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Simulacao Estocastica Financeira em GPU
- 1. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias Simula¸c˜oes Financeiras em GPU Disserta¸c˜ao de Mestrado Th´arsis T. P. Souza t.souza@usp.br Instituto de Matem´atica e Estat´ıstica Universidade de S˜ao Paulo 26 de abril de 2013 Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 2. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias Agenda 1 Introdu¸c˜ao 2 GPU Computing CUDA Demais T´opicos 3 Modelagem Matem´atica 4 Estudo de Casos em Finan¸cas M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado 5 Conclus˜ao Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 3. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias Agenda 1 Introdu¸c˜ao 2 GPU Computing CUDA Demais T´opicos 3 Modelagem Matem´atica 4 Estudo de Casos em Finan¸cas M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado 5 Conclus˜ao Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 4. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias Simula¸c˜ao Estoc´astica Stochastic Simulation and Modelling (Prodan, 2001): Figura : N´ıveis de Simula¸c˜ao. Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 5. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias Simula¸c˜ao Estoc´astica em GPU On the utility of graphics cards to perform massively parallel simulation of advanced Monte Carlo methods (Lee et al., 2010): “We believe the speedup we observe should motivate wider use of parallelizable simulation methods and greater methodological attention to their design.” Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 6. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias GPU Computing - Bloomberg Figura : Estudo de caso GPU Tesla: Precifica¸c˜ao de produtos - Bloomberg (NVIDIA, 2009b). Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 7. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias GPU Computing - BNP Paribas Figura : Estudo de caso GPU Tesla: Precifica¸c˜ao de produtos - BNP-Paribas (NVIDIA, 2009b). Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 8. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias Objetivos Utilizar um modelo de hardware e programa¸c˜ao para GPU, apresentando essa plataforma como um verdadeiro co-processador gen´erico. Estudo de geradores de n´umeros aleat´orios sequˆencias e paralelos. Apresenta¸c˜ao de ferramental matem´atico fundamental para modelagem estoc´astica em finan¸cas. Resolver problemas reais em finan¸cas ao aplicar a teoria apresentada. Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 9. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias Agenda 1 Introdu¸c˜ao 2 GPU Computing CUDA Demais T´opicos 3 Modelagem Matem´atica 4 Estudo de Casos em Finan¸cas M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado 5 Conclus˜ao Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 10. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias CUDA Demais T´opicos Agenda 1 Introdu¸c˜ao 2 GPU Computing CUDA Demais T´opicos 3 Modelagem Matem´atica 4 Estudo de Casos em Finan¸cas M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado 5 Conclus˜ao Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 11. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias CUDA Demais T´opicos CPU X GPU Figura : Poder computacional (GFLOP/s) e Throughput (GB/s) CPU X GPU (Brodtkorb et al., 2012). Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 12. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias CUDA Demais T´opicos CPU X GPU Figura : Representa¸c˜ao de Chip CPU X GPU. Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 13. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias CUDA Demais T´opicos GPGPU Figura : GPGPU - Evolu¸c˜ao. Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 14. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias CUDA Demais T´opicos Agenda 1 Introdu¸c˜ao 2 GPU Computing CUDA Demais T´opicos 3 Modelagem Matem´atica 4 Estudo de Casos em Finan¸cas M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado 5 Conclus˜ao Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 15. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias CUDA Demais T´opicos Arquitetura CUDA Figura : CUDA: Compute Unified Device Architecture Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 16. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias CUDA Demais T´opicos Modelo de Programa¸c˜ao Figura : Hierarquia de Threads Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 17. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias CUDA Demais T´opicos Modelo de Mem´oria Figura : Hierarquia de Mem´oria Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 18. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias CUDA Demais T´opicos Agenda 1 Introdu¸c˜ao 2 GPU Computing CUDA Demais T´opicos 3 Modelagem Matem´atica 4 Estudo de Casos em Finan¸cas M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado 5 Conclus˜ao Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 19. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias CUDA Demais T´opicos Arquitetura Fermi Detalhamento da Fermi (alvo do trabalho): CUDA Cores Warps Streaming Multiprocessor Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 20. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias CUDA Demais T´opicos Otimiza¸c˜ao de C´odigo e Boas Pr´aticas Como medir tempo Execu¸c˜ao concorrente ass´ıncrona Otimiza¸c˜ao de Mem´oria Coalesced Memory Mem´oria Compartilhada, Local, Global Controle de Fluxo Ocupa¸c˜ao Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 21. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias CUDA Demais T´opicos Geradores de N´umeros aleat´orios e Modelos de Distribui¸c˜ao PRNGs: Linear Congruential Generator, Multiple Recursive Generator, Lagged Fibonacci Generator, Mersenne Twister QRNGs: Van Der Corput, Halton, Faure, Sobol Gera¸c˜ao de Distribui¸c˜oes n˜ao-Uniformes: M´etodo de Invers˜ao, M´etodo de Aceita¸c˜ao e Rejei¸c˜ao, M´etodo de Box-Muller Portabilidade em GPU dos geradores: Sobol e MRG32k3a Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 22. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias Agenda 1 Introdu¸c˜ao 2 GPU Computing CUDA Demais T´opicos 3 Modelagem Matem´atica 4 Estudo de Casos em Finan¸cas M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado 5 Conclus˜ao Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 23. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias Simula¸c˜ao de Monte Carlo M´etodo de Monte Carlo T´ecnicas de Redu¸c˜ao de Variˆancia Vari´avel de Controle Vari´aveis Antit´eticas Amostragem Estratificada Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 24. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias Processos Estoc´asticos Processos Estoc´asticos Processo de Wiener Processo de Ornstein-Uhlenbeck Equa¸c˜oes Diferenciais Estoc´asticas Lema de Itˆo Discretiza¸c˜ao de Euler-Maruyama Discretiza¸c˜ao de Milstein Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 25. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado Agenda 1 Introdu¸c˜ao 2 GPU Computing CUDA Demais T´opicos 3 Modelagem Matem´atica 4 Estudo de Casos em Finan¸cas M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado 5 Conclus˜ao Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 26. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado Agenda 1 Introdu¸c˜ao 2 GPU Computing CUDA Demais T´opicos 3 Modelagem Matem´atica 4 Estudo de Casos em Finan¸cas M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado 5 Conclus˜ao Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 27. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado GPU CUDA C nvcc (CUDA Toolkit v.3.1) -use fast math Figura : NVIDIA GeForce GT 525M Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 28. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado GPU Placa Gr´afica GeForce GT 525M N´ucleos CUDA 96 Compute Capability 2.1 Streaming Multiprocessors 2 Dimens˜oes m´aximas de um bloco 1024 x 1024 x 64 N´umero m´aximo de threads por bloco 1024 N´umero m´aximo de registradores por bloco 32768 Mem´oria Global 961 MB Mem´oria Compartilhada 48 KB Mem´oria Constante 64 KB Tabela : Caracter´ısticas da placa gr´afica NVIDIA GeForce GT 525M. Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 29. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado CPU C/C++, compilador Microsoft (R) C/C++ Optimizing Compiler Version 16.00.30319.01 for x64 Processador Intel Core i5-2430M Programas em CPU foram constru´ıdos utilizando uma ´unica thread Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 30. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado M´etodo Dados Dispon´ıveis: Ativo objeto ITUB4 Per´ıodo de amostragem: 15/06/2011 a 31/05/2012 Gera¸c˜ao de N´umeros Aleat´orios: Em CPU, o gerador padr˜ao utilizado foi o Mersenne Twister com implementa¸c˜ao retirada de (Matsumoto e Nishimura, 2009). Em GPU foi utilizada a biblioteca padr˜ao NVIDIA CURAND. Nos experimentos que utilizaram o gerador Sobol, a implementa¸c˜ao foi obtida em (Joe e Kuo, 2008). Para transformada gaussiana foi utilizado o m´etodo de Box-Muller. Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 31. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado Agenda 1 Introdu¸c˜ao 2 GPU Computing CUDA Demais T´opicos 3 Modelagem Matem´atica 4 Estudo de Casos em Finan¸cas M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado 5 Conclus˜ao Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 32. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado Stops Em negocia¸c˜ao de ativos, uma estrat´egia de Stop define valores limites do pre¸co do ativo objeto a partir do qual uma a¸c˜ao deve ser tomada. Stop Loss: Limite m´aximo de movimenta¸c˜ao adversa de pre¸co de um ativo. Stop Gain: Limite superior para o valor do ativo de negocia¸c˜ao. Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 33. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado Formula¸c˜ao do Problema de Stops Suponha que uma part´ıcula se move aleatoriamente em um sub-conjunto D ⊂ Rn. No instante t sua posi¸c˜ao ´e xt. Desejamos escolher o Tempo de Parada t do movimento de modo a maximizar o ganho esperado E[g(xt)], onde g(x) representa o ganho correspondente a x ∈ D. Figura : O problema de Stop Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 34. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado Formula¸c˜ao do Problema de Stops ´Otimos O problema de Stop ´Otimo pode ser formalizado como: max Ex0 [g(xτ )] (1) sujeito a τ tempo de parada Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 35. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado Formula¸c˜ao do Problema de Stops ´Otimos Figura : Exemplos de Tempo de Parada Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 36. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado Solu¸c˜ao do Problema de Stops ´Otimos Suponha que a vari´avel aleat´oria que representa o pre¸co do ativo objeto siga o seguinte processo dS = µSdt + σSdW , (2) onde µ e σ s˜ao constantes e dW ´e um processo de Wiener. Ent˜ao, pelo Lema de Itˆo, podemos chegar na seguinte recorrˆencia geral para o valor do ativo objeto no tempo Si+1 = Si e(µ−σ2/2)δt+σ √ δtz , z ∼ N(0, 1). (3) Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 37. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado Solu¸c˜ao do Problema de Stops ´Otimos Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 38. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado Solu¸c˜ao do Problema de Stops ´Otimos Seja f (K) = E[S(K)], ent˜ao o valor K = K∗ tal que f (K) = 0 ´e um ponto de extremo de Stop. Assim, a obten¸c˜ao de Stop ´otimo se reduz a um problema de obten¸c˜ao de raiz de fun¸c˜ao, que pode ser resolvido, por exemplo, pelo m´etodo de otimiza¸c˜ao de bisec¸c˜ao ´aurea de Brent (W. H. Press e Flannery, 2007). Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 39. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado Experimentos Figura : Simula¸c˜ao de caminhos do processo log-normal. Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 40. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado Experimentos Figura : Esperan¸ca de retorno de Stop Gain. An´alise da varia¸c˜ao da m´edia µ. Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 41. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado Experimentos Figura : Esperan¸ca de retorno de Stop Gain. An´alise da varia¸c˜ao da volatilidade σ. Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 42. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado Experimentos Com o aumento da m´edia µ, temos uma esperan¸ca maior para o valor da barreira configurado. Em contraposi¸c˜ao, um valor maior de volatilidade sugere a necessidade de configura¸c˜ao de um valor mais alto para o stop. Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 43. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado Experimentos Figura : Esperan¸ca de retorno ´otimo em fun¸c˜ao da taxa de juros. Configura¸c˜ao µ = 0, 0521139% e σ = 2, 4432633%. Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 44. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado Experimentos Podemos observar uma estimativa de ganho ´otimo de 9,91% sobre uma taxa de juros de 11%, na configura¸c˜ao analisada. Retorno ´otimo ´e negativo para rf > 13%. Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 45. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado Experimentos Figura : Tempo computacional gasto em c´alculo da esperan¸ca de ganho de um Stop Gain em fun¸c˜ao do n´umero de simula¸c˜oes. Configura¸c˜ao: Stop = 65, µ = −0, 00055%, σ = 2%. Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 46. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado Experimentos Figura : Tempo computacional gasto em c´alculo da esperan¸ca de ganho de um Stop Gain. Configura¸c˜ao: n´umero de simula¸c˜oes = 38.400, µ = −0, 00055%, σ = 2%. Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 47. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado Experimentos Speedup de mais de 12 vezes para um n´umero de simula¸c˜oes igual a 51.200. Solu¸c˜ao em GPU escal´avel para o n´umero de simula¸c˜oes e varia¸c˜ao de stop gain. Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 48. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado Agenda 1 Introdu¸c˜ao 2 GPU Computing CUDA Demais T´opicos 3 Modelagem Matem´atica 4 Estudo de Casos em Finan¸cas M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado 5 Conclus˜ao Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 49. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado Risco de Mercado Risco de Mercado ´e aquele relacionado com perdas no fluxo de caixa da organiza¸c˜ao causadas por flutua¸c˜oes nos pre¸cos de ativos e passivos da empresa (Kimura et al., 2010). Para gest˜ao desse risco, uma m´etrica particularmente difundida ´e o Value-at-Risk (VaR), que visa a obter uma medida de perda m´axima da institui¸c˜ao. Para o c´alculo do mesmo, o gestor de risco deve ser capaz de calcular o valor de mercado de seus produtos, para assim conseguir avaliar as poss´ıveis varia¸c˜oes na carteira da empresa. Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 50. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado Op¸c˜oes Uma op¸c˜ao confere, ao titular, o direito sobre um determinado ativo por um valor determinado, enquanto o vendedor ´e obrigado a concluir a transa¸c˜ao. Op¸c˜ao de Call: fornece ao titular o direito de compra do ativo objeto a um valor determinado (strike). Op¸c˜ao de Put: fornece ao titular o direito de venda do ativo objeto a um valor determinado. Op¸c˜ao Europeia ´e aquela que pode ser exercida somente em sua data de vencimento. Para ter o direito, o titular deve pagar o pre¸co da op¸c˜ao, tamb´em chamado de prˆemio. Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 51. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado Precifica¸c˜ao de Op¸c˜oes via Simula¸c˜ao Posi¸c˜ao comprada em uma op¸c˜ao de Call: max(ST − X, 0). Posi¸c˜ao vendida em uma op¸c˜ao de Call: −max(ST − X, 0). Posi¸c˜ao comprada em uma op¸c˜ao de Put: max(X − ST , 0). Posi¸c˜ao vendida em uma op¸c˜ao de Put: −max(X − ST , 0). O prˆemio (cT ) de uma Op¸c˜ao Europeia de Call pode ser calculado a partir de um valor esperado de seu retorno, conforme: cT = e−rT E[max(ST − X, 0)]. (4) Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 52. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado Precifica¸c˜ao de Op¸c˜oes via Simula¸c˜ao Figura : Payoffs das posi¸c˜oes em op¸c˜oes europeias: (a) compra de Call; (b) venda de Call; (c) compra de Put; (d) venda de Put (Hull, 2012). Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 53. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado Precifica¸c˜ao de Op¸c˜oes via Simula¸c˜ao Paridade Put-Call c + Xe−rT = p + S0. (5) De posse da equa¸c˜ao 5, podemos estimar a esperan¸ca do prˆemio de uma op¸c˜ao de call E[c] como: E[c] = E[p] + S − Xe−rT (6) Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 54. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado Redu¸c˜ao de variˆancia da Precifica¸c˜ao Em geral, a variˆancia de uma op¸c˜ao de put ´e menor do que uma op¸c˜ao de call j´a que no primeiro caso o payoff ´e limitado. Dessa forma, o pre¸co da op¸c˜ao de put se torna uma vari´avel de controle para o c´alculo do prˆemio da op¸c˜ao de call e, assim, obtemos um estimador de c com variˆancia potencialmente reduzida. Al´em disso, podemos utilizar vari´aveis antit´eticas como t´ecnica de redu¸c˜ao de variˆancia. Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 55. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado Precifica¸c˜ao de Op¸c˜oes via Simula¸c˜ao Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 56. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado Value-at-Risk (Choudhry e Tanna, 2007) define o VaR1−α como a perda m´axima que pode ocorrer em um grau de confian¸ca (1 − α) e per´ıodo de tempo (T) determinados. Se assumirmos que F ´e a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao acumulada do retorno da carteira da institui¸c˜ao, podemos definir o VaR como F(VaR) = α (7) onde ´e α a probabilidade correspondente ao n´ıvel de confian¸ca estabelecido. Ao utilizar a fun¸c˜ao de densidade dos retornos f , podemos definir o VaR de modo equivalente como α = VaR −∞ f (x)dx. (8) Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 57. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado Value-at-Risk Como obter uma fun¸c˜ao f de distribui¸c˜ao dos retornos para um horizonte de tempo definido? Figura : Resumo comparativo de metodologias de c´alculo de VaR. Retirado de (Jorion, 2003) Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 58. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado VaR via M´etodo de Monte Carlo Seja Π0 = (S1 0 , S2 0 , . . . , Sn 0 ) o valor de um portf´olio composto por n ativos em t0. Desejamos calcular o VaR1−α de Π0 para um per´ıodo T. A seguir, apresentamos os passos para resolu¸c˜ao desse problema via Simula¸c˜ao de Monte Carlo: 1 Escolha e configure um modelo estoc´astico para proje¸c˜ao dos pre¸cos dos ativos do portf´olio. 2 Simule os pre¸cos dos ativos para projetar seus valores em T: S1 T , S2 T , . . . , Sn T 3 Calcule o valor do portf´olio ΠT = (S1 T , S2 T , . . . , Sn T ) 4 Repita os passos 2 e 3 um n´umero (N) de vezes t˜ao grande quanto se queira Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 59. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado VaR via M´etodo de Monte Carlo 1 Ordene de modo crescente os valores dos portf´olios obtidos e obtenha a distribui¸c˜ao: (Π1 T , Π2 T , . . . , ΠN T ) 2 Compute o VaR a partir do quantil (1 − α) de interesse: VaR1−α = Π (1−α)N T − Π0 Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 60. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado VaR via M´etodo de Monte Carlo Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 61. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado Experimentos Figura : Aplica¸c˜ao de t´ecnicas de redu¸c˜ao de variˆancia na simula¸c˜ao do prˆemio de uma op¸c˜ao de call europeia utilizando Sobol como RNG. Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 62. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado Experimentos Melhoria de mais de 4 vezes no erro padr˜ao da simula¸c˜ao para precifica¸c˜ao de op¸c˜oes. Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 63. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado Experimentos Figura : O portf´olio Π0 gerado com um total de 2 mil op¸c˜oes, o que resultou em um valor total de R$191.740. Valor obtido para o VaR95% de 1 dia foi de aproximadamente -R$896. Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 64. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado Experimentos N´umero de Simula¸c˜oes Tempo CPU (s) Tempo GPU (s) 1280 2,91 0,07 3200 7,178 0,16 6400 14,79 0,31 12800 28,59 0,60 25600 56,58 1,19 38400 84,03 1,81 51200 112,02 2,43 Tabela : Tempo Computacional gasto em CPU e GPU no c´alculo de VaR em fun¸c˜ao do n´umero de simula¸c˜oes. N´umero de op¸c˜oes fixo em 2.000. Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 65. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado Experimentos N´umero de Op¸c˜oes Tempo CPU (s) Tempo GPU (s) 500 28,03 0,99 750 42,54 1,23 1000 56,31 1,47 1250 70,41 1,70 1500 84,95 1,95 1750 99,17 2,18 2000 112,02 2,43 2500 146,76 2,90 Tabela : Tempo Computacional gasto em CPU e GPU no c´alculo de VaR em fun¸c˜ao do n´umero de op¸c˜oes no portf´olio. N´umero de simula¸c˜oes fixo em 51200. Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 66. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado Experimentos Figura : Speedup no c´alculo de VaR de uma carteira com 2000 op¸c˜oes em fun¸c˜ao do n´umero de simula¸c˜oes. Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 67. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado Experimentos Figura : Speedup no c´alculo de VaR em fun¸c˜ao do n´umero de op¸c˜oes no portf´olio. N´umero de simula¸c˜oes fixo em 51200. Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 68. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado Experimentos Acelera¸c˜ao de mais de 50 vezes do c´alculo de Value-at-Risk via Simula¸c˜ao de Monte Carlo Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 69. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias Agenda 1 Introdu¸c˜ao 2 GPU Computing CUDA Demais T´opicos 3 Modelagem Matem´atica 4 Estudo de Casos em Finan¸cas M´etodo Stops ´Otimos Risco de Mercado 5 Conclus˜ao Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 70. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias Conclus˜ao Apresentamos a GPU como uma plataforma de computa¸c˜ao de prop´osito geral. Estudo de diferentes tipos de PRNGs e QRNGs em arquiteturas sequencial e paralela. Descri¸c˜ao de solu¸c˜oes exatas e num´ericas de Equa¸c˜oes Diferenciais Estoc´asticas. Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 71. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias Conclus˜ao Stops (nessa apresenta¸c˜ao): Resolu¸c˜ao do problema de obten¸c˜ao de Stop ´Otimo. Em an´alise experimental, as implementa¸c˜oes em GPU mostraram ser mais escal´aveis em rela¸c˜ao ao algoritmo sequencial. Para o algoritmo de obten¸c˜ao de esperan¸ca de retorno de um Stop Gain, foi alcan¸cado um speedup de mais de 12 vezes. Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 72. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias Conclus˜ao Stops (vide disserta¸c˜ao): Revisamos o modelo trinomial proposto por (Warburtona e Zhang, 2006) e propomos um algoritmo alternativo para o mesmo via simula¸c˜ao utilizando uma t´ecnica de aceita¸c˜ao e rejei¸c˜ao para probabilidade de transi¸c˜ao dos pre¸cos de (Cox et al., 1979). O algoritmo sugerido ´e, comparativamente, de f´acil implementa¸c˜ao e naturalmente port´avel para GPU. Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 73. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias Conclus˜ao Risco de Mercado: Melhoria de mais de 4 vezes no erro padr˜ao da simula¸c˜ao para precifica¸c˜ao de op¸c˜oes. C´alculo de Value-at-Risk via Simula¸c˜ao de Monte Carlo com acelera¸c˜ao de mais de 50 vezes. Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 74. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias Referˆencias Bibliogr´aficas I Brodtkorb et al.(2012) A. R. Brodtkorb, T. R. Hagen e Ma. L. Saetra. Graphics processing unit (gpu) programming strategies and trends in gpu computing. Journal of Parallel and Distributed Computing. Choudhry e Tanna(2007) M. Choudhry e K. Tanna. An Introduction to Value-at-Risk. Securities Institute. Wiley. ISBN 9780470033777. Cox et al.(1979) J. Cox, S. Ross e M. Rubenstein. Option pricing: a simplified approach. Journal of Financial Economics. Hull(2012) J. Hull. Options, Futures, and Other Derivatives and DerivaGem CD Package. Prentice Hall. ISBN 9780132777421. Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 75. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias Referˆencias Bibliogr´aficas II Joe e Kuo(2008) S. Joe e F. Y. Kuo. C´odigo fonte: Sobol sequence generator, 2008. URL http://web.maths.unsw.edu.au/~fkuo/sobol/. ´Ultimo acesso em 29/01/2013. Jorion(2003) P. Jorion. Value at risk: a nova fonte de referˆencia para a gest˜ao do risco financeiro. Bolsa de Mercadorias & Futuros. ISBN 9788574380070. Kimura et al.(2010) H. Kimura, A. S. Suen, L. C. J. Perera e L. F. C. Basso. Value at Risk - Como Entender e Calcular o Risco pelo VaR. INSIDE BOOKS. ISBN 9788560550074. Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 76. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias Referˆencias Bibliogr´aficas III Lee et al.(2010) A. Lee, C. Yau, M. B. Giles, A. Doucet e C. C. Holmes. On the utility of graphics cards to perform massively parallel simulation of advanced monte carlo methods. Journal of Computational and Graphical Statistics, p´aginas 769–789. Matsumoto e Nishimura(2009) M. Matsumoto e T. Nishimura. A c-program for mt19937, 2009. URL http://www.math.sci. hiroshima-u.ac.jp/~m-mat/MT/emt.html. ´Ultimo acesso em 29/01/2013. NVIDIA(2009b) NVIDIA. Site de computa¸c˜ao em finan¸cas da nvidia, 2009b. URL http: //www.nvidia.com/object/computational_finance.html. ´Ultimo acesso em 29/01/2013. Prodan(2001) A. Prodan. Stochastic simulation and modelling. Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
- 77. Introdu¸c˜ao GPU Computing Modelagem Matem´atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ao Referˆencias Referˆencias Bibliogr´aficas IV W. H. Press e Flannery(2007) W. T. Vetterling W. H. Press, S. A. Teukolsky e B. P. Flannery. Numerical Recipes 3rd Edition: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press, New York, NY, USA, 3 edi¸c˜ao. ISBN 0521880688, 9780521880688. Warburtona e Zhang(2006) A. Warburtona e Z. G. Zhang. A simple computational model for analyzing the properties of stop-loss, take-profit, and price breakout trading strategies. Computers and Operations Research. Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao