Conceitos IniciaisConceitos Iniciais
PAR ORDENADO – conceito primitivoPAR ORDENADO – conceito primitivo
P(x,y) – ponto no ...
FUNÇÃOFUNÇÃO
DEFINIÇÃODEFINIÇÃO
Sejam A e B dois conjuntos não vazios e uma relação R de ASejam A e B dois conjuntos não v...
c) A relação binária f = {(x;y)| y = x + 1}c) A relação binária f = {(x;y)| y = x + 1}
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Não é função
CONTRA EXEMPLO DE FUNÇÃOCONTRA EXEMPLO DE FUNÇÃO
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GRÁFICO DA FUNÇÃO f: AGRÁFICO DA FUNÇÃO f: A →→ B definida por y = 3x + 2B definida por y = 3x + 2
Pares Ordenados Obtidos...
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x
y
GRÁFICO DA FUNÇÃO f:GRÁFICO DA FUNÇÃO f: ℜℜ →→ ℜℜ definida por y = 3x + 2definida por y = 3x + 2
Seja o gráfico abaixo da função f, determinar a soma dos números associados às
proposições VERDADEIRAS:
01. O domínio da f...
y = f(x) = ax +
b
a > 0
y
D = ℜ Im = ℜ
FUNÇÃO
CRESCENTE
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x
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y = x – 2
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CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR – TAXA DE VARIAÇÃO
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Seja f(x) = ax + b. Sabe-se que f(3) = 5 e f(-1) = - 3. Dê o valor de f(8).
f(3) = 5
f(-1) = -3
(3, 5)
(-1, -3)
y = ax + b...
O valor de uma máquina decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste.
Sabendo-se que hoje ela vale R$800,00, e que ...
A semi-reta representada no gráfico seguinte expressa o custo de produção C, em
reais, de n quilos de certo produto.
C(rea...
Um camponês adquire um moinho ao preço de R$860,00. Com o passar do tempo,
ocorre uma depreciação linear no preço desse eq...
Em um termômetro de mercúrio, a temperatura é uma função afim (função do 1o
grau) da altura do mercúrio. Sabendo que as te...
y = f(x) = ax2
+ bx
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Vértice
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x1 x2
Vértice
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Após o lançamento de um projétil, sua
altura h, em metros, t segundos após o
seu lançamento é dada por
h(t) = – t2
+ 20t. ...
UFSC - 2009
Se o lucro de uma empresa é dado por
L(x) = 4(3 – x)(x – 2), onde x é a
quantidade vendida, então o lucro da
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As dimensões de um retângulo são dadas em centímetros, pelasAs dimensões de um retângulo são dadas em centímetros, pelas
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RESUMO GRÁFICO
∆ > 0
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x1 x2
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x1 = x2
x1 = x2
x
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x
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04)
GABARITO: 1/2
05)
GABARITO: E
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GABARITO: E
a)
Considere o triângulo ABC, com base BC medindo 6cm e com altura 5cm. Um
retângulo inscrito nesse triângulo tem o lado MN p...
FUNÇÃO PAR OU ÍMPARFUNÇÃO PAR OU ÍMPAR
FUNÇÃO PAR
VALORES SIMÉTRICOS DE X
IMAGENS IGUAIS
f(x) = x2
– 4
f(-3) = (-3)2
– 4 =...
FUNÇÃO PAR
VALORES SIMÉTRICOS DE X
IMAGENS IGUAIS
FUNÇÃO ÍMPAR
VALORES SIMÉTRICOS DE X
IMAGENS SIMÉTRICAS
f(-x) = f(x)
f(-...
UFSC 2013UFSC 2013
f é uma função ÍMPAR?f é uma função ÍMPAR?
NÃO, POIS f(-2)NÃO, POIS f(-2) ≠ -f(2)≠ -f(2)
Observe o gráfico da função cujo domínio é o conjunto
D={x∈ R/- 2 < x < 4} e analise as afirmações a seguir.
ACAFE 2013.1A...
( ) 34xxg −= ( ) 12xxf +=
A B C
FUNÇÃO COMPOSTAFUNÇÃO COMPOSTA
f(g(x)) = fog (x)
g(f(x)) = gof (x)
f(f(x)) = fof(x)
g(g(x)...
FUNÇÃO COMPOSTAFUNÇÃO COMPOSTA
Sejam f(x) = 2x + 3, g(x) = x – 5 e h(x) = 3x – 1. Calcule f(g(h(3))
f(x) = 2x + 3 g(x) = x...
O número N de caminhões produzidos em uma montadora durante um
dia, após t horas de operação, é dado por N(t) = 20t – t2
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UFSC – VERDADEIRO OU FALSOUFSC – VERDADEIRO OU FALSO
Sejam f e g funções reais definidas por f(x) = sen x e g(x) = x2
+ 1....
GABARITO: B
FUNÇÃO INJETORAFUNÇÃO INJETORA
GRÁFICO ESTRITAMENTE CRESCENTE OU ESTRITAMENTE DECRESCENTE
FUNÇÃO SOBREJETORAFUNÇÃO SOBREJE...
UFSC 2013UFSC 2013
f é uma função INJETORA?f é uma função INJETORA?
NÃO, POIS f(2,3) =NÃO, POIS f(2,3) = f(2,7)f(2,7)
FUNÇÃO INVERSAFUNÇÃO INVERSA
3x
1-2x
f(x)
−
=
Encontre a inversa da função
3x
1-2x
f(x)
−
=
x =
3
12
−
−
y
y
x(y – 3) = 2y...
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  1. 1. Conceitos IniciaisConceitos Iniciais PAR ORDENADO – conceito primitivoPAR ORDENADO – conceito primitivo P(x,y) – ponto no plano cartesianoP(x,y) – ponto no plano cartesiano Abscissa Ordenada P(x,y) P (x,0) P (0,y) x y
  2. 2. FUNÇÃOFUNÇÃO DEFINIÇÃODEFINIÇÃO Sejam A e B dois conjuntos não vazios e uma relação R de ASejam A e B dois conjuntos não vazios e uma relação R de A em B, essa relação será chamada de função quandoem B, essa relação será chamada de função quando parapara todotodo e qualquer elemento de A estiver associado ae qualquer elemento de A estiver associado a um únicoum único elemento em B.elemento em B. A relação binária h = {(x;y)| y < x}A relação binária h = {(x;y)| y < x} xy < A B2 4 1 3 5 h: {(2;1), (4;1), (4,3)}h: {(2;1), (4;1), (4,3)} A relação binária g = {(x;y)| y= x + 3}A relação binária g = {(x;y)| y= x + 3} 3+= xy 2 4 1 3 5 g: {(2;5)}g: {(2;5)} A B NÃO É FUNÇÃONÃO É FUNÇÃO NÃO É FUNÇÃONÃO É FUNÇÃO
  3. 3. c) A relação binária f = {(x;y)| y = x + 1}c) A relação binária f = {(x;y)| y = x + 1} 1+= xy A B2 4 1 3 5 f: {(2;3), (4;5)}f: {(2;3), (4;5)} f é uma função de A em B, poisf é uma função de A em B, pois todotodo elemento de A está associado aelemento de A está associado a um únicoum único elemento em Belemento em B ELEMENTOS DE UMA FUNÇÃO: f: AELEMENTOS DE UMA FUNÇÃO: f: A →→ BB DOMÍNIO: A = {2, 4}DOMÍNIO: A = {2, 4} CONTRA DOMÍNIO: B = {1, 3, 5}CONTRA DOMÍNIO: B = {1, 3, 5} CONJUNTO IMAGEM: Im (f) = {3, 5}CONJUNTO IMAGEM: Im (f) = {3, 5}
  4. 4. Não é função CONTRA EXEMPLO DE FUNÇÃOCONTRA EXEMPLO DE FUNÇÃO
  5. 5. Considere a função f: AConsidere a função f: A →→ B definida por y = 3x + 2, pode-seB definida por y = 3x + 2, pode-se afirmar que o conjunto imagem de f é:afirmar que o conjunto imagem de f é: 23 += xy A B 23 += xy 521.3 =+=y1 2 3 5 8 11 15 17 822.3 =+=y 1123.3 =+=y 23)( += xxf → → → 5)1( =f 8)2( =f 11)3( =f }11,8,5{)Im( =∴ f
  6. 6. GRÁFICO DA FUNÇÃO f: AGRÁFICO DA FUNÇÃO f: A →→ B definida por y = 3x + 2B definida por y = 3x + 2 Pares Ordenados Obtidos: {(1,5); (2,8); (3,11)}Pares Ordenados Obtidos: {(1,5); (2,8); (3,11)} 1 2 3 11 8 5 x y
  7. 7. 1 2 3 11 8 5 x y GRÁFICO DA FUNÇÃO f:GRÁFICO DA FUNÇÃO f: ℜℜ →→ ℜℜ definida por y = 3x + 2definida por y = 3x + 2
  8. 8. Seja o gráfico abaixo da função f, determinar a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS: 01. O domínio da função f é {x ∈ R | - 3 ≤ x ≤ 3} 02. A imagem da função f é {y ∈ R | - 2 ≤ y ≤ 3} 04. para x = 3, tem-se y = 3 08. para x = 0, tem-se y = 2 16. para x = - 3, tem-se y = 0 32. A função é decrescente em todo seu domínio V V (3,3) ou f(3) = 3 (0,2) ou f(0) = 2 (-3,2) ou f(-3) = 2 V V F F
  9. 9. y = f(x) = ax + b a > 0 y D = ℜ Im = ℜ FUNÇÃO CRESCENTE (0, b) x y (0, b) x FUNÇÃO DECRESCENTE a < 0 Raiz ou zero da função y = 0
  10. 10. y = x – 2 y (0, -2) x2 3 1 4 2 5 3 y = 3x – 6 y (0, -6) x2 3 3 4 6 5 9 CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR – TAXA DE VARIAÇÃO Δx Δy a =
  11. 11. Seja f(x) = ax + b. Sabe-se que f(3) = 5 e f(-1) = - 3. Dê o valor de f(8). f(3) = 5 f(-1) = -3 (3, 5) (-1, -3) y = ax + b 5 = a(3) + b -3 = a(-1) + b    =+ =+ 3-ba- 5b3a a = 2 b = - 1 f(x) = ax + b f(x) = 2x – 1 Logo: f(8) = 2.8 – 1 f(8) = 15
  12. 12. O valor de uma máquina decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale R$800,00, e que daqui a 5 anos valerá R$160,00, o seu valor, em reais, daqui a três anos será: x(anos) y(reais) 0 5 160 800 Função do 1º grau: f(x) = a.x+ b P1(0,800) P2(5,160) 800 = a.0 + b b = 800 160 = a. 5 + 800 -640 = 5a a = -128 f(x) = a.x+ b f(x) = -128.x+ 800 f(3) = -128.3+ 800 f(3) = 416f(3) = 416 Portanto após 3 anos a Máquina valerá R$ 416,00
  13. 13. A semi-reta representada no gráfico seguinte expressa o custo de produção C, em reais, de n quilos de certo produto. C(reais) x(quilogramas)0 20 80 180 Se o fabricante vender esse produto a R$ 102,00 o quilo, a sua porcentagem de lucro em cada venda será? Função do 1º grau: f(x) = a.x+ b P1(0,80) P2(20,180) 80 = a.0 + b b = 80 180 = a. 20 + 80 20a = 100 a = 5 f(x) = a.x+ b f(x) = 5.x+ 80 f(1) = 5.1+ 80 ⇒⇒ f(1) = 85f(1) = 85 R$ 85 ⇔ 100% R$102 ⇔ x x = 120% LUCRO DE 20%
  14. 14. Um camponês adquire um moinho ao preço de R$860,00. Com o passar do tempo, ocorre uma depreciação linear no preço desse equipamento. Considere que, em 6 anos, o preço do moinho será de R$ 500,00. Com base nessas informações, é correto afirmar: x(anos) y(reais) 0 6 500 860 Função do 1º grau: f(x) = a.x+ b A(0,860) B(6,500) 860 = a.0 + b b = 860 500 = a. 6 + 860 -360 = 6a a = -60 f(x) = a.x+ b f(x) = -60.x+ 860 a) f(3) = -60.3+ 860 f(3) = 680 A B F b) f(9) = -60.9+ 860 f(9) = 320 F c) f(7) = -60.7+ 860 f(7) = 440 F d) - 60x + 860 < 200 -60x < -660 x > 11anos F e) f(13) = -60.13+ 860 f(13) = 440 f(13) = 80 V
  15. 15. Em um termômetro de mercúrio, a temperatura é uma função afim (função do 1o grau) da altura do mercúrio. Sabendo que as temperaturas 0o C e 100o C correspondem, respectivamente, às alturas 20 ml e 270 ml do mercúrio, então a temperatura correspondente a 112,5 ml é ml temperatura0 100 20 270 Função do 1º grau: f(x) = a.x+ b P1(0,20) P2(100,270) 20 = a.0 + b b = 20 270 = a. 100 + 20 100a = 250 a = 2,5 f(x) = a.x+ b f(x) = 2,5.x+ 20 y = 2,5x + 20 112,5 = 2,5x + 20 92,5=2,5x 37°C = x
  16. 16. y = f(x) = ax2 + bx + c Vértice (0,c) xV yV x1 x2 Vértice (0,c) xV yV x1 x2 y x x y a > 0 a < 0 Raízes : xRaízes : x11 e xe x22 ax2 + bx + c = 0 2 4 V V b x e y a a − −∆ = =
  17. 17. Após o lançamento de um projétil, sua altura h, em metros, t segundos após o seu lançamento é dada por h(t) = – t2 + 20t. Em relação a este lançamento, analise as afirmações a seguir. l. A altura máxima atingida pelo projétil foi de 10m. ll. O projétil atingiu a altura máxima quando t=10s. lll. A altura do projétil é representada por uma função polinomial quadrática cujo domínio é [0,20]. lV. Quando t = 11, o projétil ainda não atingiu sua altura máxima. Todas as afirmações corretas estão em: a) I – III b) I – II – IV c) II – III d) III – IV ACAFE - 2010 PUC – PR - 2010 O lucro de uma determinada empresa é dado pela lei L(x) = -L(x) = - xx22 + 8+ 8xx - 7- 7, em que x é a quantidade vendida (em milhares de unidades) e L é o lucro (em reais). A quantidade que se deve vender para que o lucro seja máximo bem como o valor desse lucro são, respectivamente: A) 3.000 unidades e R$ 6.000,00 B) 4.000 unidades e R$ 9.000,00 C) 4.000 unidades e R$ 8.000,00 D) 5.000 unidades e R$ 12.000,00 E) 4.500 unidades e R$ 9.000,00
  18. 18. UFSC - 2009 Se o lucro de uma empresa é dado por L(x) = 4(3 – x)(x – 2), onde x é a quantidade vendida, então o lucro da empresa é máximo quando x é igual a: UFSC - 2013 O lucro, em reais, para a comercialização de x unidades de um determinado produto é dado por L(x) = - 1120 + 148x – x2 . Então, para que se tenha lucro máximo, deve-se vender quantos produtos? UFSC - 2005 Tem-se uma folha de cartolina com forma retangular, cujos lados medem 56cm e 32cm e deseja- se cortar as quinas, conforme ilustração a seguir. Quanto deve medir x, em centímetros, para que a área da região hachurada seja a maior possível? GABARITO: 11
  19. 19. As dimensões de um retângulo são dadas em centímetros, pelasAs dimensões de um retângulo são dadas em centímetros, pelas expressões: 2x e (10 – 2x) com 0 < x < 5. Determinar, neste caso, o valorexpressões: 2x e (10 – 2x) com 0 < x < 5. Determinar, neste caso, o valor máximo da área em cmmáximo da área em cm22 , que esse retângulo pode assumir., que esse retângulo pode assumir. Vértice 5/2 yV 0 5 2x 10 – 2x A = base x altura A = 2x . (10 – 2x) A(x) = – 4x2 + 20x a = - 4 b = 20 c = 0 RAÍZES OU ZEROS DA FUNÇÃO 0 = – 4x2 + 20x x2 - 5x = 0 x1 = 0 x2 = 5 Área Área Máxima é o yv A(5/2) = – 4(5/2)2 + 20(5/2) A(5/2) = 25cm2
  20. 20. RESUMO GRÁFICO ∆ > 0 x1 ≠ x2 x1 x2 y x ∆ = 0 x1 = x2 x1 = x2 x y ∆ < 0 x1, x2 ∉ R x y
  21. 21. 04) GABARITO: 1/2
  22. 22. 05) GABARITO: E
  23. 23. 06) GABARITO: E
  24. 24. a)
  25. 25. Considere o triângulo ABC, com base BC medindo 6cm e com altura 5cm. Um retângulo inscrito nesse triângulo tem o lado MN paralelo a BC, com x cm de comprimento. Qual o valor de x, em cm, para que a área do retângulo seja máxima?
  26. 26. FUNÇÃO PAR OU ÍMPARFUNÇÃO PAR OU ÍMPAR FUNÇÃO PAR VALORES SIMÉTRICOS DE X IMAGENS IGUAIS f(x) = x2 – 4 f(-3) = (-3)2 – 4 = f(3) = (3)2 – 4 = 5 5 FUNÇÃO ÍMPAR VALORES SIMÉTRICOS DE X IMAGENS SIMÉTRICAS f(x) = x3 f(-4) = (-4)3 = f(4) = 43 = - 64 64 f(-x) = f(x) f(-x) = - f(x)
  27. 27. FUNÇÃO PAR VALORES SIMÉTRICOS DE X IMAGENS IGUAIS FUNÇÃO ÍMPAR VALORES SIMÉTRICOS DE X IMAGENS SIMÉTRICAS f(-x) = f(x) f(-x) = - f(x) FUNÇÃO PAR OU ÍMPAR?FUNÇÃO PAR OU ÍMPAR? 1) f(x) = 4x3 + x GRÁFICO SIMÉTRICO AO EIXO Y GRÁFICO SIMÉTRICO EM RELAÇÃO A ORIGEM 2) f(x) = 3x4 + 5x2 3) f(x) = 5x4 + 2x3 4) f(x) = sen x 5) f(x) = cos x 6) f(x) = tg x ÍMPARÍMPAR f(-x) = - f(x) f(-2) = - f(2) PARPAR f(-x) = f(x) f(-3) = f(3) SEMSEM PARIDADEPARIDADE ÍMPARÍMPAR sen(-x) = - sen(x) sen(-30°) = - sen(30°) PARPAR cos(-x) = cos(x) cos(-30°) = cos(30°) ÍMPARÍMPAR tg(-x) = - tg(x) tg(-30°) = - tg(30°)
  28. 28. UFSC 2013UFSC 2013 f é uma função ÍMPAR?f é uma função ÍMPAR? NÃO, POIS f(-2)NÃO, POIS f(-2) ≠ -f(2)≠ -f(2)
  29. 29. Observe o gráfico da função cujo domínio é o conjunto D={x∈ R/- 2 < x < 4} e analise as afirmações a seguir. ACAFE 2013.1ACAFE 2013.1 l. A função é par. ll. A função possui 3 raízes reais. lll. No intervalo A=[1,3] a função é decrescente. IV. A função pode ser representada por y = x³ - 3x² -x +3, sendo D={x∈ R/- 2 < x < 4} Todas as afirmações corretas estão em: a) I - II - III b) II - IV c) II - III - IV d) III - IV
  30. 30. ( ) 34xxg −= ( ) 12xxf += A B C FUNÇÃO COMPOSTAFUNÇÃO COMPOSTA f(g(x)) = fog (x) g(f(x)) = gof (x) f(f(x)) = fof(x) g(g(x)) = gog(x) NOTAÇÕESNOTAÇÕES 2 5 11 ( ) 5-8xg(x)f = f(x) = 2x + 1 f(…) = 2(…) + 1 f(g(x)) = 2g(x) + 1 f(g(x)) = 2(4x – 3) + 1 CÁLCULO de f(g(x))CÁLCULO de f(g(x)) f(g(x)) = 8x – 5
  31. 31. FUNÇÃO COMPOSTAFUNÇÃO COMPOSTA Sejam f(x) = 2x + 3, g(x) = x – 5 e h(x) = 3x – 1. Calcule f(g(h(3)) f(x) = 2x + 3 g(x) = x – 5 h(x) = 3x – 1 h(3) = 3.3 – 1 h(3) = 9 – 1 h(3) = 8 g(8) = 8 – 5 g(8) = 3 f(3) = 2.3 + 3 f(3) = 6 + 3 f(3) = 9 Portanto f(g(h(3)) = 9
  32. 32. O número N de caminhões produzidos em uma montadora durante um dia, após t horas de operação, é dado por N(t) = 20t – t2 , sendo que 0 ≤ t ≤ 10. Suponha que o custo C (em milhares de reais) para se produzir N caminhões seja dado por C(N) = 50 + 30N. a) Escreva o custo C como uma função do tempo t de operação da montadora. b) Em que instante t, de um dia de produção, o custo alcançará o valor de 2300 milhares de reais? UFPR – 2013 – SEGUNDA FASEUFPR – 2013 – SEGUNDA FASE
  33. 33. UFSC – VERDADEIRO OU FALSOUFSC – VERDADEIRO OU FALSO Sejam f e g funções reais definidas por f(x) = sen x e g(x) = x2 + 1. Então (fog)(x) = (fog)(– x) para todo x real. UFSC 2012UFSC 2012 VV Sejam h e k, duas funções, dadas por h(x) = 2x - 1 e k(x) = 3x + 2. Então h(k(1)) é igual a 9. UFSC 2002UFSC 2002 VV UFSC 2006UFSC 2006 UFSC – QUESTÃO ABERTAUFSC – QUESTÃO ABERTA
  34. 34. GABARITO: B
  35. 35. FUNÇÃO INJETORAFUNÇÃO INJETORA GRÁFICO ESTRITAMENTE CRESCENTE OU ESTRITAMENTE DECRESCENTE FUNÇÃO SOBREJETORAFUNÇÃO SOBREJETORA FUNÇÃO BIJETORAFUNÇÃO BIJETORA
  36. 36. UFSC 2013UFSC 2013 f é uma função INJETORA?f é uma função INJETORA? NÃO, POIS f(2,3) =NÃO, POIS f(2,3) = f(2,7)f(2,7)
  37. 37. FUNÇÃO INVERSAFUNÇÃO INVERSA 3x 1-2x f(x) − = Encontre a inversa da função 3x 1-2x f(x) − = x = 3 12 − − y y x(y – 3) = 2y – 1 xy – 3x = 2y – 1 xy – 2y = 3x – 1 xy – 2y = 3x – 1 y(x – 2) = 3x – 1 y = 2 13 − − x x 2x 13x (x)f 1 − − =− GABARITO: 27

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