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Función y ecuación cuadrática 
Estándares: Pensamiento Numérico y Variacional 
Logros: 
- Identificar, comprensivamente, las características de la 
función cuadrática y su representación gráfica. 
- Determinar, con precisión, la solución de una ecuación 
cuadrática. 
- Plantear y resolver, creativamente, problemas que conducen 
a una ecuación 
cuadrática.
Función cuadrática 
Ejemplo: 
Si f(x) = 2x2 + 3x + 1 
Si f(x) = 4x2 - 5x - 2 
a = 2, b = 3 y c = 1 
a = 4, b = -5 y c = -2 
 

Gráfica de una Función cuadrática 
La representación gráfica de una función cuadrática es una curva 
llamada parábola, la cual puede abrir hacia arriba o hacia abajo. 
En la función cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c , el coeficiente a 
indica si la parábola es cóncava hacia arriba o hacia abajo. 
Si a > 0, es cóncava hacia arriba Si a < 0, es cóncava hacia abajo
En la función cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c , el coeficiente c indica 
la ordenada del punto donde la parábola intersecta al eje Y. 
x 
y 
c
Ejemplo: 
En la función f(x) = x2 - 3x - 4 , a = 1 y c = - 4. 
Luego, la parábola intersecta al eje Y en el punto (0,- 4) y es 
cóncava hacia arriba. 
x 
y 
(0,-4)
Eje de simetría y vértice 
El vértice de una parábola es el punto más alto o más bajo 
de la curva, según sea su concavidad. 
El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice de la 
parábola, y es paralela al eje Y. 
y Eje de simetría 
x 
Vértice
Si f(x) = ax2 + bx + c , entonces: 
Su eje de simetría es: 
Su vértice es: 
2a 2a 
V = 
-b , f -b 
-b , 4ac – b2 
2a 
4a 
V = 
-b 
2a 
x =
Ejemplo: 
En la función f(x) = x2 + 2x - 8, a = 1, b = 2 y c = - 8, 
-2 
2·1 
x = 
entonces: 
V = ( -1, f(-1) ) 
a) Su eje de simetría es: 
x = -1 
-b 
b) Su vértice es: 
V = ( -1, -9 ) 
2a 
x = 
-b , f -b 
2a 2a 
V = 
  
 

f(x) 
Eje de simetría: 
x = -1 
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Tipos de Gráficas de Funciones 
Cuadráticas
ACTIVIDAD. 
Con ayuda del software Geogebra, traza las gráficas de las siguientes 
funciones en el mismo plano cartesiano, luego compáralas.
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de la forma: 
ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0 
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Ejemplo: 
La ecuación x2 - 3x - 4 = 0 , tiene raíces -1 y 4. 
Luego, la parábola intersecta al eje X en esos puntos.
Función y ecuación cuadrática
Función y ecuación cuadrática
Ecuaciones de la forma: ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0 
Para solucionar una ecuación cuadrática de esta forma se puede 
resolver por factorización o utilizando la Fórmula General. 
- b ± b2 – 4ac 
2a 
x = 
Ejemplo: 
Determinar las raíces de la ecuación: x2 - 3x - 4 = 0 
-(-3) ± (-3)2 – 4·1(- 4) 
2 
x = 
3 ± 9 + 16 
2 
x =
3 ± 25 
2 
x = 
x = 3 ± 5 
2 
x = 8 
2 
x = -2 
2 
x1 = 4 x2 = -1 
También se puede obtener las raíces de la ecuación 
factorizando como producto de binomios: 
x2 - 3x - 4 = 0 
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(x - 4)= 0 ó (x + 1)= 0 
x1 = 4 x2 = -1 

Naturaleza de las Raíces de una 
ecuación cuadrática 
En una ecuación de segundo grado, el discriminante 
Δ = b2 - 4ac 
permite conocer la naturaleza de las raíces. 
a) Si el discriminante es positivo, entonces la ecuación 
cuadrática tiene dos soluciones reales x1, x2 y distintas. 
La parábola intersecta 
en dos puntos al eje X. 
Δ > 0 
x1, x2 son reales y 
x x1 ≠ x2 2 x1
b) Si el discriminante es negativo, entonces la 
ecuación cuadrática no tiene solución real. 
La parábola NO intersecta 
al eje X. 
Δ < 0 
x1, x2 son complejos 
y conjugados 
x1 = x2
c) Si el discriminante es igual a cero, entonces la 
ecuación cuadrática tiene dos raíces reales e iguales. 
La parábola intersecta en 
un solo punto al eje X. 
Δ = 0 
x1, x2 son reales y 
x1 = x2 
x x2 1=
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Función y ecuación cuadrática

  • 1. Función y ecuación cuadrática Estándares: Pensamiento Numérico y Variacional Logros: - Identificar, comprensivamente, las características de la función cuadrática y su representación gráfica. - Determinar, con precisión, la solución de una ecuación cuadrática. - Plantear y resolver, creativamente, problemas que conducen a una ecuación cuadrática.
  • 2. Función cuadrática Ejemplo: Si f(x) = 2x2 + 3x + 1 Si f(x) = 4x2 - 5x - 2 a = 2, b = 3 y c = 1 a = 4, b = -5 y c = -2  
  • 3. Gráfica de una Función cuadrática La representación gráfica de una función cuadrática es una curva llamada parábola, la cual puede abrir hacia arriba o hacia abajo. En la función cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c , el coeficiente a indica si la parábola es cóncava hacia arriba o hacia abajo. Si a > 0, es cóncava hacia arriba Si a < 0, es cóncava hacia abajo
  • 4. En la función cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c , el coeficiente c indica la ordenada del punto donde la parábola intersecta al eje Y. x y c
  • 5. Ejemplo: En la función f(x) = x2 - 3x - 4 , a = 1 y c = - 4. Luego, la parábola intersecta al eje Y en el punto (0,- 4) y es cóncava hacia arriba. x y (0,-4)
  • 6. Eje de simetría y vértice El vértice de una parábola es el punto más alto o más bajo de la curva, según sea su concavidad. El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice de la parábola, y es paralela al eje Y. y Eje de simetría x Vértice
  • 7. Si f(x) = ax2 + bx + c , entonces: Su eje de simetría es: Su vértice es: 2a 2a V = -b , f -b -b , 4ac – b2 2a 4a V = -b 2a x =
  • 8. Ejemplo: En la función f(x) = x2 + 2x - 8, a = 1, b = 2 y c = - 8, -2 2·1 x = entonces: V = ( -1, f(-1) ) a) Su eje de simetría es: x = -1 -b b) Su vértice es: V = ( -1, -9 ) 2a x = -b , f -b 2a 2a V =    
  • 9. f(x) Eje de simetría: x = -1 Vértice: V = ( -1, -9 )
  • 10. Tipos de Gráficas de Funciones Cuadráticas
  • 11. ACTIVIDAD. Con ayuda del software Geogebra, traza las gráficas de las siguientes funciones en el mismo plano cartesiano, luego compáralas.
  • 12. ACTIVIDAD. Con ayuda del software Geogebra, traza las gráficas de las siguientes funciones en el mismo plano cartesiano, luego compáralas. 푓 푥 = 5푥2 ; 푔 푥 = 5푥2 + 2; ℎ 푥 = 5푥2 − 3
  • 15. Ecuación Cuadrática Una ecuación cuadrática o de segundo grado es de la forma: ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0 x2 x1
  • 16. x2 x y x1 Ejemplo: La ecuación x2 - 3x - 4 = 0 , tiene raíces -1 y 4. Luego, la parábola intersecta al eje X en esos puntos.
  • 19. Ecuaciones de la forma: ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0 Para solucionar una ecuación cuadrática de esta forma se puede resolver por factorización o utilizando la Fórmula General. - b ± b2 – 4ac 2a x = Ejemplo: Determinar las raíces de la ecuación: x2 - 3x - 4 = 0 -(-3) ± (-3)2 – 4·1(- 4) 2 x = 3 ± 9 + 16 2 x =
  • 20. 3 ± 25 2 x = x = 3 ± 5 2 x = 8 2 x = -2 2 x1 = 4 x2 = -1 También se puede obtener las raíces de la ecuación factorizando como producto de binomios: x2 - 3x - 4 = 0 (x - 4)(x + 1) = 0 (x - 4)= 0 ó (x + 1)= 0 x1 = 4 x2 = -1 
  • 21. Naturaleza de las Raíces de una ecuación cuadrática En una ecuación de segundo grado, el discriminante Δ = b2 - 4ac permite conocer la naturaleza de las raíces. a) Si el discriminante es positivo, entonces la ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales x1, x2 y distintas. La parábola intersecta en dos puntos al eje X. Δ > 0 x1, x2 son reales y x x1 ≠ x2 2 x1
  • 22. b) Si el discriminante es negativo, entonces la ecuación cuadrática no tiene solución real. La parábola NO intersecta al eje X. Δ < 0 x1, x2 son complejos y conjugados x1 = x2
  • 23. c) Si el discriminante es igual a cero, entonces la ecuación cuadrática tiene dos raíces reales e iguales. La parábola intersecta en un solo punto al eje X. Δ = 0 x1, x2 son reales y x1 = x2 x x2 1=