A naive text by myself about Congruence classes, and this realization as discrete groups. (In Portuguese)

1. Rela¸ao de Congruˆncia/Equivalˆncia Modular
c˜ e e
20 de setembro de 2009
Dado o conjunto dos n´meros inteiros Z, e dado um n´mero n ∈ N,
u u
podemos definir a seguinte rela¸ao de equivalˆncia sobre Z: Dados a e b,
c˜ e
a > b, dizemos que a ´ equilavente a b, ou a ∼ b, se a diferen¸a a − b ´
e c e
divis´ por n, isto ´
ıvel e
a ∼ b ⇔ a − b ´ divis´ por n.
e ıvel
Quando isto acontece, dizemos que a = b mod n, e essa rela¸ao ´ chamada
c˜ e
de equivalˆncia modular, ou congruˆncia m´dulo n.
e e o
Complicado, n˜o? Vamos tomar um exemplo concreto, fazendo n = 3,
a
por exemplo. Podemos fazer as compara¸oes:
c˜
i) 2 e 1 s˜o equivalentes? N˜o, pois temos que 2−1 = 1, que n˜o ´ divis´
a a a e ıvel
por 3. Logo 2 = 1 mod 3.
ii) 3 e 0 s˜o equivalentes? Sim, pois 3 − 0 = 3 ´ divis´ por 3. Assim,
a e ıvel
3 = 0 mod 3.
iii) 9 e 3 s˜o equivalentes? Sim, pois 9 − 3 = 6 ´ divis´ por 3. Assim,
a e ıvel
9 = 3 mod 3.
Como a congruˆncia ´ uma rela¸ao de equivalˆncia, ela ´ transitiva. Isto
e e c˜ e e
quer dizer que, dados a > b > c, se a = b mod n, e b = c mod n, temos
que a = c mod n. No nosso exemplo de n = 3 podemos ver, por exemplo,
que 9 = 6 mod 3 = 3 mod 3 = 0 mod 3. Isto ´ interessante pois podemos
e
agrupar todos os elementos baseados em apenas um, que ´ quem identifica
e
cada uma das classes. No nosso exemplo, podemos montar o conjunto
0 = {a ∈ Z/a = 0 mod 3}.
´ a
E f´cil ver que 0 = {..., −3, 0, 3, 6, 9, ...}. Agora, ´ o unico conjunto de con-
e ´
gruˆncia? N˜o, pois, por exemplo,
e a
10 = 7 mod 3 = 4 mod 3 = 1 mod 3,
1

2. que nos d´ o conjunto
a
1 = {a ∈ Z/a = 1 mod 3} = {..., 1, 4, 7, ...}.
E temos tamb´m
e
11 = 8 mod 3 = 5 mod 3 = 2 mod 3,
que define o conjunto
2 = {a ∈ Z/a = 2 mod 3} = {..., 2, 5, 8, ...}.
Mas sim, ap´s toda essa papagaiada, que vocˆ est´ fazendo?
o e a
A rigor, peguei o conjunto Z, e atrav´s da rela¸ao de equivalˆncia mod 3,
e c˜ e
o fragmentei nos subconjuntos disjuntos 0, 1, e 2. Agora, considerando o
conjunto S = {0, 1, 22} (sim, conjunto de conjuntos!), ele nada mais ´ que o
e
conjunto quociente de Z pela rela¸ao mod 3. Em outras palavras, S = Z/
c˜
mod 3.
Uou, explica¸ao complicada essa... N˜o tem como simplificar mais? Certo,
c˜ a
vamos l´:O que estamos fazendo ´ pegar Z e ”‘reordenar”’ os elementos em
a e
subconjuntos de elementos ”‘iguais”’, no sentido de que a igualdade ´ dada
e
por mod 3:
 
0 = {0, 3, 6, ...}
mod 3
Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...} → S = 1 = {1, 4, 7, ...} .
 
2 = {2, 5, 8, ...}
E o conjunto S ´ o conjunto cujos os elementos s˜o essas classes. Como dito,
e a
S ´ um conjunto de conjuntos.
e
Certo, e... Calma, agora ´ que vem a parte divertida. Podemos definir
e
sobre os elementos de S opera¸oes! Vamos definir sobre S uma opera¸ao de
c˜ c˜
adi¸ao: Temos que uma adi¸ao ´ uma opera¸ao + : S × S → S, que dados
c˜ c˜ e c˜
dois elementos a, b ∈ S, a+b = c ∈ S, e temos as propriedades:
1. comutatividade: a+b = b+a;
2. associatividade: a+(b+c) = (a+b)+c;
3. elemento neutro: a+0 = 0+a = a;
4. elemento oposto: dado a ∈ S, temos o elemento −a ∈ S tal que
˜
a+(−a) = (−a)+a = 0.
2

3. ´o
E ´bvio ver que a adi¸ao que conhecemos ´ uma adi¸ao nesse sentido. Agora,
c˜ e c˜
com esta no¸ao podemos definir sobre os elementos de S a adi¸ao ⊕, dada
c˜ c˜
da seguinte maneira: Dados a, b ∈ S,
a ⊕ b = c = {classe de equivalˆncia da soma usual dos elementos de a e b.}
e
Agora complicou mais uma vez n˜o? Vamos mais uma vez usar o exemplo
a
de S = Z/ mod 3 = {0, 1, 2}. Por exemplo,
0 ⊕ 0 = A,
e vamos construir o conjunto A. Lembrando que 0 = {0, 3, 6, 9, ...}, e da
defini¸ao da nossa soma, A ´ a classe de equivalˆncia da soma dos elementos
c˜ e e
do conjunto. Assim,
 
 0 + 0 = 0 ∈ 0
 

 0 + 3 = 3 ∈ 0 

 

0⊕0⇒ 3+0=3∈0 .
 3 + 3 = 6 ∈ 0
 

 


 .
. 

.
Assim, podemos concluir que o resultado dessa opera¸ao nada mais ´ que os
c˜ e
elementos do conjunto 0, ou seja,
0 ⊕ 0 = 0.
Outra opera¸ao que temos ´
c˜ e
0⊕1=B
que, lembrando que 1 = {1, 4, 7, ...}, temos
 
0 + 1 = 1 ∈ 1
 
0 + 4 = 4 ∈ 1
 

 

0⊕1⇒ 3=1=4∈1 .
3 + 4 = 7 ∈ 1
 

 


 .
. 

.
E assim, 0 ⊕ 1 = 1.
Podemos continuar efetuando essas opera¸oes, e chegamos ` tabela:
c˜ a
⊕ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
3

4. Sim, vocˆ criou uma estrutura nova, regras antigas, mas e da´ Certo,
e ı?
o objetivo desta exposi¸ao, que eu provavelmente acabei me perdendo, era
c˜
mostrar quem nem sempre 1 + 1 = 2. Para efetuar a opera¸ao precisamos
c˜
definir, antes de mais nada, a natureza dos objetos, e da pr´pria opera¸ao.
o c˜
Lembra que sempre somos introduzidos, l´ no pr´-escolar, ` soma usando a
a e a
id´ia de quantidade? Ent˜o, a natureza dos objetos ´ especificada: O valor
e a e
1 representa o conjunto com uma unidade de alguma coisa, laranjas, por
exemplo. Mas agora, mudando a natureza, por exemplo, fazendo com que 1
seja agora a classe de n´meros equivalentes a 1 mod 2, temos que
u
1 ⊕ 1 = 0,
o que foge um pouco do usual.
Mas, ser´ que foge mesmo? Considere o triˆngulo equil´tero como desen-
a a a
hado abaixo:
Com O sendo o seu centro. Rodando o triˆngulo em torno de O sempre em
a
a
ˆngulos de 120◦ no sentido anti-hor´rio, temos que
a
ent˜o, a menos que nomeemos os v´rtices, qualquer uma destas opera¸oes
a e c˜
n˜o ”‘altera”’ o triˆngulo; isto ´, n˜o ´ poss´ perceber que a mudan¸a foi
a a e a e ıvel c
feita. Essa propriedade ´ chamada de opera¸ao de simetria, pois n˜o altera
e c˜ a
o sistema. Agora, se fizermos a associa¸ao, para cada rota¸ao
c˜ c˜
0◦ → a,
120◦ → b,
240◦ → c,
4

5. e definindo a opera¸ao ⊕ como sendo, dados x e y,
c˜
x ⊕ y = rota¸ao de y seguida de x,
c˜
e temos a tabela:
⊕ a b c
a a b c
b b c a
c c a b
Familiar, n˜o? Pois ´, ´ exatamente a tabela de soma anterior! O que fizemos
a e e
foi a realiza¸˜o da opera¸ao (ou grupo), que nada mais ´ que trazer para a
ca c˜ e
”‘realidade”’ essa opera¸ao abstrata.
c˜
5