Mecˆnica dos Fluidos                          a                 www.controleeautomacao.blogspot.com1    Equa¸˜o da Continu...
A integral de linha mostra que a integra¸˜o est´ sendo feita pela superf´                                            ca   ...
2     Equa¸˜o de Euler          ca   Considere um volume de fluido. A for¸a total agindo neste volume se deve              ...
−grad(p) = ρ[ ∂v + (v · grad)v]              ∂t  1             ∂v− ρ grad(p) =   ∂t   + (v · grad)v      Equa¸˜o de Euler ...
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

MecFlu

6.388 visualizações

Publicada em

0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
6.388
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
6.058
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
4
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

MecFlu

  1. 1. Mecˆnica dos Fluidos a www.controleeautomacao.blogspot.com1 Equa¸˜o da Continuidade ca A dinˆmica dos fluidos est´ preocupada com o movimento dos fluidos (l´ a a ıquidose gases). Para descrever este movimento adota-se a ideia da part´ıcula fluida,que ´ uma pequena quantidade de fluido que est´ sendo estudada. e a Considere um volume V0 do espa¸o. A massa do fluido ´ m = ρV , em que ρ c ee ıquido em kg/m3 e V ´ o volume em m3 . Um diferencial de´ a densidade do l´ emassa ser´ dm = ρdV , assim a massa total neste volume ser´ m = ρdV . a a A massa do fluido escoando por unidade de tempo atrav´s de um elemento esuperficial do volume ´ ρv · df em que v ´ a velocidade do fluido e df ´ o e e eelemento diferencial de ´rea. Ressalta-se aqui que ρv ´ um vetor do fluido que a echega no volume e df ´ o vetor normal da ´rea do volume, sendo representado e aem vermelho na figura a seguir. Figura 1: Fluido atravessando um elemento de volume V0 O produto escalar ρv · df denota uma proje¸˜o na dire¸˜o normal a essa ´rea ca ca ainfinitesimal df , ou seja, ser´ contada toda a massa que atravessa esta superf´ a ıcie.Fluido escoando na dire¸˜o paralela ` ´rea n˜o a atravessar´. ca aa a a Por conven¸˜o, df ´ considerado para fora, assim ρv · df ser´ positivo se o ca e afluido estiver escoando para fora do volume e negativo se estiver escoando paradentro. A massa total escoando para fora do volume V0 por unidade de tempo ser´ a ρv · df 1
  2. 2. A integral de linha mostra que a integra¸˜o est´ sendo feita pela superf´ ca a ıciefechada circundante ao volume V0 . Isso significa que, por exemplo, um cubo cuja ´rea lateral seja df e o escoa- amento na dire¸˜o e sentido transversal a dois lados, o resultado da integral ser´ ca azero. Isso quer dizer que n˜o h´ sa´ de massa do volume, ou seja, este n˜o est´ a a ıda a aperdendo massa, pois o que entra ´ igual ao que sai. O fluido ao atravessar a eprimera parede contar´ negativamente, j´ que os vetores s˜o opostos, assim o a a aresultado do produto escalar ser´ negativo. Quando ele atravessar a segunda aparede contar´ positivamente e com o mesmo valor, resultando em zero. a O decaimento de massa por unidade de tempo pode ser escrito como ∂ − ∂t ρdV Toma-se a derivada parcial, j´ que ρ possui 4 parˆmetros ρ(x, y, z, t). Assim, a acom essa derivada tem-se como a massa varia no tempo. O sinal negativo servepara corrigir fisicamente o sinal que a matem´tica nos fornece, j´ que se a a amassa ´ maior na sa´ do que na entrada do volume V0 , isso significa que este e ıdaest´ perdendo massa, por´m como houve um aumento de massa nessa conta, a ea derivada ser´ positiva e como queremos denotar o decr´scimo da massa no a evolume v0 , colocamos o sinal negativo. Logo, pode-se igualar as equa¸˜es co ∂ − ρv · df = ∂t ρdV Aqui se usa o Teorema de Green, que ´ e ρv · df = div(ρv)dV Lembrando que o divergente no sistema cartesiano tridimensional ´ definido epor ∂Fx ∂Fy ∂Fz divF = ·F = ∂x + ∂y + ∂z , sendo F = Fx i + Fy j + Fz kAssim, ∂ − div(ρv)dV = ∂t ρdV [ ∂ρ + div(ρv)]dV = 0 ∂t ∂ρ ∂t + div(ρv) = 0 Equa¸˜o da Continuidade ca Esta equa¸˜o mostra que a massa n˜o pode ser criada ou destru´ ca a ıda. A segunda parcela da equa¸˜o diz que a quantidade de massa que entra ´ ca eigual a que sai, sendo o divergente o sensor do quanto que entra e quanto quesai. A primeira parcela est´ relacionada ` compressibilidade do fluido. Se o a afluido for incompress´ıvel, sua densidade n˜o muda, logo esta parcela ´ nula. Se a eo fluido ficar mais denso, ele passa a concentrar massa numa quantidade menorde volume. A equa¸˜o mostra que mesmo havendo este fenˆmeno, a massa ca oque entra ´ a mesma que sai. Se o fluido se comprimir, ∂ρ ´ positivo, j´ que e ∂t e aρ aumenta. Desta maneira, haver´ maior quantidade de massa na entrada do avolume num certo instante, assim o div(ρv) fica negativo, fazendo com que asoma continue zero. 2
  3. 3. 2 Equa¸˜o de Euler ca Considere um volume de fluido. A for¸a total agindo neste volume se deve ca` diferen¸a de press˜o c a − p · df Lembrando que for¸a ´ press˜o (p) vezes elemento de ´rea (df ). Transfor- c e a amando numa integral de volume − p · df = − grad(p)dV Lembrando que gradiente no sistema cartesiano tridimensional ´ e ∂u ∂u ∂u u = grad(u) = ∂x i + ∂y j + ∂z k Assim, o fluido exerce sobre o volume dV uma for¸a −grad(p) c Usando a segunda lei de newton para o movimento das part´ıculas, tem-sefor¸a igual acelera¸˜o c ca −grad(p) = ρ dv dt Esta equa¸˜o mostra que a for¸a ´ exercida num volume devido ` diferen¸a ca c e a cde press˜o e isso ´ mostrado no grad(p), em que ´ medido a varia¸˜o (grad) no a e e cacampo vetorial da press˜o (p). a O fator dv n˜o evidencia a varia¸˜o da velocidade do fluido num ponto fixo dt a cado espa¸o, mas da part´ c ıcula fluida conforme ela se move no espa¸o. Ent˜o o c asistema acompanha a part´ ıcula na abordagem Euleriana. Para estud´-lo, faz-se auma an´lise de um observador fixo no espa¸o. a c Deste modo, a varia¸˜o da velocidade dv num tempo dt ´ divido em 2 partes: ca ea varia¸˜o da velocidade num ponto fixo no espa¸o e tamb´m na diferen¸a nas ca c e cvelocidades (no mesmo instante) em dois pontos separados por uma distˆncia adr, em que dr ´ a distˆncia em que a part´ e a ıcula se moveu no tempo dt. A primeira parte ´ a varia¸˜o da velocidade num ponto parado. Neste ponto e cafixo, as part´ıculas podem mudar de velocidade num determinado tempo, ou seja,a part´ıcula que passa por ali adquire aquela velocidade. Todavia, a part´ ıculan˜o continua com aquela velocidade necessariamente. Ent˜o a segunda parcela a amede o quanto que variou a velocidade ap´s a part´ o ıcula ter se deslocado dr numtempo dt. A primeira parte ´ ∂v dt, em que ∂v ´ tomada para uma posi¸˜o x,y,z con- e ∂t ∂t e catante, isto ´, num ponto do espa¸o. e c A segunda parte ´ dx ∂x + dy ∂y + dz ∂v = (dr · grad)v e ∂v ∂v ∂z Assim, ∂v dv = ∂t dt + (dr · grad)v dividinto por dt dv ∂v dt = ∂t + (dv · grad)v Substituindo na equa¸˜o do movimento ca −grad(p) = ρ dv dt 3
  4. 4. −grad(p) = ρ[ ∂v + (v · grad)v] ∂t 1 ∂v− ρ grad(p) = ∂t + (v · grad)v Equa¸˜o de Euler ca 4

×