D

1. Κώστας Κουτσοβασίλης
Β Λυκείου
Άλγεβρα
Συστήματα

2. Άλγεβρα Β Λυκείου Συστήματα
Προτεινόμενες Ασκήσεις
Γραμμικά συστήματα –Μη γραμμικά συστήματα
 Γραμμικά συστήματα
1. Δίνεται η εξίσωση 3x+4y=7. Να υπολογίσετε το αR ώστε το ζεύγος (2α,α-1) να
είναι λύση της εξίσωσης.
2. Να προσδιορίσετε τα α και β στην εξίσωση αx+βy=5, ώστε τα ζεύγη (1,2) και
(-1,3) να είναι λύσεις της εξίσωσης αυτής.
3. Να βρεθεί το σημείο στο οποίο τέμνονται οι ευθείες:
ε1:αx+βy=α και ε2:βx+αy=β , α,β  0
4. Να υπολογίσετε τις ορίζουσες:
3
i.
2
4 ii.
5

0


iii.
 
 
 
 
iv.
x 
2

x 2
x 
2

x 2
5. Να λυθούν οι εξισώσεις:
x

i.
x 1
3 =0 ii.
2
2x 1
3
x  2
5
=0 iii.
3x 
1

x 2
3
=
2
x 3
4
x 1
2
6. Να λυθεί η ανίσωση:
1 0
3 x
1 
x
2
5x 1
2x 
1
3
 
2 3



7. Να λυθούν οι εξισώσεις:
α. 3x  2y 12  4x  3y 1  0 β. 2x  3y  2  x  2y  3  0
8. Να λυθούν για τις διάφορες τιμές του λ τα συστήματα:
i.
  
x 4y 2
  
x   y 
1
ii.
  
( 1)x 8y 4
   
x  (   1)y 
2
iii.
  
( 1)x 8y 4
    
x ( 3)y 3 1
      
iv.
x y 2
  
x y 2
     
v.
  
x 2y
   
(   1)x  y 
1
http://www.perikentro.blogspot.gr/ Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης
- 1 -

3. Άλγεβρα Β Λυκείου Συστήματα
9. Δίνεται το σύστημα
2x y 2
   
3x 2y 5
  
   
.
α. Να δείξετε ότι το σύστημα έχει λύση για κάθε λR
β. Να υπολογίσετε τα x και y.
γ. Για ποια τιμή του λ η λύση (x,y) που βρήκατε επαληθεύει τη σχέση x+y=5;
10 . Δίνονται οι ευθείες ε1:x-2y=-2 και ε2:λx-2y=-2.
α. Nα βρείτε τις σχετικές θέσεις των ε1 και ε2 για τις διάφορες τιμές του λR
β. Να βρείτε το λ για το οποίο τέμνονται κάθετα.
γ. Για το λ που βρήκατε να υπολογίσετε το εμβαδόν που σχηματίζεται από τις
ευθείες και τον άξονα x’x.
11. Να βρείτε τις τιμές των λ και μ για τις οποίες τα συστήματα
(Σ1):
  
(2 1)x 10 y 3
    
2x  4y 
5
(Σ2):
( 2)x ( 1)y 7
     
3x 6y 5
  
 
είναι συγχρόνως αδύνατα. (Εξετάσεις 1987)
12. Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους x, y ισχύει:
Dx+Dy=9D
Dx-Dy=5D
Aν το σύστημα έχει μοναδική λύση, να βρείτε τη λύση αυτή.
13. Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων x, y ισχύει:
Dx+Dy=7D
Dx-Dy=5D
Αν το σύστημα έχει μοναδική λύση να βρεθεί η λύση αυτή.
14. Αν σε ένα σύστημα () δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους x, y ισχύουν:
  
2D  3D  
D
x y
4D 7D 11D
   
x y
και το σύστημα έχει μοναδική λύση, να βρεθούν τα x, y .
15. Aν σε ένα γραμμικό σύστημα 2x2 ισχύει: D 2  D 2
 D 2
 2D  6D  4D 
14 x
y
x y
τότε αυτό να λυθεί.
16. Αν x και y λύσεις του συστήματος
x 2y
  
3x 4y 1
  
 
να βρεθούν οι τιμές του μR
οι οποίες επαληθεύουν την ανίσωση (x-1)2+(y-2)2<8.
http://www.perikentro.blogspot.gr/ Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης
- 2 -

4. Άλγεβρα Β Λυκείου Συστήματα
17. Έστω το σύστημα
  
x y 1
  
x  (1   )y 
0
με α πραγματικό.
Να βρεθεί το α ώστε το σύστημα να έχει μοναδική λύση (xo,yo) για την οποία
ισχύει: xo<yo+1.
18. Δίνεται το σύστημα
  
x y 2
  
4x   y 
4
α. Για ποιες τιμές του λ έχει μοναδική λύση την (x0 ,y0 ).
β. Για ποιες τιμές του λ συναληθεύουν οι ανισώσεις x0>2 και y0>0.
19. Έστω ένα σύστημα 2 x 2 με αγνώστους x και ψ για το οποίο ισχύει
D  D  3D.
x  Αν το σύστημα έχει μοναδική λύση ( xo , ψο ) να αποδείξετε ότι:
α. xo+3yo=1
β. xo
2-9yo
2=
Dx 
3Dy D
20. Έστω ένα σύστημα 2 x 2 με αγνώστους x και ψ για το οποίο ισχύει:
2 2 2  
x x D D D 5 2 D 2D      
α. Να αποδείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση.
β. Να βρείτε την μοναδική λύση.
x y 1
  
 
21. Δίνεται το σύστημα .
x 2y
:
  

α. Δείξτε ότι έχει μία μοναδική λύση για κάθε τιμή του μ.
β. Να βρεθεί η μοναδική λύση (x , y ). 1 1
γ. Να βρείτε για ποιες τιμές του μ ισχύει (x 2) (y 1)2 8.
 2
  
1 1
22. Δίνεται το σύστημα
( 1)x 2 y 2
: και D η ορίζουσα των
  
  
     
2  x  (   1)y   
1

συντελεστών.
Αν η εξίσωση x2  5(D1)x  6(D1)2  0 έχει μία ρίζα διπλή:
α. Να βρεθεί το λ.
β. Να λυθεί το σύστημα .
23. Να λυθούν τα συστήματα: i.
2x+y-z=5
x+y+3z=3
-x+4y+2z=2

ii.
x-2y+z=-3
2x+y+2z=4
x+2y+z=3

http://www.perikentro.blogspot.gr/ Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης
- 3 -

5. Άλγεβρα Β Λυκείου Συστήματα
 Μη γραμμικά συστήματα
24. Να λυθούν τα παρακάτω συστήματα:

 
3 x  6 y 
7
i. .
2 x  4 y  
1
ii.

 
x 2 y 3
 
3 x  4 y 
11
25. Να λυθούν τα παρακάτω συστήματα:
i.

 

 

2
 
y
2
 
7
12
5
12
y
1
x
3
x
ii.

 

 

2
 
y
3
 
23
23
2
y
5
x
4
x
iii.

 

 


3
7
 
5
y 
3
4
y 
3



3
x 
7
5
x 
7
26. Να λυθούν τα παρακάτω συστήματα:
i.
8x2 y2 16
  
y 
2x
 
ii.
  
x2 2xy y2 1
  
x  2y 
2
iii.

 
3 x 3 5 y 4 7
    
5 x  3  4 y  4  
3
 Ερωτήσεις Συμπλήρωσης Κενού
Να συμπληρωθούν τα κενά στις παρακάτω προτάσεις
1. Γραμμική εξίσωση
 Η εξίσωση αχ+βψ=γ λέγεται .......
 Η εξίσωση ψ=κ παριστάνει ευθεία ......
 Η εξίσωση χ=κ παριστάνει ευθεία .............και δεν είναι …………..
2. Συστήματα δύο γραμμικών εξισώσεων θεωρούμε τις παρακάτω δύο γραμμικές
εξισώσεις
αx+βy=γ
α΄x+β΄y=γ΄
 Οι εξισώσεις αυτές μαζί λέμε ότι αποτελούν ..........
 Τα διατεταγμένα ζεύγη (χ,ψ) που επαληθεύουν και τις δύο εξισώσεις λέμε ότι
είναι ............
 Γραφική λύση ενός συστήματος είναι ..............
 Η διαδικασία εύρεσης των λύσεων ενός συστήματος λέγεται ..............
http://www.perikentro.blogspot.gr/ Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης
- 4 -

6. Άλγεβρα Β Λυκείου Συστήματα
 Γνωστές μέθοδοι επίλυσης είναι:
i. μέθοδος αντικαταστάσεως κατά την οποία .........................................................
ii. μέθοδος των αντιθέτων συντελεστών κατά την οποία .........................................
3. Σύστημα αδύνατο
 Λέμε ότι ένα σύστημα είναι αδύνατο όταν ......................................................
 Οι ευθείες που παριστάνουν οι εξισώσεις ενός αδύνατου συστήματος είναι
...........................................................
4. Σύστημα με άπειρες λύσεις ή αόριστο
Είναι το σύστημα που επαληθεύεται με άπειρα διατεταγμένα ζεύγη και οι ευθείες
που παριστάνουν οι εξισώσεις ενός αορίστου συστήματος
...............................................
5. Ισοδύναμα λέγονται δυο συστήματα όταν έχουν ..................................................
.
6. Ορίζουσα D του συστήματος
αχ+βψ=γ
α΄χ+β΄ψ=γ΄
λέγεται η παράσταση ........................
δηλ. D= ..................
7. Η ορίζουσα Dχ προκύπτει από την ορίζουσα D αν ....................................
8. Η ορίζουσα Dψ προκύπτει από την ορίζουσα D αν .................................
9. Λύση και διερεύνηση του συστήματος
αχ+βψ=γ
α΄χ+β΄ψ=γ΄
Αν D0 τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση την .............................................
 Αν D=0 και Dx0 ή Dψ0 τότε το σύστημα είναι .......................................
 Αν D=Dx=Dψ=0 τότε:
i. είναι αόριστο αν ένα τουλάχιστον από τα ................................... είναι 0
ii. είναι αδύνατο αν α=α΄=β=β΄=0 και ένας τουλάχιστον από τους ...............είναι 0
http://www.perikentro.blogspot.gr/ Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης
- 5 -

7. Άλγεβρα Β Λυκείου Συστήματα
 Ερωτήσεις Σωστού -Λάθους
Να χαρακτηρίσετε με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις:
1. Οι ευθείες x=κ και y=λ , κ, λR είναι κάθετες
Σ Λ
2. Η εξίσωση αx2+βy=γ είναι γραμμική
Σ Λ
3. Η εξίσωση x y  1



είναι γραμμική
Σ Λ
4. Η εξίσωση αx+βy=γ παριστάνει πάντοτε ευθεία
Σ Λ
5. Οι εξισώσεις y=κ και x=κ είναι εξισώσεις δύο σταθερών
συναρτήσεων
Σ Λ
6. Η λύση του συστήματος x=y και x+αy=β βρίσκεται στη διχοτόμο 1ου 3ου
τεταρτημορίου
Σ Λ
7. Το σύστημα
  
x y 1
 
2x  2y 
4
είναι αδύνατο.
Σ Λ
8. Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α,β,κ,λ το σύστημα
  
x y 0
   
 x   y 
0
είναι
αδύνατο.
Σ Λ
9. Η εξίσωση κx+(κ-1)y=1 παριστάνει για κάθε κR ευθεία.
Σ Λ
10. Το σύστημα
  
0x 0y 0
 
0x 0y
  
είναι αδύνατο για κάθε αR.
Σ Λ
http://www.perikentro.blogspot.gr/ Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης
- 6 -

8. Άλγεβρα Β Λυκείου Συστήματα
11. Το σύστημα
x y
   
x   y
 
έχει μια μόνο λύση για κάθε α, β, γR.
Σ Λ
12. Το σύστημα
  
x y
    
x y
    
, λ0 είναι αόριστο για κάθε α, β, γR
Σ Λ
13. Για το σύστημα
  
x y
    
x y
    
ισχύει :
i. Dx
2+Dψ
2+D2=0 τότε το σύστημα είναι αόριστο
Σ Λ
ii. έχει δύο λύσεις τότε είναι αόριστο
Σ Λ
iii. D=0 και Dx0 τότε είναι αδύνατο
Σ Λ
iv. γ=γ΄=0 τότε δεν μπορεί να είναι αδύνατο
Σ Λ
14. Το σύστημα
  
x 0y
   
 x  0y
 
με α,κ0
έχει λύσεις μόνο αν Dψ=0
Σ Λ
15. Αν D=Dx=Dψ=0 και α0 τότε το σύστημα έχει λύσεις
 
της μορφής ( , )

με κR
Σ Λ
16. Αν ένα σύστημα έχει μια μόνο λύση τότε D0
Σ Λ
17. Αν ένα σύστημα είναι αδύνατο τότε D=0 και Dx0 ή Dψ0
Σ Λ
18. Το σύστημα είναι αόριστο  D=Dx=Dψ=0
Σ Λ
http://www.perikentro.blogspot.gr/ Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης
- 7 -