1. EXPLICITAREA
RECURENȚELOR
FUNDAMENTALE
Tutorial redactat de Silviu Boga, mail: silviumath@yahoo.com
Cuprins:
 Recurenţa telescopică aditivă
 Progresiile aritmetice
 Recurenţa telescopică multiplicativă
 Progresiile geometrice
 Recurenţa liniară neomogenă de ordin I, cu coeficienţi variabili
 Recurenţa liniară neomogenă de ordin I, cu coeficienţi constanţi
 Recurenţa liniară omogenă de ordin II, cu coeficienţi variabili
 Recurenţa liniară omogenă de ordin II, cu coeficienţi constanţi
 Recurenţa liniară neomogenă de ordin II, cu coeficienţi constanţi
 Recurenţe liniare omogene de ordin superior, cu coeficienţi constanţi
 Recurenţe liniare neomogene de ordin superior, cu coeficienţi constanţi
 Recurenţa omografică, cu coeficienţi variabili
 Recurenţa omografică, cu coeficienţi constanţi
Notă:
- click pe titlul din cuprins pentru hyperlink spre fiecare recurență
- click pe numărul paginii pentru a reveni la cuprins

2. EXPLICITAREA RECURENŢELELOR FUNDAMENTALE
La fiecare din recurenţele următoare - fundamentale datorită prezenţei lor în
numeroase raţionamente matematice – am prezentat, pe cazul general dar şi pe un
exemplu, procedura optimă de explicitare. Prin rezolvarea temei de aprofundare,
cititorul interesat se va putea apoi rapid acomoda cu judecăţile expuse.
1. Recurenţa telescopică aditivă
 xn 1  xn  an , ()n  *

 x1  termen iniţial dat
(a )  şir explicit dat
 n n *
Explicitare
Din relaţia de recurenţă, cum xn1  xn  an , ()n  * , prin particularizare şi
sumare are loc supranumita reducere telescopică şi explicitarea este astfel finalizată:
x2  x1  a1
x3  x2  a2
x4  x3  a3
………………
xn 1  xn 2  an 2
xn  xn 1  an 1
____________
() n 1 n 1
 xn  x1   ak  xn  x1   ak
k 1 k 1
n 1
În aplicaţiile curente suma iterată a
k 1
k
se va constata de regulă calculabilă.
Se reţin formulele de calcul pentru principalele sume iterate, ele fiind deosebit de
utile în procesele de explicitare ce vor urma:
n
n(n  1)
 1   k  1  2  3  ...  n  (I)
k 1 2
n
n(n  1)(2n  1)
 2   k 2  12  22  32  ...  n 2  (II)
k 1 6
 n(n  1) 
2
n
 3   k  1  2  3  ...  n  
3 3 3 3 3
(III)
k 1  2  
n
an 1  1
   a  1  a  a  ...  a 
k 2 n
(IV)
k 0 a 1
–1–

3. La fel de utilă se va dovedi în acest sens şi procedura de descompunere a
fracţiilor raţionale în supranumitele sume de fracţii simple (metoda coeficienţilor
n
nedeterminaţi), care va facilita calculul unor sume iterate t
k 1
k
cu termenul general,
f (k )
tk  , fracţii având f (k ) şi g (k ) expresii polinomiale.
g (k )
n
Din această categorie de sume cel mai simplu de calculat sunt t
k 1
k
cu
1
tk  . În astfel de cazuri se va observa cu uşurinţă că identificarea
(ak  b)(ak  a  b)
1 A B
  conduce la descompunerea termenului
(ak  b)(ak  a  b) ak  b ak  a  b
1 1 1 1 
general sub forma    .
(ak  b)(ak  a  b) a  ak  b ak  a  b 
De remarcat că aici descompunerea poate chiar ocoli metoda coeficienţilor
1 1 a
nedeterminaţi, observând pur şi simplu   ,
ak  b ak  a  b (ak  b )(ak  a  b )
1 1 1 1 
deci tk     .
(ak  b)(ak  a  b) a  ak  b ak  a  b 
Această exprimare a termenului general t k , aplicată succesiv, va pune în
evidenţă cunoscuta reducere telescopică prin care de altfel se va şi finaliza calculul
sumei, după cum ilustrează şi următorul exemplu:
1 1 1 1
Sn     ... 
7  11 11 15 15  19 (4n  3)  (4n  7)
1
Soluţie Se observă termen general tk  , k  1 n , apoi
;
(4k  3)(4k  7)
1 1 4 1 1 1 1 
   tk      din
4k  3 4k  7 (4k  3)(4k  7) (4k  3)(4k  7) 4  4k  3 4k  7 
care, prin particularizare şi sumare, apare reducerea telescopică ce finalizează
calculul,
1 1 1 1 
t1     
7  11 4  7 11 
1 1 1 1
t2     
11 15 4  11 15 
………………………………………………..
1 1 1 1 
tn     ,
(4n  3)  (4n  7) 4  4n  3 4n  7 
–2–

4. obţinându-se la final
n
1  1 1   1 1   1 1  1  1 1  n
Sn   t k          ...        
k 1 4  7 11  11 15   4n  3 4n  7   4  7 4n  7  7(4n  7)
Acestea fiind prezentate, revin la recurenţa telescopică aditivă, cu parcurgerea
algoritmului de explicitare pe un caz concret.
 x  xn  n(n  1), ()n  *
Exemplu Explicitez şirul generat de recurenţa  n 1
 x1  1
Soluţie xn1  xn  n(n  1), ()n  * şi astfel
x2  x1  1 2
x3  x 2  2  3
x 4  x3  3  4
………………
xn 1  xn 2  (n  2)  (n  1)
xn  xn 1  (n  1)  n
____________
() n 1 n 1
 xn  x1   k (k  1) şi cum x1  1  xn  1   k (k  1) , sumă care este
k 1 k 1
uşor calculabilă cu ajutorul formulelor sumelor remarcabile anterior prezentate,
n 1 n 1 n 1
(n  1)n(2n  1) (n  1)n
respectiv xn  1   k (k  1)  1   k 2   k  1   , etc.
k 1 k 1 k 1 6 2
Temă de aprofundare Procedând analog, explicitaţi următoarele recurenţe:
 x  xn  (2n  1), ()n  *  x  xn  n(n  1)(2n  1), ()n  *
a)  n 1 b)  n 1
 x1  1  x1  1
 1  1
 xn 1  xn  , ()n  *  xn 1  xn  2 , ()n  *
c)  n(n  1) d)  4n  1
x  1  x1  1

 1
 1  1
 xn 1  xn  2 , ()n  *  xn 1  xn  2 , ()n  *
e)  n  5n  6 f)  4n  8n  3
 x1  1
  x1  1

–3–

5. 2. Progresiile aritmetice
 xn 1  xn  r , ()n  *

 x1  termen iniţial dat
r  constantă dată numită raţie

Explicitare Fiind recurenţă telescopică aditivă, prin raţionamente analoge celor
descrise anterior se va obţine cunoscuta formulă xn  x1  (n  1)  r ce determină
direct termenul general al progresiei aritmetice în funcţie de primul termen şi raţie.
Prin intermediul acestei formule se vor deduce imediat şi alte relaţii utile în aplicaţiile
a  aq
referitoare la progresii aritmetice, dintre acestea remarcându-se r  p şi
pq
n( x1  xn )
Sn  x1  x2  ...  xn  . În ceea ce priveşte explicitarea recurenţei, desigur
2
că în astfel de situaţii este mai comod a se reţine formula şi aplica direct exprimarea
termenului general al progresiei dar consider totuşi instructivă parcurgerea integrală
a raţionamentului de explicitare.
 x  xn  3, ()n  *
Exemplu Explicitez şirul generat de recurenţa  n 1
 x1  2
Soluţie Având xn1  xn  3, ()n  * , din suita de egalităţi
x2  x1  3
x3  x 2  3
x 4  x3  3
………………
xn 1  xn 2  3
xn  xn 1  3
____________
()
 xn  x1  3  3  3  ...  3 , deci xn  2  3(n  1)  3n  1, rezultat la care
de ( n 1) ori
se putea ajunge şi pe cale directă, xn  x1  (n  1)  r  ...  3n  1.
Temă de aprofundare Procedând analog, explicitaţi următoarele recurenţe:
 x  xn  2, ()n  *  x  xn  7, ()n  *
a)  n 1 b)  n 1
 x1  2  x1  3
 x  xn  3, ()n  *  x  xn  8, ()n  *
c)  n 1 d)  n 1
 x1  5  x1  9
–4–

6. 3. Recurenţa telescopică multiplicativă
 xn 1  xn  an , ()n  *

 x1  termen iniţial dat
(a )  şir explicit dat
 n n *
Explicitare Procedura este asemănătoare cu cea de la recurenţa telescopică
aditivă, de această dată însă eliminările ce conduc la aflarea expresiei termenului
general al şirului apar la efectuarea produsului iterat corespunzător exprimărilor
x
particulare, respectiv din xn1  xn  an , ()n  *  n 1  an , ()n  * şi astfel din
xn
() n 1
x2 x x x
 a1, 3  a2 , 4  a3 , ... , n  an 1  xn  x1   ak , produs care în aplicaţiile
x1 x2 x3 xn 1 k 1
propuse se va restrânge, uneori prin simplificări telescopice, alteori prin exprimări
combinatorice adecvate.
 n2
 xn 1  xn  , ()n  *
Exemplu Explicitez şirul generat de recurenţa  (n  1)(n  2)
x  1
 1
xn 1 n2
Soluţie Cum  , ()n  * , prin particularizare se obţine
xn (n  1)(n  2)
x2 12 x 22 x4 32 x (n  1)2
 , 3  ,  ,..., n  şi observând simplificarea
x1 2  3 x2 3  4 x3 4  5 xn 1 n  (n  1)
x x x x 12 22 32 (n  1)2
telescopică 2  3  4  ...  n     ...  , cu ajutorul exprimării
x1 x2 x3 xn 1 2  3 3  4 4  5 n  (n  1)
2  (n  1)!
2
x 2
factoriale, n  , rezultă în final xn  2 .
x1 n ! (n  1)! n (n  1)
Temă de aprofundare Procedând analog, explicitaţi următoarele recurenţe:
 n  n(n  1)
 xn 1  xn  , ()n  *  xn 1  xn  , ()n  *
a)  n 1 b)  (n  2)2
 x1  1
 x  1
 1
 n 2  3n  2   1 
 x  xn  2 , ()n  *  xn 1  xn   1   , ()n  *
c)  n 1 n  4n  3 d)   2n 
x  1 x  1
 1  1
–5–

7. 4. Progresiile geometrice
 xn 1  xn  q, ()n  *

 x1  termen iniţial dat
q  constantă dată numită raţie

Explicitare Acestea fiind generate tot de recurenţa telescopică multiplicativă, prin
xn 1 x x x x
raţionament analog  q, ()n  *  2  3  4  ...   n  q  q  q  ...  q , din
xn x1 x2 x3 xn 1 de ( n 1) ori
care se deduce imediat cunoscuta formulă xn  x1  q n1 .
 x  2xn , ()n  *
Exemplu Explicitez şirul generat de recurenţa  n 1
 x1  3
x x x x x
În acest caz n 1  2, ()n  * , 2  3  4  ...   n  2  2  2  ...  2  xn  3  2n 1 .
xn x1 x2 x3 xn 1 de ( n 1) ori
Temă de aprofundare Procedând analog, explicitaţi următoarele recurenţe:
 x  3 xn , ()n  *  x  10 xn , ()n  *
a)  n 1 b)  n 1
 x1  2  x1  7
 1
 xn 1  xn , ()n  *  x  2xn , ()n  *
c)  2 d)  n 1
 x1  3  x1  5

5. Recurenţa liniară neomogenă de ordin I, cu coeficienţi variabili
 xn 1  an xn  bn , ()n  *

 x1  termen iniţial dat
(a ) ,(b )
 n n * n n *  şiruri explicit date
Explicitare Explicitarea acestei recurenţe se va baza pe transformarea ei într-o
y
recurenţă telescopică aditivă. Într-adevăr, introducând substituţia an  n , y1  1,
y n 1
y
relaţia de recurenţă devine xn 1  n  xn  bn , deci xn1  y n1  xn  y n  bn  y n 1 .
y n 1
Astfel, xn1  y n1  xn  y n  bn  y n1, ()n  * şi particularizând
x2  y 2  x1  y1  b1  y 2
x3  y 3  x2  y 2  b2  y 3
…………………………
xn  y n  xn 1  y n 1  bn 1  y n
() n 1
 xn  y n  x1  y1   bk  y k 1 ,
k 1
–6–

8. pentru finalizarea explicitării mai fiind necesară doar determinarea şirului ( y n )n *
y y y y
introdus de substituţia efectuată. Cum însă 1  a1, 2  a2 , 3  a3 , ... , n  an , şi
y2 y3 y4 y n 1
 
 b 
, xn    ak    x1   k k  , ()n  2 . Evident
n 1 n 1
1
y1  1, se obţine imediat y n 1  n  
 k 1  
 ak
k 1 
k 1
 ai 
i 1 
că în aplicaţii este de preferat parcurgerea integrală a raţionamentului expus.
 x  n  xn  n !, ()n  *
Exemplu Explicitez şirul dat de recurenţa  n 1
 x1  1
y y
Soluţie Notând n  n , y1  1  xn 1  n  xn  n !  xn1  y n1  xn  y n  n ! y n 1 şi
y n 1 y n 1
y
astfel xn1  y n1  xn  y n  n ! y n1, ()n  * . Dar din notaţia aplicată, n  n , cum
y n 1
y1 y y 1
 1 2  2, ..., n  n  y n 1  , deci
, xn1  y n1  xn  y n  1, care conduce
y2 y3 y n 1 n!
imediat la xn  y n  x1  y1  (n  1) şi în final xn  n !
Temă de aprofundare Procedând analog, explicitaţi următoarele recurenţe:
 x  n  xn  (n  1)!, ()n  * x  n  xn  (n  2)!, ( )n  *
a)  n 1 b)  n 1
 x1  1  x1 1
 1 1
 xn 1  n 2  xn  (n !)2, ()n  * x   xn  , ()n  *
c)  d)  n 1 n n!
 x1  1  x1 1

6. Recurenţa liniară neomogenă de ordin I, cu coeficienţi constanţi
 xn 1  a  xn  b, ()n  *

 x1  termen iniţial dat
a, b  constante date

Explicitare Fiind la fel cu recurenţa anterioară, i se poate aplica pentru explicitare
acelaşi raţionament, obţinând la final pentru xn o expresie exponenţială care admite
restrângere în forma xn  A  an  B . Această observaţie permite scurtarea căii de
explicitare a acestor recurenţe, coeficienţii A şi B putând fi rapid determinaţi din
sistemul primilor doi termeni ai şirului.
 x  2xn  3, ()n  *
Exemplu Explicitez şirul dat de recurenţa  n 1
 x1  1
–7–

9. Soluţie Având xn  A  2n  B , cum x1  1 şi x2  2x1  3  5 , din sistemul
2 A  B  1
 se deduce imediat A  2 şi B  3 , deci xn  2n1  3
4 A  B  5
Temă de aprofundare Procedând analog, explicitaţi următoarele recurenţe:
 x  3 xn  5, ()n  *  x  5 xn  2, ()n  *
a)  n 1 b)  n 1
 x1  2  x1  3
 x  2xn  3, ()n  *  x  5 xn  3, ()n  *
c)  n 1 d)  n 1
 x1  7  x1  2
7. Recurenţa liniară omogenă de ordin II, cu coeficienţi variabili
 xn 2  an  xn 1  bn  xn , ()n  *

 x1 , x2  termeni iniţial daţi
(a ) ,(b )
 n n * n n *  şiruri explicit date
Explicitare Voi prezenta doar un rezultat parţial legat de explicitarea acestui tip
de recurenţă. Acesta este conţinut de afirmaţia: dacă ecuaţia t 2  an  t  bn  0
admite o rădăcină care nu depinde de n  * atunci recurenţa devine
explicitabilă. Într-adevăr, dacă supranumita ecuaţie caracteristică a recurenţei are
rădăcinile t1   şi t2  n atunci   n  an şi   n  bn . În acest caz vom
obţine xn2  (  n )  xn 1  n  xn  xn2   xn1  n  ( xn 1   xn ) , recurenţă
telescopică multiplicativă care va permite determinarea xn 1   xn  y n , obţinând
n 1
y1  x2   x1 , y n  ( x2   x1 )   k , ()n  2 . Dar recurenţa xn 1   xn  y n a fost şi
k 1
ea tratată anterior şi particularizată pe această situaţie conduce în final la forma

 i 
k 1
x n 1

explicită xn   n 1   2  ( x2   x1 ) i 1 k  , ()n  3 .

 k 2 

 
nx  2(2n  1)xn 1  4(n  1)xn , n  *
Exemplu: Explicitez şirul dat de recurenţa  n 2
 x1  1 x2  3
,
2(n  1)
Ecuaţia caracteristică nt 2  2(2n  1)t  4(n  1)  0 are rădăcinile t1  2 , t 2  ,
n
deci suntem în condiţii favorabile explicitării. Folosind cunoscutele relaţii dintre
rădăcinile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul doi, relaţia de recurenţă se va scrie în
 2(n  1)  4(n  1) x  2xn 1 2(n  1)
forma xn 2  2    xn 1   xn din care n 2  .
 n  n xn 1  2xn n
–8–

10. De aici se va repeta raţionamentul întâlnit la recurenţa telescopică multiplicativă,
 xn 1  2xn  n  2n 1
obţinând xn1  2xn  n  2 . Dar recurenţa 
n 1
este de tip cunoscut,
 x1  1
de această dată procedura de explicitare finalizând cu xn  (n 2  n  4)  2n3, ()n  3
Temă de aprofundare Procedând analog, explicitaţi următoarele recurenţe:
nx  3(2n  1)xn 1  9(n  1)xn , n  *
a)  n 2
 x1  1 x2  5
,
n 2 xn 2  2(2n 2  2n  1)xn 1  4(n  1)2 xn , n  *
b) 
 x1  1 x2  3
,
n 3 xn 2  2(2n 3  3n 2  3n  1)xn 1  4(n  1)3 xn , n  *
c) 
 x1  2, x2  5
n 2 xn 2  2(2n 2  3n  2)xn 1  4(n 2  3n  2)xn , n  *
d) 
 x1  1 x2  5
,
8. Recurenţa liniară omogenă de ordin II, cu coeficienţi constanţi
 xn 2  a  xn 1  b  xn , ()n  *

 x1 , x2  termeni iniţial daţi
a, b  constante date

Explicitare La fel ca şi cea de ordinul I cu coeficienţi constanţi, şi această
recurenţă va permite explicitare imediată, considerente de la recurenţa anterioară
punând în evidenţă următoarele două situaţii posibile:
I) Ecuaţia caracteristică t 2  a  t  b  0 are rădăcini egale t1  t2   .
În acest caz termenul general este de forma xn  (nA  B)   n
II) Ecuaţia caracteristică t 2  a  t  b  0 are rădăcini distincte t1  , t2   .
În acest caz termenul general este de forma xn  A   n  B   n
În ambele situaţii coeficienţii A şi B se determină din sistemul celor doi termeni
iniţial daţi.
 x  6 xn 1  9 xn , n  *
Exemplu (cazul t1  t2 ) Explicitez şirul dat de recurenţa  n 2
 x1  2, x2  7
Ecuaţia caracteristică conduce la t1  t2  3 , deci xn  (nA  B)  3n şi din sistemul
( A  B )  3  2 1 5
termenilor iniţiali,  , obţin A  , B  , xn  (n  5)  3n2
(2 A  B )  3  7
2
9 9
–9–

11.  x  5 xn 1  6 xn , n  *
Exemplu (cazul t1  t2 ) Explicitez şirul dat de recurenţa  n 2
 x1  4, x2  5
De această dată ecuaţia caracteristică are rădăcinile t1  2, t2  3 , deci
2 A  3B  4 7
xn  A  2n  B  3n cu  , rezultând A  , B  1, xn  7  2n 1  3n .
4 A  9B  5 2
Temă de aprofundare Procedând analog, explicitaţi următoarele recurenţe:
I) Cazul t1  t2
 x  4 xn 1  4 xn , n  *  x  10 xn 1  25 xn , n  *
a)  n 2 b)  n 2
 x1  1 x2  2
,  x1  1 x2  3
,
4 x  4 xn 1  xn , n  * 9 x  6 xn 1  xn , n  *
c)  n 2 d)  n 2
 x1  1 x2  3
,  x1  1 x2  2
,
II) Cazul t1  t2
 x  7 xn 1  12xn , n  *  x  7 xn 1  10 xn , n  *
a)  n 2 b)  n 2
 x1  1 x2  3
,  x1  2, x2  3
2x  5 xn 1  2xn , n  * 2x  7 xn 1  3 xn , n  *
c)  n 2 d)  n 2
 x1  1 x2  2
,  x1  2, x2  5
9. Recurenţa liniară neomogenă de ordin II, cu coeficienţi constanţi
 xn 2  a  xn 1  b  xn  c, ()n  *

 x1 , x2  termeni iniţial daţi
a, b, c  constante date

Explicitare Această recurenţă se reduce imediat la tipul anterior, observând
 xn 2  a  xn 1  b  xn  c
  ( xn3  xn2 )  a  ( xn2  xn1 )  b  ( xn1  xn ) , care este
 xn 3  a  xn 2  b  xn 1  c
de forma y n2  a  y n 1  b  y n cu y n  xn 1  xn . Se obţine astfel xn1  xn  y n ,
recurenţă telescopică aditivă ce va permite finalizarea explicitării. Analizând forma
explicită finală vom constata că şi această recurenţă are termenul general de un tip
bine determinat, tot în funcţie de rădăcinile ecuaţiei caracteristice, aceasta fiind şi de
această dată tot t 2  a  t  b  0 . Astfel, vom deosebi situaţiile:
I) Ecuaţia caracteristică t 2  a  t  b  0 are rădăcini egale t1  t2   .
În acest caz termenul general este de forma xn  (nA  B)   n  C
– 10 –

12. II) Ecuaţia caracteristică t 2  a  t  b  0 are rădăcini distincte t1  , t2   .
În acest caz termenul general este de forma xn  A   n  B   n  C
Coeficienţii A , B şi C sunt imediat determinabili din sistemul celor doi termeni iniţial
daţi şi al celui de al treilea, obţinut din recurenţă.
 x  4 xn 1  4 xn  3, n  *
Exemplu(cazul t1  t2 ) Explicitez şirul dat de recurenţa  n 2
 x1  1 x2  2
,
În acest caz ecuaţia caracteristică t 2  4t  4  0 conduce la t1  t2  2 , deci
xn  (nA  B)  2n  C şi din sistemul termenilor iniţiali, inclusiv x3  4x2  4x1  3  7 ,
3 7
se obţin A  , B   , C  3 , xn  (3n  7)  2n2  3 .
4 4
 x  5 xn 1  6 xn  3, n  *
Exemplu (cazul t1  t2 ) Explicitez şirul dat de recurenţa  n 2
 x1  1 x2  2
,
De această dată ecuaţia caracteristică are rădăcinile t1  2, t2  3 , deci
xn  A  2n  B  3n  C . Având x3  5x2  6x1  3  7 , din sistemul celor trei termeni
1 3 3n  2n 1  3
cunoscuţi obţin A  1 B  , C  , xn 
, .
2 2 2
Temă de aprofundare Procedând analog, explicitaţi următoarele recurenţe:
I) Cazul t1  t2
 x  4 xn 1  4 xn  5, n  *  x  10 xn 1  25 xn  3, n  *
a)  n 2 b)  n 2
 x1  1 x2  2
,  x1  1 x2  3
,
4 x  4 xn 1  xn  7, n  * 9 x  6 xn 1  xn  1 n 
, *
c)  n 2 d)  n 2
 x1  1 x2  3
,  x1  1 x2  2
,
II) Cazul t1  t2
 x  7 xn 1  12xn  2, n  *  x  7 xn 1  10 xn  1 n 
, *
a)  n 2 b)  n 2
 x1  1 x2  3
,  x1  2, x2  3
2x  5 xn 1  2xn , n  * 2x  7 xn 1  3 xn  4, n  *
c)  n 2 d)  n 2
 x1  1 x2  2
,  x1  2, x2  5
10. Recurenţe liniare omogene de ordin superior, cu coeficienţi constanţi
 xn  p  a1  xn  p 1  a2  xn  p 2  ...  ap 1  xn 1  ap  xn , ()n  *, p  3

 x1 , x2 , ..., x p  termeni iniţial daţi

a1 , a2 , ..., ap  constante date
– 11 –

13. Explicitare Determinarea explicită a unor astfel de şiruri se va face la fel ca şi la
suratele lor mai mici prezentate anterior, paşii de parcurs fiind următorii:
- se rezolvă ecuaţia caracteristică t p  a1  t p1  a2  t p2  ...  ap1  t  ap ;
- se clasifică rădăcinile distincte după ordinul de multiplicitate;
- dacă t1  este rădăcină simplă, ea se va prezenta în exprimarea termenului
general xn aditiv sub forma A  t1n ;
- dacă t2  este rădăcină dublă, ea se va prezenta în exprimarea termenului
general xn aditiv sub forma (nB  C )  t2 ; n
- dacă t3  este rădăcină triplă, ea se va prezenta în exprimarea termenului
general xn aditiv sub forma (n 2D  nE  F )  t3 , etc.
n
Coeficienţii A, B, C, etc. se obţin din sistemul termenilor iniţiali ai recurenţei.
 x  7 xn 2  16 xn 1  12xn , n  *
Exemplu Explicitez şirul dat de recurenţa  n 3
 x1  1 x2  2, x3  5
,
În acest caz ecuaţia caracteristică este t 3  7t 2  16t  12  0 , cu t1  3 rădăcină
simplă şi t2  t3  2 rădăcină dublă, deci termenul general al şirului va avea forma
xn  A  3n  (nB  C )  2n . Din sistemul termenilor iniţiali se determină coeficienţii,
1 1 1
A  ,B   ,C  şi se obţine xn  3n1  (1  n)  2n 2 .
3 4 4
Temă de aprofundare Procedând analog, explicitaţi următoarele recurenţe:
 x  8 xn 2  21xn 1  18 xn , n  *  x  xn 2  16 xn 1  20 xn , n  *
a)  n 3 b)  n 3
 x1  1 x2  5, x3  6
,  x1  4, x2  5, x3  3
11. Recurenţe liniare neomogene de ordin superior, cu coeficienţi constanţi
 xn  p  a1  xn  p 1  a2  xn  p 2  ...  ap 1  xn 1  ap  xn  b, ()n  *, p  3

 x1 , x2 , ..., x p  termeni iniţial daţi

a1 , a2 , ..., ap , b  constante date
Explicitare La fel ca la recurenţa neomogenă de ordin doi cu coeficienţi constanţi:
- se rezolvă ecuaţia caracteristică t p  a1  t p1  a2  t p2  ...  ap1  t  ap ;
- se clasifică rădăcinile distincte după ordinul de multiplicitate;
- dacă t1  este rădăcină simplă, ea se va prezenta în exprimarea termenului
general xn aditiv sub forma A  t1n ;
- dacă t2  este rădăcină dublă, ea se va prezenta în exprimarea termenului
general xn aditiv sub forma (nB  C )  t2 ;
n
- dacă t3  este rădăcină triplă, ea se va prezenta în exprimarea termenului
general xn aditiv sub forma (n 2D  nE  F )  t3 , etc.
n
- se introduce coeficientul termen liber G .
Coeficienţii A, B, C,...,G se obţin din sistemul termenilor iniţiali ai recurenţei.
– 12 –

14.  x  7 xn 2  16 xn 1  12xn  1 n  *
,
Exemplu Explicitez şirul dat de recurenţa  n 3
 x1  x2  x3  1
Ecuaţia caracteristică este t 3  7t 2  16t  12  0 , cu t1  3 rădăcină simplă şi
t2  t3  2 rădăcină dublă, deci termenul general al şirului va avea forma
xn  A  3n  (nB  C )  2n  D . Din sistemul termenilor iniţiali şi x4  ...  2 se obţine
1 1 1 1 3n 1  (1  n )  2n 1  1
A  , B   , C  , D  , xn  .
6 4 4 2 2
Temă de aprofundare Procedând analog, explicitaţi următoarele recurenţe:
 x  8 xn 2  21xn 1  18 xn  10, n  *  x  xn 2  16 xn 1  20 xn  15, n  *
a)  n 3 b)  n 3
 x1  1 x2  1 x3  2
, ,  x1  1 x2  0, x3  0
,
12. Recurenţa omografică cu coeficienţi variabili
 a  x  bn
 xn 1  n n , ()n  *
cn  xn  d n


 x1  termen iniţial dat
(a ) ,(b ) ,(c ) ,(d )  şiruri explicit date
 n n * n n * n n * n n *


Explicitare La aceste recurenţe vom analiza următoarele două cazuri:
I) Cazul bn  0
După cum uşor se va observa, această particularitate permite totdeauna
an  xn 1 d 1 c
finalizarea explicitării. Într-adevăr xn 1    n   n  notând
cn  xn  d n xn 1 an xn an
1
 y n recurenţa ia forma y n1  An  y n  Bn care este explicitabilă.
xn
II) Cazul bn  0
Un rezultat parţial în astfel de situaţii este următorul:
- introduc substituţia cn xn  dn  y n  recurenţa ia forma y n1  y n  An  y n  Bn
z
- introduc substituţia y n  n 1 , z1  1  recurenţa ia forma zn2  An  zn1  Bn  zn
zn
cu z1  1 şi z2  ...  c1  x1  d1  dacă ecuaţia caracteristică t 2  An  t  Bn  0
are o rădăcină nedependentă de n  * atunci zn devine determinabil prin
y  dn zn 1  dn  zn
procedură descrisă anterior şi astfel xn  n  .
cn cn  zn
– 13 –

15.  xn
 xn 1 
Exemplu ( bn  0 ) Explicitez şirul dat de recurenţa  n ! xn  n
x  1
 1
1
Cu y n  recurenţa devine y n1  ny n  n ! , y1  1 (explicitată anterior)  y n  n !
xn
1
şi astfel xn  .
n!
 an xn  bn
 xn 1 
Exemplu ( bn  0 ) Explicitez şirul dat de recurenţa  cn xn  d n cu coeficienţii
x  1
 1
an  n !(n 2  3n  2) , bn  n3  3n2  2n  4 , cn  (n !)2  n  (n  1) , dn  n ! n 2  (n  1)
Deşi această exprimare apare de-a dreptul descurajantă, parcurgând drumul indicat
se va ajunge la aceeaşi recurenţă zn 1  nzn  n ! , z1  1 din care se va obţine zn  n ! ,
1
y n  n  1 şi în final xn 
n!
Temă de aprofundare La această secţiune, ca exerciţiu de virtuozitate, propun
cititorului să-şi construiască singur o aplicaţie care să permită explicitare şi
bineînţeles, să o şi rezolve !
13. Recurenţa omografică cu coeficienţi constanţi
 a  xn  b
 xn 1  c  x  d , ()n  *


n
 x1  termen iniţial dat
a, b, c, d  constante date



Explicitare Fiind particularizare a celei anterioare, se vor parcurge raţionamente
analoge, conform cu fiecare din situaţiile:
I) Cazul b  0
a  xn 1 d 1 c 1
Având xn 1       notând  y n recurenţa ia forma
c  xn  d xn 1 a xn a xn
y n 1  A  y n  B care este explicitabilă. În această situaţie termenul general se va
an
obţine de forma xn  , cu coeficienţii  şi  determinabili din
  d n    an
sistemul primilor doi termeni, observaţie care poate scurta sensibil explicitarea.
– 14 –

16. II) Cazul b  0
În această situaţie:
- introduc substituţia cxn  d  y n  recurenţa ia forma y n1  y n  A  y n  B
z
- introduc substituţia y n  n 1 , z1  1  recurenţa ia forma zn2  A  zn1  B  zn
zn
z
cu z1  1 şi z2  ...  c  x1  d  determin zn  determin y n  n 1 şi finalizez,
zn
y  d zn 1  d  zn
obţinând xn  n  . De această dată forma termenului general
c c  zn
va fi decisă de ordinul de multiplicitate a rădăcinilor ecuaţiei t 2  A  t  B  0 ,
n      t1n    t2n
respectiv xn  când t1  t2 şi xn  n când t1  t2 , coeficienţii
n  t1    t2n
 ,  , fiind determinabili din sistemul primilor trei termeni.
 xn
 xn 1  ,()n  *
Exemplu ( b  0 ) Explicitez şirul dat de recurenţa  3 xn  5
x  1
 1
1 1 1
Obţin  5   3  xn  , etc.
xn 1 xn A  3n  B
 5 xn  1
 xn 1 
Exemplu ( b  0, t1  t2 ) Explicitez şirul dat de recurenţa  4 xn  1
x  1
 1
z
Aplicarea substituţiilor cxn  d  y n , y n  n 1 , z1  1, va conduce la recurenţă
zn
omogenă de ordin doi. Se obţin rădăcini ale ecuaţiei caracteristice t1  t2  3 , etc.,
n2
cu finalizarea xn  .
2n  1
 7 xn  4
 xn 1 
Exemplu ( b  0, t1  t2 ) Explicitez şirul dat de recurenţa  5 xn  2
x  2
 1
z
Aplicarea substituţiilor cxn  d  y n , y n  n 1 , z1  1, va pune în evidenţă recurenţa
zn
omogenă de ordin doi. Se vor obţine rădăcini ale ecuaţiei caracteristice
3n  2n
t1  2, t2  3 , etc., cu finalizarea xn  n .
3  5  2n 2
– 15 –

17. Temă de aprofundare Procedând analog, explicitaţi următoarele recurenţe:
I) Cazul b  0
 xn  2 xn
 xn 1  ,()n  *  xn 1  ,()n  *
a)  5 xn  2 b)  3 xn  7
x  1 x  2
 1  1
II) Cazul b  0, t1  t2
 5 xn  3  3 xn  1
 xn 1  ,()n  *  xn 1  ,()n  *
a)  3 xn  1 b)  xn  1
x  3 x  2
 1  1
III) Cazul b  0, t1  t2
 4 xn  1  5 xn  2
 xn 1  ,()n  *  xn 1  ,()n  *
a)  2 xn  1 b)  xn  2
x  2 x  3
 1  1
– 16 –