.m 2. 1.0 N.m 3. 1.5 N.m 4. 2.0 N.m (ขอ 3)
วธทา
ิี ํ
18. จงหาทอรกทีใชในการทําใหจานกลมทีมโมเมนตความเฉือย 5 กิโลกรัม.เมตร2 เรมหมน
่ ่ ี ่ ่ิ ุ
จากหยดนงจนกระทงมความเรวเชงมม 30 เรเดยน/วนาที ใน 10 วนาที
ุ ่ิ ่ั ี ็ ิ ุ ี ิ ิ
1. 15 N.m 2. 22 N.m 3. 44 N.m 4. 88 N.m (ขอ 1)
วธทา
ิี ํ
19. จงหาทอรกทีใชในการทําใหจานกลมทีมโมเมนตความเฉือย 10 กิโลกรัม.เมตร2 เรมหมน
่ ่ ี ่ ่ิ ุ
จากหยดนงจนกระทงมความเรวเชงมม 20 เรเดยน/วนาที ใน 5 เรเดยน
ุ ่ิ ่ั ี ็ ิ ุ ี ิ ี (400 N.m)
วธทา
ิี ํ
58

8. Physics Online II http://www.pec9.com บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน
20. จงหาทอรกทีใชในการทําใหจานกลมทีมโมเมนตความเฉือย 20 กิโลกรัม.เมตร2 เรมหมน
่ ่ ี ่ ่ิ ุ
จากหยดนงจนกระทงมอตราเร็ว 7 รอบ/วนาที ใน 10 วนาที
ุ ่ิ ่ั ี ั ิ ิ (88 N.m)
วธทา
ิี ํ
21. เครืองยนตของเฮลิคอปเตอรลาหนึง สงทอรกขนาด 1000 นิวตัน.เมตร กระทําตอใบพัด
่ ํ ่  
ซงมโมเมนตความเฉอย 200 กิโลกรัม.เมตร2 จงหาวาจะตองใชเ วลานานเทาใด จึงทําให
่ึ ี  ่ื   
ความเร็วของใบพัดหมุน 420 รอบ/นาที จากเรมตนอยนง
่ิ  ู ่ิ (8.8 วินาที)
วธทา
ิี ํ
22. มูเ ลตวหนึงมีโมเมนตความเฉือย 3 กิโลกรัม เมตร2 จงหาทอรกคงทซงจะทาใหอตรา
ั ่ ่ ่ี ่ึ ํ  ั
เรวของมเู ลเ พมจาก 2 รอบ/วินาทีเปน 5 รอบ/วินาทีใน 6 รอบ
็ ่ิ (33 N. m)
วธทา
ิี ํ
23. วงลอมรศมี 25 Cm หมุนโดยไมมแรงเสียดทานดวยความเรงเชิงมุม 2.25 rad/s2 เมือมีแรง
 ีั ี ่
คงท่ี 90 นิวตัน กระทาในแนวเสนสมผสกบวงลอ จงหาโมเมนตความเฉอยของวงลอ
ํ  ั ั ั   ่ื 
1. 0.1 kg.m2 2. 1.0 kg.m2 3. 10.0 kg.m2 4. 40.0 kg.m2 (ขอ 3)
วธทา
ิี ํ
59

9. Physics Online II http://www.pec9.com บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน
ตอนที่ 3 โมเมนตัมเชิงมุม และ กฏทรงโมเมนตมเชงมม
ั ิ ุ
โมเมนตัมเชิงมุม (L) คอ ผลคูณระหวางโมเมนตความเฉือย (I) กบความเรวเชงมม (÷)
ื ่ ั ็ ิ ุ
L = I•
เมือ L คอ โมเมนตมเชงมม (kg.m2 . rad/s)
่ ื ั ิ ุ
I คอ โมเมนตความเฉอย (kg.m2)
ื  ่ื
÷ คอ ความเร็วเชิงมุม (rad/s)
ื
พจารณา
ิ L = I÷ และ ϒ = ⊇ t
L = I×t • = ϒt
L = ×t
24. ถาเหวียงมวล 0.2 กิโลกรัม ดวยเชอกยาว 4 เมตร ใหเคลือนทีเ่ ปนวงกลมในระนาบ
่  ื ่
ระดับ ถาความเรวเชงมมมคา 10 เรเดยน/วนาที จงหาโมเมนตมเชงมม
 ็ ิ ุ ี ี ิ ั ิ ุ ( 8 kg.m2 / s )
วธทา
ิี ํ
25. วตถมวล 0.2 กิโลกรัม ผกตดกบปลายขางหนงของเสนเชอกยาว 2 เมตร จบปลายอก
ั ุ ู ิ ั  ่ึ  ื ั ี
ขางหนึงเหวียงใหวตถุเคลือนทีในแนววงกลม ในระนาบระดับดวยอัตราเร็วคงที่ 10 เมตร/
่ ่ ั ่ ่
วนาที จงหาโมเมนตมเชงมมของวตถน้ี ในหนวยกิโลกรัม.เมตร2/วนาที
ิ ั ิ ุ ั ุ ิ
1. 2 2. 4 3. 8 4. 16 (ขอ 2)

วธทา
ิี ํ
กฏทรงโมเมนตมเชงมม กลาววา “ หากทอรกมีคาเปนศูนย โมเมนตมเชงมมจะมคาคงตว”
ั ิ ุ    ั ิ ุ ี ั
นันคือ
่ ρL1 = ρL2
60

10. Physics Online II http://www.pec9.com บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน
26. ชายคนหนึง ถือดัมเบลไวสองมือ ยืนบนเกาอีทหมุนไดอยางเสรีไมมแรงเสียดทานและมี
่ ้ ่ี ี
แกนหมนอยในแนวดงขณะทเ่ี ขากางมอออก โมเมนตความเฉือยของชายคนนันและเกาอีเ้ ทา
ุ ู ่ิ ื ่ ้
กับ 2.25 กิโลกรัม.เมตร2 ความเรวเชงมมเรมตนในการหมน 5 เรเดยน/วนาที เมอเขาหบ
็ ิ ุ ่ิ  ุ ี ิ ่ื ุ
แขนทงสองเขาหาตว โมเมนตความเฉอยรวมเทากบ 1.80 กิโลกรัม.เมตร2 อตราเรวเชงมม
้ั  ั  ่ื  ั ั ็ ิ ุ
ในการหมนขณะหบแขนมคาเทาใด
ุ ุ ี  (6.25 rad/s)
วธทา
ิี ํ
27. นาวตถมวล 1 กิโลกรัม ผกตดกบปลายเชอกแลวเหวยงใหเ ปนวงกลมดวยความเร็วเชงมม
ํ ั ุ ู ิ ั ื  ่ี   ิ ุ
15 เรเดยน/วนาที ตอมาดงเชอกใหหดสนเขาทาใหรัศมวงกลมลดลงและมความเรวเชงมม
ี ิ  ึ ื  ้ั  ํ  ี ี ็ ิ ุ
เปลียนเปน 5 เรเดยน/วนาที ถาตอนแรกโมเมนตความเฉอยเทากบ 2.5 กิโลกรัม.เมตร2
่ ี ิ   ่ื  ั
แลวโมเมนตความเฉือยตอนหลังมีคาเทาใด
่  (7.5 kg.m2)
วธทา
ิี ํ
28(En 40) วตถมวล 50 กรัม ผกตดกบปลายเชอกซงลอดผานรหลอดเลกๆ ปลายเชือกขางหนึง
ั ุ ู ิ ั ื ่ึ  ู ็ ่
ดงยดไวดวยแรงคาหนงแลวเหวยงใหเ ปนวงกลมรศมี 1 เมตร ถาดึงเชือกใหรศมีวงกลมเปน
ึ ื   ่ึ  ่ี  ั ั
50 เซนตเิ มตรทนที วัตถุจะเคลือนทีดวยอัตราเร็วเชิงมุมเทาไรในหนวยเรเดียน/ วนาที
ั ่ ่ ิ
ถาเดมมอตราเรวเชงมม 3 เรเดียนตอวินาที
 ิ ีั ็ ิ ุ (12 rad/s)
วธทา
ิี ํ
61

11. Physics Online II http://www.pec9.com บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน
29. ชายคนหนงยนอยบนแปนหมน ในขณะทเ่ี หยยดแขนออกเขาหมนดวยอตราเรว 0.50
่ึ ื ู  ุ ี ุ  ั ็
รอบ/วนาที แตเ มอเขาดงแขนเขาขางตว อัตราเร็วเปลียนเปน 0.75 รอบ/วนาที จงหาอัตรา
ิ ่ื ึ   ั ่ ิ
สวนของโมเมนตความเฉอยของระบบตอนแรกตอตอนหลง
  ่ื  ั
1. 2 2. 4 3
3. 2 9
4. 4 (ขอ 3)

3 9
วธทา
ิี ํ
30. ชายคนหนึงมีมวล 80 กิโลกรัม ยืนอยูบนขอบของมาหมุนเด็กเลนทีอยูนงทีระยะ 4 เมตร
่  ่  ่ิ ่
จากจดศนยกลาง ชายคนนเ้ี ดนไปตามขอบของมาหมนดวยอตราเรว 1 เมตร/วนาที เทยบกบ
ุ ู  ิ  ุ  ั ็ ิ ี ั
พื้น การเคลอนทนจะทาใหมาหมน หมุนดวยอัตราเร็วเชิงมุมเทาใด ถามาหมนมโมเมนต
่ื ่ี ้ี ํ   ุ   ุ ี
ความเฉอย 10000 กิโลกรัม.เมตร2
่ื (–0.032 rad/s)
วธทา
ิี ํ
⌫⌫⌦⌫⌦⌫⌦⌫⌦⌫⌦⌫⌦⌫⌦⌫⌦⌫⌦⌫⌦⌫⌦⌫⌦⌫⌦⌦
ตอนที่ 4 การทํางานในการหมุน
เราสามารถคานวณหางานในการหมนตวไดจาก
ํ ุ ั 
W= ×±
และ กาลงในการหมนหาคาไดจาก
ํ ั ุ  
P= W t
P = 96 t เพราะ W = × ±
P= ו เพราะ Z = 6 t
เมอ W คือ งานทเ่ี กดจากการหมน
่ื ิ ุ
P คือ กําลังของการหมุน
62

12. Physics Online II http://www.pec9.com บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน
31. เครองยนตขนาด 50 กิโลวัตต หมนลอในอตรา 3500 รอบ/นาที จงหาทอรกทเ่ี กดจาก
่ื  ุ  ั  ิ
เครืองยนตในตอนนี้
่ ( 136.36 N.m )
วธทา
ิี ํ
⌫⌫⌦⌫⌦⌫⌦⌫⌦⌫⌦⌫⌦⌫⌦⌫⌦⌫⌦⌫⌦⌫⌦⌫⌦⌫⌦⌦
ตอนที่ 5 พลังงานจลนของการหมุน
พลงงานจลนของการหมน
ั  ุ
หาจาก Ek = 1 I ÷2
2
32. มาหมนชดหนงมโมเมนตความเฉอยรอบแกนหมนในแนวดง 900 กิโลกรัม.เมตร2 ถา
 ุ ุ ่ึ ี  ่ื ุ ่ิ
ผลกใหหมนในอตรา 2 รอบตอนาที จงหาพลงงานจลนของมาหมนน้ี
ั  ุ ั  ั   ุ (19.7 จูล)
วธทา
ิี ํ
33(En 40) วตถมวล 0.1 กิโลกรัม และ 0.3
ั ุ
กิโลกรัม ติดอยูกับปลายทั้งสองของแทง
โลหะเบายาว 1.00 เมตร ดงรป จงหา
ั ู
พลังงานจลนของการหมุน ถาแทงโลหะ
หมนรอบแกน AB 10 เรเดยน/วนาที
ุ ี ิ
1. 3.75 J 2. 5.63 J 3. 7.50 J 4. 15.0 J (ไมมคาตอบ)
ี ํ
วธทา
ิี ํ
63

13. Physics Online II http://www.pec9.com บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน
ถาวัตถุกลิ้ง (หมนพรอมกบเคลอนทไป)
ุ  ั ่ื ่ี
พลังงานจลน = พลังงานจลนของการเคลื่อนที่แบบเลื่อนที่
+ พลังงานจลนของการเคลื่อนที่แบบหมุน
Ek = 1 mv2 + 1 I ÷2
2 2
34. แผนไมกลมมีรัศมี 0.5 เมตร มวล 2 กิโลกรัม และโมเมนตความเฉอย 0.25 กิโลกรัม
 ่ื
เมตร2 เคลอนทในแนวตรง โดยมความเรวของศนยกลางมวล 4 เมตรตอวินาที จงหาพลัง
่ื ่ี ี ็ ู 
งานจลนของแผนไมน้ี เมอวตถเุ คลอนทโดยหมนกลงรอบศนยกลางมวล
   ่ื ั ่ื ่ี ุ ้ิ ู  (24 J)
วธทา
ิี ํ
35(มช 37) แผนไมกลมแบนรัศมี 8.0 เซนติเมตร มวล 280 กรัม กําลังกลิ้งไปตามพื้นราบ
อยางสม่ําเสมอโดยไมมีการไถล ศูนยกลางมวลของแผนไมมีความเร็ว 0.16 เมตร/วนาที ิ
พลังงานจลนของแผนไมในการกลิ้งครั้งนี้ รวมทั้งสิ้นมีคาเทาใด กาหนดโมเมนตความเฉอย
ํ  ่ื
ของแผนไมเ ทากบ 9.0 x 10–4 kg.m2
  ั (ขอ 3)
1. 1.8x10–3 จล 2. 3.58x10–3 จล
ู ู 3. 5.38x10–3 จล ู 4. 7.18x10–3 จลู
วธทา
ิี ํ
36. วตถมวล m มโมเมนตความเฉอย I และมโมเมนตมเชงมม L จะมีพลังงานจลนเทาใด
ั ุ ี  ่ื ี ั ิ ุ
1. I 2 2. mI2
2L 3. L2
2I 4. mL2
2I (ขอ 3)
2L
วธทา
ิี ํ
64

14. Physics Online II http://www.pec9.com บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน
37. ทอทรงกระบอกกลวงกลิ้งไปตามพื้นระดับโดยไมไถล จงหาอตราสวนระหวางพลงงาน
ั   ั
จลนของการหมนตอพลงงานจลนของการเลอนตาแหนง ( I ทรงกระบอก = m r2)
 ุ  ั  ่ื ํ 
1. 12 2. 1 3. 2 4. 4 (ขอ 2)
วธทา
ิี ํ
38. แผนโลหะกลมมวล 1 กิโลกรัม รศมี 0.2 เมตร มีโมเมนต
ั
ความเฉอย 0.02 กิโลกรัม . เมตร2 เคลอนทจากหยดนง
่ื ่ื ่ี ุ ่ิ
ลงมาตามพนเอยงดงรป จนศูนยกลางมวลต่ํากวาเดิม 1 เมตร
้ื ี ั ู
จงหาความเรวสงสดของแผนโลหะนเ้ี มอ
็ ู ุ  ่ื
ก. เคลื่อนที่แบบไถล ข. เคลื่อนที่แบบกลิ้ง (4.47 m/s , 3.65 m/s)
วธทา
ิี ํ
39. ปลอยวงลอรัศมี 40 เซนติเมตร กลิ้งลงมาจากเนิน ณ ตาแหนงทสง 3.6 เมตร จงหา
ํ  ่ี ู
อตราเรวเชงมมเมอถงปลายลางเนน
ั ็ ิ ุ ่ื ึ  ิ
1. 15 rad/s 2. 30 rad/s 3. 45 rad/s 4. 60 rad/s (ขอ 1)
วธทา
ิี ํ
65

15. Physics Online II http://www.pec9.com บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน
แบบฝ ก หั ด ฟ สิ ก ส บทที่ 7 การเคลื่ อ นที่ แ บบหมุ น
การขจดเชงมม ความเรวเชงมม และ ความเรงเชงมม
ั ิ ุ ็ ิ ุ  ิ ุ
1. วตถกอนหนงหมนรอบตวเองดวยความเรวเชงมม 5 เรเดยน/วนาที เมอใหแรงคควบกระทา
ั ุ ่ึ ุ ั  ็ ิ ุ ี ิ ่ื  ู ํ
ทางเดยวกบการหมนปรากฎวาวตถกอนนนมความเรงเชงมม 2 เรเดยน/วนาท2 จงหาวาถา
ี ั ุ  ั ุ  ้ั ี  ิ ุ ี ิ ี
ใหแรงคควบกระทานาน 10 วนาที ความเรวเชงมมของวตถเุ ปนเทาใด
 ู ํ ิ ็ ิ ุ ั   (25 red/s)
2. วงลอวงหนึ่งมีเสนผาศูนยกลาง 1 เมตร เรมหมนรอบแกนจากหยดนงดวยแรงคควบคหนง
่ิ ุ ุ ่ิ  ู ู ่ึ
ปรากฎวาวงลอนน มความเรวปลายเปน 40 เรเดยน/วนาที ในเวลา 10 วนาที จงหาความ
  ้ั ี ็  ี ิ ิ
เรงเชงมมและมมทรศมของวงลอกวาดไปไดเ ปนเทาใด
 ิ ุ ุ ่ี ั ี    ( 4 rad/s2 , 200 rad)
3. ลออนหนงใชเ วลา 3 วนาที ในการหมนไปเปนมมทงหมด 234 เรเดยน วดความเรวเชงมม
 ั ่ึ ิ ุ  ุ ้ั ี ั ็ ิ ุ
ขณะนนได 108 เรเดยน/วนาที จงหาความเรงเชงมมของการหมน
้ั ี ิ  ิ ุ ุ ( 20 rad/s2)
4. ใบพดลมเครองหนงหมนดวยอตรา 600 รอบ/นาที ในเวลา 5 วนาที จากหยดนง จงหา
ั ่ื ่ึ ุ  ั ิ ุ ่ิ
ความเรงเชงมมของใบพดลมน้ี
 ิ ุ ั ( 4± rad/s2)
±
5. ความเรวเชงมมของลออนหนงลดลงดวยอตราคงทจาก 1000 รอบตอนาทเี หลอ 400 รอบ
็ ิ ุ  ั ่ึ  ั ่ี  ื
ตอนาที ในเวลา 5 วนาที จงหาความเรงเชงมมและจานวนรอบทหมนไดในชวงเวลา 5
ิ  ิ ุ ํ ่ี ุ  
วนาที
ิ (–4° rad/s2 , 58.33)
°
6. มอเตอรของพดลมเครองหนงกาลงหมนดวยอตราเรว 900 รอบ/นาที แลวคอยๆ หมุนชาลง
 ั ่ื ่ึ ํ ั ุ  ั ็
อยางสมาเสมอจนมอตราเรว 300 รอบ/นาที ในขณะที่หมุนไปได 50 รอบ จงหา
 ํ่ ีั ็
ก. ความเรงเชงมม
 ิ ุ ข. เวลาที่ใชในการหมุนไป 50 รอบน้ี (–4± rad/s2 , 5 S)
±
7. ลอจกรยานมรศมี 20 เซนติเมตร เคลอนทดวยความเรว 5 เมตร/วนาที จะมอตราเรว
ั ีั ่ื ่ี  ็ ิ ีั ็
เชงมมกเ่ี รเดยน/วนาที
ิ ุ ี ิ
1. 25 2. 50 3. 75 4. 100 (ขอ 1)
8. จกรยานคนหนงเรมเคลอนทออกไปดวยความเรงเชงมม 2 เรเดยน/วนาท2 ถาลอจักรยาน
ั ั ่ึ ่ิ ่ื ่ี   ิ ุ ี ิ ี
มรศมี 0.5 เมตร จงหาระยะทางที่จักรยานเคลื่อนที่ไดใน 10 วนาที นบจากเรมตน (50 ม.)
ีั ิ ั ่ิ 
9. มวล 0.5 กิโลกรัม เคลอนทเ่ี ปนวงกลมรอบจดหมน ดวยรศมี 2 เมตร จากหยดนง โดยมี
่ื  ุ ุ  ั ุ ่ิ
อตราเรงคงท่ี จนมความเรวเชงเสน 20 เมตร/วนาที เมอเวลาผานไป 10 วนาที จงหา
ั  ี ็ ิ  ิ ่ื  ิ
จานวนรอบทเ่ี คลอนทได
ํ ่ื ่ี (7.96 รอบ)
66

16. Physics Online II http://www.pec9.com บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน
โมเมนตแหงความเฉอย และ ทอรก
  ่ื 
10. วตถมวล 100 กรัม และ 200 กรัม ตด
ั ุ ิ
อยูกับปลายทั้งสองของแทงโลหะเบายาว
20 cm 100 cm
100 g A 200 g
120 เซนติเมตร ดงรป จงหาโมเมนต
ั ู B
ความเฉอยรอบแกน AB (0.204 kg.m
่ื 2)
11. จากรป จงคานวณหาทอรก เมอ F มีคา 10 นวตน
ู ํ  ่ื ิ ั (10 N.m)
1m O
F = 10 N
12. จงหาทอรกทใชในการทาใหจานกลมทมโมเมนตความเฉอย 20 กิโลกรัม.เมตร2 เรมหมน
 ่ี  ํ  ่ี ี  ่ื ่ิ ุ
จากหยดนงจนกระทงมอตราเรว 7 รอบ/วนาที ใน 10 วนาที
ุ ่ิ ่ั ี ั ็ ิ ิ (88 N.m)
13. เครองยนตของเฮลคอปเตอรลาหนง สงทอรกขนาด 1000 นวตน.เมตร กระทําตอใบพัด
่ื  ิ  ํ ่ึ ิ ั
ซงมโมเมนตความเฉอย 200 กิโลกรัม.เมตร2 จงหาวาจะตองใชเ วลานานเทาใด จึงทําให
่ึ ี  ่ื   
ความเรวของใบพดหมน 420 รอบ/นาที จากเรมตนอยนง
็ ั ุ ่ิ  ู ่ิ (8.8 วินาที)
14. มเู ลตวหนงมโมเมนตความเฉอย 3 กิโลกรัม เมตร2 จงหาทอรกคงทซงจะทาใหอตรา
 ั ่ึ ี  ่ื  ่ี ่ึ ํ  ั
เรวของมเู ลเ พมจาก 2 รอบ/วนาทเี ปน 5 รอบ/วินาทีใน 6 รอบ
็ ่ิ ิ  (33 N. m)
15. วงลอมรศมี 25 Cm หมนโดยไมมแรงเสยดทานดวยความเรงเชงมม 2.25 rad/s2 เมือมีแรง
 ีั ุ  ี ี   ิ ุ ่
คงที่ 90 นวตน กระทําในแนวเสนสัมผัสกับวงลอ จงหาโมเมนตความเฉอยของวงลอ
ิ ั  ่ื 
1. 0.1 kg.m2 2. 1.0 kg.m2 3. 10.0 kg.m2 4. 40.0 kg.m2 (ขอ 3)
โมเมนตตมเชงมม
 ั ิ ุ
16. ถาเหวี่ยงมวล 0.2 กิโลกรัม ดวยเชือกยาว 2 เมตร ใหเ คลอนทเ่ี ปนวงกลมในระนาบ
่ื 
ระดับ ถาความเรวเชงมมมคา 10 เรเดยน/วนาที จงหาโมเมนตมเชงมม
 ็ ิ ุ ี ี ิ ั ิ ุ ( 8 kg.m2 / s )
17. วตถมวล 0.2 กิโลกรัม ผูกติดกับปลายขางหนึ่งของเสนเชือกยาว 2 เมตร จับปลายอีกขาง
ั ุ
หนงเหวยงใหวตถเุ คลอนทในแนววงกลม ในระนาบระดบดวยอตราเรวคงท่ี 10 เมตร/วนาที
่ึ ่ี  ั ่ื ่ี ั  ั ็ ิ
จงหาโมเมนตมเชงมมของวตถน้ี ในหนวยกโลกรม.เมตร2 / วนาที
ั ิ ุ ั ุ  ิ ั ิ (4)
67

17. Physics Online II http://www.pec9.com บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน
18. ชายคนหนง ถือดัมเบลไวสองมือ ยนบนเกาอทหมนไดอยางเสรไมมแรงเสยดทานและมี
่ึ ื  ้ี ่ี ุ   ี  ี ี
แกนหมนอยในแนวดงขณะทเ่ี ขากางมอออก โมเมนตความเฉอยของชายคนนนและเกาอเ้ี ทา
ุ ู ่ิ ื  ่ื ้ั  
กับ 2.25 กิโลกรัม.เมตร2 ความเรวเชงมมเรมตนในการหมน 5 เรเดยน/วนาที เมอเขาหบ
็ ิ ุ ่ิ  ุ ี ิ ่ื ุ
แขนทงสองเขาหาตว โมเมนตความเฉอยรวมเทากบ 1.80 กิโลกรัม.เมตร2 อัตราเร็วเชิงมุม
้ั  ั  ่ื  ั
ในการหมนขณะหบแขนมคาเทาใด
ุ ุ ี  (6.25 rad/s)
19. วตถกอนหนงมมวล 50 กรัม ผกเชอกเขาไปในหลอดเลกๆ ซึ่งไมมีความเสียดทานอีกปลาย
ั ุ ่ึ ี ู ื  ็
หนึ่งผูกกับมวล m เอามอจบหลอดแลวเหวยงใหมวล 50 กรัม เคลอนทเ่ี ปนวงกลมตาม
ื ั  ่ี  ่ื 
แนวระดบดวยความเรวเชงมม 3 เรเดยน/วนาที รศมของวงกลมเปน 20 เซนติเมตร แลว
ั  ็ ิ ุ ี ิ ั ี 
เพมมวล m ทหอยเพอใหรศมของวงกลมเปลยนเปน 10 เซนตเิ มตรอยางฉบพลน ถาคิดวา
่ิ ่ี  ่ื  ั ี ่ี   ั ั
มวล 50 กรมเปนอนภาคเลกๆ จงหาวามวล 50 กรัม เคลอนทดวยความเรวเชงมมเทาใด
ั  ุ ็  ่ื ่ี  ็ ิ ุ 
( 12 rad/s )
งาน และ พลังงานของการหมุน
20. เครองยนตขนาด 44 กิโลวัตต หมนลอในอตรา 4200 รอบ/นาที จงหาทอรกทเ่ี กดจาก
่ื  ุ  ั  ิ
เครืองยนตในตอนนี้
่ ( 100 N.m )
21. แผนไมกลมมีรัศมี 1 เมตร มวล 4 กิโลกรัม และโมเมนตความเฉอย 1 กิโลกรัม.เมตร2
 ่ื
เคลอนทในแนวตรง โดยมความเรวของศนยกลางมวล 4 เมตรตอวินาที จงหาพลังงานจลน
่ื ่ี ี ็ ู 
ของแผนไมน้ี เมอวตถเุ คลอนทโดยหมนกลงรอบศนยกลางมวล
  ่ื ั ่ื ่ี ุ ้ิ ู  ( 40 J)
22. ทอทรงกระบอกกลวงกลิ้งไปตามพื้นระดับโดยไมไถล จงหาอตราสวนระหวางพลงงาน
ั   ั
จลนของการหมนตอพลงงานจลนของการเลอนตาแหนง (I ทรงกระบอก = mr2 )
 ุ  ั  ่ื ํ 
1. 12 2. 1 3. 2 4. 4 (ขอ 2)
23. แผนโลหะกลมมวล 1 กิโลกรัม รศมี 0.2 เมตร มีโมเมนต
ั
ความเฉอย 0.02 กิโลกรัม . เมตร2 เคลอนทจากหยดนง
่ื ่ื ่ี ุ ่ิ
ลงมาตามพนเอยงดงรป จนศูนยกลางมวลต่ํากวาเดิม 1 เมตร
้ื ี ั ู
จงหาความเรวสงสดของแผนโลหะนเ้ี มอ
็ ู ุ  ่ื
ก. เคลื่อนที่แบบไถล ข. เคลื่อนที่แบบกลิ้ง (4.47 m/s , 3.65 m/s)
⌦⌦⌦⌦⌦⌦⌦⌦⌦⌦⌦⌦⌦⌦⌦⌦⌦⌦⌦⌦⌦⌦⌦⌦
68