La complexité des algorithmes récursivesGéométrie algorithmique

1. La complexité des
algorithmes récursives
Géométrie algorithmique
Hajer TRABELSI
Master de recherche MR1-IMD/ISAMM
Juin 2014
1

2. Contexte
 Aujourd'hui la complexité est devenue un élément important
2
dans plusieurs domaine.
 Géométrie algorithmique est un domaine relativement récent né
autour des années 70s, dont le but est d'étudier les propriétés
des objets géométriques.
 Elle joue un rôle fondamental dans un grand nombre de
domaines tels que le robotique, conception assistée par
ordinateur, " design" industriel, image de synthèse, jeux vidéo...
 Cela explique l’importance algorithmique des problèmes
géométriques.
 Nous nous intéressons de la complexité des algorithmes
dans ce domaine.
La complexité des algorithmes récursives
Géométrie algorithmique

3. Plan
 Géométrie algorithmique
 Enveloppe convexe
 Algorithmes
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 Diviser pour régner (Divide-and-conquer)
 Recherche Binaire (Binary search)
 Théorèmes générales
 Conclusion
La complexité des algorithmes récursives
Géométrie algorithmique

4. Géométrie algorithmique
 C’est le domaine qui traite des algorithmes manipulant
des concepts géométriques.
 « C’est l'art d'accommoder ensemble les objets
géométriques élémentaires pour en faire des objets plus
élaborés. » - Olivier Devillers - [10]
 L'exemple le plus cité étant celui de l'enveloppe
convexe : on a au départ des points dans le plan, et on
cherche à organiser ces points, en l'occurrence à trouver
le plus petit polygone qui contienne tous les points, et
soit convexe.
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Géométrie algorithmique

5. Géométrie algorithmique
Historique :
 Vers les 70s: Premiers algorithmes pour résoudre les
problèmes géométriques.
 1976: Première thèse de doctorat en géométrie
algorithmique (Michael Shamos)
 1985: First Annual ACM Symposium on Computational
Geometry.
 1996: CGAL: 1ère implémentation des algorithmes
efficaces.
 1997: Le premier « handbook on computational
geometry » voit le jour (le second en 2000). [5]
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Géométrie algorithmique
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6. Enveloppe convexe
 L'enveloppe convexe (convex hull)
d'un ensemble S est le plus petit
ensemble CH(S) convexe,
contenant S.
 C'est aussi l'intersection de tous
les ensembles convexes contenant
S.
 Un ensemble S est convexe si pour
toute paire de points a, b Є S, le
segment ab Ϲ S.
X
✔
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7. Enveloppe convexe
 Soit P un ensemble de n
points du plan.
 On souhaite calculer
l'enveloppe convexe de
cet ensemble.
 C'est le polygone (fermé)
dont les sommets
appartiennent à P et qui
contient tous les points
de P.
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8. Enveloppe convexe
 Il peut être utilisée dans plusieurs cas.
 Exemple: si on a une antenne radio qui doit couvrir un
certain nombre de points, on va chercher la meilleure
place pour positionner cette antenne.
 Cela revient à trouver la plus petite ellipse contenant
les points. Comme cette ellipse est convexe, il est clair
que seuls les points de l'enveloppe convexe vont jouer
un rôle.
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Géométrie algorithmique

9. Algorithmes…
 Pour parvenir au résultat recherché, il faut maintenant
expliquer à la machine la recette.
 l'algorithme.
 Plusieurs algorithmes et techniques s’interviennent…
9
Entrée = ensemble de points P
p1 , p2 , p3 , p4 , p5 , p6 , p7 , p8 ,
p9 , p10 , p11
Sortie = enveloppe convexe CH(P)
p7 , p2 , p3 , p8 , p6 , p10
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10. Diviser pour régner (Divide-and-
conquer)
 Idée:
 Diviser l’ensemble des éléments en deux groupes.
 Déterminer pour chaque ensemble l’enveloppe convexe
selon une méthode récursive.
 Fusionner les deux enveloppes.
 Fusion de l’enveloppe:
 Trouver les tangentes reliant les enveloppes
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Géométrie algorithmique

11. Diviser pour régner (Divide-and-
conquer)
6 2 1 7 0 4 5 3
6 2 1 7 0 4 5 3
11
6 2 1 7 0 4 5 3
6 2 1 7 0 4 5 3
N=8
N=4
N=2
N=1
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12. Diviser pour régner (Divide-and-
conquer)
0 1 2 3 4 5 6 7
1 2 6 7 0 3 4 5
2 6 1 7 0 4 3 5
12
6 2 1 7 0 4 5 3
6 2 1 7 0 4 5 3
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13. Diviser pour régner (Divide-and-
conquer)
 Le problème se divise en
deux sous-problèmes de
taille approximative n/2.
 2 T(n/2)
 La division et la fusion sont
effectués en un temps D(n)
et C(n).
 O (n).
 Par conséquent, le temps
d'exécution de l'algorithme
est en  O(n log n).
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14. Recherche Binaire (Binary
search)
 Elle peut être vue comme une divide-and-conquer
méthode.
 Chaque itération élimine la moitié des possibilités
restantes.
 Cela rend les recherches binaires très efficace.
 Elle nécessite une collecte sélective.
 Cela signifie la collecte doit être triés avant de chercher.
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15. Recherche Binaire (Binary
search)
Chercher l’élément x=14
15
✔
111 222 555 777 888 111111 111222 111444 111777
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16. Recherche Binaire (Binary
search)
Principe dichotomie :
 À chaque étape d’itération,
l’intervalle de recherche doit
être divisé par deux.
 T(n/2)
 Le test est en  O(1).
 Le temps d’exécution est en
 O(log n).
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17. Autres…
 Brute Force
 Algorithme de la ficelle (Jarvis)
 Gift Wrapping
 Quickhull
 …
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18. Théorèmes générales
 n : la taille du problème
 a : le nombre des sous
problèmes dans la
récursivité.
 n/b : la taille de chaque
sous-problème.
 f : le coût des traitement
que l'algorithme fait en
dehors des appels
récursifs.
 Si a≥1 , b>1 alors
T(n) = aT(n/b) + f(n)
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19. Théorèmes générales
(Démonstration: voir [1])
La complexité des algorithmes récursives
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20. Théorèmes générales
La complexité des algorithmes récursives
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21. Conclusion
 La géométrie algorithmique est un domaine vague
contenant plusieurs algorithmes qui traitent des
concepts géométriques.
 Parmi ces algorithmes, il y’a ceux qui traitent l’enveloppe
convexe.
 Ils permettent d’organiser des points/ des éléments dans
un plan.
 Des techniques sont utilisées par ces algorithmes.
 Nous avons cité le « divide-and-conquer » et le « binary
search ».
 Pour calculer la complexité des algorithmes, il y’a des
théorèmes qui peuvent s’appliquer dans le domaine de la
géométrie algorithmique.
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Géométrie algorithmique

22. Merci pour votre attention

22 La complexité des algorithmes récursives
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23. Bibliographie
[1]: Complexity of recursive algorithms, Computational Geometry, Vera
Sacristan
[2]: Computational Geometry: from Theory to Applications (2013/14) -
Luca Castelli Aleardi et Steve Oudot
[3]: Computational Geometry: Algorithms and Applications, Third Edition
(March 2008), Mark de Berg, Otfried Cheong, Marc van Kreveld, Mark
Overmars, published by Springer-Verlag
[4]: https://interstices.info/algorithme-geometrique
[5]: Les enveloppes convexes en géométrie algorithmique, Achraf Othman
[6]: Les enveloppes convexes en géométrie algorithmique, Achraf Othman
[7]: Computational Geometry:Convex Hulls
[8]: http://www.youtube.com/watch?v=NQMUQpmurFI
[9]: Master Theorem: Practice Problems and Solutions
[10]: Un joli algorithme géométrique et ses vilains problèmes numériques,
Olivier Devillers, 2006
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