Livro eduardo

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  1. 1. Sum´rio a1 Tipos de Provas 3 1.1 introdu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 3 1.2 Provas diretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Provas por redu¸ao ao absurdo c˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Conjuntos 9 2.1 Introdu¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 9 2.2 Defini¸oes B´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ a 10 2.3 Inclus˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 12 2.4 Opera¸oes com conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 153 Fam´ ılias indexadas de conjuntos 214 Rela¸˜es co 23 4.1 Pares ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.2 Produto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.3 Rela¸oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 25 4.4 Dom´ ınio e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.5 Rela¸ao Composta e Rela¸ao Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ c˜ 26 4.6 Rela¸oes de Equivalˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ e 295 Fun¸˜es co 37 5.1 Defini¸oes e nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 37 5.2 Imagens diretas e inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.3 Fun¸oes injetoras, sobrejetoras e bijetoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 43 5.4 Fun¸ao Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 44 5.5 Composi¸ao de Fun¸oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ c˜ 45 1
  2. 2. 2 ´ SUMARIO6 Cardinais 47 6.1 Defini¸oes e alguns exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 47 6.2 N´meros Cardinais Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 49 6.3 N´meros cardinais infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 54 6.4 Mais exemplos de n´meros cardinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 60 6.5 Compara¸˜o de n´meros cardinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca u 63 6.6 Opera¸oes com n´meros cardinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ u 677 Ordinais 75 7.1 Introdu¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 75 7.2 Conjuntos parcialmente ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 7.3 Conjuntos totalmente ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 7.4 Um pouco mais de nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 7.5 Conjuntos Bem Ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 7.6 Conjuntos semelhantes e tipos ordinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 7.7 Opera¸oes com tipos ordinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 88
  3. 3. Matem´tica Elementar - Primeiro Semestre de 2012 a 19 de maio de 2012
  4. 4. 2 ´ SUMARIO
  5. 5. Cap´ ıtulo 1Tipos de Provas1.1 introdu¸˜o caUma das principais atividades dos matem´ticos ´ classificar como verdadeiras ou falsas a eas senten¸as que surgem em seu trabalho. A veracidade de uma senten¸a, em geral, c c´ obtida atrav´s de uma demonstra¸ao. Uma demonstra¸˜o s´ ´ considerada corretae e c˜ ca o ese todas as senten¸as usadas na sua constru¸˜o forem verdadeiras, ou admitidas como c caverdadeiras em contextos anteriores. N˜o existem regras para se fazer uma demonstra¸ao. a c˜E nem poderiam mesmo existir, pois o mist´rio que envolve a sua elabora¸ao ´ um dos e c˜ emotores que faz da Matem´tica um organismo vivo. Segundo o matem´tico h´ngaro a a uPaul Erd¨s (1913-1996), Deus possuiria um livro no qual estariam guardadas as provas omais perfeitas dos teoremas matem´ticos. Ainda segundo Erd¨s, vocˆ poderia at´ nem a o e eacreditar em Deus, mas como matem´tico deveria acreditar no Livro. Para o matem´tico a ainglˆs Goodfrey Hardy (1877-1947), o quesito beleza ´ fundamental. No mundo, para e eele, n˜o haveria lugar para matem´tica feia. Depreende-se de sua afirma¸ao que, al´m da a a c˜ ebusca pela verdade, pelo conhecimento da prova de um resultado, o matem´tico tamb´m a epersegue a beleza. Uma bela prova de um resultado dif´ ´ o sonho de todo matem´tico. ıcil e a1.2 Provas diretasH´ basicamente dois tipos de demonstra¸oes: as que s˜o diretas e aquelas em que se a c˜ arecorre ao m´todo da redu¸ao ao absurdo. Em uma demonstra¸ao direta mostramos e c˜ c˜que, a partir das informa¸oes fornecida(s) pela(s) hip´tese(s), podemos concluir a tese. c˜ oIsso em geral ´ obtido atrav´s de rela¸oes entre os fatos que est˜o sendo admitidos na(s) e e c˜ a 3
  6. 6. 4 CAP´ ITULO 1. TIPOS DE PROVAShip´tese(s) e fatos que s˜o conhecidos previamente. Veremos nos exemplos a seguir alguns o aexemplos desse tipo de demonstra¸ao. c˜ 1. Imagine a seguinte afirma¸ao: Se um aluno est´ matriculado na turma de Matem´tica c˜ a a Elementar ent˜o ele ´ paraibano. Essa afirma¸˜o ´ falsa pois temos alunos na a e ca e turma que nasceram em outros estados. Basta um aluno que satisfa¸a a hip´tese c o dessa afirma¸ao mas que n˜o satisfa¸a a tese dessa afirma¸ao para torn´-la falsa. c˜ a c c˜ a Agora analisemos a outra afirma¸˜o: Se um aluno est´ matriculado na turma de ca a Matem´tica Elementar ent˜o ele ´ brasileiro. Como n˜o temos alunos estrangeiros a a e a matriculados no curso, somos levados a concluir que todos s˜o brasileiros. Tamb´m a e poder´ ıamos ter perguntado, aluno por aluno, qual a sua nacionalidade e ver´ ıamos que todos s˜o brasileiros. Isso ´ uma demonstra¸ao direta desse fato. a e c˜ 2. Se m e n s˜o n´meros pares ent˜o a soma m + n ´ um n´mero par. Vamos a u a e u demonstrar esse fato. Em primeiro lugar, vamos identificar claramente o nosso objetivo. Queremos provar que um certo n´mero ´ par. Muito bem! Mas o que u e siginfica um n´mero ser par? Aqui precisamos recordar a defini¸ao. Um n´mero u c˜ u inteiro b ser´ chamado par se puder ser escrito na forma b = 2a, onde a ´ um a e n´mero inteiro. A senten¸a que assumimos como verdadeira ´ que m e n s˜o u c e a n´meros inteiros pares. Isso quer dizer que m = 2p e que n = 2q, com p e q sendo u inteiros. Portanto, m + n = 2p + 2q = 2 (p + q) , pela propriedade distributiva da multiplica¸˜o com rela¸ao ` adi¸ao. Como p + q tamb´m ´ um n´mero inteiro, ca c˜ a c˜ e e u podemos cham´-lo de r. Da´ temos que m + n = 2r, o que comprova ser m + n um a ı, n´mero par. u 3. Se n ´ um n´mero inteiro ent˜o n2 +n ´ um n´mero inteiro par. Inicialmente vamos e u a e u supor que n seja um inteiro par. Ent˜o n = 2k, onde k ´ um inteiro. Portanto, a e n2 + n = (2k)2 + 2k = 4k 2 + 2k = 2k (2k + 1) = 2m, onde m = k (2k + 1) , de modo que n2 + n ´ par. e Suponhamos agora que n ´ ´ e ımpar. Ent˜o n = 2k +1, onde k ´ um inteiro. Portanto, a e n2 + n = (2k + 1)2 + (2k + 1) = 4k 2 + 4k + 1 + 2k + 1 = 2 2k 2 + 3k + 1 = 2m, onde m = 2k 2 + 3k + 1, de modo que n2 + n ´ par, tamb´m nesse caso. e e x y 4. Seja M = uma matriz triangular superior 2 × 2 e suponha que x, y e z 0 z s˜o inteiros. Vamos demonstrar que as seguintes afirma¸oes s˜o equivalentes. a c˜ a
  7. 7. ¸˜1.3. PROVAS POR REDUCAO AO ABSURDO 5 (a) det M = 1, (b) x = z = ±1, (c) x + z = ±2 e x = z. O que se afirma nesse resultado ´ que a ↔ b, a ↔ c, b ↔ c. Para isso, dever´ e ıamos provar que a → b, b → a, a → c, c → a, b → c e c → b. Na pr´tica n˜o fazemos a a assim. A id´ia ´ usar uma certa transitividade que existe nas implica¸oes e provar, e e c˜ por exemplo, que a → b → c → a. Poder´ ıamos provar tamb´m que a → c, c → b e e que b → a. Tamb´m poder´ e ıamos, alternativamente, provar que a → c, c → a, a → b e b → a. O que ´ fundamental na escolha da seq¨ˆncia ´ que ela traduza o fato de e ue e que as senten¸as sejam equivalentes entre si. c Vejamos ent˜o a prova de que a → b, b → c e c → a. a Vamos provar que a → b. Suponha que det M = 1. Da´ temos que xz = 1. Como ı, x e z s˜o n´meros inteiros, devemos ter x = 1 = z ou x = −1 = z. a u Provemos agora que b → c. Suponha que x = z = ±1. Primeiro vamos supor que x = z = 1. Ent˜o x + z = 2. Suponhamos agora que x = z = −1. Ent˜o x + z = −2. a a Da´ x = z e x + z = ±2. ı Provemos agora que c → a. Como x + z = ±2, devemos ter (x + z)2 = 4. Assim, x2 + 2xz + z 2 = 4. Como x = z, devemos ter x2 = z 2 . Dessa forma, 4 = 4xz, ou seja, xz = 1. Como det M = xz, conclu´ ımos que det M = 1.1.3 Provas por redu¸˜o ao absurdo caVejamos agora como se processa uma demonstra¸ao por redu¸ao ao absurdo ou por c˜ c˜contradi¸˜o. Vamos supor que estamos interessados em provar um determinado fato. caSe n˜o soubermos como fazˆ-lo diretamente, como nos exemplos acima, ent˜o podemos a e asupor que tal fato n˜o ocorra. Usamos ent˜o a hip´tese - que ´ admitida como verdadeira a a o e- e essa informa¸ao adicional, a nega¸ao do que se est´ tentando demonstrar. Atrav´s c˜ c˜ a ede uma sucess˜o de argumentos usando fatos conhecidos e esses fatos novos, chega-se a aalgo contradit´rio, absurdo, como por exemplo a nega¸˜o da hip´tese ou a viola¸˜o de o ca o cauma verdade anteriormente aceita. Veremos a seguir trˆs exemplos de demonstra¸oes por e c˜redu¸ao ao absurdo. c˜ 1. Se m2 ´ um n´mero par, vamos demonstrar que m ´ um n´mero par. Vamos negar e u e u a tese, isto ´, supor tamb´m que n seja ´ e e ımpar. Aqui precisamos da defini¸ao. Um c˜
  8. 8. 6 CAP´ ITULO 1. TIPOS DE PROVAS n´mero inteiro b ´ dito ´ u e ımpar quando ele puder ser escrito na forma b = 2a+1, sendo a um n´mero inteiro. Assim, assumindo que m ´ ´ u e ımpar, temos que m = 2a + 1, para algum inteiro a. Logo, m2 = 4a2 + 4a + 1 = 2 2a2 + a + 1. Mas 2a2 + a ´ um inteiro. Chamando-o de p, temos que m2 = 2p + 1, ou seja, e m2 ´ um n´mero ´ e u ımpar. Mas a hip´tese era de que m2 era par. Logo isso que o obtivemos ´ uma contradi¸˜o, um absurdo. E de onde veio esse absurdo? Veio do e ca fato de supormos que m era ´ ımpar. Logo, ele n˜o pode ser ´ a ımpar e portanto ser´ a necessariamente par. 2. Vamos provar que o n´mero log10 3 ´ irracional. Aqui cabe uma pergunta: o que u e ´ um n´mero irracional? Uma resposta meio evasiva poderia ser: um n´mero e u u irracional aquele que n˜o ´ racional. E um n´mero racional ´ aquele que pode ser a e u e m escrito na forma n , com m e n sendo n´meros inteiros e n = 0. Portanto, vamos u supor que log10 3 seja racional, isto ´ o mesmo que dizer que existem n´meros e u m inteiros m, n tais que log10 3 = n . Usando as propriedades dos logar´ ıtmos, temos m 10 n = 3. Elevando ambos os membros a n, temos 10m = 3n . Nessa igualdade temos algo impossvel de acontecer, pois o n´mero 10m ´ par, enquanto que o n´mero 3n u e u ´´ e ımpar. Esse absurdo veio de supormos que o n´mero log3 10 era racional. Como u s´ existem duas possibilidades para ele e, ele n˜o pode ser racinal, ele s´ pode ser o a o irracional. 3. Vamos mostrar que n˜o existem n´meros inteiros ´ a u ımpares a, b, c, d, e, f tais que: 1 1 1 1 1 1 + + + + + = 1. a b c d e f Suponhamos, por absurdo, que existam os tais n´meros. Ent˜o usando as pro- u a priedades de soma de fra¸oes, temos que: c˜ bcdef + acdef + abdef + abcef + abcdf + abcde = 1, abcdef ou seja, bcdef + acdef + abdef + abcef + abcdf + abcde = abcdef. Agora vamos olhar para os dois lados dessa igualdade. Do lado esquerdo cada parcela ´ um n´mero ´ e u ımpar, pois ´ igual a um produto de n´meros ´ e u ımpares. Como
  9. 9. ¸˜1.3. PROVAS POR REDUCAO AO ABSURDO 7 s˜o seis parcelas, a sua soma resultar´ num n´mero par. Do lado direito, temos a a u um produto de n´meros ´ u ımpares, cujo resultado ´ um n´mero ´ e u ımpar. Aqui temos uma contradi¸ao: um n´mero que ´ ao mesmo tempo par e ´ c˜ u e ımpar. Como essa contradi¸˜o surgiu? Surgiu do fato de termos afirmado a existˆncia dos n´meros ca e u ´ ımpares satisfazendo aquela propriedade. Portanto, os tais n´meros n˜o existem. u a √ √ 4. Vamos mostrar que 2 ´ um n´mero irracional. Negar que e u 2 seja um n´mero u irracional ´ dizer que ele ´ racional. Sendo ent˜o ele racional, existem m e n in- e e a √ teiros tais que 2 = m . Esse ser´ o ponto de partida que nos conduzir´ a uma a a √n contradi¸˜o. Como 2 = m , podemos supor que os fatores comuns de m e de n ca n j´ foram cancelados. Isso ´ absolutamente plaus´ a e ıvel, uma vez que estamos lidando com fra¸˜es. Vamos elevar ambos os membros ao quadrado. Feito isso, teremos co m2 2= n2 , ou seja, m2 = 2n2 . Essa ultima igualdade nos diz que m2 ´ par. Como ´ e vimos acima, isso acarreta que m tamb´m ´ par, ou seja, m = 2p, para algum e e inteiro p. De volta aquela igualdade, vemos que m2 = 4p2 = 2n2 , ou seja, 2p2 = n2 , ` o que acarreta que n2 ´ par e pelo mesmo motivo, n ´ par. Agora vemos que tanto e e m como n s˜o ambos pares, ou seja possuem um fator primo em comum. Mas isso a √ est´ em contradi¸˜o a nossa hip´tese. Logo, 2 n˜o pode ser racional, ou seja, ele a ca ` o a ´ irracional. e 5. Sejam m e n inteiros. Vamos provar que mn ´ ´ e ımpar se e somente se ambos m e n s˜o ´ a ımpares. Como se trata de uma equivalˆncia, ´ interessante identificarmos as e e duas senten¸as que a comp˜em. Uma delas diz que: se m e n s˜o ´ c o a ımpares ent˜o a mn ´ um n´mero ´ e u ımpar. A outra diz que: se mn ´ ´ e ımpar ent˜o m e n s˜o ´ a a ımpares. Comecemos pela primeira delas. Suponhamos que m e n sejam ´ ımpares. Ent˜o a m = 2p + 1 e n = 2q + 1, onde p e q s˜o n´meros inteiros. Agora note que a u mn = (2p + 1) (2q + 1) = 4pq + 2p + 2q + 1 = 2 (2pq + p + q) + 1 = 2r + 1, onde r = 2pq + p + q. Da´ podemos concluir que mn ´ um n´mero ´ ı e u ımpar. Suponhamos agora que o produto mn ´ ´ e ımpar. Vamos supor, por absurdo, que pelo menos um deles - m ou n - ´ par. Digamos que m seja par (se fosse n o racioc´ e ınio seria an´logo). Ent˜o m = 2k, onde k ´ um n´mero inteiro. Logo a a e u mn = 2kn = 2r, onde r = kn. Assim, mn ´ um n´mero par. Mas isso ´ uma contradi¸ao, pois e u e c˜
  10. 10. 8 CAP´ ITULO 1. TIPOS DE PROVAS estamos supondo que o produto ´ ´ e ımpar. Logo, nenhum dos dois - m e n - pode ser par, donde ambos s˜o ´ a ımpares, como quer´ ıamos.
  11. 11. Cap´ ıtulo 2Conjuntos2.1 Introdu¸˜o caO termo conjunto n˜o ser´ definido. Para n´s ele ser´ um sinˆnimo de cole¸ao ou a a o a o c˜agrupamento de objetos. Esses objetos ser˜o chamados os seus elementos. A natureza ados elementos de um conjunto pode ser bastante diversa. Podemos ter conjuntos decanetas, cores, bolas, n´meros, fun¸oes, matrizes, etc. Um dos pioneiros no estudo u c˜dos conjuntos foi o matem´tico alem˜o Georg Cantor (1845-1918) que fez relevantes a acontribui¸˜es ` Teoria dos Conjuntos quando estava estudando s´ries trigonom´tricas. co a e e 9
  12. 12. 10 CAP´ ITULO 2. CONJUNTOSObserva¸˜o 2.1.1 O ponto de vista aqui usado ´ chamado de ingˆnuo, pois n˜o se ca e e afaz uso de axiomas para construir uma teoria. O outro ponto de vista ´ o axiom´tico, e aonde se enunciam axiomas para se construir de modo rigoroso toda a teoria. Dentre osmodos axiom´ticos de tratar a teoria dos conjuntos, destacamos o modelo axiom´tico de a aZermelo-Fraenkel desenvolvido pelos matem´ticos Ernest Zermelo (1871-1953) e Adolf aFraenkel (1891-1965).2.2 Defini¸oes B´sicas c˜ aIntroduziremos agora uma s´rie de termos e defini¸oes que encontraremos pela frente no e c˜decorrer do curso. Sejam A um conjunto e a um objeto. Se a for um elemento de Aescreveremos a ∈ A para simbolizar esse fato. Caso o elemento a n˜o seja um elemento ade A, escreveremos a ∈ A, para simbolizar isso.Para repesentarmos um conjunto podemos escrever todos seus elementos entre chaves,quando isso for poss´ ıvel. Tamb´m podemos descrever um conjunto por uma propriedade ecomum que todos os seus elementos possuam. Uma outra representa¸˜o muito util dos ca ´conjuntos ´ feita atrav´s dos chamados Diagramas de Venn criados pelo l´gico inglˆs e e o eJohn Venn (1834-1923). Um Diagrama de Venn ´ uma curva fechada no plano, tendo e
  13. 13. ¸˜ ´2.2. DEFINICOES BASICAS 11em seu interior os elementos do conjunto, conforme o conjunto da figura a seguir. Noconjunto M est˜o representadas as vogais. aVamos discutir agora alguns exemplos.Exemplo 2.2.1 Seja A o conjunto das letras da palavra Atordoado. Ent˜o podemos aescrever simplesmente A = {a, t, o, r, d} .Exemplo 2.2.2 Existem quatro conjuntos num´ricos que estudamos desde os primeiros eanos na escola. S˜o eles o conjunto dos n´meros naturais, representado por a u N = {1, 2, 3, ...} .O conjuntos dos n´meros inteiros, representado por u Z = {... − 2, −1, 0, 1, 2, ...} .O conjunto dos n´meros racionais, representado por u m Q= ; m, n ∈ Z com n = 0 . nE finalmente o conjunto dos n´meros reais, simplesmente representado por R. uExemplo 2.2.3 Seja A o conjunto dos n´meros reais maiores ou iguais a 2. Evident- umente n˜o podemos listar todos os elementos de A como foi feito no exemplo precedente. aPor´m, podemos escrever e A = {x ∈ R; x ≥ 2} .
  14. 14. 12 CAP´ ITULO 2. CONJUNTOSNa nota¸˜o acima utilizamos a propriedade comum aos elementos de A para, ao inv´s ca ede listar os seus elementos, darmos um crit´rio de quando um elemento pertence ou n˜o e aao dito conjunto. Mais especificamente: para que um n´mero real perten¸a ao conjunto u cA, ´ preciso que ele seja maior que ou igual a 2. eObserva¸˜o 2.2.1 Existe um conjunto muito importante em Matem´tica que ´ o con- ca a ejunto que n˜o possui elemento algum. Este conjunto ser´ chamado de conjunto vazio a ae ser´ representado por ∅ que ´ uma letra do alfabeto norueguˆs. Podemos descrever a e eo conjunto vazio atrav´s de uma propriedade que n˜o ´ satisfeita por qualquer objeto. e a ePor exemplo, o conjunto {x ∈ R; x > x + 1} ´ vazio, uma vez que essa propriedade n˜o e a´ satisfeita por nenhum n´mero real.e u2.3 Inclus˜o aUma importante rela¸˜o entre conjuntos ´ a rela¸˜o de inclus˜o que veremos a seguir. ca e ca aDados dois conjuntos A e B, diremos que A ´ um subconjunto de B se todo elemento e ımbolo A ⊆ B para denotar este fato.de A for tamb´m elemento de B. Usaremos o s´ eSimbolicamente podemos escrever: A ⊆ B quando (∀x) (x ∈ A → x ∈ B )Uma maneira de visualizar a inclus˜o de conjuntos utilizando os diagramas de Venn est´ a amostrada abaixo. Na figura temos A ⊂ B.
  15. 15. ˜2.3. INCLUSAO 13Quando A n˜o for um subconjunto de B, simbolizaremos isso por A ⊆ B. Isso siginifica aque existe pelo menos um elemento de A que n˜o pertence a B. aObserva¸˜o 2.3.1 Existem na literatura outros termos que tamb´m significam que A ´ ca e eum subconjunto de B. Diz-se tamb´m que A est´ contido em B, que A ´ uma parte e a ede B, que B ´ um superconjunto de A, ou que B cont´m A. e eObserva¸˜o 2.3.2 A nota¸˜o A ⊂ B, no nosso curso indicar´ o fato de que A ´ um ca ca a esubconjunto de B mas que ´ diferente dele. Diz-se nesse caso que A ´ um subconjunto e epr´prio de B. o ca ´Observa¸˜o 2.3.3 E preciso ter bastante cuidado no uso dos s´mbolos ∈ e ⊆ . Em alguns ıcasos um conjunto pode ser, ele mesmo, elemento de um outro conjunto.Veremos agora alguns exemplos.Exemplo 2.3.1 Sejam A e B conjuntos dados respectivamente por A = {1, 3} e B ={1, 2, 3, 4} . Temos que A ⊂ B e que B ⊆ A.Exemplo 2.3.2 Sejam A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4} . Nesse caso n˜o temos nem A ⊆ B anem B ⊆ A.Exemplo 2.3.3 Seja A = {a, b, c} . As afirma¸˜es a ∈ A e {a} ⊆ A s˜o ambas ver- co adadeiras. Agora, se A = {{a} , b, c} , ent˜o as afirma¸˜es a ∈ A e {a} ⊆ A s˜o ambas a co afalsas.Veremos agora algumas propriedades da inclus˜o de conjuntos. aTeorema 2.3.1 Se A, B e C s˜o conjuntos ent˜o valem as seguintes propriedades: a a(i) A ⊆ A,(ii) ∅ ⊆ A,(iii) Se A ⊆ B e B ⊆ C, ent˜o A ⊆ C, aDemonstra¸˜o: A primeira propriedade decorre imediatamente da defini¸ao de in- ca c˜clus˜o. aProvemos a segunda. Ela equivale a provar que se a ∈ ∅ ent˜o a ∈ A. Como uma aimplica¸ao deste tipo ser´ sempre verdadeira, uma vez que a hip´tese nunca acontece, c˜ a o
  16. 16. 14 CAP´ ITULO 2. CONJUNTOSsomos levados a concluir que vale a propriedade (ii).Para mostrar que A ⊆ C, devemos mostrar que, dado a ∈ A, temos que a ∈ C. Ora, masdado a ∈ A, segue que a ∈ B, por hip´tese e, tamb´m por hip´tese, segue que a ∈ C, o e ocomo quer´ ıamos.Surge agora uma importante pergunta: Quando dois conjuntos s˜o iguais? A resposta amais simples ´ dizer que eles s˜o iguais quando tiverem os mesmos elementos. Para os e anossos prop´sitos usaremos uma defini¸ao que ´ bem mais f´cil de se trabalhar que ´ a o c˜ e a eseguinte: Dados dois conjuntos A e B diremos que ele s˜o iguais e representamos isso apor A = B, se A ⊆ B e B ⊆ A.Exemplo 2.3.4 Os conjuntos A = {a, t, o, r, d} e B = { letras da palavra atordoado }s˜o iguais. aExemplo 2.3.5 Os conjuntos A = {x ∈ R|x2 − 5x + 6 < 0} e B = {x ∈ R|2 < x < 3}s˜o iguais. De fato, seja x ∈ A. Assim, x2 −5x+6 < 0. Mas x2 −5x+6 = (x − 2) (x − 3) . aAssim, se x ∈ A, ent˜o (x − 2) (x − 3) < 0. Portanto, devemos ter a 1. (x − 2) > 0 e (x − 3) < 0 ou 2. (x − 2) < 0 e (x − 3) > 0.No primeiro caso, devemos ter x > 2 e x < 3, ou seja, 2 < x < 3. No segundo caso,devemos ter x − 2 < 0 e x − 3 > 0. Como n˜o existem n´meros satisfazendo as essas duas a ucondi¸˜es simultaneamente, esse caso n˜o pode ocorrer. Logo, devemos ter 2 < x < 3, co aou seja, x ∈ B.Seja x ∈ B. Ent˜o x − 2 > 0 e x − 3 < 0, donde x2 − 5x + 6 = (x − 2) (x − 3) < 0, ou aseja, x ∈ A.Observa¸˜o 2.3.4 A defini¸˜o de igualdade entre conjuntos possui interessantes pro- ca capriedades, a saber: Se A, B e C s˜o conjuntos ent˜o vale o seguinte a a 1. A = A, 2. se A = B ent˜o B = A, a 3. se A = B e B = C ent˜o A = C. a
  17. 17. ¸˜2.4. OPERACOES COM CONJUNTOS 15Como vimos anteriormente, um conjunto pode ser elemento de um outro conjunto. Vamosnos aprofundar um pouco mais nessa id´ia e definirmos um importante conjunto cujos eelementos s˜o conjuntos. Seja A um conjunto. Definimos o Conjunto das Partes de A acomo sendo o conjunto cujos elementos s˜o os subconjuntos de A. Vamos represent´-lo a apor ℘ (A) . Em s´ ımbolos: ℘ (A) = {X|X ⊆ A} .Exemplo 2.3.6 Se A = {a} ent˜o ℘ (A) = {∅, {a}} . aExemplo 2.3.7 Se A = ∅, ent˜o ℘ (∅) = {∅} . aExemplo 2.3.8 Se A = {a, b} ent˜o ℘ (A) = {∅, {a} , {b} , {a, b}} . aObserva¸˜o 2.3.5 O conjunto ℘ (A) nunca ´ vazio pois o conjunto vazio ´ subconjunto ca e ede todo conjunto.Observa¸˜o 2.3.6 Se o conjunto A tiver n elementos ent˜o o conjunto ℘ (A) ter´ 2n ca a aelementos. N˜o vamos provar isso agora. Primeiro vamos entender o que significa ter an elementos. Isso ficar´ para breve quando estivermos falando de conjuntos finitos e ainfinitos.2.4 Opera¸˜es com conjuntos coA nossa id´ia agora ´ formar novos conjuntos a partir de outros. A forma¸˜o desses novos e e caconjuntos usar´ fortemente os termos e, ou e n˜o vistos na disciplina de Argumenta¸ao a a c˜em Matem´tica. aSejam A e B conjuntos. A uni˜o de A e B ´ o conjunto dos elementos que pertencem a a epelo menos um dos dois conjuntos A ou B. Vamos represent´-la por A ∪ B. Em s´ a ımbolostemos A ∪ B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B} .Em outras palavras, o conjunto A ∪ B ´ o conjunto contendo todos os elementos que eest˜o em A, em B ou em ambos. Na figura a seguir temos uma representa¸ao de A ∪ B a c˜em um diagrama de Venn. Nessa figura A e B est˜o contidos num conjunto maior U adenominado Conjunto Universo.
  18. 18. 16 CAP´ ITULO 2. CONJUNTOS Sejam A e B conjuntos. A interse¸˜o de A e B ´ o conjunto dos elementos que ca epertencem a ambos os conjuntos A e B. Vamos represent´-la por A ∩ B. Em s´ a ımbolostemos A ∩ B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B} .Na figura a seguir temos uma representa¸ao de A ∩ B em um diagrama de Venn. Nessa c˜figura A e B est˜o contidos num conjunto maior U denominado Conjunto Universo. aExemplo 2.4.1 Sejam A = {x, y, z, p} e B = {x, q} . Ent˜o A ∪ B = {x, y, z, p, q} e aA ∩ B = {x} .Exemplo 2.4.2 Sejam A = {p ∈ N|p ´ um n´mero par} e B = {p ∈ N|p ´ um n´mero ´ e u e u ımpar} .Ent˜o A ∪ B = N e A ∩ B = ∅. aObserva¸˜o 2.4.1 Vemos imediatamente da defini¸˜o que A, B ⊆ A ∪ B e que A ∩ B ⊆ ca caA, B.Observa¸˜o 2.4.2 Se A e B s˜o conjuntos tais que A ∩ B = ∅, diremos que A e B s˜o ca a aConjuntos disjuntos.
  19. 19. ¸˜2.4. OPERACOES COM CONJUNTOS 17Reuniremos no Teorema a seguir as principais propriedades das Uni˜o e da Interse¸ao de a c˜conjuntos:Teorema 2.4.1 Sejam A, B e C conjuntos. Ent˜o valem as seguintes propriedades: a 1. Se X ⊆ A e X ⊆ B ent˜o X ⊆ A ∩ B, a 2. Se A ⊆ Y e B ⊆ Y ent˜o A ∪ B ⊆ Y, a 3. Comutatividade A ∪ B = B ∪ A, e A ∩ B = B ∩ A, 4. Associatividade (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) , e (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) , 5. Distributividade A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) e A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 6. Identidade A ∪ ∅ = A e A ∩ ∅ = ∅, 7. Idempotˆncia A ∪ A = A e A ∩ A = A, e 8. Absor¸˜o Se A ⊆ B ent˜o A ∪ B = B e A ∩ B = A, ca a 9. Monotonicidade Se A ⊆ B ent˜o A ∪ C ⊆ B ∪ C e A ∩ C ⊆ B ∩ C. aDemonstra¸˜o: Todas as propriedades decorrem das defini¸˜es. Vamos provar uma ca codas igualdades da propriedade (5), ficando outra igualdade e as demais como exerc´ ıciopara o leitor. Seja x ∈ A ∩ (B ∪ C) . Ent˜o x ∈ A e x ∈ B ∪ C. Assim, x ∈ B ou ax ∈ C. No primeiro caso, temos que x ∈ A ∩ B, enquanto que no segundo, temos quex ∈ A ∩ C. Em qualquer dos casos teremos ent˜o x ∈ (A ∩ B) ou x ∈ (A ∩ C) , ou seja, ax ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) , provando que A ∩ (B ∪ C) ⊆ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) . Seja agorax ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) . Ent˜o x ∈ A ∩ B ou x ∈ A ∩ C. No primeiro caso, temos que ax ∈ A e x ∈ B. Como x ∈ B, segue que x ∈ B ∪ C. Portanto, do primeiro caso, con- ımos que x ∈ A ∩ (B ∪ C) . Por um racioc´clu´ ınio totalmente an´logo conclu´ a ımos que,ocorrendo o segundo caso, teremos x ∈ A ∩ (B ∪ C) . Portanto, em qualquer dos casosteremos x ∈ A ∩ (B ∪ C) , mostrando que (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⊆ A ∩ (B ∪ C) . Portanto,a igualdade est´ provada. aObserva¸˜o 2.4.3 Os adjetivos dados a algumas das propriedades acima vˆm dos mes- ca emos adjetivos dados a propriedades an´logas que os n´meros e as opera¸˜es com eles a u co
  20. 20. 18 CAP´ ITULO 2. CONJUNTOSdefinidas possuem. Apenas a t´tulo de curiosidade, vamos atentar para a propriedade ıdistributiva do produto com rela¸˜o ` adi¸˜o que nos diz que se x, y e z s˜o n´meros ca a ca a ureais, ent˜o a x · (y + z) = x · y + x · z.Perceba a analogia existente entre essa propriedade e aquela que ´ v´lida para conjuntos. e aSejam A e B conjuntos. A Diferen¸a entre A e B ´ o conjunto dos elementos que c epertencem ao conjunto A mas que n˜o pertencem ao conjunto B. Vamos represent´-la a apor A − B. Em s´ ımbolos temos A − B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B} .Na figura a seguir temos uma representa¸˜o de A − B em um diagrama de Venn. Nessa cafigura A e B est˜o contidos num conjunto maior U denominado Conjunto Universo. aExemplo 2.4.3 Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} . Ent˜o A − B = a{1, 2, 3} . Tamb´m vemos que B − A = {7, 8, 9, 10} . eExemplo 2.4.4 Se A = N e B = {x ∈ N|x > 10} . Ent˜o A−B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} . aNesse caso, B − A = ∅, uma vez que B ⊂ A.Vejamos agora as principais propriedades da diferen¸a de conjuntos. cTeorema 2.4.2 Sejam A, B e C conjuntos. Ent˜o valem as seguintes propriedades: a 1. A − B ⊆ A, 2. (A − B) ∩ B = ∅, 3. A − B = ∅ ↔ A ⊆ B,
  21. 21. ¸˜2.4. OPERACOES COM CONJUNTOS 19 4. Se A ⊆ B, ent˜o A − C = A ∩ (B − C) , a 5. Se A ⊆ B, ent˜o C − B ⊆ C − A, a 6. C − (A ∪ B) = (C − A) ∩ (C − B) e C − (A ∩ B) = (C − A) ∪ (C − B) ,Demonstra¸˜o: Vamos provar apenas uma das igualdades da parte (6), deixando a caoutra e as demais propriedades como exerc´ para o leitor. Seja x ∈ C −(A ∪ B) . Ent˜o ıcio ax ∈ C e x ∈ A∪B. Assim conclu´ ımos que x ∈ A e x ∈ B. Como x ∈ C e x ∈ A, temos quex ∈ (C − A) . Analogamente, x ∈ C e x ∈ B, da´ x ∈ (C − A) ∩ (C − B) , acarretando ı,que C − (A ∪ B) ⊆ (C − A) ∩ (C − B) . Suponha agora que x ∈ (C − A) ∩ (C − B) . ımos que x ∈ C − A e que x ∈ C − B. Logo, x ∈ C e x ∈ A e x ∈ B. Assim,Conclu´x ∈ C −(A ∪ B) . Isso acarreta que (C − A)∩(C − B) ⊂ C −(A ∪ B) , donde a igualdadeest´ provada. aObserva¸˜o 2.4.4 A propriedade (6) ´ conhecida como as Leis de De Morgan, em ca ehomenagem ao matem´tico Augustus de Morgan. aA existˆncia de um conjunto de todos os conjuntos, ou um conjunto universo leva a ealgumas contradi¸oes na Teoria dos Conjuntos. Entretanto, tomando-se o devido cuidado, c˜podemos assumir essa hip´tese sem problemas. Faremos isso a seguir para definirmos oum importante conjunto. Suponha que U seja um conjunto universo e que A ⊆ U. OComplementar de A com rela¸˜o a U ´ o conjunto U − A. Vamos represent´-lo por ca e aA . Na figura a seguir temos uma representa¸˜o de A em um diagrama de Venn. Nessa cafigura A e B est˜o contidos num conjunto maior U . aSupondo que A e B estejam contidos em um conjunto universo U, podemos dar algumaspropriedades dos complementares:
  22. 22. 20 CAP´ ITULO 2. CONJUNTOSTeorema 2.4.3 Sejam A e B subconjuntos de um conjunto universo U. Ent˜o valem as aseguintes propriedades: 1. A − B = A ∩ B , 2. (A ) = A, 3. ∅ = U e U = ∅, 4. A ∩ A = ∅ e A ∪ A = U, 5. A ⊆ B ↔ B ⊆ A , 6. (A ∪ B) = A ∩ B , 7. (A ∩ B) = A ∪ B .Demonstra¸˜o: A demonstra¸˜o ´ feita usando as defini¸˜es e o Teorema (2.4.2). Deix- ca ca e coamos para o leitor como exerc´ ıcio.
  23. 23. Cap´ ıtulo 3Fam´ ılias indexadas de conjuntosVamos supor que I seja um conjunto n˜o-vazio e que, a cada i ∈ I, esteja associado um aconjunto Ai . O conjunto F cujos elementos s˜o os conjuntos Ai ´ chamado de Fam´ a e ıliade conjuntos indexada pelo conjunto I. O conjunto I ´ chamado de Conjunto de eındices. Em geral usa-se a nota¸ao {Ai }i∈I para se representar a fam´ F. Uma outra´ c˜ ılianota¸ao ´ F = {Ai |i ∈ I} . c˜ eSe F ´ uma fam´ indexada por I, diremos que A ∈ F se existir i ∈ I de tal modo que e ıliaA = Ai .Exemplo 3.0.5 A fam´lia A1 = {1, 2} , A2 = {2, 4} , ..., An = {n, 2n} , ... ´ uma fam´lia ı e ıde conjuntos indexada pelo conjunto N.Exemplo 3.0.6 A fam´lia A∂ = ∅, A = N, A∞ = Z, A = Q e A = R ´ uma fam´lia ı e ıindexada pelo conjunto I = {∂, , ∞, , } .Veremos agora como definir a uni˜o e a interse¸˜o de elementos em uma fam´ a ca ılia. Seja Fuma fam´ indexada pelo conjunto I. Definimos a Uni˜o dos conjuntos de F como ılia asendo o conjunto Ai = {x|x ∈ Ai , para algum i ∈ I} . i∈IA Interse¸˜o dos conjuntos de F ´ o conjunto ca e Ai = {x|x ∈ Ai , para todo i ∈ I} . i∈IExemplo 3.0.7 Seja F = {[−n, n] |n ∈ N} . Ent˜o a An = R n∈N 21
  24. 24. 22 CAP´ ITULO 3. FAM´ ILIAS INDEXADAS DE CONJUNTOSe An = [−1, 1] . n∈NExemplo 3.0.8 Para cada n ∈ N, considere a fam´lia ı 1 1 F= − , |n ∈ N . n nEnt˜o a n∈N Cn = [−1, 1] e n∈N Cn = {0} .Reuniremos agora no Teorema abaixo as principais propriedades de uni˜es, interse¸oes e o c˜diferen¸as entre fam´ c ılias de conjuntos:Teorema 3.0.4 Sejam I um conjunto n˜o-vazio, {Ai }i∈I uma fam´lia de conjuntos in- a ıdexada por I, e B um conjunto. Ent˜o: a 1. i∈I Ai ⊆ Ak , para todo k ∈ I. Se B ⊆ Ak , para todo k ∈ I, ent˜o B ⊆ a i∈I Ai , 2. Ak ⊆ i∈I Ai , para todo k ∈ I. Se Ak ⊆ B, para todo k ∈ I, ent˜o a i∈I Ai ⊆ B, 3. Lei distributiva B ∩ i∈I Ai = i∈I (B ∩ Ai ) , 4. Lei distributiva B ∪ i∈I Ai = i∈I (B ∪ Ai ) , 5. Lei de De Morgan B − i∈I Ai = i∈I (B − Ai ) , 6. Lei de De Morgan B − i∈I Ai = i∈I (B − Ai ) .Demonstra¸˜o: Provaremos apenas a parte (3), deixando as demais como exerc´ ca ıcio.Seja x ∈ B ∩ i∈I Ai . Ent˜o x ∈ B e x ∈ a i∈I Ai . Assim, x ∈ Ak para algumk ∈ I. Assim, x ∈ B ∩ Ak . Dessa forma, x ∈ i∈I (B ∩ Ai ) , pela parte (1). As-sim B ∩ i∈I Ai ⊆ i∈I (B ∩ Ai ) . Agora seja x ∈ i∈I (B ∩ Ai ) . Assim, x ∈ B ex ∈ Ak . Dessa forma, x ∈ i∈I Ai pela parte (1). Assim, x ∈ B ∩ i∈I Ai . Portanto, i∈I (B ∩ Ai ) ⊆ B ∩ i∈I ımos que B ∩ Ai . Da´ conclu´ ı i∈I Ai = i∈I (B ∩ Ai ) .
  25. 25. Cap´ ıtulo 4Rela¸˜es co4.1 Pares ordenadosSejam A e B conjuntos e a ∈ A e b ∈ B. O Par ordenado cujo primeiro elemento ´ ea e o segundo elemento ´ b ´, por defini¸ao, o conjunto {{a} , {a, b}} . Vamos denot´- e e c˜ alo por (a, b) . A principal propriedade dos pares ordenados ´ aquela que diz respeito a e `igualdade entre dois deles. Sendo mais espec´ ıficos, temos o seguinteTeorema 4.1.1 (a, b) = (c, d) se e somente se a = c ∧ b = d.Demonstra¸˜o: De fato, se a = c e b = d ent˜o (a, b) = (c, d) , imediatamente. Suponha ca aagora que (a, b) = (c, d) . Ent˜o os conjuntos {{a} , {a, b}} e {{c} , {c, d}} s˜o iguais. Da´ a a ıconclu´ ımos que a = c e que b = d.Observa¸˜o 4.1.1 Daqui por diante e, em praticamente toda a sua vida, vocˆ s´ vai ca e outilizar o s´ ımbolo (a, b) para falar do par ordenado cujo primeiro elemento ´ a e o segundo e´ b.e4.2 Produto cartesianoSejam A e B conjuntos. O Produto cartesiano de A por B, denotado por A × B, ´ o econjunto dos pares ordenados cujo primeiro elemento pertence ao conjunto A e o segundoelemento pertence ao conjunto B. Em s´ ımbolos: A × B = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B} . 23
  26. 26. 24 CAP´ ¸˜ ITULO 4. RELACOESExemplo 4.2.1 Se A = {a, b} e B = {1, 2, 3} , ent˜o a A × B = {(a, 1) , (a, 2) , (a, 3) , (b, 1) , (b, 2) , (b, 3)} .Exemplo 4.2.2 Se A = {1, 3, 5} , ent˜o a A × A = {(1, 1) , (1, 3) , (1, 5) , (3, 1) , (3, 3) , (3, 5) , (5, 1) , (5, 3) , (5, 5)} .Algumas das principais propriedades do produto cartesiano de dois conjuntos est˜o lis- atadas no Teorema a seguir. Vamos provar apenas uma e deixar o restante como exerc´ ıcio.Teorema 4.2.1 Sejam A, B e C conjuntos. Ent˜o valem as propriedades: a 1. Se A ⊆ B ∧ C ⊆ D ent˜o A × C ⊆ B × D, a 2. A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) , 3. (B ∪ C) × A = (B × A) ∪ (C × A) , 4. A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) , 5. (B ∩ C) × A = (B × A) ∩ (C × A) , 6. (A ∩ B) × (C ∩ D) = (A × C) ∩ (B × D) .Demonstra¸˜o: Vamos provar a propriedade (2) . Seja (a, b) ∈ A × (B ∪ C) . Ent˜o ca aa ∈ A e b ∈ B ∪ C. Assim, b ∈ B ou b ∈ C. No primeiro caso, teremos (a, b) ∈ A × B ⊆A×B ∪A×C. No segundo teremos (a, b) ∈ A×C ⊆ A×B ∪A×C. Portanto, em qualquerdos casos teremos A × (B ∪ C) ⊆ A × B ∪ A × C. Seja agora (a, b) ∈ A × B ∪ A × C.Ent˜o h´ dois casos: (a, b) ∈ A × B ou (a, b) ∈ A × C. Se ocorrer o primeiro caso, ent˜o a a aa ∈ A e b ∈ B ⊂ B ∪ C, ou seja (a, b) ∈ A × (B ∪ C) . Se ocorrer o segundo caso, ent˜o a(a, b) ∈ A × C. Da´ a ∈ A e b ∈ C ⊆ B ∪ C, ou seja, (a, b) ∈ A × (B ∪ C) . Portanto, ı,qualquer que seja o caso, temos A × B ∪ A × C ⊆ A × (B ∪ C) .Observa¸˜o 4.2.1 Em geral A × B = B × A. Dˆ um exemplo para ilustrar isso. ca eObserva¸˜o 4.2.2 Se B = A ent˜o A × B ser´ denotado por A2 ou B 2 . ca a aObserva¸˜o 4.2.3 Pode-se definir o produto cartesiano sem necessariamente se fazer camen¸˜o a pares ordenados. Esse ponto de vista ser´ abordado quando formos definir ca aprodutos cartesianos de uma quantidade infinita de conjuntos. Isso ser´ feito no curso ade Matem´tica Elementar II. a
  27. 27. ¸˜4.3. RELACOES 254.3 Rela¸˜es coSejam A e B conjuntos. Uma Rela¸˜o bin´ria ca a de A em B ou simplesmente umaRela¸˜o ca de A em B ´ qualquer subconjunto de A × B. eObserva¸˜o 4.3.1 Se B = A ent˜o diremos que ca a ´ uma rela¸˜o em A ou sobre A. e caObserva¸˜o 4.3.2 Se (x, y) ∈ ca , escreveremos x y. Caso contr´rio, isto ´, se (x, y) ∈ a e , escreveremos x y, para simbolizar isso.Exemplo 4.3.1 Sejam A = {1, 2, 3} , B = {x, y, z} e = {(1, y) , (1, z) , (2, y)} ´ uma erela¸˜o de A em B. caExemplo 4.3.2 Sejam A = B = R e = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 ≤ 1} . Ent˜o a ´ uma erela¸˜o de R em R ou simplesmente uma rela¸˜o em R. Geometricamente ela pode ser ca carepresentada por um c´rculo de centro na origem e raio 1, conforme a figura a seguir. ıExemplo 4.3.3 Sejam A = B = R e definida por x y ↔ x + 2y = 1. Geometrica-mente podemos represent´-la por uma reta no plano. aExemplo 4.3.4 Seja X = {1, 2, 3} . Em A = ℘ (X) = {∅, {1} , {2} , {3} , {1, 2} , {1, 3} , {2, 3} , {1, 2, 3}}podemos definir a seguinte rela¸˜o: P Q ↔ P ⊆ Q. Observe que ∅ X, qualquer que seja caX ⊂ {1, 2, 3} . Temos {1} {1, 2} e {2} {1, 3} .Exemplo 4.3.5 Podemos definir em A = Z a seguinte rela¸˜o ca a b ↔ a − b ´ divis´vel por 5. e ıObserve que 8 − 2, −4 6 e 3 9. Esa rela¸˜o ser´ estudada bastante por n´s em dois ca a omomentos. O primeiro quando estudarmos Rela¸˜es de Equivalˆncia e o segundo, quando co eestudarmos Teoria dos N´meros. u
  28. 28. 26 CAP´ ¸˜ ITULO 4. RELACOESExemplo 4.3.6 Seja A = M2×2 (R) , o conjunto das matrizes quadradas 2 × 2. Em Adefinimos a seguinte rela¸˜o: ca X Y ↔ x11 + x22 = y11 + y22 .Exemplo 4.3.7 Seja A o conjunto das retas no plano. Em A, podemos definir a seguinterela¸˜o: ca r s ↔ r ´ paralela a s. eObserva¸˜o 4.3.3 Observe que em quase todos os exemplos acima n˜o dissemos quem ca aeram explicitamente os pares ordenados que pertenciam ` rela¸˜o. Ao inv´s disso, disse- a ca e ´mos quando dois elementos se relacionam. E muito importante que vocˆ se conven¸a de e cque isso que fizemos ´ equivalente a dar os pares ordenados da rela¸˜o. e ca4.4 Dom´ ınio e ImagemSeja uma rela¸ao de A em B. O conjunto formado pelos primeiros elementos dos pares c˜ordenados que pertencem a ´ chamado de Dom´ e ınio da rela¸˜o ca e representado porD ( ) ou por Dom ( ) . Em s´ ımbolos D ( ) = {a ∈ A| Existe b ∈ B tal que (a, b) ∈ }.A Imagem de , por sua vez, ´ o conjunto formado pelos segundos elementos dos pares eordenados que pertencem a . Vamos denot´-la por I ( ) ou Im ( ) . Em s´ a ımbolos I ( ) = {b ∈ B| Existe a ∈ A tal que (a, b) ∈ }.Exemplo 4.4.1 No caso do exemplo (4.3.1), temos que D ( ) = {1, 2} e I ( ) = {y, z} .Exemplo 4.4.2 No caso do exemplo (4.3.2), temos que D ( ) = [−1, 1] e I ( ) =[−1, 1] .Exemplo 4.4.3 No caso do exemplo (4.3.3), temos que D ( ) = I ( ) = R.4.5 Rela¸˜o Composta e Rela¸˜o Inversa ca caSejam A, B e C conjuntos e R uma rela¸ao de A em B e S uma rela¸ao de B em C. A c˜ c˜Rela¸˜o Composta de S e R ´ rela¸˜o de A em C, denotada por S ◦ R, e definida por ca e ca S ◦ R = {(a, c) ∈ A × C| Existe b ∈ B tal que (a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ S} .Vejamos agora alguns exemplos:
  29. 29. ¸˜ ¸˜4.5. RELACAO COMPOSTA E RELACAO INVERSA 27Exemplo 4.5.1 Sejam A = {1, 2, 3, 4} , B = {x, y, z, w} e C = {5, 6, 7, 8} e as rela¸˜es coR de A em B e S de B em C definidas, respectivamente, por R = {(1, x) , (1, y) , (2, x) , (3, w) , (4, w)}e S = {(y, 5) , (y, 6) , (z, 8) , (w, 7)} .Ent˜o a S ◦ R = {(1, 5) , (1, 6) , (3, 7) , (4, 7)} .Exemplo 4.5.2 Sejam A = B = C = R e as rela¸˜es em A definidas por co R = (x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 = 1e S = (y, z) ∈ R2 |2y + 3z = 4 .Se (x, y) ∈ R e (y, z) ∈ S, ent˜o a x2 + y 2 = 1e 2y + 3z = 4. 4 − 3z 16 − 24z + 9z 2Portanto, y = o que acarreta y 2 = . Logo, 2 4 16 − 24z + 9z 2 x2 + = 1, 4ou seja, 4x2 − 24z + 9z 2 + 12 = 0e da´ ı S ◦ R = (x, z) ∈ R2 |4x2 − 24z + 9z 2 + 12 = 0 .Sejam A e B conjuntos e uma rela¸ao de A em B. A Rela¸˜o Inversa de c˜ ca ´ a rela¸ao e c˜ −1de B em A, denotada por e definida por −1 = {(b, a) ∈ B × A| (a, b) ∈ }.Vejamos alguns exemplos
  30. 30. 28 CAP´ ¸˜ ITULO 4. RELACOESExemplo 4.5.3 Sejam A = {1, 2, 3} e B = {a, b} e considere a rela¸˜o de A em B cadefinida por = {(1, a) , (1, b) , (1, c)} .Ent˜o, por defini¸˜o segue que a ca −1 = {(a, 1) , (b, 1) , (a, 3)} .Exemplo 4.5.4 Sejam A = B = R e considere a rela¸˜o em A definida por ca = (x, y) ∈ R2 |y = 2x .Vemos que −1 = (y, x) ∈ R2 |y = 2x = (x, y) ∈ R2 |x = 2y .Exemplo 4.5.5 Sejam A = B = R e considere a rela¸˜o em A definida por ca = (x, y) |x2 + (y − 2)2 ≤ 1 .Ent˜o vemos que a −1 = (y, x) ∈ R2 |x2 + (y − 2)2 ≤ 1 ,ou seja, −1 = (x, y) ∈ R2 | (x − 2)2 + y 2 ≤ 1 .Observa¸˜o 4.5.1 Se ca ´ uma rela¸˜o de A em B ent˜o valem as seguintes pro- e ca apriedades: −1 1. D ( ) = Im ( ), −1 2. I ( ) = D( ) −1 −1 3. ( ) = .Todos esses fatos seguem das defini¸˜es. Para treinar no uso delas sugerimos que vocˆ co eprove-os como exerc´cio. ı
  31. 31. ¸˜ ˆ4.6. RELACOES DE EQUIVALENCIA 294.6 Rela¸˜es de Equivalˆncia co eH´ dois tipos muito importantes de rela¸oes: as Rela˜es de Ordem e as Rela¸oes de a c˜ o c˜Equivalˆncia. Aqui vamos estudar as Rela¸oes de Equivalˆncia. Para isso, definiremos e c˜ ealguns termos.Defini¸˜o 4.6.1 Seja A um conjunto e ca uma rela¸˜o em A. Diremos que ca ´ uma erela¸˜o: ca • Reflexiva Se para todo x ∈ A, tivermos (x, x) ∈ A. Em outros termos, ´ uma e rela¸˜o reflexiva se, para todo x ∈ A, tivermos x x. ca • Sim´trica Se (x, y) ∈ e implicar (y, x) ∈ . Em outros termos, ´ uma rela¸˜o e ca sim´trica se x y ⇒ y x. e • Transitiva Se (x, y) ∧ (y, z) ∈ implicar (x, z) ∈ . Em outros termos, ´ uma e rela¸˜o transitiva se x y ∧ y z ⇒ x z. caVeremos agora v´rios exemplos. aExemplo 4.6.1 Sejam A = {1, 2, 3, 4} e a rela¸˜o em A definida por ca = {(1, 1) , (2, 4) , (3, 3) , (4, 1) ,Observe que: 1. n˜o ´ reflexiva pois (2, 2) ∈ . a e 2. n˜o ´ sim´trica pois (4, 1) ∈ a e e , mas (1, 4) ∈ . 3. n˜o ´ transitiva pois (2, 4) ∈ a e e (4, 1) ∈ mas (2, 1) ∈ .Exemplo 4.6.2 Sejam A = R e a rela¸˜o em A definida por x y ↔ x < y. Observe caque: 1. n˜o ´ reflexiva pois 1 a e 1. 2. n˜o ´ sim´trica pois 1 2 mas 2 a e e 1. 3. ´ transitiva pois se x, y, z ∈ R e x < y e y < z, ent˜o x < z. e aExemplo 4.6.3 Sejam X = {1, 2, 3} e A = ℘ (X) . Defina em A a rela¸˜o P Q ↔ P ⊆ caQ. Observe que: 1. ´ reflexiva pois, para cada P ∈ A, teremos P P uma vez que todo conjunto est´ e a contido em si mesmo.
  32. 32. 30 CAP´ ¸˜ ITULO 4. RELACOES 2. n˜o ´ sim´trica pois ∅ {1} mas {1} a e e ∅. 3. ´ transitiva pois se P Q e Q T ent˜o teremos P ⊆ Q e Q ⊆ T e da´ P ⊆ T, e a ı ou seja, P T.Exemplo 4.6.4 Sejam A = N e a rela¸˜o definida em A por x y ↔ x ´ divisor de y.1 Observe ca eque: 1. ´ reflexiva pois, para cada x ∈ A, temos que x ´ divisor de x. e e 2. n˜o ´ sim´trica pois 1 2 mas 2 a e e 1. 3. ´ transitiva pois se x y e y z ent˜o y = k1 x e z = k2 y. Logo z = k1 k2 x, donde e a x z.Exemplo 4.6.5 Sejam A = {1, 2, 3, 4} e a rela¸˜o em A definida por ca = {(1, 3) , (4, 2) , (2, 4) , (2, 3) ,Observe que: 1. n˜o ´ reflexiva pois (1, 1) ∈ . a e 2. n˜o ´ sim´trica pois (2, 3) ∈ a e e mas (3, 2) ∈ . 3. n˜o ´ transitiva pois (1, 3) ∈ a e e (3, 1) ∈ mas (1, 1) ∈ .Exemplo 4.6.6 Sejam A = N e a rela¸˜o em A definida por x y ↔ x + y = 8. caObserve que 1. n˜o ´ reflexiva pois 3 a e 3. 2. ´ sim´trica pois se x y ent˜o x + y = 8 = y + x, logo y x. e e a 3. n˜o ´ transitiva pois 2 6 e 6 2 mas 2 a e 2.Exemplo 4.6.7 Sejam A = {a, b, c} e a rela¸˜o em A por ca = {(a, b) , (c, b) , (b, a) , (a, c)} .Observe que: 1. n˜o ´ reflexiva pois (a, a) ∈ . a e 2. n˜o ´ sim´trica pois (c, b) ∈ a e e mas (b, c) ∈ , 3. n˜o ´ transitiva pois (a, b) ∈ a e e (b, a) ∈ mas (a, a) ∈ . 1 Lembre que x ser divisor de y significa que existe um k ∈ N tal que y = kx.
  33. 33. ¸˜ ˆ4.6. RELACOES DE EQUIVALENCIA 31Agora podemos definir o que entendemos por uma Rela¸˜o de Equivalˆncia. ca eDefini¸˜o 4.6.2 Sejam A um conjunto e ca uma rela¸˜o em A. Diremos que ca ´ uma eRela¸˜o de Equivalˆncia se ela for reflexiva, sim´trica e transitiva. ca e eVejamos alguns exemplosExemplo 4.6.8 Sejam A = Z e a rela¸˜o definida em A por x y ↔ x−y ´ divis´vel por 5. ca e ıObserve que: 1. ´ reflexiva pois, para cada x ∈ A, temos que x − x = 0 e 0 ´ divis´vel por 5. e e ı 2. ´ sim´trica pois se x y ent˜o x − y ´ divis´vel por 5. Mas isso siginifica que e e a e ı x − y = 5k para algum k ∈ Z. Logo, y − x = −5k = 5 (−k) = 5p, donde conclu´mos ı que y x. 3. ´ transitiva pois se x y e y z ent˜o x − y = 5k1 e y − z = 5k2 , com k1 , k2 ∈ Z. e a Da´ x − z = 5 (k1 − k2 ) = 5p, ou seja, x z. ıExemplo 4.6.9 Sejam A o conjunto dos triˆngulos do plano e a a rela¸˜o em A definida capor S T ↔ S ´ congruente a T. Observe que e ´ uma rela¸˜o de equivalˆncia em A. e ca eExemplo 4.6.10 Sejam A = Q, o conjunto dos n´meros racionais e R a rela¸˜o definida u ca p sem A por ↔ pt = sq. Observe que: q t 1. ´ reflexiva pois pq = pq. e p s s p 2. ´ sim´trica pois se e e ent˜o pt = sq. Mas isso acarreta que a . q t t q p s s u 3. ´ transitiva pois se e e ent˜o pt = sq e sv = tu. Logo pv a = uq, ou seja, q t t v p u . q vExemplo 4.6.11 Sejam A o conjunto dos segmentos orientados do plano ou do espa¸o e c a rela¸˜o em A definida por u v ↔ u e v tˆm o mesmo m´dulo, mesma dire¸˜o e mesmo sentido. ca e o caObserve que a rela¸˜o ca ´ de equivalˆncia. e eAp´s os exemplos, vamos definir alguns termos. oDefini¸˜o 4.6.3 Sejam A um conjunto, ca uma rela¸˜o de equivalˆncia em A e a ∈ ca eA. O conjunto dos elementos de A que se relacionam com a ´ chamado Classe de eEquivalˆncia do elemento a e ser´ representado por [a] . Em s´mbolos: e a ı [a] = {b ∈ A|a b} .
  34. 34. 32 CAP´ ¸˜ ITULO 4. RELACOESVejamos alguns exemplosExemplo 4.6.12 Sejam A = {1, 2, 3, 4} e a rela¸˜o de equivalˆncia definida em A ca epor = {(1, 1) , (2, 2) , (3, 3) , (4, 4) , (1, 2) , (2, 1)} .Ent˜o: a 1. [1] = {1, 2} , 2. [2] = {1, 2} = [1] , 3. [3] = {3} , 4. [4] = {4} .Exemplo 4.6.13 No exemplo (4.6.8) observe que: 1. [0] = {..., −15, −10, −5, 0, 5, 10, 15, ...} , 2. [1] = {..., −14, −9, −4, 1, 6, 11, 16, ...} , 3. [2] = {..., −13, −8, −3, 2, 7, 12, 17, ...} , 4. [3] = {..., −12, −7, −2, 3, 8, 13, 18, ...} , 5. [4] = {..., −11, −6, −1, 4, 9, 14, 19, ...} ,Vamos agora provar uma importante propriedade das classes de equivalˆncia eTeorema 4.6.1 Sejam A um conjunto, uma rela¸˜o de equivalˆncia em A e a, b ∈ A, ca edois elementos quaisquer. As seguintes condi¸˜es sobre a e b s˜o equivalentes: co a 1. a b, 2. a ∈ [b] , 3. b ∈ [a] , 4. [a] = [b] .Demonstra¸˜o: ca(1)→(2) Suponha que a b. Ent˜o, pela defini¸ao de [b] , segue que a ∈ [b] . a c˜
  35. 35. ¸˜ ˆ4.6. RELACOES DE EQUIVALENCIA 33(2)→(3) Suponha que a ∈ [b] . Ent˜o a b. Como a ´ sim´trica, temos que b a. Da´ e e ı, b ∈ [a] .(3)→(4) Suponha que b ∈ [a] e seja x ∈ [b] . Ent˜o temos que b a e x b. Como a ´ e sim´trica, segue que a b e b x. Pela transitividade de e segue que a x. Novamente usando a simetria de , segue que x a, e da´ x ∈ [a] . Logo [b] ⊆ [a] . Seja x ∈ [a] . ı Da´ x a. Como b ∈ [a] e ı ´ sim´trica, temos que x b, ou seja, x ∈ [b] . Portanto e e [a] ⊆ [b] .(4)→(1) Como ´ reflexiva, segue que a ∈ [a] = [b] . Portanto, a b. e O teorema anterior traz algumas interessantes conclus˜es: oCorol´rio 4.6.1 [a] = [b] ⇔ a b. aCorol´rio 4.6.2 [a] ∩ [b] = ∅ ⇒ [a] = [b] . aDefini¸˜o 4.6.4 Sejam A um conjunto e ca uma rela¸˜o de equivalˆncia em A. O con- ca ejunto cujos elementos s˜o as classes de equivalˆncia de a e ´ chamado de Conjunto eQuociente da rela¸˜o ca e ´ representado por A/ . Em s´mbolos e ı A/ = {[a] |a ∈ A} .Vejamos alguns exemplos.Exemplo 4.6.14 No exemplo (4.6.8) temos A/ = {[0] , [1] , [2] , [3] , [4]} .Exemplo 4.6.15 No exemplo (4.6.12) temos A/ = {[1] , [3] , [4]} .Observa¸˜o 4.6.1 Do Teorema (4.6.1) tiramos importantes conclus˜es acerca das classes ca ode equivalˆncia: e 1. Toda classe de equivalˆncia ´ n˜o vazia, isto ´, para todo a ∈ A, temos [a] = ∅, e e a e 2. Duas classes de equivalˆncia distintas s˜o disjuntas, isto ´, [a] = [b] ⇒ [a] ∩ [b] = ∅. e a e 3. A uni˜o de todas as classes de equivalˆncia ´ igual ao conjunto A, isto ´, a e e e a∈A [a] = A.Por causa das propriedades acima, diremos que o conjunto quociente de uma rela¸˜o de caequivalˆncia e num conjunto A ´ uma parti¸˜o do conjunto A. e ca
  36. 36. 34 CAP´ ¸˜ ITULO 4. RELACOESDefini¸˜o 4.6.5 Seja A um conjunto n˜o vazio. Um subconjunto A ⊆ ℘ (A) ´ dito uma ca a eParti¸˜o do conjunto A se satisfizer as seguintes condi¸˜es: ca coP1 - X = ∅ para todo X ∈ A,P2 - Quaisquer que sejam X, Y ∈ A, vale X = Y ⇒ X ∩ Y = ∅,P3 - X∈A = A.Exemplo 4.6.16 Seja A = {1, 2} . Ent˜o as unicas parti¸˜es de A s˜o: a ´ co a 1. A1 = {A} , 2. A2 = {{1} , {2}} .Exemplo 4.6.17 Seja A = {1, 2, 3} . Ent˜o as unicas parti¸˜es de A s˜o: a ´ co a 1. A1 = {A} , 2. A2 = {{1} , {2} , {3}} , 3. A3 = {{1} , {2, 3}} , 4. A4 = {{2} , {1, 3}} , 5. A5 = {{3} , {1, 2}} .Exemplo 4.6.18 Seja A = N e considere A = {A1 , A1 }, onde A1 = { naturais pares }e A2 = { naturais ´mpares } . Vemos que A ´ uma parti¸˜o de A. ı e ca Se tivermos definida em um conjunto A uma rela¸˜o de equivalˆncia ent˜o o conjunto ca e aquociente fornece uma parti¸˜o de A. Isso foi o que vimos anteriormente. O que provare- camos agora ´ que dada uma parti¸˜o de um conjunto A podemos definir uma rela¸ao de e ca c˜equivalˆncia em A e o conjunto quociente desta rela¸ao ´ justamente a parti¸˜o dada. e c˜ e caTeorema 4.6.2 Seja A um conjunto n˜o vazio e seja A uma parti¸˜o de A. Defina em a caA a seguinte rela¸˜o ca x y ⇔ x, y pertencem ao mesmo conjunto da parti¸˜o. caEnt˜o a ´ uma rela¸˜o de equivalˆncia em A e A/ e ca e = A.
  37. 37. ¸˜ ˆ4.6. RELACOES DE EQUIVALENCIA 35Demonstra¸˜o: Vejamos a reflexividade. Dado x ∈ A temos, pela defini¸ao de parti¸ao, ca c˜ c˜que ele pertence a algum membro, digamos X de A. Da´ x x, portanto, ı ´ reflexiva. eVejamos agora a simetria. Suponha que x y. Ent˜o x, y est˜o no mesmo membro da a aparti¸ao, ou seja, y x. Suponha agora que x y e que y z. Ent˜o x e y pertencem ao c˜ amesmo membro da parti¸ao e y e z tamb´m. Como dois membros quaisquer da parti¸ao c˜ e c˜n˜o se interceptam, segue que x e z pertencem ao mesmo membro da parti¸ao. Assim a c˜ ´ de equivalˆncia. Vamos provar agora a ultima afirma¸ao. Seja X ∈ A. Ent˜o dado e e ´ c˜ ax ∈ X, temos que [x] = X, portanto X ∈ A/ , ou seja A ⊆ A/ . Seja agora a ∈ A econsidere a classe de equivalˆncia determinada por a. Ent˜o, pela defini¸˜o da rela¸ao e a ca c˜ ,a classe de equivalˆncia [a] coincide com o conjunto ao qual a pertence. Logo, [a] ∈ A. ePortanto A/ ⊆ A..Exemplo 4.6.19 Considere A o conjunto dos alunos de nossa sala de aula. Se agrupar-mos os alunos em conjuntos formados por alunos que nasceram no mesmo ano, teremosuma parti¸˜o do conjunto A. A rela¸˜o de equivalˆncia associada a essa parti¸˜o ´: o ca ca e ca ealuno x est´ relacionado com o aluno y quando x e y tiverem nascido no mesmo ano. aExemplo 4.6.20 Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e A = {{1, 2}, {3, 5}, {4, 6, 7}}. Essaparti¸˜o de A induz uma rela¸˜o de equivalˆncia ca ca e em A dada por = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 5), (5, 3), (5, 5), (4, 4), (4, 6), (4, 7), (6, 4), (6, 6), (6, 7), (7, 4), (7, 6)Exemplo 4.6.21 Encontre as rela¸˜es de equivalˆncia associadas `s parti¸˜es dadas nos co e a coexemplos (4.6.16),(4.6.17) e (4.6.18).
  38. 38. 36 CAP´ ¸˜ ITULO 4. RELACOES
  39. 39. Cap´ ıtulo 5Fun¸˜es co5.1 Defini¸oes e nomenclatura c˜Defini¸˜o 5.1.1 Sejam A e B conjuntos e f uma rela¸˜o de A em B. Diremos que f ´ ca ca euma fun¸˜o de A em B se, para cada a ∈ A, existir um unico b ∈ B tal que (a, b) ∈ f. ca ´Observa¸˜o 5.1.1 Se f ´ uma fun¸˜o de A em B usaremos a nota¸˜o f : A → B para ca e ca cadenotarmos isso.Exemplo 5.1.1 Sejam A = {1, 2, 3} , B = {4, 5, 6} e f = {(1, 5) , (2, 4) , (3, 5)} . Nessecaso, f ´ uma fun¸˜o de A em B. e caExemplo 5.1.2 Sejam A = {1, 2, 3} , B = {4, 5, 6} e g = {(1, 5) , (2, 4) , (1, 6)} . Nessecaso, g n˜o ´ uma fun¸˜o de A em B pois n˜o existe b ∈ B de modo que (3, b) ∈ f. Al´m a e ca a edisso, temos (1, 5) ∈ f e (1, 6) ∈ f.Exemplo 5.1.3 Sejam C o conjunto das cidades, P o conjunto dos pa´ses e ı h = {(c, p) ∈ C × P | a cidade c est´ no pa´s p} . a ıComo cada cidade pertence a exatamente um pa´s, temos que h ´ uma fun¸˜o de C em ı e caP.Exemplo 5.1.4 Sejam P o conjunto das pessoas e i = {(p, q) ∈ P × P | A pessoa p ´ genitor(a) da pess eObserve que como existem pessoas que n˜o s˜o genitores ent˜o i n˜o ´ fun¸˜o. Al´m do a a a a e ca emais, existem pessoas que s˜o genitoras de mais de uma pessoa. a 37
  40. 40. 38 CAP´ ¸˜ ITULO 5. FUNCOESExemplo 5.1.5 Sejam P o conjunto das pessoas e seja d = {(p, x) ∈ P × ℘ (P ) |x ´ conjunto de todos os filhos de p} . eNesse caso, d ´ uma fun¸˜o de P em ℘ (P ) . e caExemplo 5.1.6 Sejam A um conjunto n˜o-vazio e iA = {(a, a) ∈ A × A|a ∈ A} . Nesse acaso, iA ´ uma fun¸˜o de A em A conhecida como fun¸˜o identidade em A. e ca caExemplo 5.1.7 Sejam A = B = R e f = {(x, y) ∈ R2 |y = x2 } . Nesse caso temos quef ´ uma fun¸˜o de R em R, pois o dado x ∈ R, o seu quadrado assume apenas um valor. e caExemplo 5.1.8 Sejam A = B = R e f = {(x, y) ∈ R2 |x = y 2 } . Nesse caso temos quef n˜o ´ uma fun¸˜o de R em R. De fato, (1, 1) ∈ f e (1, −1) ∈ f. Al´m disso, n˜o existe a e ca e ab ∈ R tal que (−1, b) ∈ f, j´ que o quadrado de qualquer n´mero real ´ positivo. a u eObserva¸˜o 5.1.2 Seja f : A → B uma fun¸˜o de A em B. Ent˜o dado a ∈ A, a ca ca adefini¸˜o de fun¸˜o atesta que existe um unico b ∈ B tal que (a, b) ∈ f. Este unico b ´ ca ca ´ ´ echamado de Valor de f em a ou imagem de a por f ou resultado de aplicar fem a ou apenas f de a. Vamos represent´-lo de uma forma bem sugestiva, por f (a)) . aA rela¸˜o mais importante entre a e f (a) ´ ca e (a, b) ∈ f ⇔ b = f (a) .Observa¸˜o 5.1.3 Em geral uma fun¸˜o f : A → B ´ dada especificando um modo que ca ca epermita obter, de maneira unica f (a) a partir de a. Essa maneira pode ser atrav´s ´ ede • Uma F´rmula, como nos cursos de C´lculo, no ensino m´dio. o a e • Uma Tabela, como nas copiadoras, padarias, etc. • Um Gr´fico, como nos eletrocardiogramas. aTanto ´ assim que temos a seguinte defini¸˜o alternativa de fun¸ao que tamb´m ´ bastante e ca c˜ e eutilizada, principalmente no ensino m´dio e na maioria dos cursos universit´rios. e aDefini¸˜o 5.1.2 Dados os conjuntos A e B, uma fun¸˜o de A em B (simbolizada por ca caf : A → B) ´ uma regra (uma maneira, um modo, um procedimento) que permite associar ea cada elemento a ∈ A, um unico elemento do conjunto B. ´
  41. 41. 5.2. IMAGENS DIRETAS E INVERSAS 39 Vejamos alguns exemplos:Exemplo 5.1.9 Sejam A o conjunto de todos os triˆngulos do plano, B = R e f a regra aque associa cada triˆngulo ` sua ´rea. Essa regra determina una fun¸˜o de f : A → B. a a a caExemplo 5.1.10 Sejam S o conjunto dos segmentos de reta do plano, ∆ o conjunto dasretas desse mesmo plano e g a regra que associa cada segmento ` sua mediatriz (i.e. a areta que passa pelo seu ponto m´dio e ´ perpendicular a ele). Essa regra determina uma e efun¸˜o g : A → ∆. caExemplo 5.1.11 Sejam A = M2×2 (R), B = R e det a regra que associa cada matriz aoseu determinante. Essa regra determina uma fun¸˜o det : A → B. caExemplo 5.1.12 Sejam A = B = R e j a regra que associa cada n´mero x ao seu uquadrado x2 . Essa regra determina uma fun¸˜o j : A → B. caDefini¸˜o 5.1.3 Seja f : A → B uma fun¸˜o de A em B. O conjunto A ´ chamado de ca ca eDom´ ınio da fun¸˜o f e o conjunto B de Contra-dom´ ca ınio da fun¸˜o f . caDefini¸˜o 5.1.4 Sejam f : A → B e g : A → B duas fun¸˜es. Diremos que elas s˜o ca co aiguais e representaremos isso por f = g, se f (a) = g (a) para todo a ∈ A.5.2 Imagens diretas e inversasDefini¸˜o 5.2.1 Seja f : A → B uma fun¸˜o e P ⊆ A. A Imagem direta do con- ca cajunto P pela fun¸˜o f ´ o conjunto representado por f (P ) e definido por ca e f (P ) = {f (p) |p ∈ P } = {b ∈ B|b = f (p) para algum p ∈ P } .Em palavras, a imagem direta de um conjunto P por uma fun¸˜o f ´ o conjunto formado ca epelos valores assumidos por f quando olhamos para a fun¸ao restrita ao conjunto P. c˜Vejamos alguns exemplos:Exemplo 5.2.1 Sejam A = {a, b, c} , B = {1, 2, 3} e f : A → B dada por f (a) =1, f (b) = 2 e f (c) = 1. Ent˜o: a • P = {a, b} ⇒ f (P ) = {f (a) , f (b)} = {1, 2} , • P = {b, c} ⇒ f (P ) = {f (b) , f (c)} = {2, 1} = {1, 2} ,

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