Funcao exponencial

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Funcao exponencial

  1. 1. FUNÇÃO EXPONENCIAL 1 www.ricardinhomatematica.com.brEQUAÇÃO EXPONENCIALConsidere a equação 2x= 16. Nela a variável aparececomo expoente. Uma equação em que isso ocorre édenominada equação exponencial. Para compreender bemesse assunto, vamos recordar algumas propriedades.Sendo a ∈∈∈∈ R e a ≠≠≠≠ 0 e m ∈∈∈∈ Z. Tem-se que:am= a. a. a. a. a..... a.←←←← m fatores →→→→a) a0= 1 para a ≠ 0b) a amn mn=c) a-n=1and) am.an= am + ne)aaamnm n= −f) (am)n= am.ng) (a.b)n= an.bnh)ababn nn =Definição:Chama-se equação exponencial toda equação que podeser reduzida a forma ax= b, com 0 < a ≠ 1.Exemplos: a) 2x= 16 b) 3x - 1= 27Para resolver tais equações é necessário transformar aequação dada em:• Igualdade de potência de mesma base.af(x)= ag(x)⇔ f(x) =g(x)• Potências de expoentes iguais. af(x)= bf(x)⇔ a = bsendo a e b ≠ 1 e a e b ∈ R*+.Exercícios Resolvidos1) Resolver a equação 2x= 128Resolução: Transformando a equação dada emigualdade de mesma base temos:2x= 28Logo temos que x = 82) Resolver a equação 2x=116Resolução: Sabemos que 116é o mesmo que 2−4.Então: 2x= 2−4Portanto x = −−−−4Algumas equações exponenciais não são possíveistransformar em igualdade de bases iguais de imediato.Nestes casos é necessário utilizar uma variável auxiliar.Veja os exercícios resolvidos:1) Resolver a equação 3x − 1+ 3x + 1= 90Resolução: Podemos escrever a equação da seguinteforma:3x.3 −1+ 3x.31= 90 fazendo 3x= y, temos:y.13+ y.3 = 90y + 9y = 27010y = 270y = 27Mas 3x= y então 3x= 27 ∴ x = 32) Resolver a equação 32x– 4.3x+ 3 = 0Resolução: Podemos escrever a equação da seguinteforma.(3x)2– 4.3x+ 3 = 0 fazendo 3x= ytemos:y2– 4y + 3 = 0resolvendo a equação temos:y ´ = 3 y ´´ = 1Porém 3x= y, então3x= 3 ou 3x= 1∴ x = 1 ou x = 0EXERCÍCIOS01) Resolva, em R, as equações a seguir:a) 2x= 128b) 2x=116c) 3x − 1+ 3x + 1= 90d) 25.3x= 15xé:e) 22x−−−− 2x + 1+ 1 = 0f) 5x + 1+ 5x+ 5x - 1= 775
  2. 2. FUNÇÃO EXPONENCIAL 2 www.ricardinhomatematica.com.br02) ( PUC-SP ) O conjunto verdade da equação3.9x− 26.3x− 9 = 0, é:03) ( UFSC ) O valor de x que satisfaz a equação5511254 123 8xx−+ = é:04) ( UFSC ) Sendo: 7x + 1+ 7x- 34.256 = 100.200,determine o valor de 18x.05) Resolvendo a equação 4x+ 4 = 5.2x, obtemos:a) x1 = 0 e x2 = 1b) x1 = 1 e x2 = 4c) x1 = 0 e x2 = 2d) x1 = x2 = 306) ( Unesp-SP ) Se x é um número real positivo talque 2 222x x= +, então ( )xxxx 2é igual a:07) A maior raiz da equação 4|3x −−−− 1|= 1608) ( ITA-SP ) A soma das raízes da equação9431121xx−−− = − é:09) A soma das raízes da equação23113 232 11 + =−+x xx.é:10) Resolver, em reais, as equações abaixo:a) 5x+ 0,2x= 5,2b) 5.4x+ 2.52x= 7.10xGABARITO – EQUAÇÕES EXPONENCIAIS1) a) 7 b) – 4 c) 3 d) 02 e) 00 f) 03 2) 02 3) 174) 90 5) c 6) 02 7) 01 8) 019) 00 10) a) {-1, 1} b) {0, 1}
  3. 3. FUNÇÃO EXPONENCIAL 3 www.ricardinhomatematica.com.brAULA 02FUNÇÃO EXPONENCIAL1. Função ExponencialDefinição:Denomina-se função exponencial de base a, com a > 0 ea ≠ 1 a função f de R → R definida por:f(x) = axExemplos: a) f(x) = 2xa = 2b) f(x) = 3xa = 3c) f(x) =x21a =12Gráfico:(a > 1) → função crescente(0 < a < 1) → função decrescenteNote que para dois valores distintos de x, tem-se imagensdistintas, logo a função exponencial é injetora. Sedefinirmos f(x) = axde R em*R+ , ela também se tornasobrejetora, logo ela será bijetora. Assim sendo ela admiteinversa: a função logarítmica f(x) = logax, que seráestudada mais adiante.Exercícios Resolvidos:1) Esboçar o gráfico da função f(x) = 2xe definir aimagem dessa função.Im(f) = {y ∈ R| y > 0}2) Esboçar o gráfico da função f(x) = 2x– 1 e definir aimagem dessa função.Im(f) = {y ∈ R| y > - 1}3) Esboçar o gráfico da função f(x) =x21 e definir aimagem dessa função.Im(f) = {y ∈ R| y > 0}2) Esboçar o gráfico da função f(x) =x31+ 1 e definira imagem dessa função.Im(f) = {y ∈ R| y > 1}
  4. 4. FUNÇÃO EXPONENCIAL 4 www.ricardinhomatematica.com.br2. Inequação ExponencialPara resolvermos uma inequação exponencial devemosrespeitar as seguintes propriedades.• Quando as bases são maiores que 1 (a > 1), arelação de desigualdade se mantém.af(x)> ag(x)⇔ f(x) > g(x)• Quando as bases estão compreendidas entre 0 e1 (0 < a < 1), a relação de desigualdadese inverte.af(x)> ag(x)⇔ f(x) < g(x)Exercícios Resolvidos1) Resolver a inequação: 22x − 1> 2x + 1Resolução: Como a base é maior que 1 (a > 1) adesigualdade se mantém:22x − 1> 2x + 12x − 1 > x + 1x > 2S = { x∈ R| x > 2 }2) Resolver a inequação: (0,1)5x − 1< (0,1)2x + 8Resolução: Como a base está entre 0 e 1 (0 < a < 1) adesigualdade se inverte.(0,1)5x − 1< (0,1)2x + 85x − 1 > 2x + 83x > 9x > 3S = { x∈ R| x > 3 }3) Determinar o domínio da função 1621)( −= xxfResolução: Numa função irracional de índice par, devemosimpor a condição de que o radicando tem que ser maior ouigual a zero, logo:1621−x≥ 01621≥x42121−≥ x→ x ≤ – 4D = { x∈ R| x ≤ – 4}EXERCÍCIOS01) ( PUC – RS – 2010 ) A função exponencial é usadapara representar as frequências das notas musicais.Dentre os gráficos abaixo, o que melhor representa afunção f ( x ) = ex+ 2 é:a)b)c)d)e)02) ( UEL-PR ) A função real definida por f(x) = ax, coma > 0 e a ≠ 1:a) só assume valores positivosb) assume valores positivos somente se x > 0c) assume valores negativos para x < 0d) é crescente para 0 < a < 1e) é decrescente para a > 1
  5. 5. FUNÇÃO EXPONENCIAL 5 www.ricardinhomatematica.com.br03) Dadas f(x) =12−xe as proposições:I) f(x) é crescenteII) f(x) é decrescenteIII) f(3) = 8IV) ( 0,1 ) ∈ f(x)podemos afirmar que:a) todas as proposições são verdadeirasb) somente II é falsac) todas são falsasd) II e III são falsase) somente III e IV são verdadeiras04) Resolva, em R, as inequações a seguir:a) 22x − 1> 2x + 1b) (0,1)5x − 1< (0,1)2x + 8c)3147472<−x05) ( OSEC-SP ) O domínio da função de definida pory =243311−x, é:06) ( UFSM ) Num raio de x km, marcado a partir de umaescola de periferia, o Sr. Jones constatou que onúmero de famílias que recebem menos de 4 saláriosmínimos é dado por N(x) = k.22x, em que k é umaconstante e x > 0. Se há 6 144 famílias nessa situaçãonum raio de 5km da escola, o número que vocêencontraria delas, num raio de 2km da escola, seria:
  6. 6. FUNÇÃO EXPONENCIAL 6 www.ricardinhomatematica.com.br07) ( UFPR – 09 ) Em estudos realizados numa área deproteção ambiental, biólogos constataram que onúmero N de indivíduos de certa espécie primata estácrescendo em função do tempo t (dado em anos),segundo a expressão:ttN1,02.35600)(−+=Supondo que o instante t = 0 corresponda ao iníciodesse estudo e que essa expressão continue sendoválida com o passar dos anos, considere as seguintesafirmativas:1. O número de primatas dessa espécie presentes nareserva no início do estudo era de 75 indivíduos.2. Vinte anos após o início desse estudo, o número deprimatas dessa espécie será superior a 110indivíduos.3. A população dessa espécie nunca ultrapassará 120indivíduos.Assinale a alternativa correta.a) Somente a afirmativa 1 é verdadeira.b) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.c) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.d) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.e) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras.08) Determine o domínio da função75)4,1()( 52−= −xxf09) ( UEPG-PR ) Assinale o que for correto.01. A função f(x) = ax, 1 < a < 0 e x ∈ R, intercepta oeixo das abscissas no ponto (1,0)02. A solução da equação 2x.3x=336 pertence aointervalo [0, 1]04. Dada a função f(x) = 4x, então D = R e Im =*+R08. A função f(x) = ( )x2 é crescente16. baba<⇒> 212110) ( UDESC-05 ) O conjunto solução da desigualdade122 221ln21ln−+<xxé:a) S = {x ∈ R tal que – 1 < x < 3}b) S = {x ∈ R tal que – 1 ≤ x ≤ 3}c) S = {x ∈ R tal que x < – 1 ou 3 < x }d) S = {x ∈ R tal que – 3 < x < 1}e) S = {x ∈ R tal que 1 < x < 3}
  7. 7. FUNÇÃO EXPONENCIAL 7 www.ricardinhomatematica.com.br11) Seja f = R*em R, onde f(x) = 21x. O conjunto dosvalores de x para os quais f(x) <1812) ( UEL-PR ) O crescimento de uma colônia de bactériasé descrito por P(t) = α.4λ tonde t ≥ 0 é o tempo, dadoem horas, e P(t) é a população de bactérias noinstante t. Se, após 4 horas, a população inicial dacolônia triplicou, após 8 horas o número de bactériasda colônia será:a) 6 αb) 8 αc) 9 αd) 8 α − 4e) α + 813) ( UEPG-PR ) Dadas as funções definidas porf(x) =x54e g(x) =x45, é correto afirmar que:01. os gráficos de f(x) e g(x) não se interceptam02. f(x) é crescente e g(x) é decrescente04. g(-2).f(-1) = f(1)08. f(g(0)) = f(1)16. f(-1) + g(1) =2514) ( UERJ ) A inflação anual de um país decresceu noperíodo de 7 anos. Esse fenômeno pode serrepresentadopor uma função exponencial do tipof (x) = abx, conforme o gráfico a seguir. Determine ataxa de inflação desse país no 4°ano de declínio.
  8. 8. FUNÇÃO EXPONENCIAL 8 www.ricardinhomatematica.com.br15) Um grande lago está sendo infestado por algas. A áreado lago afetada pelas algas cresce exponencialmentede acordo com a função f(x) = 10.2x, na qual x é otempo em meses após a observação inicial e frepresenta a área em metros quadrados.a) Qual a área, em metros quadrados, afetada pelasalgas após dois meses?b) Em quantos meses a área afetada pelas algasserá de 320 m216) ( ACAFE – 2010.2 ) O número de bactérias de umacultura, t horas após o início de um experimento, édado por: B(t) = BO . 22tem que BO é o número debactérias quando t = 0 . Sabendo que após 2 horas doinício do experimento havia 19200 bactérias nacultura, o valor de BO é igual a:a) 4800b) 19200c) 2400d) 120017) Para que valores de x a desigualdade ex> x éverdadeira?18) ( ACAFE – 2011 ) A Curva de Aprendizagem é umconceito criado por psicólogos que constataram arelação existente entre a eficiência de um indivíduo e aquantidade de treinamento ou experiência possuída poreste indivíduo. Um exemplo de Curva de Aprendizagemé dado pela expressão Q =1512 − 2−0,5t +16em que:Q = quantidade de peças produzidas mensalmentepor um funcionário.T = meses de experiência.Em quantos meses um funcionário produzirá 1000peças mensalmente?a) 14 mesesb) 12 mesesc) 16 mesesd) 13 meses
  9. 9. FUNÇÃO EXPONENCIAL 9 www.ricardinhomatematica.com.br19) Suponha que o número de indivíduos de umadeterminada população seja dado pela função:f(t) = a . 2-btonde a variável t é dada em anos e a e bsão constantes. Sabe-se que a população inicial (t =0) é igual a 1024 indivíduos e a população após 10anos é a metade da população inicial. Com base noexposto, determine a soma dos números associadosàs proposições VERDADEIRAS:01. a constante a vale 512.02. a constante b vale 0,1.04. o tempo mínimo para que a população se reduzaa 1/8 da população inicial é 30 anos.08. o gráfico da função f(t) para t ∈[0, 40] estáindicado pela figura abaixo20) ( UFSM – 2010 ) O gráfico a seguir retrata ocomportamento da evolução das populações rural eurbana no Brasil. Se for considerado o tempo t = 0 (t édado em anos) iniciando em 1970, como sugere ográfico, pode-se obter um modelo matemáticoaproximado que calcula a diferença, em milhões dehabitantes, entre a população urbana e a rural emrelação ao tempo, diferença essa dada pela fórmulad(t) = 150 – a.3btonde a,b são constantes reais aserem determinadas.Baseando-se nos valores do gráfico, pode-seafirmar que a diferença entre a populaçãourbana e a rural em 2030 será,aproximadamente, de:a) 113 milhões.b) 118 milhões.c) 123 milhões.d) 128 milhões.e) 133 milhões.GABARITO - FUNÇÃO EXPONENCIAL1) a 2) a 3) b 4 ) a) S = { x∈ R| x > 2 }b) S = { x∈ R| x > 3 } c) S = { x∈ R| - 2 < x < 2 }5) ( −∞, −5 [ 6) 96 7) c8) {x ∈ℜ| x ≤ - 2 ou x ≥ 2} 9) 30 10) a 11) ] -1/3, 0 [12) c 13) 28 14) 60% 15) a) 40m2b) 5 meses16) d 17) ℜ 18) a 19) 14 20) e

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