Este documento define lo que es un retículo y sus propiedades fundamentales. Un retículo es un conjunto en el que se han definido dos operaciones llamadas unión e intersección que cumplen propiedades como asociatividad, conmutatividad e idempotencia. Además, en un retículo se puede establecer una relación de orden basada en la inclusión. El documento también define los conceptos de ínfimo y universal en un retículo.

1. Universidad Politécnico Santiago Mariño
Sede Porlamar-Genoves
Carrera 47
Autor: ShirlyVega
C.I.V-16.340.740

2. Para empezar un retículo ha de ser un conjunto en
el que se hayan definido dos operaciones. Las
operaciones pueden tener el nombre que se quiera y
la representación gráfica que queramos y pueden
producir los resultados que el inventor (o descubridor)
del conjunto y sus operaciones quiera, pero para que
ese conjunto se pueda llamar retículo las operaciones
tienen que cumplir las propiedades que se indican más
abajo.
Nosotros las vamos a llamar de forma genérica Unión
e Intersección y las vamos a representar con los
símbolos È y Ç respectivamente.

3. Además de tener estas operaciones el conjunto,
para que sea un retículo, ambas operaciones deben
estar definidas para todas las parejas posibles de
elementos del conjunto. Esto quiere decir que el
resultado de la operación debe ser también un
elemento del conjunto. Esto, aunque parece trivial
porque podemos pensar que una operación siempre
va a estar definida para todos los elementos de un
conjunto, esto no es cierto.

4. Al definir una operación se puede definir ésta solo
para unos determinados elementos. Por ejemplo, en
el conjunto de números enteros la operación división
sólo está definida para aquellas parejas en las que el
primer número es un múltiplo del segundo, para el
resto de parejas el resultado de la operación no es un
elemento del conjunto.
Por lo tanto podemos pasar a la definición oficial:

5. DEFINICION: Se llama retículo a un conjunto R,
entre cuyos elementos se han definido dos
operaciones, llamadas Unión e Intersección, y
representadas por los símbolos È y Ç, tales que si A y B
son dos elementos arbitrarios de R, A È B y A Ç B
existen, son únicos y pertenecen a R y además
verifican las siguientes propiedades:
Asociatividad. Para tres elementos
cualesquiera, A, B, C, de R se cumple que: A È (B È C)
= (A È B) È C ý A Ç (B ÇC) = (A Ç B) Ç C

6. Conmutatividad. Para dos elementos
cualesquiera A, B, de R se cumple que: A È B =
B È A ý A Ç B = B Ç A.
Idempotencia. Para todo elementoA de R se
verifica que: A È A = A ý A Ç A = A.
Ley de Simplificación. Si A y B son elementos
arbitrarios de R se verifica que: (A È B) Ç A =
A ý (A Ç B) È A = A

7. Esta última propiedad se puede deducir de las
anteriores y de las propiedades generales de los
conjuntos. Os animo a que dejéis un comentario con la
demostración.
De acuerdo con esta definición se puede
comprobar que el conjunto de las partes de un
conjunto R(U) es un reticulo.
Se cumple también la siguiente propiedad:

8. Si A y B son elementos de un retículo R, se verifica que:
A È B = B <=> A Ç B = A
La Relación de Inclusión Í definida en un retículo R, es
una Relación de Orden, es decir, establece una
ordenación en el conjunto.
Esta relación de orden posee las siguientes
propiedades:
 Propiedad Reflexiva: A Í A, para todo A de R.
 Propiedad Antisimétrica: A Í B y B Í A, implican A = B.
 Propiedad Transitiva:A Í B y B Í C, implican que A ÍC

9. DEFINICION: Se llama Infimo de un retículo R, al
elemento I que cumple las siguientes propiedades:
“ X | X Î R, X È I = X, es decir, para todo conjunto X
perteneciente al retículo R la unión del elemento
ínfimo con X es igual a X
“ X | X Î R, X Ç I = I, es decir, para todo conjunto X
perteneciente al retículo R la intersección del
elemento ínfimo con X es igual al elemento ínfimo.

10. DEFINICION: Se llama Universal de un retículo R,
al elemento U que cumple las siguientes propiedades:
“ X | X Î R, X È U = U, es decir, para todo conjunto X
perteneciente al retículo R la unión del elemento
universal con X es igual al elemento Universal
“ X | X Î R, X Ç U = X, es decir, para todo conjunto X
perteneciente al retículo R la intersección del
elemento universal con X es igual al X.