1. UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIA
Departamento de Matem´tica y Ciencia de la Computaci´n
a o
´
CALCULO
Segunda Versi´n
o
Integraci´n y Series
o
Tomo II
Gladys Bobadilla A. y Rafael Labarca B.
Santiago de Chile
2004
2.
3. Prefacio
El cero es el silencio antes del n´mero
u
El n´mero es el verbo matem´tico
u a
Lo matem´tico es el c´lculo de la realidad
a a
La realidad es lo unico incre´
´ ıble
Lo incre´ es lo que no podemos
ıble
Y lo que no podemos es lo que queremos.
Patricio Manns.
Este texto es producto - en elaboraci´n a´n - del proyecto de desarrollo de la docencia
o u
Texto de c´lculo anual para ingenier´ civil, financiado por la Vicerrector´ de Do-
a ıa ıa
cencia y Extensi´n de la Universidad de Santiago de Chile.
o
Gran parte de los contenidos de los cap´ıtulos 1 y 2 est´n sacados del antiguo texto de
a
C´lculo I escrito por Gladys Bobadilla y Jorge Billeke (Q.E.P.D.).
a
La idea motriz de los autores para emprender esta tarea es el profundo convencimiento
que ´sta es una forma de contribuir a una cultura nacional independiente.
e
Aunque los temas tratados - generados en Europa entre los siglos 17 y 19 - forman
parte del patrimonio universal y existe una amplia y variada literatura, no es una raz´no
suficiente para que la universidad renuncie a crear su propio material docente. Esta labor
es tan importante como la creaci´n de nuevos conocimientos y necesita, como esta ultima,
o ´
de una tradici´n para la cual se debe recorrer un largo camino de errores y rectificaciones.
o
Adem´s, queremos compartir con los j´venes estudiantes que usar´n este libro, la
a o a
reflexi´n del fil´sofo Gast´n Bachelard (1884 - 1962) sobre lo que significa enfrentarse
o o o
al conocimiento cient´ıfico: ”Frente al misterio de lo real el alma no puede, por decreto,
tornarse ingenua. Es entonces imposible hacer, de golpe, tabla rasa de los conocimientos
usuales. Frente a lo real, lo que cree saberse claramente ofusca lo que debiera saberse.
Cuando se presenta ante la cultura cient´ ıfica, el esp´
ıritu jam´s es joven. Hasta es muy
a
i
4. viejo, pues tiene la edad de sus prejuicios. Tener acceso a la ciencia es rejuvenecerse espir-
itualmente, es aceptar una mutaci´n brusca que ha de contradecir a un pasado.”1
o
Agradecemos los valiosos comentarios de la Dra. Cecilia Yarur, la profesora Graciela
Escalona y el se˜or Luis Riquelme que nos ayudaron a mejorar la presentaci´n de este
n o
texto. Agradecemos adem´s, el apoyo t´cnico en la escritura digital, de la se˜orita Evelyn
a e n
Aguilar y el se˜or Leonelo Iturriaga.
n
Finalmente, siendo ´sta una versi´n preliminar, agradeceremos a quienes detecten e-
e o
rrores nos lo hagan saber.
Gladys Bobadilla A y Rafael Labarca B.
Santiago, marzo de 2002.
1
Gast´n Bachelard: La formaci´n del esp´
o o ıritu cient´
ıfico. Ed. Siglo XXI, 1997.
7. 3.4.1. Definici´n y propiedades de la funci´n logaritmo natural . . . . .
o o . 477
3.4.2. La funci´n exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . 484
3.4.3. Aplicaciones de la funci´n exponencial: . . . . . . . . . . . . . . .
o . 493
3.4.4. Las funciones hiperb´licas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . 496
3.4.5. La regla de L’Hˆpital y c´lculo de l´
o a ımites de formas indeterminadas
de tipo exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504
3.4.6. Derivaci´n logar´
o ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508
4. La integral indefinida: c´lculo de primitivas
a 525
4.1. La integral indefinida y sus propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
4.1.1. La integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
4.1.2. F´rmulas b´sicas de integraci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o a o . 528
4.1.3. Propiedades elementales de la integral indefinida . . . . . . . . . . . 530
4.1.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
4.2. F´rmulas de reducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o o . 538
4.2.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
4.3. Integraci´n de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . 544
4.3.1. Descomposici´n de un polinomio en factores . . . . . . . . . . . . .
o . 544
4.3.2. Descomposici´n de una funci´n racional en fracciones simples o par-
o o
ciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544
4.3.3. Integraci´n de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . 548
4.4. Integraci´n de algunas funciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . .
o . 555
4.4.1. Integraci´n de funciones irracionales simples . . . . . . . . . . . . .
o . 555
4.4.2. Integraci´n de f (x) = xp (axn + b)q p, q, n ∈ Q. . . . . . . . . . . .
o . 557
4.4.3. Integraci´n de funciones racionales que involucran polinomios en x
o
y ra´ıces cuadradas de ax2 + bx + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559
4.4.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
4.5. Integraci´n de ciertas funciones trascendentes. . . . . . . . . . . . . . . . .
o . 564
4.5.1. Integraci´n de funciones trigonom´tricas. . . . . . . . . . . . . . .
o e . 564
4.5.2. Integraci´n de funciones trigonom´tricas inversas. . . . . . . . . . .
o e . 574
4.5.3. Integraci´n de funciones hiperb´licas, exponenciales y logar´
o o ıtmicas. . 575
4.5.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580
5. Aplicaciones de la integral 585
5.1. C´lculo de ´reas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a a . . . . 585
5.1.1. C´lculo de ´reas en coordenadas rectangulares . . . . . . . .
a a . . . . 585
5.1.2. C´lculo de ´reas usando ecuaciones param´tricas . . . . . . .
a a e . . . . 588
5.1.3. C´lculo de ´reas en coordenadas polares . . . . . . . . . . . .
a a . . . . 590
5.2. C´lculo de longitudes de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a . . . . 611
5.2.1. C´lculo de longitudes de curvas en coordenadas rectangulares
a . . . . 611
8. 5.2.2. C´lculo de longitudes de curvas dadas por ecuaciones param´tricas
a e . 613
5.2.3. C´lculo de longitudes de curvas en coordenadas polares . . . . . .
a . 615
5.3. Vol´menes y ´reas de superficies de s´lidos de revoluci´n . . . . . . . . . .
u a o o . 623
5.3.1. M´todo de los discos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e . 623
5.3.2. M´todo de las cortezas o cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e . 624
´
5.3.3. Areas de superficies de revoluci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . 628
5.4. Integrales el´
ıpticas e integraci´n num´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o e . 638
5.4.1. Integrales el´ıpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638
5.4.2. Dos m´todos num´ricos de integraci´n . . . . . . . . . . . . . . . .
e e o . 641
6. Integrales impropias y series 651
6.1. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651
6.1.1. Integrales impropias sobre intervalos no acotados o de primera clase 651
6.1.2. Propiedades de las integrales impropias de primera clase . . . . . . . 654
6.1.3. Integrales impropias cuando la funci´n no es acotada en el intervalo
o
de integraci´n o de segunda clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658
o
6.1.4. Otros criterios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664
6.1.5. La funci´n Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666
o
6.1.6. La funci´n Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667
o
6.2. Series Num´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691
e
6.2.1. Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691
6.2.2. Criterios b´sicos de convergencia de series . . . . . . . . . . . . . . 693
a
6.2.3. Series de t´rminos alternados: criterio de Leibniz . . . . . . . . . . . 699
e
6.2.4. Convergencia absoluta y condicional de series . . . . . . . . . . . . . 701
6.2.5. Multiplicaci´n de series de t´rminos no-negativos . . . . . . . . . . . 704
o e
6.2.6. Multiplicaci´n de series en general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705
o
6.2.7. Criterios m´s espec´
a ıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709
6.2.8. Series de N´meros Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711
u
6.3. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726
6.3.1. Series de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726
6.3.2. Propiedades de las series uniformemente convergentes . . . . . . . . 730
6.3.3. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732
6.4. Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751
6.4.1. C´lculo de polinomios y series de Taylor para funciones elementales 754
a
9. Cap´
ıtulo 3
La integral de Riemann
3.1. Sumas de Riemann y el concepto de integral
Definici´n 3.1.1 Partici´n del intervalo Sea [a, b] un intervalo cerrado y acotado de
o o
R, a < b. Una partici´n de [a, b] es una familia finita P = {t 0 , t1 , . . . , tn } de puntos tales
o
que
a = t0 < t1 < . . . < tn−1 < tn = b
Para cada partici´n P = {t0 , t1 . . . , tn } tenemos que los intervalos [t0 , t1 ], [t1 , t2 ], . . . , [tn−1 , tn ]
o
satisfacen:
n
[a, b] = [ti−1 , ti ]
i=1
Denotaremos por ∆ti la longitud del subintervalo [ti−1 , ti ], es decir:
∆ti = ti − ti−1 = longitud del subintervalo i.
En particular, tenemos:
n
∆ti = (t1 − t0 ) + (t2 − t1 ) + . . . + . . . = b − a = longitud del intervalo [a, b].
i=1
Se llama norma de la partici´n al n´ mero ||P|| = m´x{∆t i : i = 1, . . . n}.
o u a
a t1 t2 ... tn−1 b
Figura 3.1: Partici´n del intervalo
o
Sea f : [a, b] → R una funci´n acotada. Sea P = {t 0 , t1 , . . . , tn } una partici´n de [a, b].
o o
417
10. 418 CAP´
ITULO 3. LA INTEGRAL DE RIEMANN
Para cada i ∈ N, 1 ≤ i ≤ n se definen los n´ meros:
u
Mi = sup{f (x) ; x ∈ [ti−1 , ti ]}
mi = inf{f (x) ; x ∈ [ti−1 , ti ]}
Es inmediato que mi ≤ f (x) ≤ Mi , para todo x ∈ [ti−1 , ti ] ; i = 1, 2, . . . , n.
Definici´n 3.1.2 1. Se llama una suma de Riemann de f correspondiente a la par-
o
tici´n P a cualquier n´ mero de la forma:
o u
n
s(f, P) = f (ξi )(ti − ti−1 ), ξi ∈ [ti−1 , ti ].
i=1
2. Se llama suma inferior de f correspondiente a la partici´n P al n´ mero
o u
n
I(f, P) = mi (ti − ti−1 ).
i=1
3. Se llama suma superior de f correspondiente a la partici´n P al n´ mero
o u
n
S(f, P) = Mi (ti − ti−1 ).
i=1
Observaci´n 3.1.3 Como f es acotada en [a, b] entonces es acotada en cada [t i−1 , ti ] y
o
luego tiene supremo e ´ ınfimo en dicho intervalo. Si adem´s, f es continua, el Teorema de
a
Weierstrass 1.5.18, asegura que f alcanza su valor m´ximo y m´
a ınimo en cada intervalo
[ti−1 , ti ].En particular si f es continua y creciente m i = f (ti−1 ) y Mi = f (ti ).
I(f, P) =f (a)(t1 − a) + f (t1 )(t2 − t1 ) + f (t2 )(t3 − t2 ) + f (t3 )(b − t3 )
=suma de las areas
´
de las partes achuradas de la figura 3.2.,donde se toma f continua, creciente y positiva.
a t1 t2 t3 b
Figura 3.2: Sumas inferiores
11. 3.1. SUMAS DE RIEMANN Y EL CONCEPTO DE INTEGRAL 419
S(f, P) =f (t1 )(t1 − a) + f (t2 )(t2 − t1 ) + f (t3 )(t3 − t2 ) + f (b)(b − t3 ) = suma de las areas
´
de las partes achuradas de la figura 3.3.
a t1 t2 t3 b
Figura 3.3: Sumas superiores
Observaci´n 3.1.4 Es f´cil verificar que I(f, P) ≤ S(f, P) para toda partici´n P de
o a o
[a, b](Ejercicio ).
Definici´n 3.1.5 Una partici´n P de [a, b] se dice m´s fina o un refinamiento de la
o o a
partici´n P de [a, b]) si se cumple que todo punto de P es punto de P. En tal caso
o
escribimos P ⊂ P.
Ejemplo 3.1.6 P = {1, 1,2, 1,4, 1,6, 1,8, 2} es una partici´n de [1, 2] m´s fina que {1, 1,4, 2}.
o a
Lema 3.1.7 Sean P, P particiones de [a, b] tales que P ⊂ P y f : [a, b] → R acotada
tenemos: I(f, P ) ≤ I(f, P) ≤ S(f, P) ≤ S(f, P ).
Demostraci´n: Suponemos que P = {t0 , t1 , . . . , tn−1 , tn } y que P = {t0 , t0 , t1 , t2 , . . . , tn−1 , tn },
o
es decir que P tiene un punto m´s que P .
a
t0 t0 t1
Figura 3.4:
En este caso
I(f, P ) =m0 (t1 − t0 ) + m1 (t2 − t1 ) + . . . + mn−1 (tn − tn−1 )
I(f, P) =m0 (t0 − t0 ) + m1 (t1 − t0 ) + m1 (t2 − t1 ) + . . . + mn−1 (tn − tn−1 )
I(f, P) − I(f, P ) =m0 (t0 − t0 ) + m1 (t1 − t0 ) − m0 (t1 − t0 ) =
=(m0 − m0 )(t0 − t0 ) + (m1 − m0 )(t1 − t0 )
12. 420 CAP´
ITULO 3. LA INTEGRAL DE RIEMANN
Ya que m0 ≤ m0 y m0 ≤ m1 tenemos I(f, P ) ≤ I(f, P).
t0 t0 t1
Figura 3.5.
An´logamente se prueban los otros resultados.
a
Lema 3.1.8 Si P y P son dos particiones cualesquiera de [a, b] entonces se cumple que
I(f, P) ≤ S(f, P ).
Demostraci´n: Sea P = P ∪ P , de acuerdo al lema anterior tenemos
o
I(f, P) ≤ I(f, P ) ≤ S(f, P ) ≤ S(f, P)
I(f, P ) ≤ I(f, P ) ≤ S(f, P ) ≤ S(f, P )
Por lo tanto, I(f, P) ≤ S(f, P ) ≤ S(f, P ) como quer´
ıamos probar.
Sea ahora rf = {I(f, P) ; P es partici´n de [a, b]} el conjunto de todas las sumas inferi-
o
ores asociadas a todas las posibles particiones de [a , b]. La proposici´n anterior garantiza
o
que rf es acotado superiormente y , por lo tanto, tiene supremo. Esto da sentido a la
siguiente definici´n.
o
Definici´n 3.1.9 La integral inferior de f en [a, b] es el n´ mero
o u
b
f (x)dx = sup{I(f, P) ; P es partici´n de [a, b]}
o
a
Sea Rf = {S(f, P) ; P es partici´n de [a, b]}. De acuerdo a la proposici´n anterior R f
o o
es acotado inferiormente y , por lo tanto, tiene ´ ınfimo. Esto da sentido a la siguiente
definici´n.
o
Definici´n 3.1.10 La integral superior de f en [a, b] es el n´ mero
o u
b
f (x)dx = inf{S(f, P) ; P es partici´n de [a, b]}
o
a
13. 3.1. SUMAS DE RIEMANN Y EL CONCEPTO DE INTEGRAL 421
Definici´n 3.1.11 Diremos que f es integrable en [a, b] si se cumple que
o
b b
f (x)dx = f (x)dx
a a
b
En este caso el valor com´ n se denota por
u f (x)dx y se llama integral de Riemann
a
de f sobre el intervalo [a, b].
b b
Observaci´n 3.1.12 Es inmediato que
o f (x)dx ≤ f (x)dx.
a a
Ejemplo 3.1.13 1. Sea f la funci´n constante sobre [a, b]. Es decir, f : [a, b] → R tal
o
que f (x) = c, para todo x ∈ [a , b].
Sea P = {t0 , t1 , . . . , tn } una partici´n cualquiera de [a, b]. entonces tenemos que:
o
n
I(f, P) = mi (ti − ti−1 ),
i=1
n
S(f, P) = Mi (ti − ti−1 ).
i=1
Como mi = inf{f (x) ; x ∈ [ti−1 , ti ]} = c y Mi = sup{f (x) ; x ∈ [ti−1 , ti ]} = c.
Tenemos
n
I(f, P) = c(ti − ti−1 ) = c(t1 − t0 + t2 − t1 + . . . + tn − tn−1 ) = c(tn − t0 ) = c(b − a).
i=1
An´logamente tenemos que:
a
n
S(f, P) = c(ti − ti−1 ) = c(b − a).
i=1
De esta forma podemos concluir que:
b b
f (x)dx = c(b − a) = f (x)dx.
a a
Por lo tanto, en virtud de la definici´n 3.1.11 tenemos que f es una funci´n integrable
o o
y
b
f (x)dx = c(b − a).
a
14. 422 CAP´
ITULO 3. LA INTEGRAL DE RIEMANN
2. Sea f : [a, b] → R la funci´n definida por
o
0 si x es racional
f (x) =
1 si x es irracional
Sea P = {t0 , t1 , . . . , tn } una partici´n cualquiera de [a , b]. Entonces, debido a la
o
densidad de los n´ meros racionales e irracionales en R tenemos que:
u
mi = inf{f (x) ; x ∈ [ti−1 , ti ] } = 0
Mi = sup{f (x) ; x ∈ [ti−1 , ti ] } = 1.
Luego,
n n
I(f, P) = mi (ti − ti−1 ) = 0 · (ti − ti−1 ) = 0.
i=1 i=1
n n
S(f, P) = Mi (ti − ti−1 ) = (ti − ti−1 ) = tn − t0 = b − a.
i=1 i=1
Por lo tanto,
b
f (x)dx = sup rf = 0,
a
b
f (x)dx = inf Rf = b − a.
a
As´ f no es integrable puesto que
ı,
b b
f (x)dx = 0 = f (x)dx = b − a.
a a
3. Sea f : [0, 1] → R definida por f (x) = x.
1
1
15. 3.1. SUMAS DE RIEMANN Y EL CONCEPTO DE INTEGRAL 423
1
1
Demostraremos que f (x)dx = .
0 2
En efecto, sea P = {t0 , t1 , . . . , tn } una partici´n de [0, 1] que divide el intervalo
o
1
en n subintervalos de longitud igual a . Por lo cual la partici´n es el conjunto
o
n
1 2 i i
0, , , . . . , . . . , . . . , 1 . Es decir, ti = , con 1 ≤ i ≤ n, y las sumas inferiores
n n n n
son:
n
i−1 i
I(f, P) = mi (ti − ti−1 ), donde mi = inf f (x) ; x ∈ , .
n n
i=1
n n n
i−1 i i−1 i−1 1 1
I(f, P) = − = · = 2˙ (i − 1)
n n n n n n
i=1 i=1 i=1
1 n · (n − 1) n−1
= 2
= .
n 2 2n
Las sumas superiores tienen la forma:
n n n
i 1 i
S(f, P) = Mi (ti − ti−1 ) = · =
n n n2
i=1 i=1 i=1
n n
1 1 n(n + 1) n+1
= (i) = i= = .
n2 n2 2n 2 2n
i=1 i=1
Como
b b
I(f, P) ≤ f (x)dx ≤ f (x)dx ≤ S(f, P),
a a
entonces para todo n ∈ N se tiene:
b b
n−1 n+1
≤ f (x)dx ≤ f (x)dx ≤ .
2n a a 2n
Tenemos que
b b
n−1 n+1
l´
ım ≤ f (x)dx ≤ f (x)dx ≤ l´
ım .
n→∞ 2n a a n→∞ 2n
Es decir,
b b
1
f (x)dx = f (x)dx =
a a 2
como hab´
ıamos enunciado.
16. 424 CAP´
ITULO 3. LA INTEGRAL DE RIEMANN
Criterio de Integrabilidad
Teorema 3.1.14 Sea f : [a, b] → R una funci´n acotada. f es integrable en [a, b] si y s´lo
o o
si para todo ε > 0 existe una partici´n P ε de [a, b] tal que S(f, Pε ) − I(f, Pε ) < ε.
o
Demostraci´n:
o
(⇐=) Supongamos que la condici´n es cierta. Entonces, dado ε > 0 existe una partici´n
o o
Pε de [a, b] tal que S(f, Pε ) − I(f, Pε ) < ε.
Por lo cual,
inf{S(f, P) ; P es partici´n de [a, b]} < I(f, P ε ) + ε.
o
Usando la definici´n de integral superior podemos escribir:
o
b
f (x)dx < I(f, Pε ) + ε < sup{I(f, P) ; P es partici´n de [a, b]} + ε.
o
a
En virtud de la definici´n de la integral inferior, tenemos:
o
b b
f (x)dx < f (x)dx + ε.
a a
Lo que implica que,
b b
0≤ f (x)dx − f (x)dx < ε.
a a
Como esta desigualdad se cumple para todo n´ mero positivo ε, podemos concluir
u
que
b b
f (x)dx = f (x)dx,
a a
lo que nos dice que f es integrable.
( =⇒ ) Reciprocamente, si f es integrable, entonces
b b
f (x)dx = f (x)dx = I.
a a
Sea ε > 0 dado. Usando la definici´n de integral superior, definici´n 3.1.10 o -lo que
o o
ınfimo, tenemos que existe P ε tal que:
es equivalente- la caractizaci´n de ´
o
b
ε
S(f, Pε ) < f (x)dx + .
a 2
17. 3.1. SUMAS DE RIEMANN Y EL CONCEPTO DE INTEGRAL 425
En virtud del lema 3.1.7, podemos escribir:
b
ε
S(f, P) < f (x)dx + , para toda partici´n P m´s fina que P ε .
o a
a 2
An´logamente, usando la definici´n de integral inferior, definici´n 3.1.9, o lo que es
a o o
equivalente la definici´n de supremo, tenemos que existe
o
Pε tal que:
b
ε
I(f, Pε ) > f (x)dx − .
a 2
Nuevamente, usando el lema 3.1.7, podemos escribir:
b
ε
I(f, P) > f (x)dx − , para toda partici´n P m´s fima que P ε .
o a
a 2
Si definimos Pε = P ε ∪ Pε , tenemos que:
ε
S(f, Pε ) < I +
2
ε
−I(f, Pε ) < −I +
2
sumando las dos desigualdades obtenemos,
S(f, Pε ) − I(f, Pε ) < ε.
Ejemplo 3.1.15 La funci´n f (x) = [x], la parte entera de x, satisface el criterio de
o
integrabilidad en [0, 1] y por lo tanto es integrable en dicho intervalo.
En efecto
0 si 0 ≤ x < 1
f (x) =
1 si x = 1.
Esta funci´n tiene una discontinuidad en [0, 1]. Sea P una partici´n cualquiera de [0, 1].
o o
P = {x0 , x1 , . . . xn } ; x0 = 0 , xn = 1. Como la funci´n es constante en [0, 1[ e igual a
o
cero, tenemos que:
mi = inf{f (x) ; x ∈ [xi−1 , xi ]} = 0, i = 1, . . . n.
Mi = sup{f (x) ; x ∈ [xi−1 , xi ]} = 0, i = 1, . . . n − 1.
Mn = 1
18. 426 CAP´
ITULO 3. LA INTEGRAL DE RIEMANN
Por lo tanto,
I(f, P) = 0
S(f, P) = 1 · (xn − xn−1 ) = ∆xn .
As´ tenemos,
ı
0 ≤ S(f, P) − I(f, P) = ∆xn .
Entonces, dado ε positivo, en virtud del Principio de Arqu´ımedes existe N ∈ N tal que
1 1
< ε. Por otro parte, podemos construir una partici´n P ε de modo que ||Pε || < .
o
N N
As´ dado ε positivo hemos encontrado una partici´n de [0, 1], tal que
ı, o
1
0 ≤ S(f, P) − I(f, P) = ∆xn < < ε.
N
1
¿Cu´nto vale
a [x]dx ?
0
Como ya sabemos que la integral existe, podemos obtener su valor por el camino m´s f´cil.
a a
En este caso usando la integral inferior cuyo valor es cero.
1
[x] dx = 0.
0
Ejemplo 3.1.16 La funci´n f (x) = [x], la parte entera de x, satisface el criterio de
o
integrabilidad en [1, 2] y por lo tanto es integrable en dicho intervalo.
En efecto
1 si 1 ≤ x < 2
f (x) =
2 si x = 2.
Esta funci´n tiene una discontinuidad en [1, 2]. Sea P una partici´n cualquiera de [1, 2].
o o
P = {x0 , x1 , . . . xn } ; x0 = 1 , xn = 2. Como la funci´n es constante en [1, 2[ e igual a
o
uno, tenemos que:
mi = inf{f (x) ; x ∈ [xi−1 , xi ]} = 1, i = 1, . . . n.
Mi = sup{f (x) ; x ∈ [xi−1 , xi ]} = 1, i = 1, . . . n − 1.
Mn = 2
19. 3.1. SUMAS DE RIEMANN Y EL CONCEPTO DE INTEGRAL 427
Por lo tanto,
n n n
I(f, P) = mi · ∆xi = 1 · ∆xi = ∆xi = 1
i=1 i=1 i=1
n n−1 n−1
S(f, P) = Mi · ∆xi = Mi · ∆xi + Mn ∆xn = ∆xi + Mn ∆xn
i=1 i=1 i=1
= (xn−1 − 1) + Mn ∆xn = xn−1 − 1 + 2(xn − xn−1 ) = (xn − xn−1 ) − 1 + 2
= ∆xn + 1.
As´ tenemos,
ı
0 ≤ S(f, P) − I(f, P) = ∆xn + 1 − 1 = ∆xn .
Entonces, dado ε positivo, en virtud del Principio de Arqu´ımedes existe N ∈ N tal que
1 1
< ε. Por otro parte, podemos construir una partici´n P ε de modo que ||Pε || < .
o
N N
As´ dado ε positivo hemos encontrado una partici´n de [0, 1], tal que
ı, o
1
0 ≤ S(f, P) − I(f, P) = ∆xn < < ε.
N
2
¿Cu´nto vale
a [x]dx ?
1
como en el ejemplo anterior, dado que ya sabemos que la integral existe, podemos obtener
su valor por el camino m´s f´cil. En este caso usando la integral inferior cuyo valor es uno.
a a
2
[x] dx = 1.
1
3.1.1. C´lculo de integrales mediante sumas de Riemann particulares
a
b−a
Teorema 3.1.17 Si f : [a, b] → R es integrable y P n = {ti , ti = a + i, i = 0, · · · , n}
n
entonces,
b
ım s(f, Pn ) =
l´ f (x)dx.
n→+∞ a
Demostraci´n: o
S f : [a, b] → R es una funci´n integrable, existen sus integrales superior e inferior:
o
b
f (x)dx = sup{I(f, P); P partici´n de [a, b]}
o
a
b
f (x)dx = inf{S(f, P); P partici´n de [a, b]}.
o
a
20. 428 CAP´
ITULO 3. LA INTEGRAL DE RIEMANN
b b
Adem´s, se tiene la igualdad,
a f (x)dx = f (x)dx.
a a
b−a
Consideremos la partici´n Pn = {ti : ti = a +
o i; i = 0, 1, 2. · · · n }.
n
n n
Es inmediato que Pn divide el intervalo [a, b] en n subintervalos I 1 , · · · , In de igual
longitud y se tiene que:
Iin = [ti−1 , ti ], i = 1, · · · , n.
Sean mn = inf{f (x), x ∈ Iin },
i Min = sup{f (x); x ∈ Iin }.
En este caso:
n n
(b − a)
I(f, Pn ) = mn (ti
i − ti−1 ) = mn ·
i
n
i=1 i=1
n n
(b − a)
S(f, Pn ) = Min (ti − ti−1 ) = Min .
n
i=1 i=1
Esto es,
n n
b−a 1
I(f, Pn ) = mn = (b − a) ·
i mn
i
n n
i=1 i=1
n n
b−a 1
S(f, Pn ) = Min = (b − a) · Min .
n n
i=1 i=1
1. Es inmediato que I(f, Pn ) ≤ I(f, Pn+1 ).
n+1
En efecto, si Ij ⊂ Ij ∪ Ii+1 entonces, mn+1 ≥ max{mn , mn }, en consecuencia
n n
j i i+1
n+1
1
(b − a) mn+1
i
n+1
i=1
= (b − a) promedio de {mn+1 , · · · , mn+1 } ≥ (b − a) promedio de {mn , · · · , mn }.
1 i n
2. Usando el criterio de integrabilidad, sabemos que dado ε > 0, existe una partici´n
o
b
Pε de [a, b], tal que 0 ≤ f (x)dx − I(f, Pε ) < ε. Por el Principio de Arqu´
ımedes,
u
dado el n´ mero ||Pε || existe N ∈ N tal que,
u
1
≤ ||Pε ||.
N
21. 3.1. SUMAS DE RIEMANN Y EL CONCEPTO DE INTEGRAL 429
Ahora, podemos construir una partici´n P N que sea un refinamiento de tal Pε y de
o
1
modo que todos los subintervalos sean de longitud menor o igual que .
N
Entonces, tenemos que para todo n ≥ N , se cumple,
b
I(f, Pε ) ≤ I(f, PN ) ≤ S(f, PN ) ≤ S(f, Pε ) ≤ f (x)dx.
a
b b
As´ 0 <
ı, f (x) − S(f, Pn ) ≤ f (x)dx − S(f, Pε ) ≤ ε.
a a
Por lo tanto,
b b
l´ s(f, Pn ) =
ım f (x)dx = f (x)dx.
n→∞ a a
Ejemplo 3.1.18 Consideramos f (x) = x 3 , x ∈ [0, 1].
i−1 i−1 3
En este caso, como f es creciente, mi = f n = .
n
n n n−1
1 1 (i − 1) 3 1
I(f, P) = · mi = = · i3
n n n n4
i=1 i=1 i=1
2 2 2
1 (n − 1) · n 1 n−1 1 1
= = = 1− .
n4 2 4 n 4 n
As´ tenemos que:
ı
ım I(f, P) = 1/4.
l´
n→+∞
Ejemplo 3.1.19 La funci´n f (x) = x definida en [a, b] es integrable y su integral
o
b
b2 − a 2
x dx = .
a 2
En efecto, demostraremos que f (x) = x satisface el criterio de integrabilidad en cualquier
intervalo [a, b].
Dado un n´ mero positivo ε positivo, debemos encontrar una partici´n del intervalo [a, b]
u o
tal que
S(f, Pε ) − I(f, Pε ) < ε.
Sea Pn una partici´n cualquiera de [a, b].
o
P = {x0 , x1 , . . . xn } ; x0 = a , xn = b. Como la funci´n identica es creciente en [a, b[ ,
o
22. 430 CAP´
ITULO 3. LA INTEGRAL DE RIEMANN
tenemos que:
mi = inf{f (x) ; x ∈ [xi−1 , xi ]} = xi−1 , i = 1, . . . n.
Mi = sup{f (x) ; x ∈ [xi−1 , xi ]} = xi , i = 1, . . . n.
Por lo tanto,
n n
I(f, Pn ) = mi · ∆xi = xi−1 · ∆xi
i=1 i=1
n n
S(f, Pn ) = Mi · ∆xi = xi · ∆xi .
i=1 i=1
Con estos c´lculos podemos escribir:
a
0 ≤ S(f, Pn ) − I(f, Pn ) = x1 (x1 − a) + x2 (x2 − x1 ) + . . . . . . + b(b − xn−1 )
−[a(x1 − a) + x1 (x2 − x1 ) + . . . . . . + xn−1 (b − xn−1 )]
= (x1 − a)(x1 − a) + (x2 − x1 )(x2 − x1 ) + . . .
. . . + (b − xn−1 )(b − xn−1 )
Acotando uno de los factores en cada sumando por ||P n )||, obtenemos:
0 ≤ S(f, Pn ) − I(f, Pn ) ≤ (x1 − a)||Pn )|| + (x2 − x1 )||Pn )|| + . . . . . . + (b − xn−1 )||Pn )||
= [(x1 − a) + (x2 − x1 ) + . . . . . . + (b − xn−1 )]||Pn )||
= (b − a)||Pn )||.
Con el mismo razonamiento usado en los ejemplos anteriores, tenemos que: dado ε positivo,
1
ımedes existe N ∈ N tal que
en virtud del Principio de Arqu´ < ε. Por otro parte,
N (b − a)
1
podemos construir una partici´n P ε de modo que ||Pε || <
o .
N (b − a)
As´ dado ε positivo hemos encontrado una partici´n de [0, 1], tal que
ı, o
1
0 ≤ S(f, P) − I(f, P) = (b − a)||Pε )| < (b − a) < ε.
N (b − a)
b
El criterio de integrabilidad nos dice que el n´ mero
u x dx existe, pero no dice cu´nto
a
a
vale. Como sabemos que existe calcularemos la integral usando sumas de Riemann en que
la funci´n se evalua en el punto medio de cada subintervalo.
o
23. 3.1. SUMAS DE RIEMANN Y EL CONCEPTO DE INTEGRAL 431
Sea Pn una partici´n cualquiera de [a, b].
o
xi + xi−1
P = {x0 , x1 , . . . xn } ; x0 = a , xn = b, ξi = .
2
entonces:
n
a + x1 x1 + x 2 b + xn−1
f (ξi )∆xi = (x1 − a) + (x2 − x1 ) . . . . . . + (b − xn−1 )
2 2 2
i=1
(a − x1 )(a + x1 ) (x2 − x1 )(x2 + x1 ) (b + xn−1 )(b − xn−1 )
= + +......
2 2 2
1 2 2 2 2 2 2
= (x − a + x2 − x1 + . . . . . . + b − xn−1 )
2 1
b2 − a 2
= .
2
Observemos que el ultimo c´lculo vale para cualquier partici´n. Como la funci´n es con-
´ a o o
tinua y si n → +∞, entonces Mi y mi tienden a confundirse con el punto medio de cada
subintervalo, por lo cual podemos concluir que:
b
b2 − a 2
x dx = .
a 2
El siguiente teorema es una de las consecuencias m´s importantes del criterio de integra-
a
bilidad.
Teorema 3.1.20 Si f : [a, b] → R es una funci´n continua o continua a tramos entonces,
o
f es integrable en el intervalo [a, b].
Ejercicios resueltos
1. Recuerde que si la velocidad de una part´
ıcula es constante en un intervalo de tiempo,
d
entonces se usa la f´rmula v = , donde d es la distancia recorrida y t el tiempo
o
t
transcurrido.
Esta f´rmula no es v´lida cuando la velocidad var´ en cada instante, pero si puede
o a ıa
usarse para c´lculos aproximados.
a
Suponga que una part´ ıcula se mueve con velocidad v(t) = t 2 + 1; t ∈ [0, 1]; t medido
en horas.
a) D´ un valor aproximado del camino recorrido durante una hora, suponiendo
e
que cada 12 minutos la velocidad se mantiene constante e igual a v(ξ i ) donde
ξi es la mitad del tiempo transcurrido en cada intervalo de 12 minutos.
24. 432 CAP´
ITULO 3. LA INTEGRAL DE RIEMANN
b) Observando el gr´fico de la situaci´n dada en a) ¿C´mo podr´ obtener un valor
a o o ıa
m´s exacto del camino recorrido?.
a
c) ¿C´mo podr´ obtener una f´rmula para obtener el valor exacto?.
o ıa o
Soluci´n:
o
a)
v(t) = t2 + 1, t ∈ [0, 1].
1 2 3 4
0 12m = 5 24m = 5 36m = 5 48m = 5 1 hora
Los puntos medios de cada subintervalo de 12 minutos son:
1 3 5 7 9
ξ1 = , ξ 2 = , ξ 3 = , ξ 4 = , ξ 5 = .
10 10 10 10 10
d
Como v = , entonces d = v · t.
t
2
1
Si 0 ≤ t ≤ 1/5, v = v1 = v(ξ1 ) = +1
10
2
3
Si 1/5 < t ≤ 2/5, v = v2 = v(ξ2 ) = +1
10
2
5
Si 2/5 < t ≤ 3/5, v = v3 = v(ξ3 ) = +1
10
2
7
Si 3/5 < t ≤ 4/5, v = v4 = v(ξ4 ) = +1
10
2
9
Si 4/5 < t ≤ 5/5, v = v5 = v(ξ5 ) = +1
10
Por lo tanto, en cada subintervalo i supondremos que la velocidad permanece
constante e igual a vi . Por lo tanto la distancia total d recorrida es:
25. 3.1. SUMAS DE RIEMANN Y EL CONCEPTO DE INTEGRAL 433
1
d = d1 + d2 + d3 + d4 + d5 = (v1 + v2 + v3 + v4 + v5 ) =
5
2 2
1 1 3 5 2 7 2 9 2
= ( +1+ +1+ +1+ +1+ +1
5 10 10 10 10 10
1 12 32 52 72 92 1 1 + 9 + 25 + 49 + 81
= 2
+ 2 + 2 + 2 + 2 +5 = +5
5 10 10 10 10 10 5 100
33
= + 1 = 1, 33.
100
b) Un valor m´s exacto se obtiene haciendo una subdivisi´n m´s fina del intervalo
a o a
[0, 1].
c) Una forma de obtener el valor exacto es haciendo divisiones tan finas de modo
que la longitud de los subintervalos tiendan a cero. en ese caso la cantidad de
sumando se hace infinitamente grande, su suma se realiza con el concepto de
integral de Riemann.
2. Si una fuerza constante F act´ a sobre un cuerpo que se mueve en l´
u ınea recta, entonces
el trabajo T , realizado por la fuerza al desplazar el cuerpo una distancia x es T = F x.
Si la fuerza es variable, ´sta f´rmula ya no es v´lida, pero tal como en el ejercicio
e o a
anterior, puede ser usada para encontrar valores aproximados del trabajo. Por ejem-
plo, para estirar un resorte en la direcci´n del eje X en x unidades de longitud, se
o
necesita una fuerza
F (x) = 50x ; x medido en metros.
D´ un valor aproximado del trabajo total efectuado por la fuerza, para estirar el
e
resorte 10 cm, usando una partici´n del intervalo en que var´ x con n subdivisiones
o ıa
de igual longitud y suponiendo F constante en cada subintervalo. El valor de F en
cada subintervalo puede ser elegido como usted quiera.
Soluci´n:
o
T = F · x = T (x)
Si F = F (x); T (x) = F (x) · x
Aplicando esta f´rmula a nivel microsc´pico, se obtiene:
o o
26. 434 CAP´
ITULO 3. LA INTEGRAL DE RIEMANN
i
xi = x0 + 10 , x0 = 0, i = 0, 1, · · · , n
n
0 10
1
Entre xi y xi+1 la distancia es .
n
1
En x = xi+1 , T (xi+1 ) = F (xi+1 ) · .
n
El trabajo total es,
1
T (x1 ) + T (x2 ) + · · · + T (xn ) = (F (x1 ) + F (x2 ) + · · · + F (xn ))
n
1
= 50(x1 + x2 + · · · + xn )
n
1 2 n−1 1
= 510 · 1 + + + ··· + ·
n n n n
50
= (1 + 2 + · · · + n)
n2
50 n(n + 1)
= ·
n2 2
n+1
= 25 ·
n
n+1
As` el valor 25 ·
ı, da un valor aproximado del trabajo total cuando el intervalo
n
se divide en n subintervalos. Si la divisi´n de subintervalos es infinitamente grande,
o
el valor del trabajo es:
l´
ım (T (x1 ) + T (x2 ) + · · · + T (xn )) = 25.
n→+∞
3. F´rmula para calcular la longitud de una curva
o
Considere y = f (x), f funci´n con derivada continua en [a, b].
o
Particione el intervalo [a, b] en n subintervalos [a, x 1 ], [x1 , x2 ], · · · , [xn−1 , b].
Sea Pi = (xi , f (xi )) , i = 1, · · · , n − 1, P0 = (a, f (a)) y Pn = (b, f (b)).
a) Calcule la longitud de la poligonal determinada por los trazos P 0 P1 , P1 , P2 , · · · , Pn−1 Pn .
b) Use el Teorema del Valor Medio para derivadas para reemplazar en la f´rmula
o
encontrada en (a) los t´rminos (yi − yi−1 ).
e
27. 3.1. SUMAS DE RIEMANN Y EL CONCEPTO DE INTEGRAL 435
c) Demuestre que la longitud L de la curva es aproximadamente
n
1 + [f (ci )]2 (∆xi ) ; ci ∈ [xi−1 , xi ].
i=1
d) ¿A cu´l suma de Riemann corresponde la expresi´n obtenida en (c).
a o
e) Use el concepto de integral para escribir la expresi´n exacta de L.
o
f) Calcule un valor aproximado de la longitud de la curva
y = x3/2
cuando x ∈ [1, 2] usando una partici´n de 10 subintervalos de igual longitud.
o
Soluci´n:
o
a) Pi = (xi , yi ) = (xi , f (xi ))
Pi−1 Pi = (xi − xi−1 )2 + (yi − yi−1 )2 . entonces, la longitud L de la poligonal
es:
n n
L= Pi−1 Pi = (xi − xi−1 )2 + (yi − yi−1 )2 .
i=1 i=1
b) Como f es una funci´n con derivada continua, podemos aplicar el Teorema
o
del Valor Medio para derivadas, 2.3.5, en cada subintervalo [x i−1 , xi ]. As´ ı,
tenemos la existencia de un punto ci ∈]xi−1 , xi [ tal que f (xi ) − f (xi−1 ) =
f (ci )(xi − xi−1 ). Por esta raz´n podemos escribir lo siguiente:
o
Pi−1 Pi = (xi − xi−1 )2 + (f (xi ) − f (xi−1 ))2 =
= (xi − xi−1 )2 + (f (ci ))2 (xi − xi−1 )2
= 1 + (f (ci ))2 |xi − xi−1 |, xi−1 ≤ ci ≤ xi .
c) Por lo tanto, la longitud de la poligonal L puede escribirse como:
n n
L= Pi−1 Pi = 1 + (f (ci ))2 (xi − xi−1 ).
i=1 i=1
d) Si consideramos a la poligonal L como una aproximaci´n de la longitud de la
o
curva y = f (x), entonces:
n n
Longitud de la curva ≈ 1 + (f (ci ))2 (xi −xi−1 ) = 1 + [f (ci )]2 (∆xi );
i=1 i=1
28. 436 CAP´
ITULO 3. LA INTEGRAL DE RIEMANN
donde ci ∈ [xi−1 , xi ]. La expresi´n obtenida en (c) corresponde a a una suma
o
de Riemann de la funci´n g(x) = 1 + (f (x))2 .
o
e) El valor exacto de la longitud de la curva se obtiene haciendo la partici´n del
o
dominio de la funci´n cada vez m´s fino, por lo cual usando la definici´n de
o a o
integral podemos escribir:
b
L= 1 + (f (x))2 dx.
a
3 i
f) f (x) = x3/2 , f (x) = x1/2 , xi = 1 + ; 0 ≤ i ≤ 10.
2 10
As´ tenemos:
ı,
x0 = 1, x1 = 1 + 1/10, x2 = 1 + 2/10, · · · , x10 = 2.
3
(f (xi ))2 = (xi )1/2 , i = 1, 2, · · · , 10.
2
Para encontrar un valor aproximado de la longitud de la curva tomaremos
como valor de g en cada subintervalo g evaluada en el extremo derecho del
subintervalo.
3 1 3 1 3 1 3 1/2 1
lc ≈ (x1 )1/2 · + (x2 )1/2 · + · · · + (x9 )1/2 + (x10 ) ·
2 10 2 10 2 10 2 10
3 1
≈ · (x1 ) + (x2 ) + (x3 ) + (x4 ) + (x5 ) + (x6 ) + (x7 )1/2 +
1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2
2 10
(x8 )1/2 + (x9 )1/2 + (x10 )1/2
3
≈ 1, 1 + 1, 2 + 1, 3 + 1, 4 + 1, 5 + 1, 6 + 1, 7+
20
√
1, 8 + 1, 9 + 2
3
≈ [1, 048 + 1, 095 + 1, 140 + 1, 183 + 1, 224 + 1, 264 + 1, 303 + 1, 341+
20
1, 378 + 1, 414]
≈ 1, 8585.
4. Dada la par´bola y = x2 sobre [0, 2]
a
a) D´ un valor aproximado del area A de la regi´n del plano comprendida entre
e ´ o
el eje X, la curva y(x) y las rectas x = 0 y x = 2, usando la suma de Riemann
correspondiente a una partici´n de 5 subintervalos de igual longitud y usando
o
como ξi el punto medio de cada subintervalo.
29. 3.1. SUMAS DE RIEMANN Y EL CONCEPTO DE INTEGRAL 437
b) Aproxime el area A mediante la suma de los trapecios que resultan usando la
´
misma partici´n del item anterior.
o
c) La suma resultante en el item anterior , ¿ es una suma de Riemann ? Justifique.
d) Calcule la suma superior correspondiente a una partici´n de n subintervalos
o
iguales.
e) Calcule la integral superior de la funci´n y sobre [0, 2] y diga por qu´ este valor
o e
corresponde al valor de la integral.
Soluci´n: y = x2 , x ∈ [0, 2]
o
y = x2
A
0 2
a) Si dividimos el intervalo de longitud 2 en 5 partes iguales cada subintervalo
2
debe tener una longitud de = 0, 4 unidades de longitud. Por lo tanto,x 0 =
5
2 2 2 4 4 2 6 6 2 8
0, x1 = , x2 = + = , x3 = + = , x4 = + = , x5 =
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
8 2 10
+ = = 2.
5 5 5
1 3 7 9
ξ1 = , ξ2 = , ξ3 = 1, ξ4 = , ξ5 = .
5 5 5 5
Ahora, calculamos los valores de f en cada ξ i :
1 9 49 91
f (ξ1 ) = , f (ξ2 ) = , f (ξ3 ) = 1, f (ξ4 ) = , f (ξ5 ) = .
25 25 25 25
Entonces, la suma de Riemann S correspondiente a la partici´n P = {x 0 , x1 , x2 , x3 , x4 , x5 }
o
30. 438 CAP´
ITULO 3. LA INTEGRAL DE RIEMANN
y los puntos ξi es un valor aproximado del area A.
´
5
1 2 9 2 2 49 2 81 2
A ≈ S= y(ξ1 )∆xi = · + · +1· + · + ·
25 5 25 5 5 25 5 25 5
i=1
2 1 + 9 + 25 + 49 + 81 2 165 2 33 66
= · = · =
5 25 5 25 5 5 25
2, 64.
b) ´
Area de un trapecio:
c
b
a
a·c 2a · b + ac a · b + (b + c) · a a · [b + (b + c)]
AT = a · b + = = = .
2 2 2 2
2 4
2 ·
1 er trapecio: a = 2 , b = 0, b + c = 2 4
= ; A T1 = 5 25 = 4
5 5 25 2 125
2 4 16
2 2 · +
2 2 4 5 25 25
2do trapecio: a= ,b = ,b + c = ; A T2 =
5 5 5 2
2 16 16
2 2 +
2 4 6 5 25 25
3er trapecio: a= ,b = ,b + c = ; A T3 =
5 5 5 2
2 36 64
2 2 +
2 6 8 5 25 25
4to trapecio: a = ,b = ,b + c = ; A T4 =
5 5 5 2
2 64
2 +4
2 8 5 25
5to trapecio: a= ,b = , b + c = 22 ; A T5 =
5 5 2
31. 3.1. SUMAS DE RIEMANN Y EL CONCEPTO DE INTEGRAL 439
4 20 52 100 164 340 68
Area ≈ + + + + = = = 2, 72.
125 125 125 125 125 125 25
c) Cada sumando de la suma del item anterior es de la forma:
bi + (bi + ci )
A Ti = a i · .
2
La base de cada trapecio es ai = ∆xi . Para que dicha suma sea una suma
bi + (bi + ci )
de Riemann, el n´ merou debe corresponder a la imagen de alg´ n u
2
bi + (bi + ci )
xi ∈ [xi−1 , xi ]. Es decir, f (xi ) = .
2
Como f es continua en cada intervalo [x i−1 , xi ] y f ([xi−1 , xi ]) = [bi , bi + ci ],
podemos aplicar el Teorema del Valor Intermedio, teorema 1.5.16 para obtener
bi + (bi + ci )
la existencia de xi ∈ [xi−1 , xi ] tal que f (xi ) = . Por lo tanto, la
2
suma de las areas de los trapecios cuyas alturas son puntos sobre el gr´fico de
´ a
una curva continua es una suma de Riemann.
2
d) Sea ∆xi = . As´ obtenemos los puntos de la partici´n P n :
ı, o
n
2
xi = · i ; con i = 0, 1, · · · n.
n
2 4 6 2(n − 1)
x0 = 0, x1 = , x2 = , x3 = , · · · , xn−1 = , xn = 2.
n n n n
Si i = 0, 1, . . . , n − 1 entonces, considerando que la funci´n f es creciente
o
4 2
Mi = f (xi = 2 · (i) .
n
Por lo tanto,
4 2 8
f (xi ) · (xi − xi−1 ) = f (xi ) · ∆xi = 2
· (i)2 · = 3 (i)2 .
n n n
n n
8 2
S(f, Pn ) = f (xi )(xi − xi−1 ) = (i)
n3
i=1 i=1
n
8
= (i)2
n3
i=1
8 n(n + 1)(2n + 1) 8 2n2 + 3n + 1
= · = 2·
n3 6 n 6
4 2n2 + 3n + 1 4 3 1
= · = 2+ + 2 .
3 n2 3 n n
