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CVIM#11 3. 最小化のための数値計算
- 1. 第11回CV勉強会 1章 バンドルアジャストメント 3. 最小化のための数値計算 (勉強会後修正版) 2011-04-16 Yoshihiko Suhara @sleepy_yoshi
- 2. 目次 • 3. 最小化のための数値計算 – 3.1 最小二乗のためのニュートン法 – 3.2 ニュートン法以外の方法 – 3.3 実装方法 – 3.4 数値計算ライブラリの利用 2
- 4. 誤差の数値最小化 • 誤差関数の最小化 (最適化) – 観測データを用いて表現される誤差関数を最小化するパ ラメータを計算する • 今回の範囲では 𝐸 𝒙 = 1 2 𝑒𝑘 2 2𝑛𝑚 𝑘 – 誤差 • 二乗誤差 – パラメータ • カメラのパラメータ • 特徴点 4
- 6. 最小二乗法の計算 • 線形最小二乗法 – 閉じた解で求まる (正規方程式) • 非線形最小二乗法 – 反復計算が必要 – 𝒙(𝑡+1) = 𝒙(𝑡) + 𝛿𝒙 6
- 8. 最急降下法 • 一次微分 (一次近似) を利用する方法 𝑥(𝑡+1) = 𝑥 𝑡 − 𝜂𝛻𝐸(𝑥 𝑡 ) • 誤差関数のパラメータに関する微分がわかればよい – ただし，進む方向しかわからないので，学習率が必要 – 学習率が大きいと最適解を飛び越えてしまう可能性 E(x) x 𝑥(1) 𝑥(2) 8
- 9. ニュートン法 • 二次微分 (二次近似) を利用する方法 𝑥(𝑡+1) = 𝑥 𝑡 − 𝐇−1 𝛻𝐸 𝑥 𝑡 – 解の周辺での収束が早い • 二階微分の情報 (ヘッセ行列) が必要 – さらにヘッセ行列の逆行列計算も必要 E(x) x 𝑥(1) 𝑥(2) 𝑥(3) 9
- 10. ニュートン法 (一変数の場合) • テイラー展開 (二次の項まで) 𝑓 𝑥 + 𝛿𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑓′ 𝑥 𝛿𝑥 + 1 2 𝑓′′ 𝑥 𝛿𝑥 2 • 𝑓 𝑥 + 𝑓′ 𝑥 𝛿𝑥 + 1 2 𝑓′′ 𝑥 𝛿𝑥 2 • これを最小化する𝛿𝑥を求める – 𝛿𝑥で微分して0とおく 𝑓′ 𝑥 + 𝑓′′ 𝑥 𝛿𝑥 = 0 𝛿𝑥 = − 𝑓′ 𝑥 𝑓′′ 𝑥 10
- 11. ニュートン法 (多変数の場合) • 多変数の場合 • 𝐸 𝒙 + 𝛿𝒙 = 𝐸 𝒙 + 𝒈𝑇 𝛿𝒙 + 1 2 𝛿𝒙𝑇 H𝛿𝒙 • gはEの勾配ベクトル，Hはヘッセ行列 • 右辺を𝛿𝒙で微分して0とおくと以下を得る 𝛿𝒙 = −H−1 𝒈 11
- 12. ヘッセ行列が正定値である必要性 • ヘッセ行列が正定値＝二次微分が正 – 二次近似が全てのxについて凸関数になっていると いう保証 – そうでなければ，どこかで凹となる次元が発生 E(x) x 𝑥(𝑘) 𝑥(𝑘+1) これはマズい 12
- 13. ガウス・ニュートン法 ≠ ニュートン法 • ガウス・ニュートン法 ∈ ニュートン法 – ニュートン法の実現方法の一種 • ガウス・ニュートン法を利用する目的 – ヘッセ行列を計算するのは大変 – 逆行列を計算してはいけない (数値計算の常識) – ヤコビ行列の積によって表現 13
- 14. ガウス・ニュートン法とは • 𝐻 ≈ 𝐽𝑇 𝐽という近似を用いたニュートン法 – 𝐽はヤコビ行列 • 𝐻 ≈ 𝐽𝑇 𝐽の精度が高くなるのは最小解付近や eの二階微分が小さい場合など (後で証明) 14
- 15. ヤコビ行列 • J = 𝑑𝒆 𝑑𝒙 = 𝜕𝑒1 𝜕𝑥1 ⋯ 𝜕𝑒1 𝜕𝑥𝑛 ⋮ ⋱ ⋮ 𝜕𝑒𝑘 𝜕𝑥1 ⋯ 𝜕𝑒𝑘 𝜕𝑥𝑛 • 𝐻 ≈ J𝑇J • J𝑇 J = 𝜕𝑒𝑖 𝜕𝑥1 2 𝑘 𝑖=1 ⋯ 𝜕𝑒𝑖 𝜕𝑥1 𝜕𝑒𝑖 𝜕𝑥𝑛 𝑘 𝑖=1 ⋮ ⋱ ⋮ 𝜕𝑒𝑖 𝜕𝑥𝑛 𝜕𝑒𝑖 𝜕𝑥1 𝑘 𝑖=1 ⋯ 𝜕𝑒𝑖 𝜕𝑥𝑛 2 𝑘 𝑖=1 15
- 16. ヤコビ行列を使った表現 • 𝑎 ≡ −𝒈 = −J𝑇 𝒆 なぜ? • 𝒈 = 𝜕𝐸 𝜕𝒙1 ⋮ 𝜕𝐸 𝜕𝒙𝑛 𝜕𝐸 𝜕𝒙1 = 𝜕 1 2 𝒆𝑘 2 𝑘 𝜕𝒙1 = 𝒆𝑘 𝜕𝒆𝑘 𝜕𝒙1 𝑘 • JT = 𝜕𝑒1 𝜕𝑥1 ⋯ 𝜕𝑒𝑘 𝜕𝑥1 ⋮ ⋱ ⋮ 𝜕𝑒1 𝜕𝑥𝑛 ⋯ 𝜕𝑒𝑘 𝜕𝑥𝑛 𝒆 = 𝒆1 ⋮ 𝒆𝑘 16
- 17. ガウス・ニュートン近似の導出 • 誤差関数𝐸を𝑥𝑖で微分 𝜕𝐸 𝜕𝑥𝑖 = 𝒆𝑘 𝜕𝒆𝑘 𝜕𝑥𝑖 𝑘 • さらに𝑥𝑗で微分 𝜕𝐸 𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗 = 𝜕𝒆𝑘 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝒆𝑘 𝜕𝑥𝑗 +𝒆𝑘 𝜕2 𝒆𝑘 𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗 𝑘 • 𝒙が解に近いと 𝒆𝑘 ≈ 0 ∀𝑘 より 𝜕𝐸 𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗 ≈ 𝜕𝒆𝑘 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝒆𝑘 𝜕𝑥𝑗 𝑘 17
- 18. アルゴリズム 1. 適当な初期値𝒙を設定 2. パラメータ𝒙におけるJ𝑇 Jおよび−J𝑇 𝐞 を計算 3. JT J 𝛿𝒙 = −J𝑇 𝒆 を解いて 𝛿𝒙 を算出 4. 更新 𝒙 ← 𝒙 + 𝛿𝒙 5. 収束判定 – 変化量 𝛿𝐸 /|𝐸|あるいは 𝛿𝒙 / 𝒙 が十分小さ いとき終了．そうでなければ2へ． 18
- 19. おさらい • 線形最小二乗法は閉じた解でパラメータが求 まる – そもそも反復計算がいらない • ガウス・ニュートン法は誤差関数を二乗和の 形で表現できないと利用できない • よって，ガウス・ニュートン法はまさしく非線形 最小二乗法のための方法 19
- 21. レベンバーグ・マーカート法 • ガウス・ニュートン法＋最急降下法 – 初期は最急降下法で進み，解の近くでガウス・ ニュートン法に切り替える – ダンピングファクタ𝜆を利用 (𝜆 ≥ 0) • 𝜆大: 最急降下法 • 𝜆 = 0: ガウス・ニュートン法 – J𝑇J + 𝜆I 𝛿𝒙 = −J𝑇𝒆 • 解釈 – 𝛿𝒙 = − J𝑇J + 𝜆I −1 J𝑇𝒆 21
- 22. 𝜆の設定方法 1. 適当な値から始める 2. (21)式を解いて𝛿𝒙を求める 3. E 𝒙 + 𝛿𝒙 ≥ 𝐸(𝒙)の場合，𝜆を10倍する．そ うでなければ，𝜆を0.1倍する 4. 収束しなければ2.に戻る E(x) x 上ってしまったら最急降下法気味に 下がる限りはガウス・ニュートン法気味に 22
- 24. ニュートン法以外の方法 • ニュートン法の派生アルゴリズムは，標準的 に使用すべし – 準ニュートン法 • ヘッセ行列の分解コストが大きい場合にのみ 共役勾配法の使用を検討すればよい • ニュートン法の計算を削減することは可能 – 後述 24
- 25. 補足 • NLPや機械学習応用分野においては準 ニュートン法であるBFGS (L-BFGS) 法がよく使 われる – 基本的に誤差関数は凸関数であることが多い – 他には共役勾配法も有効な場合もある 25
- 26. 3.3. 実装方法 26
- 27. 3.3.1 更新量の計算 27
- 28. 線型方程式の計算 • ニュートン法における反復では，以下の線型 方程式を効率よく計算することがカギとなる A𝛿𝒙 = 𝒙 • 逆行列を使えば以下の式で求まるが，計算 量，精度で問題あり 𝛿𝒙 = A−1 𝒙 – 数値計算の常識 28
- 29. 線型方程式の解法 • 一般の行列Aに対する選択肢 – ガウスの消去法 – LU分解 – コレスキー分解 • 行列Aが対称かつ正定値の場合 29
- 30. LU分解とコレスキー分解 • LU分解 (A = LU) A = ⋯ 𝟎 ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ ⋯ ⋮ ⋱ ⋮ 𝟎 ⋯ • コレスキー分解 (A = LLT ) A = ⋯ 𝟎 ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ ⋯ ⋮ ⋱ ⋮ 𝟎 ⋯ 𝐿 𝑈 𝐿𝑇 𝐿 30
- 31. コレスキー分解を用いた解法 • 準備 – 𝑦 ≡ L𝑇𝛿𝒙 とおく – A𝛿𝒙 = LL𝑇 𝛿𝒙 = L𝒚 = 𝒂 • 手順 1. Aをコレスキー分解し，Lを得る 2. L𝒚 = 𝒂 を𝒚について解く • Lが三角行列なので，Lの行を上から順番に処理すれ ば計算できる 3. LT δ𝒙 = 𝒚をδ𝒙について解く • 上記の逆 31
- 33. コレスキー分解の処理 • 省略 – 行列の数値計算の文献を参照 • 行列の行数分だけ平方根の計算が必要 – 修正コレスキー分解 33
- 34. その他の方法 • ガウスの消去法 – 計算量が若干大きい • 等価な線型最小二乗法を解く J𝛿𝒙 + 𝒆 2 → min. – 導出 • JTJ𝛿𝒙 = −JT𝒆 • J𝛿𝒙 + 𝒆 = 0 • 閉じた解で求めるために二乗 – その際のレベンバーグ・マーカート法は(23)となる • 優決定線型方程式の計算 34
- 35. 補足: 優決定，劣決定 • 優決定 – 変数の数＜方程式の数 – 解が存在しない可能性 • 劣決定 – 変数の数＞方程式の数 – 解は複数存在 35
- 36. 3.3.2 疎行列の扱い 36
- 37. 疎行列 • バンドル調整が対象とする多くの問題ではヤ コビ行列やヘッセ行列は疎行列になる – 𝑒𝑖が𝑥𝑗に依存していなければ𝜕𝑒𝑖/𝜕𝑥𝑗は常に0 • SFMの例 – はある画像上の像の誤差 – この画像に関連しないカメラの姿勢に依存しない – 図1.3 37
- 38. 疎行列の活用方法 • (1) 行列の実装方法 – 非ゼロ成分だけを保存しておく – 例) Boost, Sparse BLAS – 図1.3(c) # y軸は対数スケール • (2) 得られる行列を疎行列にする – 元の行列が疎でも，計算途中で非ゼロ成分が発 生することがある (fill-in) – Aを直接コレスキー分解するよりも，PAPT を分解 する方が疎となるような置換Pを利用 • ただ，最適な置換Pを計算するのはNP 38
- 40. Resection-intersection • SFMの未知パラメータ 𝒙 の分割 – カメラのパラメータ 𝒙1 – 点の空間座標 𝒙2 • 片方を固定して交互にパラメータ探索 (1) 𝒙1を固定して，𝜕𝐸/𝜕𝒙2 = 𝟎の解𝒙2を計算 (2) 𝒙2を固定して，𝜕𝐸/𝜕𝒙1 = 𝟎の解𝒙1を計算 • 利点 – (1), (2)いずれかが線形に行える場合，反復計算なしに解 を求めれ，残ったパラメータを反復計算して求めることが できる 40
- 41. ブロック分割の利用 A11 A12 A21 A22 𝛿𝒙1 𝛿𝒙2 = 𝒂1 𝒂2 … (24) A11𝛿𝒙1 + A12𝛿𝒙2 = 𝒂1 A21𝛿𝒙1 + A22𝛿𝒙2 = 𝒂2 • 𝛿𝒙2 = 𝐴22 −1 (−𝐴21𝛿𝒙1 + 𝒂2) を代入し，以下を得る A11 − A12A22 −1 A21 𝛿𝒙1 = 𝒂1 − A12A22 −1 𝒂2 … (25a) A22𝛿𝒙2 = 𝒂2 − A21𝛿𝒙1… (25b) • これを順に計算すれば，(24)式を直接解いた𝛿𝒙が得られる 41
- 42. 補足: シューア補行列 • A11 − A12A22 −1 A21はA11のシューア補行列と 呼ばれる A11 A12 A21 A22 −1 ≡ 𝐵11 𝐵12 𝐵21 𝐵22 としたとき， • 𝐵11 = A11 − A12A22 −1 A21 となる性質がある 42
- 43. ブロック小行列を用いた逆行列の計算 • ブロック分解を用いると，効率よく計算可能 • A22 = A1 ⋯ 𝟎 ⋮ ⋱ ⋮ 𝟎 ⋯ A𝑛 • A22 −1 = A1 −1 ⋯ 𝟎 ⋮ ⋱ ⋮ 𝟎 ⋯ 𝐴𝑛 −1 43
- 45. 数値計算ライブラリ • 最適化ライブラリ – MATLAB (Optimization Toolbox) • lsqnonlin関数 – Trust-region法，レベンバーグ・マーカート法，ガウス・ニュートン法 – R • optim関数 – Nelder-Mead法，BFGS法, L-BFGS-B法, CG法，SANN法 • 線型代数演算ライブラリ – LAPACK • 数値計算ライブラリ – BLAS – BLAS亜種 45
- 46. まとめ 46
- 47. まとめ • 非線形最小二乗法の最適化手法の紹介 – ガウス・ニュートン法 – レベンバーグ・マーカート法 • 実装方法の解説 – コレスキー分解を用いた線型方程式の計算 – 疎行列の活用方法 – パラメータ分割 • 数値計算ライブラリの紹介 47
- 48. 感想 • フリーで利用可能な最適化ライブラリはかな り充実している – けど，何をどう選択すればよいのかわからない • 解きたい問題をどう定式化するかによって利 用可能な／得意なツールは異なってくる – その勘所をつけたいなぁ • 数値計算の常識を身につけたい 48
- 49. 参考文献 • 金谷健一．これなら分かる最適化数学．共立 出版 (2005)． – ガウス・ニュートン近似やレベンバーグ・マーカー ト法の導出もあり • 伊理正夫・藤野和建．数値計算の常識．共立 出版 (1985)． – 「逆行列よさようなら」 – 数値計算のノウハウが詰まっている 49
- 50. Thank you! 50