Cálculo Estocástico Elementar

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Cálculo Estocástico Elementar

  1. 1. Draft Cap´ ıtulo de Introdu¸˜o ` Simula¸˜o Estoc´stica ca a ca a Th´rsis T. P. Souza a t.souza@usp.br Instituto de Matem´tica e Estat´ a ıstica Universidade de S˜o Paulo a 29 de outubro de 2012Th´rsis T. P. Souza (USP) a Introdu¸˜o ` Simula¸˜o Estoc´stica ca a ca a 29 de outubro de 2012 1 / 36
  2. 2. Agenda1 Preliminares2 Equa¸˜es Diferenciais Estoc´sticas co a3 Solu¸˜es Num´ricas co e Th´rsis T. P. Souza (USP) a Introdu¸˜o ` Simula¸˜o Estoc´stica ca a ca a 29 de outubro de 2012 2 / 36
  3. 3. Agenda1 Preliminares2 Equa¸˜es Diferenciais Estoc´sticas co a3 Solu¸˜es Num´ricas co e Th´rsis T. P. Souza (USP) a Introdu¸˜o ` Simula¸˜o Estoc´stica ca a ca a 29 de outubro de 2012 3 / 36
  4. 4. Processos Estoc´sticos aDefini¸˜o [Mikosch, 1999] caUm Processo Estoc´stico X ´ uma cole¸˜o de vari´veis aleat´rias a e ca a o (Xt , t ∈ T ) = (Xt (ω), t ∈ T , ω ∈ Ω),definido em um espa¸o Ω. c Th´rsis T. P. Souza (USP) a Introdu¸˜o ` Simula¸˜o Estoc´stica ca a ca a 29 de outubro de 2012 4 / 36
  5. 5. Processos Estoc´sticos aUm Processo Estoc´stico X ´ uma fun¸˜o de duas vari´veis. a e ca aPara um valor fixo de tempo t, X ´ uma vari´vel aleat´ria: e a o Xt = Xt (ω), ω ∈ Ω.Para uma amostra aleat´ria ω ∈ Ω, X ´ uma fun¸˜o do tempo: o e ca Xt = Xt (ω), t ∈ T . Th´rsis T. P. Souza (USP) a Introdu¸˜o ` Simula¸˜o Estoc´stica ca a ca a 29 de outubro de 2012 5 / 36
  6. 6. Esperan¸a e Covariˆncia c aDefini¸˜o caSeja X = (Xt , t ∈ T ) um processo estoc´stico. aA fun¸˜o de esperan¸a de X ´ dado por ca c e µX (t) = E [Xt ], t ∈ T .A fun¸˜o de covariˆncia de X ´ dado por ca a e cX (t, s) = cov (Xt , Xs ) = E [(Xt − µX (t))(Xs − µX (s))], t, s ∈ T .A fun¸˜o de variˆncia de X ´ dado por ca a e 2 σX (t) = cX (t, t) = var (Xt ), t ∈ T . Th´rsis T. P. Souza (USP) a Introdu¸˜o ` Simula¸˜o Estoc´stica ca a ca a 29 de outubro de 2012 6 / 36
  7. 7. Incrementos Estacion´rios e Independentes aDefini¸˜o [Mikosch, 1999] caSeja X = (Xt , t ∈ T ) um processo estoc´stico e T ⊂ R um intervalo. X ´ a edito ter incrementos estacion´rios se a d Xt − Xs = Xt+h − Xs+h , para todo t, s ∈ T e t + h, s + h ∈ T .X ´ dito ter incrementos independentes se para cada escolha de ti ∈ T ecom t1 < . . . < tn e n ≥ 1, Xt2 − Xt1 , . . . , Xtn − Xtn−1s˜o vari´veis aleat´rias independentes. a a o Th´rsis T. P. Souza (USP) a Introdu¸˜o ` Simula¸˜o Estoc´stica ca a ca a 29 de outubro de 2012 7 / 36
  8. 8. Incrementos Estacion´rios e Independentes aExemploSeja ξ1 , ξ2 , . . . uma sequˆncia de vari´veis aleat´rias independentes e e a oidenticamente distribu´ ıdas. Ent˜o a Xn = ξ1 + ξ2 + . . . + ξn´ um processo estoc´stico de incremento estacion´rio e independente eme a arespeito a n. Th´rsis T. P. Souza (USP) a Introdu¸˜o ` Simula¸˜o Estoc´stica ca a ca a 29 de outubro de 2012 8 / 36
  9. 9. Incrementos Estacion´rios e Independentes aExemploExiste um processo Xt de incremento estacion´rio e independente tal que atodo incremento ´ uma vari´vel aleat´ria normal, i.e. e a o Xt+∆t − Xt ∼ N (0, ∆t).Al´m disso, Xt deve possuir uma distribui¸˜o de probabilidade normal, i.e. e ca Xt ∼ N (0, t). Th´rsis T. P. Souza (USP) a Introdu¸˜o ` Simula¸˜o Estoc´stica ca a ca a 29 de outubro de 2012 9 / 36
  10. 10. Passeio Aleat´rio oDefini¸˜o caSeja {Xk }∞ uma sequˆncia de vari´veis aleat´rias discretas k=1 e a oidenticamente distribu´ ıdas. Para cada inteiro positivo n, denotamos Sncomo a soma X1 + X2 + . . . + Xn . A sequˆncia {Sn }∞ ´ chamada de e n=1 ePasseio Aleat´rio. oPropriedadeIncrementos em um Passeio Aleat´rio s˜o independentes e identicamente o adistribu´ ıdos. Th´rsis T. P. Souza (USP) a Introdu¸˜o ` Simula¸˜o Estoc´stica ca a ca a 29 de outubro de 2012 10 / 36
  11. 11. Processo de WienerDefini¸˜o [Mikosch, 1999] caUm processo estoc´stico B = (Bt , t ∈ [0, ∞)) ´ chamado Processo de a eWiener ou Movimento Browniano Padr˜o se: a O processo tem seu in´ em zero: B0 = 0; ıcio Possui incrementos estacion´rios e independentes; a Para todo t > 0, Bt tem uma distribui¸˜o normal N (0, t). ca Th´rsis T. P. Souza (USP) a Introdu¸˜o ` Simula¸˜o Estoc´stica ca a ca a 29 de outubro de 2012 11 / 36
  12. 12. Processo de WienerSegue da defini¸˜o que um Movimento Browniano tem uma fun¸˜o de ca caesperan¸a c µB (t) = E [Bt ] = 0, t ≥ 0,e como os incrementos Bs − B0 = Bs e Bt − Bs s˜o independentes para at > s, sua fun¸˜o de covariˆncia ´ ca a e 2 cB (t, s) = E [[(Bt − Bs ) + Bs ]Bs ] = E [(Bt − Bs )Bs ] + E [Bs ] = E (Bt − Bs )E [Bs ] + s = 0 + s = s, 0 ≤ s < t. Th´rsis T. P. Souza (USP) a Introdu¸˜o ` Simula¸˜o Estoc´stica ca a ca a 29 de outubro de 2012 12 / 36
  13. 13. Movimento Browniano com DriftDefini¸˜o [Mikosch, 1999] caConsidere o processo Xt = µt + σBt , t ≥ 0,com constantes σ > 0 e µ ∈ R. X ´ chamado de Movimento Browniano ecom drift (linear) e possui as seguintes fun¸˜es de esperan¸a e covariˆncia, co c arespectivamente µX (t) = µt e cX (t, s) = σ 2 s, s, t ≥ 0 com s < t Th´rsis T. P. Souza (USP) a Introdu¸˜o ` Simula¸˜o Estoc´stica ca a ca a 29 de outubro de 2012 13 / 36
  14. 14. Movimento Browniano Geom´trico eDefini¸˜o [Mikosch, 1999] caConsidere o processo Xt = e µt+σBt , t ≥ 0,com constantes σ > 0 e µ ∈ R. X ´ chamado de Movimento Browniano eGeom´trico e possui as seguintes fun¸˜es de esperan¸a e covariˆncia, e co c arespectivamente 2 )t µX (t) = e (µ+0.5σ e (µ+0.5σ 2 )(t+s) 2 s−1 cX (t, s) = e (e σ ), s, t ≥ 0 com s < t Th´rsis T. P. Souza (USP) a Introdu¸˜o ` Simula¸˜o Estoc´stica ca a ca a 29 de outubro de 2012 14 / 36
  15. 15. Agenda1 Preliminares2 Equa¸˜es Diferenciais Estoc´sticas co a3 Solu¸˜es Num´ricas co e Th´rsis T. P. Souza (USP) a Introdu¸˜o ` Simula¸˜o Estoc´stica ca a ca a 29 de outubro de 2012 15 / 36
  16. 16. Integral de Itˆ oConsidere a seguinte equa¸˜o ca t t X (t) = X (0) + a(X (τ ), τ )dτ + b(X (τ ), τ )dW (τ ) (1) 0 0Em um intervalo infinitesimal, podemos re-escrever essa equa¸˜o em sua caforma diferencial: dX (t) = a(X (t), t)dt + b(X (t), t)dW (t), (2)onde W (t) representa um processo de Wiener e a(X (t), t) e b(X (t), t)s˜o, respectivamente, a m´dia instantˆnea e desvio padr˜o instantˆneo. a e a a a Th´rsis T. P. Souza (USP) a Introdu¸˜o ` Simula¸˜o Estoc´stica ca a ca a 29 de outubro de 2012 16 / 36
  17. 17. Integral de Itˆ oGenericamente, podemos escrever t t X (t) = X (0) + A(τ )dτ + B(τ )dW (τ ), (3) 0 0onde A(τ ) e B(τ ) s˜o fun¸˜es de X (τ ) para 0 ≤ τ ≤ t. a coEstamos interessados no caso em que t t E [|A(τ )|]dτ + E [|B(τ )|2 ]dτ < ∞ (4) 0 0Processos que s˜o solu¸˜es dessa equa¸˜o s˜o chamados de Processos de a co ca aItˆ. o Th´rsis T. P. Souza (USP) a Introdu¸˜o ` Simula¸˜o Estoc´stica ca a ca a 29 de outubro de 2012 17 / 36
  18. 18. Integral de Itˆ oDefini¸˜o [Soumar´, 2008] ca eA integral de Itˆ ´ definida como oe t n−1 t B(τ )dW (τ ) = lim B(tk )[W (tk+1 ) − W (tk )], onde tk = k (5) 0 n→∞ n k=0NotaNo caso particular onde B(t) ´ uma fun¸˜o determin´ e ca ıstica, essa integral ´ echamada de Integral de Wiener. Th´rsis T. P. Souza (USP) a Introdu¸˜o ` Simula¸˜o Estoc´stica ca a ca a 29 de outubro de 2012 18 / 36
  19. 19. Lema de Itˆ oConsidere X um processo uni-dimensional definido como: dX (t) = a(X (t), t)dt + b(X (t), t)dW (t). (6)Seja Y (t) = g (t, X (t)), onde g ´ duplamente diferenci´vel e cont´ e a ınua.Ent˜o, o Lema de Itˆ diz que a o ∂g ∂g 1 ∂2g dY = + a(X (t), t) + b 2 (X (t), t) 2 dt ∂t ∂x 2 ∂x ∂g + b(X (t), t) dW . ∂x Th´rsis T. P. Souza (USP) a Introdu¸˜o ` Simula¸˜o Estoc´stica ca a ca a 29 de outubro de 2012 19 / 36
  20. 20. Lema de Itˆ oSimilarmente ao caso uni-dimensional, a mesma regra aplica-se para o casomulti-dimensional. ¯Seja X ∈ Rn um vetor de vari´veis aleat´rias com processo definido como a o ¯ ¯ ¯ ¯ d X (t) = A(X (t), t)dt + B(X (t), t)d W (t). (7) ¯ ¯ ¯onde A(X (t), t) ∈ Rn , W ∈ Rn e B(X (t), t) ∈ Rn×m .Fazendo ¯ ¯ ¯ Y (t) = g (t, X (t)) = (Y1 (t, . . . , Yd (t)))T (8)com g : R × Rn → Rd , ent˜o o Lema de Itˆ generalizado ´ ¯ a o e ∂gk ∂gk 1 ∂ 2 gk dYk (t) = dt + dXi (t) + dXi (t)dXj (t) (9) ∂t ∂xi 2 ∂xi ∂xj i i Th´rsis T. P. Souza (USP) a Introdu¸˜o ` Simula¸˜o Estoc´stica ca a ca a 29 de outubro de 2012 20 / 36
  21. 21. Lema de Itˆ oExemplo de aplica¸˜o do Lema de Itˆ ca oDeseja-se calcular a seguinte integral t W (τ )dW (τ ) 0Para isso, fazemos X (t) = W (t) e escolhemos g tal que Y (t) =g (t, X (t)) 1 = W 2 (t). 2 Th´rsis T. P. Souza (USP) a Introdu¸˜o ` Simula¸˜o Estoc´stica ca a ca a 29 de outubro de 2012 21 / 36
  22. 22. Lema de Itˆ oAplicando o Lema de Itˆ, temos o 1 dY (t) = W (t)dW (t) + dt. 2Assim, t 1 W (τ )dW (τ ) =Y (t) − Y (0) − t 0 2 1 2 1 = W (t) − t. 2 2 Th´rsis T. P. Souza (USP) a Introdu¸˜o ` Simula¸˜o Estoc´stica ca a ca a 29 de outubro de 2012 22 / 36
  23. 23. Processo Log-NormalConsidere o processo dS = µSdt + σSdz,onde µ e σ s˜o constantes e dz representa um processo de Wiener. aDefinimos Y = ln SPelo Lema de Itˆ, temos que o processo seguido por Y ´ o e σ2 dY = µ− dt + σdz 2Como µ e σ s˜o constantes, essa equa¸˜o indica que Y = ln S segue um a caprocesso de Wiener. O mesmo possui, ent˜o, m´dia µ − σ 2 /2 e variˆncia a e acom taxa constante σ 2 . Th´rsis T. P. Souza (USP) a Introdu¸˜o ` Simula¸˜o Estoc´stica ca a ca a 29 de outubro de 2012 23 / 36
  24. 24. Processo Log-NormalO incremento em ln S de um tempo 0 a um tempo futuro T segue,portanto, uma distribui¸˜o normal com m´dia (µ − σ 2 /2)T e variˆncia ca e aσ 2 T . Isso significa que ln ST − ln S0 ∼ N ( µ − σ 2 /2 T , σ 2 T ).ou ln ST ∼ N (ln S0 + µ − σ 2 /2 T , σ 2 T ).Esse ´ um processo comumente utilizado para descrever a dinˆmica de e aativos financeiros. Th´rsis T. P. Souza (USP) a Introdu¸˜o ` Simula¸˜o Estoc´stica ca a ca a 29 de outubro de 2012 24 / 36
  25. 25. Processo de Ornstein-UhlenbeckSeja X um processo aleat´rio representado por o dX (t) = −aX (t) + bξ(t), dt dW (t)onde ξ segue uma distribui¸˜o normal. Se fizermos ξ(t) = ca dt comW (t) sendo um processo de Wiener, ent˜o a dX (t) = −aX (t)dt + bdW (t).A resolu¸˜o dessa equa¸˜o diferencial implica em ca ca t X (t) = X (0)e −at + e −a(t−s) bW (s) 0Em finan¸as, esse ´ um processo de revers˜o ` m´dia muito comum para c e a a edescrever a dinˆmica de taxas de juros e volatilidades estoc´sticas de a aretornos de ativos. Th´rsis T. P. Souza (USP) a Introdu¸˜o ` Simula¸˜o Estoc´stica ca a ca a 29 de outubro de 2012 25 / 36
  26. 26. Agenda1 Preliminares2 Equa¸˜es Diferenciais Estoc´sticas co a3 Solu¸˜es Num´ricas co e Th´rsis T. P. Souza (USP) a Introdu¸˜o ` Simula¸˜o Estoc´stica ca a ca a 29 de outubro de 2012 26 / 36
  27. 27. Solu¸oes Num´ricas de Equa¸oes Diferenciais Estoc´sticas c˜ e c˜ aConsidere a seguinte equa¸˜o diferencial estoc´stica ca a dS(t) = a(S(t), t)dt + b(S(t), t)W (t), t ∈ (0, T ] (10) S(0) = S0onde b : Rd × [0, T ] → Rd ´ conhecido e W (·) representa um processo de eWiener.Seja t t S i+1 (t) = S0 + a(S i (r ))du b(S i (r ))dW (u) (11) 0 0para i ≥ 1 e S 0 = S0 . Ent˜o, S i → S quando i → ∞, onde S ´ a solu¸˜o a e cada equa¸˜o 10. ca Th´rsis T. P. Souza (USP) a Introdu¸˜o ` Simula¸˜o Estoc´stica ca a ca a 29 de outubro de 2012 27 / 36
  28. 28. Solu¸oes Num´ricas de Equa¸oes Diferenciais Estoc´sticas c˜ e c˜ a Assim, a equa¸˜o 11 fornece uma forma de obten¸˜o de uma solu¸˜o ca ca ca num´rica da equa¸˜o 10. e ca H´ dois m´todos principais na literatura de como aproximar as a e integrais enunciadas: a Discretiza¸˜o de Euler e a Discretiza¸˜o de ca ca Milstein. Th´rsis T. P. Souza (USP) a Introdu¸˜o ` Simula¸˜o Estoc´stica ca a ca a 29 de outubro de 2012 28 / 36
  29. 29. Discretiza¸˜o de Euler caPara N ∈ N, seja h = T . Denotemos Si , Wi , ai para o i-´simo componente N ede S, W , a e bij para a ij-´sima entrada de b. eSeja (k+1)h Si ((k + 1)h) =Si (kh) + ai (S(u))du kh m (k+1)h + bij (S(u))dWj (u) j kh Th´rsis T. P. Souza (USP) a Introdu¸˜o ` Simula¸˜o Estoc´stica ca a ca a 29 de outubro de 2012 29 / 36
  30. 30. Discretiza¸˜o de Euler caNa discretiza¸˜o de Euler, a integral ´ aproximada como ca e (k+1)h ai (S(u))du ≈ ai (S(kh))h (12) khe a Integral de Itˆ como o (k+1)h bij (S(u))dWj (u) ≈ bij (S(kh))[Wj ((k + 1)h) − Wj (kh)] (13) kh Th´rsis T. P. Souza (USP) a Introdu¸˜o ` Simula¸˜o Estoc´stica ca a ca a 29 de outubro de 2012 30 / 36
  31. 31. Discretiza¸˜o de Milstein ca A diferen¸a da Discretiza¸˜o de Milstein para Discretiza¸˜o de Euler c ca ca est´ na forma como a Integral de Itˆ ´ aproximada. a oe Na Discretiza¸˜o de Euler, n˜o s˜o considerados os termos de maior ca a a ordem na s´rie de expans˜o de Taylor da Integral de Itˆ, enquanto e a o que a Discretiza¸˜o de Milstein os consideram. ca Isso faz com que o esquema de Milstein seja mais preciso e tenha maior taxa de convergˆncia. e Th´rsis T. P. Souza (USP) a Introdu¸˜o ` Simula¸˜o Estoc´stica ca a ca a 29 de outubro de 2012 31 / 36
  32. 32. Discretiza¸˜o de Milstein caPara N ∈ N, seja h = T . Denotemos Si , Wi , ai para o i-´simo componente N ede S, W , a e bij para a ij-´sima entrada de b. eSeja (k+1)h Si ((k + 1)h) =Si (kh) + ai (S(u))du kh m (k+1)h + bij (S(u))dWj (u) j kh Th´rsis T. P. Souza (USP) a Introdu¸˜o ` Simula¸˜o Estoc´stica ca a ca a 29 de outubro de 2012 32 / 36
  33. 33. Discretiza¸˜o de Milstein caNa discretiza¸˜o de Milstein, a integral ´ aproximada como ca e (k+1)h ai (S(u))du ≈ ai (S(kh))h (14) khe a Integral de Itˆ como o (k+1)h bij (S(u))dWj (u) ≈ bij (S(kh))[Wj ((k + 1)h) − Wj (kh)] kh d d (k+1)h ∂bij + (S(kh))blm [Wm (u) − Wm (kh)]dWj (u) ∂xl kh l=1 m=1 Th´rsis T. P. Souza (USP) a Introdu¸˜o ` Simula¸˜o Estoc´stica ca a ca a 29 de outubro de 2012 33 / 36
  34. 34. Solu¸oes Num´ricas de Equa¸oes Diferenciais Estoc´sticas c˜ e c˜ aExemplo de Discretiza¸˜o caSe tomarmos a(S(t), t) = µSt e b(S(t), t) = σSt na Equa¸˜o 10, ent˜o ca achegamos ao seguinte modelo dSt = µSt dt + σSt W (t), t ∈ (t0 , T ] (15) S(t0 ) = S0 Th´rsis T. P. Souza (USP) a Introdu¸˜o ` Simula¸˜o Estoc´stica ca a ca a 29 de outubro de 2012 34 / 36
  35. 35. Solu¸oes Num´ricas de Equa¸oes Diferenciais Estoc´sticas c˜ e c˜ aOs poss´ ıveis valores assumidos por ST s˜o, ent˜o, gerados ao sub-dividir o a a −ttempo T − t0 em M passos temporais discretos de tamanho δt = TM 0 .Assim, pela discretiza¸˜o de Euler chegamos a ca √ Si+1 = Si + µSi δt + σSi δtx (16)Utilizando a discretiza¸˜o de Milstein temos ca √ 1 Si+1 = Si + µSi δt + σSi δtx + σ 2 Si (δtx 2 − δt) (17) 2onde x ∼ N (0, 1) e i = 1, . . . , M. Th´rsis T. P. Souza (USP) a Introdu¸˜o ` Simula¸˜o Estoc´stica ca a ca a 29 de outubro de 2012 35 / 36
  36. 36. Referˆncias e Mikosch, T. (1999) Elementary Stochastic Calculus With Finance in View. Advanced Series on Statistical Science and Applied Probability, Vol 6. Huynh, H. T. and Lai, V. S. and Soumar´, S. (2008) e Stochastic Simulation and Applications in Finance with MATLAB Programs. Wiley, 1 edition. Th´rsis T. P. Souza (USP) a Introdu¸˜o ` Simula¸˜o Estoc´stica ca a ca a 29 de outubro de 2012 36 / 36

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