Provas NP Completo
Problema do Isomorfismo em Subgrafos
Projeto e Análise de Algoritmos
1o. Semestre de 2014
Hugo Santos –...
Definição
1) Na computação o Problema de Isomorfismos em grafos é um problema de
decisão do qual sabemos que pertence à cl...
Definição
1) O Problema do Isomorfismo em Subgrafos (Subgraph isomorphism problem) é
que dados dois grafos H e G, a pergun...
Etapas da Prova NP-Completo
1) Mostrar que Isomorfismo em Subgrafos (π) está em NP: problemas
de decisão cuja solução pode...
Mostrar que Isomorfismo em Subgrafos
(π) está em NP
1) Algoritmo determinista para verificar a solução em tempo
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Mostrar que um problema NP-completo conhecido (π‘)
pode ser polinomialmente transformado para ele (π‘ α π)
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Mostrar que um problema NP-completo conhecido (π‘)
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Subgraph Isomorphism - NP Proof / Prova NP Isomorfismo em Subgrafo

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In theoretical computer science, the subgraph isomorphism problem is a computational task in which two graphs G and H are given as input, and one must determine whether G contains a subgraph that is isomorphic to H. Subgraph isomorphism is a generalization of both the maximum clique problem and the problem of testing whether a graph contains a Hamiltonian cycle, and is therefore NP-complete.[1] However certain other cases of subgraph isomorphism may be solved in polynomial time

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Subgraph Isomorphism - NP Proof / Prova NP Isomorfismo em Subgrafo

  1. 1. Provas NP Completo Problema do Isomorfismo em Subgrafos Projeto e Análise de Algoritmos 1o. Semestre de 2014 Hugo Santos – silvasantosh@gmail.com
  2. 2. Definição 1) Na computação o Problema de Isomorfismos em grafos é um problema de decisão do qual sabemos que pertence à classe NP-Completo. Na teoria dos grafos, dois grafos H e G são isomorfos se existe uma correspondência 1-a-1 entre seus conjuntos de vértices que preserve as adjacências (a - w; b - x; c - z; d- y).
  3. 3. Definição 1) O Problema do Isomorfismo em Subgrafos (Subgraph isomorphism problem) é que dados dois grafos H e G, a pergunta que pode ser feita é: H é isomórfico a um subgrafo de G? H é isomórfico a um subgrafo de G (u; v) = (f(u); f(v))
  4. 4. Etapas da Prova NP-Completo 1) Mostrar que Isomorfismo em Subgrafos (π) está em NP: problemas de decisão cuja solução pode ser verificada em tempo polinomial com algoritmo determinista. 2) Mostrar que um problema NP-completo conhecido (π‘) pode ser polinomialmente transformado para ele (π‘ α π).
  5. 5. Mostrar que Isomorfismo em Subgrafos (π) está em NP 1) Algoritmo determinista para verificar a solução em tempo polinomial: Sejam os grafos H e G, e os conjuntos de vértices pertencentes a cada um deles, v1, ... vn e u1,...un, respectivamente. O algoritmo então verifica de forma trivial que ∀(vi,vj) ϵ H, ∃(ui,uj) ϵ G
  6. 6. Mostrar que um problema NP-completo conhecido (π‘) pode ser polinomialmente transformado para ele (π‘ α π) 1) O problema da CLIQUE (π‘ ), conhecido por pertencer a classe NP-Completo em sua versão de decisão. Na teoria dos grafos, denomina-se a CLIQUE de um grafo como sendo um subgrafo completo desse. 2) Problema: Dado um grafo G e um inteiro k, G tem uma CLIQUE com k ou mais vértices?
  7. 7. Mostrar que um problema NP-completo conhecido (π‘) pode ser polinomialmente transformado para ele (π‘ α π) 1) Dado um grafo H e o tamanho de um CLIQUE igual a k, então construímos um grafo completamente conectado G com k vértices. Precisamos mostrar que se o grafo H tem CLIQUE de tamanho >= k (Subgrafo C), então ele é isomórfico a um subgrafo G. 2) Então seja Vg = v1,...,vk, já que G é um grafo completo, então ∃(vi,vj) ϵ G, i≠j. Sabendo que H tem uma CLIQUE de tamanho >= k , escolhemos k vértices nessa CLIQUE e criamos um conjunto de vértices C = ui,...,uk. Agora é possível perceber que C também é uma CLIQUE em H, porém de tamanho k. Então temos que ∀(vi,vj) ϵ G; ∃(ui,uj) ϵ C, desde que ambos os conjuntos são completamente conectados. Portanto, G é um subgrafo isomórfico de H.
  8. 8. Mostrar que um problema NP-completo conhecido (π‘) pode ser polinomialmente transformado para ele (π‘ α π) 1) Agora, mostrando a “volta”, se G é um subgrafo isomórfico a H, então H tem uma CLIQUE de tamanho >= k. Pela definição, G é um grafo completamente conectado de tamanho k. Desde que ele é um subgrafo isomórfico, então existe um correspondente C ⊂ H que é completamente conectado e, também, é uma CLIQUE. Essa CLIQUE tem tamanho k, e então mostramos que H tem uma CLIQUE de tamanho >= k.
  9. 9. Exemplo (π‘ α π)

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