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FUNFUNÇÇÕESÕES
P
x
y
O
y
x
P(x, y)
abscissa do
ponto P
ordenado do
ponto P
No caso, x e y são as
coordenadas de P.
xO
y
E
A
F
B
C D
E (x, 0)
A (+, +)
C (0, y)
B (–, +)
C (–, –)
D (+, –)
FUNFUNÇÇÃOÃO
DEFINIDEFINIÇÇÃOÃO
Sejam A e B dois conjuntos não vazios e uma relaSejam A e B dois conjuntos não vazios e um...
c) A relac) A relaçção binão bináária f = {(x;y)| y = x + 1}ria f = {(x;y)| y = x + 1}
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4
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x
y
0 1 2 3 4
Não é função
Não é função
x
y
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1 2 3
11
8
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x
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x
y
0
2
4 10
8
D = [4, 10[
Im = [2, 8[
D = {x ∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ/4 ≤≤≤≤ x < 10}
Im = {y ∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ/2 ≤≤≤≤ x < 8}
Domínio
Imagem
Seja o gráfico abaixo da função f, determinar a soma dos números associados às
proposições VERDADEIRAS:
01. O domínio da f...
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FUNFUNÇÇÃO POLINOMIAL DO 1ÃO POLINOMIAL DO 1ºº GRAUGRAU
y = f(x) = ax + b
a > 0
y
D = ℜℜℜℜ Im = ℜℜℜℜ
FUNÇÃO
CRESCENTE
(0, b)
x
y
(0, b)
x
FUNÇÃO
DECRESCENTE
a < 0
Raiz ou
zero da...
y = x – 2
y
(0, -2)
x2 3
1
4
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3
y = 3x – 6 y
(0, -6)
x2 3
3
4
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9
CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR – TAXA DE VARIAÇÃO
∆...
Seja f(x) = ax + b. Sabe-se que f(3) = 5 e f(-1) = - 3. Dê o valor de f(8).
f(3) = 5
f(-1) = -3
(3, 5)
(-1, -3)
y = ax + b...
Sabe-se que o valor de um carro novo é R$ 30 000,00 e, com 4 anos de uso, passa
a ser R$ 20 000,00. Considerando o decresc...
O valor de uma máquina decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste.
Sabendo-se que hoje ela vale R$800,00, e que ...
A semi-reta representada no gráfico seguinte expressa o custo de produção C,
em reais, de n quilos de certo produto.
C(rea...
Um camponês adquire um moinho ao preço de R$860,00. Com o passar do tempo,
ocorre uma depreciação linear no preço desse eq...
Em um termômetro de mercúrio, a temperatura é uma função afim (função do 1o
grau) da altura do mercúrio. Sabendo que as te...
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FUNFUNÇÇÃO POLINOMIAL DO 2ÃO POLINOMIAL DO 2ºº GRAUGRAU
y = f(x) = ax2 + bx + c
Vértice
(0,c)
xV
yV
x1 x2
Vértice
(0,c)
xV
yV
x1 x2
y
x x
y
a > 0 a < 0
RaRaíízeszes : x: x11 ee x...
RESUMO GRÁFICO
∆∆∆∆ > 0
x1 ≠≠≠≠ x2
x1 x2
y
x
∆∆∆∆ = 0
x1 = x2
x1 = x2
x
y
∆∆∆∆ < 0
x1, x2 ∉∉∉∉ R
x
y
Após o lançamento de um projétil, sua
altura h, em metros, t segundos após o
seu lançamento é dada por
h(t) = – t2 + 20t. ...
UFSC – SC
Se o lucro de uma empresa é dado por
L(x) = 4(3 – x)(x – 2), onde x é a
quantidade vendida, então o lucro da
emp...
UFSC – SC
GABARITO: 1/2
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PARIDADE DE FUNPARIDADE DE FUNÇÇÕESÕES
FUNFUNÇÇÃO PAR OUÃO PAR OU ÍÍMPARMPAR
FUNÇÃO PAR
VALORES SIMÉTRICOS DE X
IMAGENS IGUAIS
f(x) = x2 – 4
f(-3) = (-3)2 – 4 =
...
FUNÇÃO PAR
VALORES SIMÉTRICOS DE X
IMAGENS IGUAIS
FUNÇÃO ÍMPAR
VALORES SIMÉTRICOS DE X
IMAGENS SIMÉTRICAS
f(-x) = f(x)
f(-...
UFSC 2013UFSC 2013
ff éé uma funuma funççãoão ÍÍMPAR?MPAR?
NÃO, POIS f(NÃO, POIS f(--2)2) ≠≠ --f(2)f(2)
Observe o gráfico da função cujo domínio é o conjunto
D={x∈∈∈∈ R/- 2 < x < 4} e analise as afirmações a seguir.
ACAFE 2013...
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FUNFUNÇÇÃO COMPOSTAÃO COMPOSTA
( ) 34xxg −= ( ) 12xxf +=
A B C
FUNFUNÇÇÃO COMPOSTAÃO COMPOSTA
f(g(x)) = fog (x)
g(f(x)) = gof (x)
f(f(x)) = fof(x)
g(g(x)...
FUNFUNÇÇÃO COMPOSTAÃO COMPOSTA
Sejam f(x) = 2x + 3, g(x) = x – 5 e h(x) = 3x – 1. Calcule f(g(h(3))
f(x) = 2x + 3 g(x) = x...
O número N de caminhões produzidos em uma montadora durante um dia,
após t horas de operação, é dado por N(t) = 20t – t2, ...
UFSCUFSC –– VERDADEIRO OU FALSOVERDADEIRO OU FALSO
Sejam f e g funções reais definidas por f(x) = sen x e g(x) = x2 + 1.
E...
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FUNFUNÇÇÃO INJETORA SOBREJETORAÃO INJETORA SOBREJETORA
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FUNFUNÇÇÃO INJETORAÃO INJETORA
GRÁFICO ESTRITAMENTE CRESCENTE OU ESTRITAMENTE DECRESCENTE
FUNFUNÇÇÃO SOBREJETORAÃO SOBREJE...
UFSC 2013UFSC 2013
ff éé uma funuma funçção INJETORA?ão INJETORA?
NÃO, POIS f(2,3) =NÃO, POIS f(2,3) = f(2,7)f(2,7)
FUNFUNÇÇÃO INVERSAÃO INVERSA
3x
1-2x
f(x)
−
=
Encontre a inversa da função
3x
1-2x
f(x)
−
=
x =
3
12
−
−
y
y
x(y – 3) = 2y...
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  1. 1. www.ricardinhomatematica.com.brwww.ricardinhomatematica.com.br FUNFUNÇÇÕESÕES
  2. 2. P x y O y x P(x, y) abscissa do ponto P ordenado do ponto P No caso, x e y são as coordenadas de P.
  3. 3. xO y E A F B C D E (x, 0) A (+, +) C (0, y) B (–, +) C (–, –) D (+, –)
  4. 4. FUNFUNÇÇÃOÃO DEFINIDEFINIÇÇÃOÃO Sejam A e B dois conjuntos não vazios e uma relaSejam A e B dois conjuntos não vazios e uma relaçção R de Aão R de A em B, essa relaem B, essa relaçção serão seráá chamada de funchamada de funçção quandoão quando parapara todotodo e qualquer elemento de A estiver associado ae qualquer elemento de A estiver associado a umum úúniconico elemento em B.elemento em B. A relaA relaçção binão bináária h = {(x;y)| x > y}ria h = {(x;y)| x > y} y>x A B 2 4 1 3 5 h: {(2;1), (4;1), (4,3)}h: {(2;1), (4;1), (4,3)} A relaA relaçção binão bináária g = {(x;y)| y= x + 3}ria g = {(x;y)| y= x + 3} 3xy += 2 4 1 3 5 g: {(2;5)}g: {(2;5)} A B NÃONÃO ÉÉ FUNFUNÇÇÃOÃO NÃONÃO ÉÉ FUNFUNÇÇÃOÃO
  5. 5. c) A relac) A relaçção binão bináária f = {(x;y)| y = x + 1}ria f = {(x;y)| y = x + 1} 1+= xy A B2 4 1 3 5 f: {(2;3), (4;5)}f: {(2;3), (4;5)} ff éé uma funuma funçção de A em B, poisão de A em B, pois todotodo elemento de A estelemento de A estáá associado aassociado a umum úúniconico elemento em Belemento em B ELEMENTOS DE UMA FUNELEMENTOS DE UMA FUNÇÇÃO: f: AÃO: f: A →→→→→→→→ BB DOMDOMÍÍNIO: A = {2, 4}NIO: A = {2, 4} CONTRA DOMCONTRA DOMÍÍNIO: B = {1, 3, 5}NIO: B = {1, 3, 5} CONJUNTO IMAGEM: Im (f) = {3, 5}CONJUNTO IMAGEM: Im (f) = {3, 5}
  6. 6. x y 0 1 2 3 4 Não é função
  7. 7. Não é função
  8. 8. x y 0 1 2 3 4 É função
  9. 9. Considere a funConsidere a funçção f: Aão f: A →→→→→→→→ B definida porB definida por y = 3x + 2, podey = 3x + 2, pode--sese afirmar que o conjunto imagem de fafirmar que o conjunto imagem de f éé:: 23 += xy A B 23 += xy 521.3 =+=y1 2 3 5 8 11 15 17 822.3 =+=y 1123.3 =+=y 23)( += xxf → → → 5)1( =f 8)2( =f 11)3( =f }11,8,5{)Im( =∴ f
  10. 10. GRGRÁÁFICO DA FUNFICO DA FUNÇÇÃO f: AÃO f: A →→→→→→→→ B definida por y = 3x + 2B definida por y = 3x + 2 Pares Ordenados Obtidos: {(1,5); (2,8); (3,11)}Pares Ordenados Obtidos: {(1,5); (2,8); (3,11)} 1 2 3 11 8 5 x y
  11. 11. 1 2 3 11 8 5 x y GRGRÁÁFICO DA FUNFICO DA FUNÇÇÃO f:ÃO f: ℜℜℜℜℜℜℜℜ →→→→→→→→ ℜℜℜℜℜℜℜℜ definida por y = 3x + 2definida por y = 3x + 2
  12. 12. x y 0 2 4 10 8 D = [4, 10[ Im = [2, 8[ D = {x ∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ/4 ≤≤≤≤ x < 10} Im = {y ∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ/2 ≤≤≤≤ x < 8} Domínio Imagem
  13. 13. Seja o gráfico abaixo da função f, determinar a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS: 01. O domínio da função f é {x ∈ R | - 3 ≤ x ≤ 3} 02. A imagem da função f é {y ∈ R | - 2 ≤ y ≤ 3} 04. para x = 3, tem-se y = 3 08. para x = 0, tem-se y = 2 16. para x = - 3, tem-se y = 0 32. A função é decrescente em todo seu domínio V V (3,3) ou f(3) = 3 (0,2) ou f(0) = 2 (-3,2) ou f(-3) = 2 V V F F
  14. 14. www.ricardinhomatematica.com.brwww.ricardinhomatematica.com.br FUNFUNÇÇÃO POLINOMIAL DO 1ÃO POLINOMIAL DO 1ºº GRAUGRAU
  15. 15. y = f(x) = ax + b a > 0 y D = ℜℜℜℜ Im = ℜℜℜℜ FUNÇÃO CRESCENTE (0, b) x y (0, b) x FUNÇÃO DECRESCENTE a < 0 Raiz ou zero da função y = 0
  16. 16. y = x – 2 y (0, -2) x2 3 1 4 2 5 3 y = 3x – 6 y (0, -6) x2 3 3 4 6 5 9 CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR – TAXA DE VARIAÇÃO ∆x ∆y a =
  17. 17. Seja f(x) = ax + b. Sabe-se que f(3) = 5 e f(-1) = - 3. Dê o valor de f(8). f(3) = 5 f(-1) = -3 (3, 5) (-1, -3) y = ax + b 5 = a(3) + b -3 = a(-1) + b    =+ =+ 3-ba- 5b3a a = 2 b = - 1 f(x) = ax + b f(x) = 2x – 1 Logo: f(8) = 2.8 – 1 f(8) = 15
  18. 18. Sabe-se que o valor de um carro novo é R$ 30 000,00 e, com 4 anos de uso, passa a ser R$ 20 000,00. Considerando o decrescimento linear, obtenha o valor desse carro depois de 8 anos de uso. x(anos) y(reais) 0 4 30 000 20 000 Função do 1º grau: f(x) = a.x+ b P1(0,30000) P2(4,20000) 30000 = a.0 + b b = 30000 20000 = a. 4 + 30000 a = -2500 f(x) = a.x+ b f(x) = -2500x+ 30000 f(8) = -2500.8+ 30000 f(8)f(8) == 10 00010 000 Portanto após 8 anos o valor do carro será R$ 10000,00 y = a.x+ b y = a.x+ b
  19. 19. O valor de uma máquina decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale R$800,00, e que daqui a 5 anos valerá R$160,00, o seu valor, em reais, daqui a três anos será: x(anos) y(reais) 0 5 160 800 Função do 1º grau: f(x) = a.x+ b P1(0,800) P2(5,160) 800 = a.0 + b b = 800 160 = a. 5 + 800 -640 = 5a a = -128 f(x) = a.x+ b f(x) = -128.x+ 800 f(3) = -128.3+ 800 f(3)f(3) == 416416 Portanto após 3 anos a Máquina valerá R$ 416,00
  20. 20. A semi-reta representada no gráfico seguinte expressa o custo de produção C, em reais, de n quilos de certo produto. C(reais) x(quilogramas)0 20 80 180 Se o fabricante vender esse produto a R$ 102,00 o quilo, a sua porcentagem de lucro em cada venda será? Função do 1º grau: f(x) = a.x+ b P1(0,80) P2(20,180) 80 = a.0 + b b = 80 180 = a. 20 + 80 20a = 100 a = 5 f(x) = a.x+ b f(x) = 5.x+ 80 f(1) = 5.1+ 80 ⇒⇒ f(1) = 85f(1) = 85 R$ 85 ⇔ 100% R$102 ⇔ x x = 120% LUCRO DE 20%
  21. 21. Um camponês adquire um moinho ao preço de R$860,00. Com o passar do tempo, ocorre uma depreciação linear no preço desse equipamento. Considere que, em 6 anos, o preço do moinho será de R$ 500,00. Com base nessas informações, é correto afirmar: x(anos) y(reais) 0 6 500 860 Função do 1º grau: f(x) = a.x+ b A(0,860) B(6,500) 860 = a.0 + b b = 860 500 = a. 6 + 860 -360 = 6a a = -60 f(x) = a.x+ b f(x) = -60.x+ 860 a) f(3) = -60.3+ 860 f(3) = 680 A B F b) f(9) = -60.9+ 860 f(9) = 320 F c) f(7) = -60.7+ 860 f(7) = 440 F d) - 60x + 860 < 200 -60x < -660 x > 11anos F e) f(13) = -60.13+ 860 f(13) = 440 f(13) = 80 V
  22. 22. Em um termômetro de mercúrio, a temperatura é uma função afim (função do 1o grau) da altura do mercúrio. Sabendo que as temperaturas 0oC e 100oC correspondem, respectivamente, às alturas 20 ml e 270 ml do mercúrio, então a temperatura correspondente a 112,5 ml é ml temperatura0 100 20 270 Função do 1º grau: f(x) = a.x+ b P1(0,20) P2(100,270) 20 = a.0 + b b = 20 270 = a. 100 + 20 100a = 250 a = 2,5 f(x) = a.x+ b f(x) = 2,5.x+ 20 y = 2,5x + 20 112,5 = 2,5x + 20 92,5=2,5x 37°C = x
  23. 23. www.ricardinhomatematica.com.brwww.ricardinhomatematica.com.br FUNFUNÇÇÃO POLINOMIAL DO 2ÃO POLINOMIAL DO 2ºº GRAUGRAU
  24. 24. y = f(x) = ax2 + bx + c Vértice (0,c) xV yV x1 x2 Vértice (0,c) xV yV x1 x2 y x x y a > 0 a < 0 RaRaíízeszes : x: x11 ee xx22 ax2 + bx + c = 0 2 4 V V b x e y a a − −∆ = =
  25. 25. RESUMO GRÁFICO ∆∆∆∆ > 0 x1 ≠≠≠≠ x2 x1 x2 y x ∆∆∆∆ = 0 x1 = x2 x1 = x2 x y ∆∆∆∆ < 0 x1, x2 ∉∉∉∉ R x y
  26. 26. Após o lançamento de um projétil, sua altura h, em metros, t segundos após o seu lançamento é dada por h(t) = – t2 + 20t. Em relação a este lançamento, analise as afirmações a seguir. l. A altura máxima atingida pelo projétil foi de 10m. ll. O projétil atingiu a altura máxima quando t=10s. lll. A altura do projétil é representada por uma função polinomial quadrática cujo domínio é [0,20]. lV. Quando t = 11, o projétil ainda não atingiu sua altura máxima. Todas as afirmações corretas estão em: a) I – III b) I – II – IV c) II – III d) III – IV ACAFE – SC PUC – PR O lucro de uma determinada empresa é dado pela lei L(x) =L(x) = -- xx22 + 8+ 8xx -- 77, em que x é a quantidade vendida (em milhares de unidades) e L é o lucro (em reais). A quantidade que se deve vender para que o lucro seja máximo bem como o valor desse lucro são, respectivamente: A) 3.000 unidades e R$ 6.000,00 B) 4.000 unidades e R$ 9.000,00 C) 4.000 unidades e R$ 8.000,00 D) 5.000 unidades e R$ 12.000,00 E) 4.500 unidades e R$ 9.000,00
  27. 27. UFSC – SC Se o lucro de uma empresa é dado por L(x) = 4(3 – x)(x – 2), onde x é a quantidade vendida, então o lucro da empresa é máximo quando x é igual a: UFSC – SC O lucro, em reais, para a comercialização de x unidades de um determinado produto é dado por L(x) = - 1120 + 148x – x2. Então, para que se tenha lucro máximo, deve-se vender quantos produtos? UFSC - SC Tem-se uma folha de cartolina com forma retangular, cujos lados medem 56cm e 32cm e deseja- se cortar as quinas, conforme ilustração a seguir. Quanto deve medir x, em centímetros, para que a área da região hachurada seja a maior possível? GABARITO: 11
  28. 28. UFSC – SC
  29. 29. GABARITO: 1/2
  30. 30. www.ricardinhomatematica.com.brwww.ricardinhomatematica.com.br PARIDADE DE FUNPARIDADE DE FUNÇÇÕESÕES
  31. 31. FUNFUNÇÇÃO PAR OUÃO PAR OU ÍÍMPARMPAR FUNÇÃO PAR VALORES SIMÉTRICOS DE X IMAGENS IGUAIS f(x) = x2 – 4 f(-3) = (-3)2 – 4 = f(3) = (3)2 – 4 = 5 5 FUNÇÃO ÍMPAR VALORES SIMÉTRICOS DE X IMAGENS SIMÉTRICAS f(x) = x3 f(-4) = (-4)3 = f(4) = 43 = - 64 64 f(-x) = f(x) f(-x) = - f(x)
  32. 32. FUNÇÃO PAR VALORES SIMÉTRICOS DE X IMAGENS IGUAIS FUNÇÃO ÍMPAR VALORES SIMÉTRICOS DE X IMAGENS SIMÉTRICAS f(-x) = f(x) f(-x) = - f(x) FUNFUNÇÇÃO PAR OUÃO PAR OU ÍÍMPAR?MPAR? 1) f(x) = 4x3 + x GRÁFICO SIMÉTRICO AO EIXO Y GRÁFICO SIMÉTRICO EM RELAÇÃO A ORIGEM 2) f(x) = 3x4 + 5x2 3) f(x) = 5x4 + 2x3 4) f(x) = sen x 5) f(x) = cos x 6) f(x) = tg x ÍÍMPARMPAR f(-x) = - f(x) f(-2) = - f(2) PARPAR f(-x) = f(x) f(-3) = f(3) SEMSEM PARIDADEPARIDADE ÍÍMPARMPAR sen(-x) = - sen(x) sen(-30°) = - sen(30°) PARPAR cos(-x) = cos(x) cos(-30°) = cos(30°) ÍÍMPARMPAR tg(-x) = - tg(x) tg(-30°) = - tg(30°)
  33. 33. UFSC 2013UFSC 2013 ff éé uma funuma funççãoão ÍÍMPAR?MPAR? NÃO, POIS f(NÃO, POIS f(--2)2) ≠≠ --f(2)f(2)
  34. 34. Observe o gráfico da função cujo domínio é o conjunto D={x∈∈∈∈ R/- 2 < x < 4} e analise as afirmações a seguir. ACAFE 2013.1ACAFE 2013.1 l. A função é par. ll. A função possui 3 raízes reais. lll. No intervalo A=[1,3] a função é decrescente. IV. A função pode ser representada por y = x³ - 3x² - x +3, sendo D={x∈∈∈∈ R/- 2 < x < 4} Todas as afirmações corretas estão em: a) I - II - III b) II - IV c) II - III - IV d) III - IV
  35. 35. www.ricardinhomatematica.com.brwww.ricardinhomatematica.com.br FUNFUNÇÇÃO COMPOSTAÃO COMPOSTA
  36. 36. ( ) 34xxg −= ( ) 12xxf += A B C FUNFUNÇÇÃO COMPOSTAÃO COMPOSTA f(g(x)) = fog (x) g(f(x)) = gof (x) f(f(x)) = fof(x) g(g(x)) = gog(x) NOTANOTAÇÇÕESÕES 2 5 11 ( ) 5-8xg(x)f = f(x) = 2x + 1 f(…) = 2(…) + 1 f(g(x)) = 2g(x) + 1 f(g(x)) = 2(4x – 3) + 1 CCÁÁLCULO de f(g(x))LCULO de f(g(x)) f(g(x)) = 8x – 5
  37. 37. FUNFUNÇÇÃO COMPOSTAÃO COMPOSTA Sejam f(x) = 2x + 3, g(x) = x – 5 e h(x) = 3x – 1. Calcule f(g(h(3)) f(x) = 2x + 3 g(x) = x – 5 h(x) = 3x – 1 h(3) = 3.3 – 1 h(3) = 9 – 1 h(3) = 8 g(8) = 8 – 5 g(8) = 3 f(3) = 2.3 + 3 f(3) = 6 + 3 f(3) = 9 Portanto f(g(h(3)) = 9
  38. 38. O número N de caminhões produzidos em uma montadora durante um dia, após t horas de operação, é dado por N(t) = 20t – t2, sendo que 0 ≤ t ≤ 10. Suponha que o custo C (em milhares de reais) para se produzir N caminhões seja dado por C(N) = 50 + 30N. a) Escreva o custo C como uma função do tempo t de operação da montadora. b) Em que instante t, de um dia de produção, o custo alcançará o valor de 2300 milhares de reais? UFPRUFPR –– 20132013 –– SEGUNDA FASESEGUNDA FASE
  39. 39. UFSCUFSC –– VERDADEIRO OU FALSOVERDADEIRO OU FALSO Sejam f e g funções reais definidas por f(x) = sen x e g(x) = x2 + 1. Então (fog)(x) = (fog)(– x) para todo x real. UFSC 2012UFSC 2012 VV Sejam h e k, duas funções, dadas por h(x) = 2x - 1 e k(x) = 3x + 2. Então h(k(1)) é igual a 9. UFSC 2002UFSC 2002 VV UFSC 2006UFSC 2006 UFSCUFSC –– QUESTÃO ABERTAQUESTÃO ABERTA
  40. 40. www.ricardinhomatematica.com.brwww.ricardinhomatematica.com.br FUNFUNÇÇÃO INJETORA SOBREJETORAÃO INJETORA SOBREJETORA E BIJETORAE BIJETORA
  41. 41. FUNFUNÇÇÃO INJETORAÃO INJETORA GRÁFICO ESTRITAMENTE CRESCENTE OU ESTRITAMENTE DECRESCENTE FUNFUNÇÇÃO SOBREJETORAÃO SOBREJETORA FUNFUNÇÇÃO BIJETORAÃO BIJETORA
  42. 42. UFSC 2013UFSC 2013 ff éé uma funuma funçção INJETORA?ão INJETORA? NÃO, POIS f(2,3) =NÃO, POIS f(2,3) = f(2,7)f(2,7)
  43. 43. FUNFUNÇÇÃO INVERSAÃO INVERSA 3x 1-2x f(x) − = Encontre a inversa da função 3x 1-2x f(x) − = x = 3 12 − − y y x(y – 3) = 2y – 1 xy – 3x = 2y – 1 xy – 2y = 3x – 1 xy – 2y = 3x – 1 y(x – 2) = 3x – 1 y = 2 13 − − x x 2x 13x (x)f 1 − − =− GABARITO: 27

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