Construção do hexaedro completa

1. ONNY KLAYTONN PIRES DA SILVA
J
CONSTRUÇÃO DO HEXAEDRO ATRAVÉS DE DOBRADURAS
Monografia apresentada para obtenção doTitulo de
Especialização no curso de Pós Graduação em
Matemática: Dimensões Teóricas-Metológicas, da
Universidade Estadual de Ponta Grossa.
Professora Orientadora: Sandra Mara Dias Pedroso
PONTA GROSSA
2003

2. AGRADECIME TO
A Deus,
que me iluminou com seu Espírito Santo,
transmitindo força e coragem
para que pudesse chegar ao fim deste trabalho.
A professora Sandra Pedroso, que me orientou durante o trabalho,
e todas as vezes que eu desanimava,
me transmitia coragem.
Enfim, a todos que, de uma maneira ou outra,
contribuíram para que eu pudesse concluir este trabalho.
11

3. Este trabalho procura mostrar as relações de aprendizagem existentes entre a
disciplina de Geometria e trabalho com dobraduras analisando um poliedro em
especial construído na sala de aula - o hexaedro. Considerações podem ser
sintetizadas sobre alguns pontos no encaminhamento deste trabalho: a
metodologia adotada nas aulas de Geometria Espacial necessita ser
urgentemente reformulada para que essa ocupe o seu verdadeiro lugar na
formação acadêmica dos alunos. Os professores dessa disciplina precisam,
talvez, mudar o olhar, ainda hoje voltado e marcado pela visão tradicional, sem
apresentar justificativas e relações entre a Geometria e os outros eixos
matemáticos. Concluímos, que a Geometria associada ao trabalho de dobraduras
propicia uma prontidão para a aprendizagem de conceitos geométricos.
r
r
r
r
111

4. SU .ÁRIO
RESUMO iii
I TRODUÇÃO 1
CAPITULO 1- UM POUCO DA HISTORIA DA GEOMETRIA 5
EUCLlDES O "PAI DA GEOMETRIA" 6
Conceitos primitivos 7
Axiomas 8
Postulados sobre pontos e retas 9
Postulados sobre o plano e o espaço 1O
Diedros, triedros e poliedros 11
Diedros 11
Triedros 11
 guio poliédrico 12
Poliedros 12
Poliedros convexos e côncavos 13
Classificação 14
Poliedros regulares 14
Relação de Euler 15
Poliedros piatônicos 16
Prismas 16
Elementos do prisma 18
Classificação 19
Secção 20
Áreas 21
Paralele ípedo 22
Paralelepípedo retângulo 22
Diagonais da base do paralelepípedo 23
Área lateral 24
Área to ai 25
Volume 25
IV

5. Cubo 26
Diagonais da base e do cubo 26
Área Ia eral 27
Área to ai 28
Volume 28
Generalização do volume de um prisma 28
Pirâmides 29
Elementos da pirâmide 30
Classificação 30
Secção paralela a base de uma pirâmide 32
Relação entre os elementos de uma pirâmide regular 33
Áreas 35
Volume 35
CAPITULO 11- ORIGAMI: UMA ARTE DE MÃE PARA FILHO 36
A ORIGEM DO ORIGAMI 36
QUAIS SÃO OS PAPEIS QUE PODEM SER UTILlZADOS? 37
A MATEMÁTICA E AS DOBRADURAS 38
CAPITULO 111-PROPOSTA DE TRABALHO PARA A GEOMETRIA ESPACIAL:
CONSTRUÇÃO DE UM HEXAEDRO 39
PROCEDIMENTOS PARA CONSTRUÇÃO .40
Conceitos 42
Conceitos 43
CONSIDERAÇÕES FINAIS .48
REFERENCIAS 50
v

6. TRaDuçÃO
Comecei a lecionar em 2001 no Centro Federal de Educação
Tecnológica do Paraná de Ponta Grossa para as segundas e terceiras séries do
Ensino Médio. Apesar de buscar sempre metodologias que tomassem as aulas
mais dinâmicas e menos cansativas, os resultados me incentivaram a buscar
estratégias que possibilitassem uma mudança gradativa no ensino-aprendizagem
dos alunos
Neste ano lecionei para a segunda série do Ensino Médio. No inicio
discuti com os alunos o tipo de trabalho que eles gostariam de fazer e surgiram
muitas idéias como de: jogos, dobraduras, teatro, música contextualizando a
matemática. Sem influência direta, por parte do professor a questão do origami
aparece e iniciamos a proposta. Apesar de no momento da aplicação da atividade
não termos noção de sua dimensão e dispor de registros que não facilitaram a
coleta de dados, nesse texto proponho uma forma diferenciada de trabalho
concretizando o processo ensino-aprendizagem em Geometria.
Entendendo que o curso de Especialização em Matemática:
dimensões-teóricas metodológicas, tem como conclusão de seu curso, um projeto
de monografia, e que esta será o primeiro passo para a atividade cientifica do
pesquisador, compomos este texto, com o propósito de tomar claro os obstáculos
inerentes ao aprendizado da geometria espacial, que tem dois componentes, um
de forma conceitual e outro de forma figural.
O componente conceitual, é através da linguagem escrita ou falada,
que dependendo do nível de axiomatização expressa propriedades, que
caracterizam uma certa classe de objetos. Já o componente figural corresponde à
imagem mental que associamos ao conceito, que pode ser manipulada, no caso
da geometria, através de movimento, de translação, rotação e outros. Harmonizar
estes componentes é que determinará a noção correta sobre o objeto geométrico.
Na formação da imagem mental, o desenho associado ao objeto
geométrico desempenha papel fundamental? Para o aluno, nem sempre, isto se
toma um suporte concreto de expressão de entendimento. E o que fica

7. 2
transparente na nossa atitude frente a um problema? A primeira atitude que
tomamos é desenhar a situação, quer numa folha de papel ou quer na tela de um
computador, por outro lado, pode ser um obstáculo a este entendimento, é
interessante observar que, dependendo do estagio de desenvolvimento mental do
aluno, este trabalha buscando a "perfeição" do desenho, como se esse fosse "o
objeto geométrico ", deixando as propriedades geométricas, que dão existência ao
objeto, em segundo plano. Até mesmo confundem, características físicas do
desenho (espessura do traçado, tamanho do ponto) com propriedades
geométricas.
A esta questão do desenho interferindo no aspecto conceitual
FISCHBEIN (1993), refere-se
A dificuldade em manipular objetos geométricos, a saber, a tendência em
negligenciar o aspecto conceitual pela pressão de restrições do desenho, é um
dos maiores obstáculos para o aprendizado da geometria ... Freqüentemente
condições figurais (de desenho) escapam do controle conceitual, e expõem, a
linha de pensamento, interpretações que do ponto de vista de desenho são
consistentes, mas que não são condições conceituais.
Fica clara a dificuldade dos alunos, em termos de abstração, de
separar a representação figural do objeto em si. KALEFF (1995, p.29) também
aborda este tema da seguinte forma:
As dificuldades apresentadas pelos alunos na visualização de sólidos
geométricos e a desmotivação que muitos estudantes apresentam nas aulas de
geometria espacial tem levado os educadores a buscarem meios para facilitar o
ensino das propriedades geométricas dos sólidos e para tornar esse ensino mais
atrativo e motivador.
Pensamos que uma das formas de se desenvolver o raciocínio
espacial é incentivando a construção de sólidos geométricos por meio de materiais
concretos, o que leva o aluno a vivenciar os conceitos espaciais através de
experiências elementares. Por exemplo, ao construir modelos de poliedros, o
aluno tem a oportunidade de observar e utilizar diversas relações espaciais, ao
mesmo tempo em que, através da manipulação dos materiais concretos, é
motivado à ação e tem estimulado a sua criatividade.

8. 3
No entanto, a Geometria nasceu como uma ciência empírica, do
confronto do homem com o seu meio ambiente. Os primeiros passos foram
lentos, desde a idade da pedra, partiram de imagens de objetos, das relações
espaciais entre eles e também entre suas partes.
As relações espaciais existentes na natureza, serviram para o
homem como fonte de inspiração, na elaboração de conceitos geométricos bem
como em explicar essas relações quase perfeitas na natureza. Através de uma
ativa observação humana foram criados objetos com formas cada vez mais
regulares, o que facilitava sua produção.
O caminho trilhado pela história geométrica na humanidade é o que
pode ser percorrido pelo aluno. Ele deve partir da observação ativa, manipulando
objetos, construindo, medindo, comparando, modificando, classificando e até
desenhando.
Dentro deste ideal, faz-se necessário à busca de altemativas
didáticas no ensino/aprendizagem da geometria. Um caminho que pode ser
utilizado pelo professor seria o uso da dobradura como material didático, já que
ele ajudará o aluno a construir os conceitos geométricos existentes.
Na busca de novas metodologias de ensino da geometria, os
Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) do ensino fundamental apontam que:
As atividades geométricas podem contribuir também para o desenvolvimento de
procedimentos de estimativa visual, seja de comprimento, ângulos ou outras
propriedades métricas das figuras, sem usar instrumentos de desenhos ou de
medida. Isso pode ser feito, por exemplo por meio do trabalho com dobradura,
recortes, espelhos, empilhamento ou pela modelagem de formas em argila ou
massa. (1997 ,p. 128).
Este trabalho destina-se a descobrir se as dobraduras podem ser um
novo caminho no ensino da Geometria Espacial. Assim pretendemos apresentar
uma proposta de ensino em geometria espacial, através do uso da dobradura,
relacionando o estudo dos conceitos geométricos existentes nesse processo.
A presente monografia pretende investigar a viabilidade de
abordagens que tornem o ensino de matemática atraente e prazeroso para o
aluno, desmistificando-a como uma disciplina difícil, principalmente no referente a

9. 4
Geometria Espacial, e colocamos como objetivo, propor uma metodologia
altemativa para o ensino e aprendizagem da Geometria com a construção do
hexaedro através de dobraduras, no Ensino Médio.
Este trabalho traz no primeiro capitulo um breve resgate sobre o
surgimento da geometria contemplando dados da Geometria Plana e finalizando
com definições de conceitos sobre poliedros.
No segundo capitulo as questões do origami são coiocadas
trazendo suas características instrumentais e relacionando a matemática com as
dobraduras.
o terceiro capitulo destaca a proposta de trabaiho, que serviu de
apoio para a construção do presente texto onde a dobradura é tratada como
instrumento para o ensino da Geometria Espacial no Ensino Médio. Os
pressupostos são explicitados, assim como, os encaminhamentos da atividade.
As considerações finais pontuam uma reflexão sobre o atual ensino
de Matemática e prática do professor, apontando para que uma proposta, como a
desenvolvida nesse trabalho, venha a ser incorporada nas ações do professor de
Matemática.

10. 5
APíTULO I
UM POUCO DA HI ÓRIA DA GEO ViETRIA
r
Uma estranha construção feita pelos antigos persas para estudar o
movimento dos astros. Um compasso antigo. Um astuto esquadro e, sob eie, a
demonstração figurada do teorema de Pitágoras. Um papiro com desenhos
geométricos e o busto do grande Euclides. São etapas fundamentais no
desenvolvimento da geometria. Mas, muito antes da compilação dos
conhecimentos existentes, o homem criava, ao sabor da experiência, as bases da
geometria. E realizava operações mentais que depois seriam concretizadas nas
figuras geométricas.
A origem da geometria (do grego medir a terra), parece coincidir
com as necessidades do dia-a-dia do homem. Repartir terras às margens dos
rios, construir casa, observar e prever os movimentos dos astros, são algumas das
muitas atividades humanas que sempre dependeram de operações geométricas.
Documentos sobre as antigas civilizações egípcia e babilônica
trazem os conhecimentos geométricos geralmente ligados à astrologia. Dos
gregos anteriores a Euclides (300 ac), Arquimedes e Apolônio, constam apenas o
fragmento de um trabalho de Hipócrates. E o resumo feito por Proclo ao comentar
os "Elementos" de Euclides, obra do século V ac, refere-se a Tales de Mileto
como introdutor da geometria na Grécia, por importação do Egito. Pitágoras deu
nome a um importante teorema sobre o triângulo retângulo que inaugurou um
novo conceito de demonstração matemática e que levou o seu nome.
Os "Elementos" de Euclides representam a introdução de um
método consistente que contribui há mais de vinte séculos para o progresso das
ciências. Trata-se do sistema axiomático, que parte dos conceitos e proposições
admitidos sem demonstração (postulados e axiomas) para construir de maneira
lógica tudo o mais.
Assim, três conceitos fundamentais - o ponto, a reta e o círculo - e
cinco postulados a eles referentes servem de base para toda a geometria

11. 6
chamada euclidiana, aplicada até hoje, apesar da existência de geômetras não-
euclidianos baseadas em postulados diferentes e contrários aos de Euclides.
EUCLlDES O "PAI DA GEOMETRIA"
Não se pode falar da geometria sem mencionar um grande
matemático grego que viveu aproximadamente de 330 ac a 270 ac, chamado
Euclides. Da sua vida pouco se sabe, apenas que provavelmente estudou na
Academia de Platão, em Atenas, que se tomou professor e estudioso da escola de
Alexandria, conhecida como Museum. Os "Elementos", tratado composto por treze
livros, que escreveu enquanto esteve no Museum 1
, foi o seu trabalho de maior
influência. Euclides compilou e sistematizou muito dos resultados matemáticos
mais importantes conhecidos no seu tempo.
Através de uma lista de definições, postulados e axiomas, ele provou
uma proposição após a outra, baseando cada prova apenas nos resultados
precedentes. Da mesma forma, o conteúdo dos "Elementos", consiste de
Geometria e da Teoria dos números, faz parte do núcleo da matemática básica de
hoje.
Conta que quando o governante egípcio Ptolomeu I, perguntou a
Euclides, se havia um caminho mais curto para estudar geometria que não fosse
os Elementos, ele respondeu ao faraó que "não existe um caminho majestoso
para a geometria." Euclides também escreveu outros livros sobre a ótica e as
seções cônicas, onde a maioria deles foi perdida.
Os Elementos de Euclides, foi um texto usado nas escolas por
aproximadamente 2000 anos e que lhe rendeu o nome de "Pai da Geometria".
Seus livros são os mais difundidos da história. Mais de mil edições foram
impressas desde a primeira versão impressa de 1482 e mesmo antes desta data
foram os textos básicos da matemática padrão do ocidente. O desenvolvimento
axiomático da aritmética e a qualidade das definições evoluíram muito desde a
I Escola de Alexandria, fundada por Euclides durante o reinado de Ptolomeu I, onde havia a biblioteca mais
impressionante da antiguidade, com cerca de 700.000 volumes.

12. 7
época de Euclides, porém o valor fundamental dos textos euclidianos é difícil de
ser superado.
Com base na Geometria plana (euclidiana), foi possível ampliar os
conceitos da Geometria Espacial (euclidiana), que trata dos métodos apropriados
em relação a esses elementos. Os objetos primitivos do ponto de vista espacial
são: pontos, retas, segmentos de retas, planos, curvas, ângulos e superfícies. Os
principais tipos de cálculos que podemos fazer são: comprimentos de curvas,
áreas de superfícies e volumes de regiões sólidas.
Nesse trabalho monográfico será dado maior ênfase aos poliedros,
mas para que compreendamos o desenvolvimento da proposta retomamos alguns
conceitos geométricos assim como suas representações, pois precisamos
trabalhar com a Geometria de uma forma orgânica, buscando o encontro desse
eixo com os demais eixos da Matemática e com a própria Geometria. Para tal
buscamos esclarecer: conceitos primitivos, axiomas, diedros, triedros, poliedros e
outros.
Conceitos primitivos
São conceitos pnmmvos (e, portanto, aceitos sem definição) na
Geometria espacial os conceitos de ponto, reta e plano. Habitualmente, usamos a
seguinte notação:
• pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto
• retas: letras minúsculas do nosso alfabeto

13. 8
• planos: letras minúsculas do alfabeto grego
Observação: Espaço é o conjunto de todos os pontos.
Por exemplo, a figura a seguir, podemos escrever:
P E r
Q E s rvr
sCL"J'erCll'
Axiomas
Axiomas, ou postulados (P), são proposições aceitas como verdadeiras
sem demonstração e que servem de base para o des nvolvimento de uma teoria.

14. 9
Temos como axioma fundamental:existem infinitos pontos, retas e
planos.
Postulados sobre pontos e retas
P1) A reta é infinita, ou seja, contém infinitos pontos.
s
P2)Por um ponto podem ser traçadas infinitas retas.
u
P3) Por dois pontos distintos passa uma única reta.

15. 10
P4) Um ponto qualquer de uma reta divide-a em duas semi-retas.
-....•.
Postuiados sobr o plano e o esp ç :
P5
) Por três pontos não-colineares passa um único plano.
P6) O plano é infinito, isto é, ilimitado.
P7) Por uma reta pode ser traçada uma infinidade de planos.

16. 11
Pa) Toda reta pertenc nte a um plano divide-o em duas regiões chamadas
semipíanos.
P9) Qualquer plano divide o espaço em duas regiões chamado semi- spaços.
iedros, triedros, por tros
Diedros
Dois semiplanos não-coplanares, com origem numa mesma reta,
det rminam uma figura geométrica chamada ângulo diédrico, ou simpl sment
diedro:
(orej/: faces do diedro
r: aresta do diedro
Triedros
Três serni-retas não-coplanar s, com orig m num mesmo ponto,
d terminam três ângulos que formam uma figura qeorné trica chamada ângulo
triédrico, ou simplesmente triedro:

17. 12
v
guio polié ico
Sejam n n ~ 3 semi-retas de mesma origem tais que nunca fiquem
três num mesmo semiplano. Essas semi-retas determinam n ângulos em que o
plano de cada um deixa as outras semi-retas em um mesmo semi-espaço. A figura
formada por esses ângulos é o ângulo poliédrico.
v
S4
S2
Poliedro
Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos
planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma
aresta em comum. Veja alguns exemplos:

18. 13
I
~-- -------,.,./
Os poiígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos
poiígonos são as arestas e os vértic s do poli dro.
Poliedros convexos e cõncavos
Observando os poliedros acima, podemos notar que, considerando
qualquer uma de suas faces, os poli dros encontram-s inteiramente no mesmo
semi-espaço que essa face determina. Assim, esses poliedros são denominados
convexos.
Isso não acontec no último poliedro, pois, em relação a duas de
suas faces, ele não está contido apenas em um semi-espaço. Portanto, ele é
denominado côncavo.

19. 14
Classificação
Os poiiedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o
número de faces, como por exemplo:
• tetraedro: quatro faces
• pentaedro: cinco faces
• hexaedro: seis faces
• heptaedro: sete faces
• octaedro: oito faces
• ícosaeoro: vinte faces
-Poliedros reguiares
Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são
polígonos regulares, cada um com o mesmo número de lados e, para todo vértice,
converge um mesmo número de arestas.
Existem cinco poliedros regulares:
4§1
I
I
•......... '- ---
_..."
.
Tetraedro
Hexaedro
(cubo)
Octaedro
Dodecaedro
lcosaedro

20. A seguir, apresentamos planificações dos cinco poliedros regulares acima:
Tetraedro
Cubo Octaedro
Dodecaedro lcosaedro
Essassuperfícies sugerem come construir modelos de poliedros regulares.
Relação de Euler
Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte:
V-A+F=2
15
em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F,o número de
faces.
Observe os exemplos:

21. 46
Para o encaixe a aba de uma deve ser inserida na abertura iateral
da outra. As peças encaixadas formam uma figura retangular quando postas sobre
um "aparato". Suspendendo uma das faces, obtém - se um diedro.
Para fins didáticos a terceira face será colocada na seqüência do
retângulo ampliando a área do primeiro retângulo.
Estudando a nova figura observa - se que é formada por três
quadrados que "suspensos" formariam a superfície lateral de um prisma. A quarta
peça tem a mesmo tratamento da terceira peça, sendo colocada na seqüência da
mesma.
Tirando as peças da planificação observa - se que se constrói a
superfície lateral de um prisma quadrangular, cujas faces laterais são figuras
quadradas. Para o hexaedro há necessidade do encaixe de mais duas peças, que
constituem as bases do sólido.

22. 47
/ Vértice
•
Aresta
Face
A partir do hexaedro construído, o professor poderá, junto com
seus alunos, levantar os conceitos de Geometria Espacial, como:
Aresta - (do latim, espiga). Interseção de dois planos; segmento de reta comum a
duas faces de um poliedro; linha comum a duas superfícies de um sóiido.
Vértice - Ponto comum a duas ou mais semi-retas, ou segmento de retas.
Face - Superfície limitada de um sólido geométrico.
Ângulo poliédrico - Ângulo formado pelo encontro de vários planos que se cortam
num mesmo ponto.

23. 48
o IDE A ÕE FI AIS
A proposta desta pesquisa visa não só auxiliar os professores de
mat mática, no ensino da Geometria Espacial, mas também resgatar os
conceitos da Geometria Plana que, para alguns alunos, ainda estão vagos.
ão entendemos e nem colocamos que esse seja a "salvação" do
ensino da Geometria Espacial, mas é um caminho que, sendo estudado, discutido
e d senvolvido pode render bons resultados e enriquecer a prática do professor
de Matemática.
Acreditamos sim que os conceitos geométricos devem ser
trabalhados de uma forma concreta e intuitiva, dando assim ao aluno uma
oportunidade melhor na abstração dos mesmos, pois como cita D'AMBROSIO
(1989, p. 15) "os professores em geral, mostram a matemática como um corpo de
conhecimentos acabado e paiido. Ao aluno não é dado em nenhum momento a
oportunidade ou gerada a nec ssidade de criar nada, nem mesmo uma solução
mais interessante."
A proposta da dobradura como um recurso didático, pode ser
geradora de vários fatores que não envolvem somente os conceitos geométricos,
ela poderia ser o foco c ntral d ntro de uma interdisciplinaridade, ou geradora da
própria motivação dos alunos. Enfim ela vai muito ai' m da proposta aqui
apresentada.
-
o origami na sala d aula contribui d forma mais rapida para a
efetivacao de um trabalho cole ivo, afinal trabalhar coletivamente e uma das
xigencias da atual sociedade, por isso a sala de aula, assim como a escola não
pode deixar de oportunizar aos alunos tal experiencia.
Vale I mbrar a importancia do r gistro por parte do prof ssor m
r lacao as suas praticas, visto qu atividad s como essa, s mpr que xecutadas
t ndem a ser enrequecidas pela contribuicao dos alunos e levam o professor a um
processo de reflexa o maior, pois quando se trabalha dentro de uma proposta
como essa, el podera rev r suas concepcoes d nsino e aprendizagem alem de

24. 49
aprofundar seus conceitos em reiacao a Geometria atraves de novos referenciais
e pesquisa.
Com esse tipo de trabalho, ntendemos que os alunos terão um
melhor aproveitamento com relação aos conteúdos, pois eles resgataram os
conceitos de Geometria Plana e manipulando o sólido construído, poderão ter
maior facilidade em entender os conceitos de Geometria Espacial.
A proposta está iançada agora depende do comprometimento,
disponibilidade e conhecimento do professor, em tentar sair da sua rotina de
trabalho em busca de novos recursos didáticos, para que não haja uma
aprendizagem desvinculada da realidade do aluno.
-
•

25. 50
REFERÊNCiAS
ANGOITi, J. A. P.; DELlZOICOV, D. N. Física. São Pauio : Cortez, 1992.
BARATOJO, J. T. Dicionário de Matemática para o 1° grau. Porto Alegre:
Sagra: DC Luzzatto, 1994.
BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blucher
1974.
BRASiL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental:
Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília, 1998.
D AMBROSIO, B. S. Como ensinar matemática hoje. in:Temas e
Debates. SBEM Ano 11, 1989.
FETSSOV, A I. A demonstração em geometria. Tradução: Hygino H
Domingues. São Paulo: Atual, 1994 (Matemática: Aprendendo e
Ensinando ).
GENOVA, A. C. Brincando com origami.São Paulo: Afilhada, 2002.
IMENES, L.M. Vivendo a Matemática, Geometria das Dobraduras. São
Paulo:Scipione, 1988.
KALEFF, A. M. Varetas, canudos, arestas e sólidos geométricos. Revista do
Professor de Matemática. São Paulo, n 28, p. 29 - 1995
-- -
•

26. 16
V=8 A=12 F=6
12-18+8=2
V=12 A=18 F=8
8 - 12 + 6 = 2
Poliedros platônicos
Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se:
a) for convexo;
b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas;
c) toda face tiver o mesmo número de arestas;
d) for válida a relação de Euler.
Assim, nas figuras acima, o primeiro poliedro é platônico e o segundo,
não-platônico.
Prismas
Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos, <1' e ,d, um
polígono convexo R contido em a e uma reta r que intercepta ~1'e -: mas não R:

27. 17
Para cada ponto P da região R, vamos considerar o segmento pp
paralelo à reta r (p E ,b? :
Assim, temos:
r

28. 18
Chamamos de prisma ou prisma limitado o conjunto de todos os
segmentos congruentes PP paralelos a r.
Elem nto
Dado o prisma a seguir, consideramos os seguintes elementos:
bases:as regiões poligonais R e
altura:a distância h entre os planos t"r e ,ti•

29. 19
• arestas das bases:os lados AB ,BC ,CD,DE,EA,A'B' ,B'C', C'D',D'E' ,E'A'
(dos polígonos)
•• arestas laterais: os segmentos AA', BB' , CC',DD', EE'
faces laterais: os paralelogramos AA'SB', BS'C'C, CC'O'O, OO'E'E, EE'A'A
Classificação
Um prisma pode ser:
reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases;
•• oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.
Veja:
prisma oblíquo
prisma reto
Chamamos de prisma regular todo prisma reto cujas bases são polígonos
regulares:
r

30. 20
triângulo equilátero
hexágono regular
I
I
I
I
".,A,
". ,". -,
prisma regular hexagonal
prisma regular triangular
Observação: As faces laterais de um prisma regular são paralelogramos
congruentes.
Secção
Um plano que intercepte todas as arestas de um prisma determina
nele uma região chamada secção do prisma.
Secção transversal é uma região determinada pela intersecção do
prisma com um plano paralelo aos planos das bases (figura 1). Todas as secções
transversais são congruentes (figura 2).
figura 2
figura 1

31. 21
reas
Num prisma, distinguimos dois tipos de superfície as faces laterais e
as faces das bases. Assim, temos de considerar as seguintes áreas:
a) área de uma face (AF):área de um dos paralelogramos que constituem as faces
laterais;
b) área lateral ( AL):soma das áreas dos paralelogramos que formam as faces
laterais do prisma.
No prisma regular, temos:
AL = n . AF (n = número de lados do potíçono da face que constitui a base)
c) área da base (AB): área de um dos políqonos das bases;
d) área total (A ): soma da área lateral com a área das bases
Vejamos um exemplo.
Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base a e aresta lateral
h, temos:
a
r' a
»<;
r- h
"..
,.....
r-
I"'"
"...
/""..

32. 22
AF =ah
A.~ = 6ah
A.!l = 3a~ -./3 (área do hexágono regular )
t:.
Par I lepíp do
Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o nome de
paralelepípedo. Assim, podemos ter:
b) paralelepípedo reto
a) paralelepípedo oblíquo
Se o paralelepípedo reto tem bases retangulares, ele é chamado de
paralelepípedo reto-retângulo, ortoeoro ou paralelepípedo retângulo.
Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, e c da figura:

33. 23
H
a
b I
I
I C 6<
D ?------./
c
c
c
A a 8
Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e
quatro arestas de medida c; as arestas indicadas pela mesma letra são paralelas.
Diagonais da base e do paraielepípedo
Considere a figura a seguir:
"""
r=-
é"'
H
r"'
r'
D
'""""'
c
""'
;'"
»<
;'"
""'
'""""'
""""'
,-..
'"'""'
r>
r-
é"'
'"'
r>
r>
G
c db = diagonal da base
F dp = diagonal do paralelepípedo

34. 24
Na base ABFE, temos:
F
b
A
8
a
No triângulo AFD, temos:
D
c
F
A d
b
Área lateral
Sendo AL a área lateral de um paralelepípedo retângulo, temos:
a
c
c
AL= ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc =AL = 2(ac + bc)
-------- ---

35. 25
Área total
Planificando o paralelepípedo, verificamos que a área total é a soma
das áreas de cada par de faces opostas:
b b
AT= 2(ab + ac + bc)
Volume
Por definição, unidade de volume é um cubo de aresta 1. Assim,
considerando um paralelepípedo de dimensões 4,2 e 2, podemos decompô-Io em
4.2.2 cubos de aresta 1:
2
4
Então, o volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e
c é dado por:
v = abc
Como o produto de duas dimensões resulta sempre na área de uma
face e como qualquer face pode ser considerada como base, podemos dizer que o

36. 26
volume do paralelepípedo retângulo é o produto da área da base AB pela medida
da altura h:
c=h
Cubo
Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas congruentes (a= b
= c) recebe o nome de cubo. Dessa forma, as seis faces são quadradas.
a
Diagonais da base e do cubo
Considere a figura a seguir:

37. E
Na base ABCD, temos:
a
No triângulo ACE, temos:
E
a
c
Área late ai
27
dc=diagonal do cubo
db = diagonal da base
A área lateral AL é dada pela área dos quadrados de lado a:

38. 28
H
G
E F
a a
A B
A
a
· .· .· .
.......•.•.•.•.•.•....•.•..•..•.•..•..•.•...•...•"
Área o ai
A área total AT é dada pela área dos seis quadrados de lado a:
G
F
a
H
A a B
Volume
De forma semelhante ao paralelepípedo retângulo, o volume de um
cubo de aresta a é dado por:
v= a. a. a = a3
Generalização do volum de um pri ma
Para obter o volume de um prisma, vamos usar o princípio de
Cavalieri (matemático italiano, 1598 - 1697), que generaliza o conceito de volume
para sólidos diversos.

39. 29
Dados dois sólidos com mesma altura e um plano a, se todo
plano ,d, paralelo a a, intercepta os sólidos e determina secções de mesma área,
os sólidos têm volumes iguais:
S 1 é um paralelepípedo r tângulo, então V2 = Ash.
Assim, o volume de todo prisma e de todo paralelepípedo é o produto
da área da base pela m dida da altura:
Dados um polígono convexo R, contido em um plano a, e um ponto
(vértice) fora de a, chamamos de pirâmide o conjunto de todos os segmentos
VP,PER

40. 30
v
Elementos da pirâmide
Dada a pirâmide a seguir, temos os seguintes elementos:
v
••
base: o polígono convexo R
-----
arestas da base: os lados AB, BC, CD, DE,EA do poliqono
---------
arestas laterais: os segmentos VA,VB, VC, VD, VE
faces laterais: os triângulos VAB, VBC, VCD, VOE, VEA
altura: distância h do ponto V ao plano
••
••
li
Classificação
Uma pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do vértice coincide
com o centro do polígono da base.

41. 31
Toda pirâmide reta, cujo polígono da base é regular, recebe o nome
de pirâmide regular. Ela pode ser triangular, quadrangular, pentagonal etc.,
conforme sua base seja, respectivamente, um triângulo, um quadrilátero, um
pentágono etc.
Veja:
v v
pirâmide reguler hexagonal
pirâmide regular quadrangular
Observações:
ia) Toda pirâmide triangular recebe o nome do tetraedro. Quando o tetraedro
possui como faces triângulos eqüiláteros, ele é denominado regular (todas as
faces e todas as arestas são congruentes).
tetraedro
tetraedro regular

42. 32
2a
) A reunião, base com base, de duas pirâmides regulares de bases quadradas
resulta num octaedro. Quando as faces das pirâmides, de base quadrada, são
triângulos qüilát ros, o octaedro é regular.
octaedro
octaedro regulÕlr
Um plano paralelo à base que interc pt todas as ar stas laterais
determina uma secção poligonal de modo qu :
• as arestas laterais a altura sejam divididas na mesma razão;
a secção obtida e a base sejam polígonos semelhantes;
• as áreas desses polígonos estejam entre si assim como os quadrados de
suas distâncias ao vértice.
r

43. 33
v
VA' VB' VC' VD' VE' h
-=-=-=-=-=-
VA VB VC VD VE H
área A'B' C'D'E' h
2
áreaABCDE H
2
Relação entre os elementos de uma pirâmide regular
Vamos considerar uma pirâmide regular hexagonal, de aresta lateral I
e aresta da base a:
v
F
MC=~
2
h
2
=1
2
-a
2
A

44. 34
Assim, temos:
•• A base da pirâmide é um polígono regular inscritível em um círculo de raio
08 = R.
OM = a.f3 (apótema da base)
2
8 M c
• A face lateral da pirâmide é um triângulo isósceies.
v
V},-f é o apótema da pirâmide (altura de uma face lateral)
B c
M
• Os triângulos V08 e VOM são retângulos .
f'"
/""'
V V
r-'
r>.
/""'
h
h
",....
M
8
o
r
O a
r
('.

45. 35
Áreas
Numa pirâmide, temos as seguintes áreas:
a) área lateral ( AL): reunião das áreas das faces laterais
b) área da base (AB): área do poliqono convexo ( base da pirâmide)
c) área total (AT): união da área lateral com a área da base
Para uma pirâmide regular, temos:
onA 6
l =n.-
2
em que:
b é a aresta da base; 9 é o apótema; n é o numero de arestas laterais
P é o semiperímetro da base; a é o apótema do poliqono da base
r' Volume
r O princípio de Cavalieri assegura que um cone e uma pirâmide
equivalentes possuem volumes iguais:

46. 36
CAPíTULO 11
ORiGA i: U~ A ARTE DE ÃE PARA FILHO
Origami é uma arte milenar japonesa e consiste em dobrar papel,
cujo nome de origem orikami significa dobrar papel: ori - dobrar, Kami - papel,
transmitida de geração em geração entre os japoneses, desenvolveu -se de forma
tão cativante que conquistou o mundo
Para a confecção de uma peça faz-se necessário seguir algumas
regras. A primeira é obter-se uma folha de papel quadrada e no processo não
utilizar cortes embora estas não sejam regras absolutas.
O origami desempenha um papel muito importante no
desenvolvimento intelectual da criança, uma vez que desenvolve a capacidade
criadora, além de contribuir para o desenvolvimento da psicomotricidade, também
serve como terapia e desenvolve a destreza e as habilidades manuais.
A ORIGEM DO ORIGAMI
Há aproximadamente 1800 anos a China fabricava papel pela
mace ração de cascas de árvores e restos de tecidos e a esse momento está
presa à origem do origami. Quando o papel foi introduzido no Japão entre os
séculos VI e X, por monges budistas chineses, somente a nobreza tinha acesso a
ele por ser um produto de luxo, utilizado em festas religiosas e na confecção dos
moldes dos quimonos. Os japoneses divulgaram as figuras que criavam através
da tradição oral, onde as formas eram passadas de mãe para filha. Mantendo-se
assim as formas mais simples, pela ausência de um registro formal.
As primeiras instruções escritas sobre o Origami apareceram em
1797 com a publicação do "Senbazuru Orikata" (Como Dobrar Mil Graças) . Só
então, a partir da fabricação do seu próprio papel, o restante da população
começou a aprimorar essa arte, deixando de ser transmitido somente de pais

47. 37
para filhos e desde 1876, passou a fazer parte integrante do currículo escolar
desse país.
Enquanto isso, na Europa, a arte das dobraduras em papel também
estava sendo desenvolvida na Espanha. Os árabes trouxeram o s gredo da
fabricação do seu próprio papel para o Norte da África e, no século VIII os mouros
levaram este segredo até a Espanha. A religião dos mouros proibia a criação de
qualquer figura simbólica, de modo que as dobraduras em papel eram usadas por
eles apenas para estudar a Geometria presente nas formas e nas dobras.
QUAIS SÃO OS PAPEIS QUE PODEM SER UTILIZADOS?
O papel para o origami pode variar desde o mais simples (sulfite) até
os mais sofisticados. O papel sulfite e o chamado papel ofício, com formato
retangular de 23 cm x 21,5 cm é de cor branca. Dá à peça uma ótima sustentação.
Para dar maior realce às peças podemos utilizar o papel espelho
inclusive para as peças de grande porte este tipo é adequado, assim como o Kraft.
Já o papel, laminado por apresentar brilho numa das faces, e o papel camurça,
pela sua textura ligeiramente aveludada e maleabilidade, dão um efeito especial a
cada peça.
O papel vegetal com sua transparência, dá leveza e suavidade às
dobraduras, mas é preciso muito cuidado na confecção, porque as dobras ficam
marcadas com muita facilidade e às vezes, prejudicam a peça.
Mais conhecido como papel de embrulho ou de costureira, o papel
manilha, é encontrado comumente em rosa, amarelo e branco, em folhas
geralmente grandes ou em bobinas. Para instituições ou curso é o papel que
melhor se ajusta.
Outros papéis, como folhas de revistas, jornais, papel de presente ou
fantasia (GENOVA, 2002) também podem ser utilizados. Além de custo menor em
relação aos outros papeís dão um excelente resultado. Muitas vezes são usados
com objetivos específicos. Os de presente destacam-se por suas estampas, pois

48. 38
"escolhe-se uma estampa prevendo o resultado final da peça." (GENOVA,
2002,p.6)
A MATEMÁTICA E AS DOBRADURAS
A dobradura possibilita um trabalho interdisciplinar por envolver
várias disciplinas, como História, Educação Artística, Português, Geografia. Na
Matemática essa relação é bastante visível, indo desde a forma do papel que o
origami utiliza para a confecção das formas até conceitos da geometria plana, que
surgem durante o processo da dobradura, como retas perpendiculares, retas
paralelas, retângulo, quadrado, octógono regular, triângulo eqüilátero, hexágono
regular, etc.
Nesse projeto é dada ênfase à construção do hexaedro, procurando
refletir sobre o processo de sua construção e a relação dessa construção com a
formação de conceitos.
Mas até que ponto a construção de poliedros, facilitará para o aluno
os conceitos da geometria espacial? Se pensarmos na questão da incentivação,
poderá ser um processo bastante válido para o aluno, já que é mais interessante
para ele construir o seu próprio sólido geométrico do que ficar imaginando como
ele seria através de um desenho.
Devido à necessidade de se pensar em novos métodos de ensino
para o conteúdo de Geometria Espacial, pois normalmente na sala de aula, o
aluno não tem a oportunidade de expressar a sua criatividade e segundo
D'AMBROSIO: "aluno, assim passa a acreditar que na aula de matemática o seu
papel é passivo e desinteressante" (1989 , p. 15), a utilização das dobraduras,
surge como uma alternativa ao estudo da Geometria Espacial, pois através dela
pode-se despertar no aluno um maior interesse pelo conteúdo elaborado,
oportunizando a construção do conhecimento, isto é, com este recurso o mesmo
poderá visualizar os conceitos geométricos.

49. 39
CAPITULO 111
P O OSTA DE T BAL O PAR A GEOMETRIA
ESPACIAL: CO STRUÇÃO DE UM HEXAEDRO
Como introdução do conteúdo de Geometria Espacial , o professor
poderá trabalhar com seus alunos na construção de um poliedro (hexaedro),
utilizando a dobradura como meio para a confecção de suas faces.
Acreditamos que o trabalho com as dobraduras venha a estimular o
raciocínio do aluno; desenvolver a sua capacidade de: analisar, relacionar,
comparar, classificar, ordenar, sintetizar, avaliar, abstrair, generalizar e criar; levá-
10, também a entender os aspectos do mundo físico, trabalhando com a
construção dos sólidos geométricos e principalmente que tal ação venha suprir o
processo de retomada da geometria plana, sempre realizada pelos professores ao
iniciarem o trabalho com a geometria espacial, visto que os procedimentos para a
realização da peça pontuam estes conceitos.
Para a concretização da proposta é necessário alguns
procedimentos Iniciais, como a organização dos grupos de trabalho.
Aconselhamos que a classe seja dividida em grupos de 3 a 4 elementos para que
se cumpra o sentido de desenvolver na escola o trabalho coletivo e que o
professor se coloque como mediador do processo ensino/aprendizagem.
Os grupos, depois de organizados, recebem 6 folhas de papel sulfite
que equivale ao número de faces do poliedro. Como tais folhas, possuem forma
retangular os alunos precisarão transformá-Ias, em folhas de forma quadrada. Um
procedimento seria a partir de um dos vértices da folha dobrar e desdobrar
marcando o vinco, sendo essa uma das diagonais do quadrado. Depois retornar a
dobra e recortar o papel a partir do vértice que possui o vinco até o vértice oposto.
Com as folhas de forma quadrada, os alunos acompanham os
procedimentos que o professor mostrará passo a passo para a construção das
faces do hexaedro. Poderão visualizar esses passos através da transparência
exposta no retroprojetor.

50. r
40
Construídas as peças, eles só precisam construir duas ou três
peças a mais, dependendo do número de alunos do grupo, para em seguida
montarem o hexaedro, que utiliza seis peças.
Montados os hexaedros pelos grupos, o professor poderá explorar
junto com os alunos os elementos básicos pertencentes a um hexaedro como,
vértices, arestas, faces, ângulos poliédricos e etc.
PROCEDIMENTOS PARA CONSTRUÇÃO
Toda atividade deve sensibilizar o grupo de alunos, portanto para
iniciar essa atividade a problematização é o primeiro momento (ANGOTTI, 1992f
Para essa atividade pensamos numa situação desafiadora. Escolhemos o
problema da folha retangular: Como transformar um retângulo em um quadrado?
Após a sensibilização é importante que o professor registre os
encaminhamentos percorridos pelos alunos para futuras reflexões.
Devemos observar que "o papel , quando já cortado deve
apresentar quatro ângulos de 90°" (GENOVA , 2002, p.6).
Com o quadrado confeccionado faz-se necessário uma discussão
sobre a peça pois embora sendo utilizada como uma figura plana, a mesma
constitui um prisma de base retangular.
No acordo pedagógico, professor e os grupos denominam a folha
de papel como retangular e posteriormente a folha, em quadrada.
Com o "quadrado" em mãos inicia-se a confecção da peça.
Primeiramente observa-se os "cantos" (vértices) do papel. A primeira dobra
consiste em levar um dos cantos até o outro canto do lado oposto passando pelo
meio do papel. Esta dobra é um exemplo de vale e montanha". A figura apresenta
um segmento que divide o quadrado em dois triângulos retângulos.
2 Sobre os três momentos pedagógicos consultar Delizoicov & Angotti, Física p. 29-31.
3 Vale e montanha são termos utilizados no Origami

51. 41
Neste momento da atividade os envolvidos entram em contato com
determinados conceitos que esclarecemos utilizando BARATOJO(1994), como
referência.
Diagonal - "Segmento de reta que une dois vértices não
consecutivos de um potlçono".
Simetria por eixo - é a preservação da forma e configuração através
de um ponto, uma reta ou um plano. Com a simetria se obtém uma forma de outra
preservando suas características tais como ângulos, comprimento dos lados,
distância, tipos e tamanhos.
Quadrado - Quadrilátero cujos lados têm a mesma medida
(congruentes) e cujos ângulos são retos (90°). O quadrado é o único quadrilátero
regular, isto é, ele tem lados congruentes e ângulos congruentes.
Triângulo - Poliqono de três ângulos e três lados. Poliqono que tem
o menor número de lados.
Triângulo Retângulo - Triângulo que tem um ângulo reto.
Decomposição do quadrado em dois triângulos retângulos
Ângulos retos - Ângulo que tem uma das semi - retas perpendicular
à outra.
Bissetriz de um ângulo - Semi - reta que a partir do vértice de um
ângulo o divide em dois ângulos com a mesma medida, (congruentes).
Metade de um ângulo reto - Ângulo de 45°.
Ligue os outros vértices para formar a outra diagonal, para isso
dobra-se um triângulo sobre o outro tendo como referência a diagonal já feita.
r

52. 42
Conceitos
Decomposição do quadrado em quatro triângulos (áreas)
Quadrantes - Cada uma das quatro partes em que fica dividido um
plano por dois eixos coordenados, perpendiculares entre si, quarta parte de um
círculo.
Ângulos - (do latim, angulus). Uma das duas reqroes do plano
determinadas por duas semi - retas que tem a mesma origem (vértice).
Bissetriz - Sem; - reta que a partir do vértice de um ângulo o divide
em dois ângulos com a mesma medida, (congruentes).
Ponto Médio - Ponto eqüidistante dos extremos de um segmento.
Mediatriz de um Segmento de Reta - Perpendicular ao ponto médio
do segmento.
Perpendicular - Diz -se da posição que um ente geométrico tem em
relação a outro quando formam entre si ângulos retos.
Pegue um dos vértices e translade para o centro da figura. Firme a
dobra para que ela se efetive (Tal ação deverá ocorrer para os outros 3 vértices)
A figura obtida é um novo quadrado formado por 4 triângulos.

53. 43
Conceitos
Retas paralelas - Linhas ou superfícies eqüidistantes em toda a
extensão. Duas retas são paralelas quando situados no mesmo plano, não tem
ponto em comum.
Proporcionalidade - Qualidade ou propriedade de proporcional,
(proporção matemática).
Pontos médios dos lados - Ponto eqüidistante dos extremos de um
segmento.
Comprovação da área do triângulo (Quando dobra o vértice)
Altura do triângulo - Distância (perpendicular) de um vértice ao seu
lado oposto ou seu prolongamento.
O quadrado é formado por 2 quadrados menores (Você percebe isso
quando abre a Figura)
r Pegue a peça assentando o quadrado na mesa, tendo então os
triângulos voltados para cima e repita os passos anteriores.
Forma - se aqui um outro quadrado proporcional aos quadrados
an eriores.

54. 44
Volte as dobras deixando os "vincos" bem marcados pois são eles
que facilitarão ou dificultarão o próximo passo. Pode - se nesse momento levar o
aluno a observar quantos quadrados estão formados na figura (são dez
quadrados) e contar o número de triângulos inscritos na figura.
Agora posicione a peça na mesa assentando - a na parte fechada,
de modo que o quadrado fique dividido pelas suas diagonais perpendiculares.
Pegue uma das aberturas e traga o vértice para o interior. O vértice vai para
dentro e assenta-se os quadrados externos sobre o triângulo interno. Pressione
esse vértice de modo que fique dentro e as abas para fora. (sapo)
Observe que agora, olhando a figura como um todo tem - se um
pentágono irregular. (Verifica - se que o triângulo tem área igual à metade do
quadrado, verificando a última dobra). O pentágono em questão, se decomposto
em duas partes, é formado por um triângulo retângulo isósceles e um trapézio
isósceles.
Repete - se essa dobra do lado oposto da figura. Observa - se
agora um novo polígono de seis lados denominado hexágono irregular.

55. r
A figura contém determinados conceitos como: simetria, uma
ampliação no campo dos ângulos (ângulos agudos e obtusos). O ângulo de 135 o
aparece formado por (90 o + 45 O); soma dos ângulos internos.
Na confecção da peça constata-se a regularidade de conceitos:
simetria, ângulos, número de lados do polígono.
A peça formada constitui - se na face de um poliedro . Posicione a
peça com abertura sobre a mesa. Obs rve que a mesma é formada por um
quadrado e dois triângulos. O quadrado é a face propriamente dita e os triângulos
laterais, os encaixes.
Para a construção de um poliedro precisa - se de um certo número
de peças. No caso em estudo a construção . a de um hexaedro que possui seis
faces. É importante para a construção do poliedro a compreensão dos ângulos
poliédricos, portanto os encaixes devem ocorrer de forma didática.
Primeiro encaixe duas peças. Para tal posicione as peças como na
figura abaixo:
r-
8