Recomendados
Mais conteúdo relacionado
Mais de Maija Liepa
Mais de Maija Liepa (20)
4.1.funkcijas
- 1. Viena argumenta funkcija Click here to add text Click here to add text. Click here to add text. Click here to add text. Click here to add text. Click here to add text. Click here to add text.
- 2. Funkcijas skaidrojums • Ja katram kopas X elementam x pēc noteikta likuma piekārtots (piesaistīts) ne vairāk kā viens kopas Y elements, tad šo atbilstību starp kopām sauc par funkciju.
- 4. Apvērstā (inversā) funkcija • Ja katram skaitlim y0 no funkcijas f vērtību apgabala pēc noteikta piekārtojuma likuma f –1 atbilst tikai viens skaitlis x0 no funkcijas f definīcijas apgabala, kas ir tieši tā x vērtība, ar kuru f(x0)=y0, tad funkciju y=f(x) sauc par apvēršamu funkciju un x=f – 1(y) sauc par funkcijas y= f(x) apvērsto jeb inverso funkciju.
- 9. f(x + a)
- 11. f(ax)
- 13. f(x)+a
- 15. af(x)
- 20. Funkciju kompozīcija – salikta funkcija • Funkciju F sauc par funkciju f(x)=y, un g(u)=z kompozīciju, ja visiem x funkcijas F vērtības aprēķina pēc formulas F(x)=g(y) jeb F(x)=g(f(x)).
- 21. Pāra un nepāra funkcijas • Funkciju f sauc par pāra funkciju, ja f(-x) = f(x) visiem x D(f). • Funkciju f sauc par nepāra funkciju, ja f(-x) = f(x) visiem x D(f).
- 23. Periodiskas funkcijas • Funkciju f sauc par periodisku funkciju ar periodu T ≠ 0 , ja katram x D(f) ir pareiza vienādība f(x+T) = f(x). • Par funkcijas periodiem der arī skaitļi nT , kur n Z. Vismazāko no šiem skaitļiem sauc par mazāko pozitīvo periodu.
- 24. Funkciju pētīšana • definīcijas apgabals • funkcijas vērtību apgabals; • tās argumenta vērtības, pie kurām funkcijas vērtība ir nulle un “bezgalība” – krustpunkti ar x asi; • tās funkcijas vērtības, kuras ir pie argumenta vērtības nulle – krustpunkti ar y asi; • funkcijas vērtības pozitīvās un negatīvās vērtības; • funkcijas augšanas un dilšanas apgabali; • periodiskums; • maksimums un minimums.
- 26. • www.goerudio.com • http://www.de.dau.lv/matematika/vallievad s2ht/node19.html
Notas do Editor
- Dzīvē mēs novērojam milzum daudz situāciju, kurās vienas lietas piekārtojam citām. Pildspalvām piekārtojas uzgalīši, automobiļu riteņu diskiem – riepas, stila ēdamgaldam – attiecīga stila krēsli un trauki utt. Visbiežāk lietas piekārto noteiktā kārtībā nevis kā pagadās, piemēram, siļķei uz šķīvja nepievieno medu, bet piegriež sīpolu. Jānim vecās krosenes jau galīgi noskrandušas, un viņš dodas uz apavu veikalu. Uzmērīja vienas, bet tās par lielām, uzmērīja citas, bet tās par mazām. Pa vasaru Jāņa kāja bija izaugusi, un tas izmērs, ko viņš atcerējās vairs nederēja. Beidzot īstā izmēra krosenes tika nopirktas, un arī piekārtojums ir noticis. Jāņa kājām ir piekārtotas jaunas krosenes. Piekārtojumu šajā gadījumā nosaka izmēru atbilstība, jo maza izmēra apavu lielai pēdai neuzstīvēsi un pamatīgi liela kurpe no mazas kājas krīt nost. Mums ir darīšana ar dažāda izmēra un formas kājām, kā arī ar dažāda izmēra un fasona kurpēm. Lai šādas lietu čupas iedabūtu savā teorijā, matemātiķi savstarpēji vienojas lietu kopumu, kurām ir kāda kopīga īpašība, nosaukt par kopu. Mūsu gadījumā būs kāju kopa un kurpju kopa.Prasību pēc piekārtojuma vai piekārtojuma likuma, kas nosaka, ka vienām lietām mēģina piekārtot citas, matemātikā nosauc par funkciju. Tikko minētajā piemērā ar Jāņa krosenēm piekārtojuma likums ir apavu un kāju izmēru atbilstība, bet galdam un krēsliem tas ir stils. Kurpes var piemērot ar lāpstiņu vai mocīties bez tās, tas viss attiecas uz piekārtojuma likuma izvēli.
- Piekārtojuma likumu var lasīt arī no otra gala un to tad sauc par apvērsto (inverso) funkciju. Piemēram, krosenēm piekārtosim Jāni un citus pircējus. Lai pārāk nesarežģītu dzīvi, norunā, ka vienai mantai piekārtos tikai vienu. Jānis krosenes veikalā uzmērīja ar domu, ka tās derēs viņa kājām. Jānis varbūt varēja izvēlēties tādu veikalu, kurā iepērkas tikai basketbolisti ar milzu pēdām. Tur Jānis nekādi nevarēs piemeklēt apavus savām, normāla izmēra kājām. Ja piekārtojuma likumā ir prasīts izmērs kādu nevar atrast, tad nekas no piekārtojuma nesanāks. Var būt arī tādas krosenes, kuras neder nevienai kājai, piemēram, dažreiz tādas milžu kurpes izgatavo reklāmas nolūkam. Tas pats ir demonstrējams, paņemot kaudzi lodīšu pildspalvu un kaudzi dažādu to uzgalīšu (vāciņu). Jārēķinās, ka pildspalvai var uzmaukt tikai tās izmēriem atbilstošu vāciņu, tātad piekārtojuma likums ir izmērs (var būt arī izmērs un krāsa utt.). Pircēji apavu veikalā kājām mēģina piekārtot apavus, piemēram, krosenes. Kamēr ir kājas, tikmēr ir krosenes un runa par izmēriem. Jānis apavus mēra tieši uz savām kājām, un tieši izmērs nosaka, kā tiks izvēlēti konkrēti apavi – Jāņa gadījumā tās būs derīgā izmēra krosenes. Matemātiķi lietu, kuru izvēlās pirmo, lai tai piekārtotu citu lietu, sauc par argumentu. Ja konkrēti paņemta pirmā lieta, tad tā ir argumenta vērtība. To konkrēto lietu kaudzi, kurām ir bijis, ko piekārtot ar dotā piekārtojuma likuma palīdzību, nosauc par funkcijas definīcijas apgabalu. Pircēju kājas vispār ir arguments, bet Jāņa vai cita pircēja kājas ir jau argumenta vērtības. Tās lietas, kuras mēģina ar piekārtojuma likuma palīdzību piekārtot pirmajām, sauc par funkcijas vērtībām, kur piekārtoto lietu kaudzi dēvē par funkcijas vērtību apgabalu. Jāņa jaunās krosenes vai citam pircējam derīgās krosenes ir funkcijas vērtības. Tad kad piekārtojums ir paveikts esam dabūjuši skaistus lietu pārus, kur viena no lietām ir tā, kurai piekārto, bet otra, kuru piekārto. Visi šie pāri kopā tiek saukti par funkcijas grafiku (visu pircēju pēdas kopā ar krosenēm).
- Funkcijas vērtības mums būs stacijas (attālumi līdz tām), bet laiks argumenta vērtības.Vilciens atgājis divas stundas agrāk, skatāmies kur atrodas vilciens pēc saraksta. Ja pulkstenis rāda deviņi, tad notiek tas, kam bija jānotiek vienpadsmitos, bet, ja pulkstenis rāda trīs, tad notiek tas, kam bija jānotiek piecos utt. Tātad, ja vilcienam no Tibijas stacijas ir jāatiet pulksten sešos pēc saraksta, tad tagad tam ir jāatiet pulksten četros. Apskatām līkni f(x+a) gadījumā. Arī visai līknei tāpat būtu jāpabīdās pa x asi uz kreiso pusi. Pašlaik visa saruna bija par to, ka divas stundas ir jāpieliek nevis jātņem, tāpat arī a ir šajā piemērā domāts lielāks par 0. Viegli ievērot, ka, laižot vilcienu divas stundas agrāk, viss vilcienu saraksts it kā pabīdās pa labi nevis pa kreisi un tas pats notiek ar līkni, kas pavirzās a iedaļas pa kreisi. Uzmanību! Lineārām funkcijām bīdīšana uz augšu/leju dod ekvivalentu rezultātu bīdīšanai pa kreisi/labi, bet citām funkcijām šīs bīdīšanas dod būtiski atšķirīgus rezultātus.
- Tagad būs pavisam traki, jo katru pulksteņa rādījumu būs jāreizina ar, piemēram, divi, trīs vietā būs seši, bet piecu vietā būs desmit. Vilciens ies divas reizes ātrāk. Tagad paskatīsimies, kas notiek, ja f(ax). Ja skatāmies uz līkni, tad ievērojam, ka tajā vietā, kur līkne krusto y asi x ir 0 un a0 = 0, kas nozīmē to, ka šī vieta nu gan nekustēsies ne par matu, toties viss pārējais tāpat kā vilciena sarakstā notiek a reizes ātrāk un līkne no abām pusēm saspiežas uz y ass pusi. Protams, tas viss der, ja a > 1 un ir pozitīvs. Ja a < 1, tad viss notiksaa < 0 līkne ap y asi apmetas kā vēja rādītājs, jo tie x, kas bija pozitīvi kļūst negatīvi un otrādi. reizes vēlāk un līkne izstiepsies kā noguris tārps, bet tad, kadJa neticat, tad paskatieties uz vilciena sarakstu. Par negatīvu laiku raksta tikai fantastikas grāmatās, taču ja mums atiešanas laiki tādā fantastiskā sarakstā ir uzdoti negatīvi, tad pareizinot tos ar, piemēram, –3 iegūstam visnotaļ reālu vilciena sarakstu ar normāliem atiešanas laikiem.
- Tagad apskatīsim gadījumu, kurā vilcieni it kā pārlec pa kādai stacijai uz priekšu vai atpakaļ. Ņemam atkal savu vilciena sarakstu un uzskatām, ka tagad Tibijas stacijas vietā, no kuras vilcienam ir jāatiet pulksten sešos ierakstīsim nākamo – Mobas staciju utt. Iznāks, ka no dažām sākuma stacijām vilciens vispār neaties, bet, ja uzskatām, ka vilciens noteikti brauc kādu stundu skaitu, tad kādas stacijas var pietrūkt. Līknes gadījumā f(x)+a katra funkcijas vērtība tiek palielināta (protams, ja a > 0) par a un viss līkums pabrauc gar y asi uz augšu tieši par a iedaļām. Ja a < 0, tad visa līkne brauc uz leju.
- Ja nu vienas vai dažu staciju vietā mūsu sienāžvilciens sāks lēkt uz vairāk reižu tālākām stacijām, tad var iznākt, ka gala stacijā mēs nonākam laikā, kad bija paredzēts tikai nonākt nākošajā stacijā.Līknes gadījumā af(x) nozīmē katras funkcijas vērtības palielināšanu a reizes (ja a<1, tad attiecīgi samazināšanu) un līkumu izstiepj gar y asi, bet visi tie punkti, kuros līkne krustoja x asi paliek uz vietas, jo uzx ass kā zināms y = 0, ay = a0 = 0.Ja a < 0, tad visa līkne kā vēja rādītājs, apmetas ap x asi.
- Ņemsim kā piemēru kādu kolēģi un mēģināsim noteikt, pie kādas barības viņš zaudē svaru un pie kādas uzbarojas. Vēl mūs interesēs, cik ātri viņš to dara. Ja barosim ar austerēm (kaloriju daudzums tajās ir ļoti mazs), tad, attiecīgi bieži sverot, noskaidrosim, kā viņš izkritīsies, bet, barojot ar saldu krējumu un cūkas speķi, varēsim redzēt, kā viņš pieņemsies svarā. Piekārtojuma likums šeit ir vienkāršs – barībai tiek piekārtots svara pieaugums vai samazinājums. Uzbarošanās vai izkrišanās ātruma un barības, kuru ēdot notiek šādas izmaiņas, pētīšanu varam uzskatīt par pietiekami labu ilustrāciju funkciju pētīšanai.