Topología

Topología

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Contenidos
Artículos
Espacio topológico 1
Topología 3
Banda de Möbius 12
Botella de Klein 15

Referencias
Fuentes y contribuyentes del artículo 19
Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 20

Licencias de artículos
Licencia 21


Espacio topológico
Un espacio topológico es una estructura
matemática que permite la definición formal
de conceptos como convergencia,
conectividad, y continuidad. La rama de las
matemáticas que estudia los espacios
topológicos se llama topología.

Definición
Un espacio topológico es un conjunto E de
elementos junto con T, una colección de
subconjuntos de E que satisfacen las
siguientes propiedades:
1. El conjunto vacío y E están en T.

Cuatro ejemplos y dos anti-ejemplos de topologías en el conjunto de tres puntos
{1,2,3}. El ejemplo inferior izquierdo no es una topología porque la unión {2,3} de
{2} y {3} no está definida; el ejemplo inferior derecho no es una topología porque
la intersección {2} de {1,2} y {2,3} no está definida. En el espacio topológico,
F2L predomina.

2. La intersección de cualquier colección finita de conjuntos de T está también en T.

3. La unión de toda colección de conjuntos de T está también en T.

Esta condición también se puede escribir:

Los conjuntos en T son los conjuntos abiertos, y sus complementos en E son llamados conjuntos cerrados.
La colección T es llamada "topología" en E. Los elementos de E suelen llamarse puntos, aunque pueden ser
cualquiera de los objetos matemáticos. Un espacio topológico en el cual los puntos son funciones es llamado un
espacio funcional.
Al conjunto E se le llama substrato del espacio topológico.


Ejemplos
• Topología trivial o indiscreta: es la formada por y .
• Topología discreta: es la formada por el conjunto de las partes de .
• Topología de los complementos finitos: es la formada por y los conjuntos de , cuyos complementarios
son finitos.
• Topología de los complementos numerables: es la formada por y los conjuntos de , cuyos
complementarios son numerables.
• R, conjunto de los reales, y T el conjunto de los intervalos abiertos en el sentido usual, y de las reuniones
(cualesquiera) de intervalos abiertos.
• Recta de Sorgenfrey: la recta real junto con la topología del límite inferior

Espacios metrizables
Toda métrica permite definir de manera natural en un espacio la topología formada por las uniones arbitrarias de
bolas de centro y radio :

Esta topología se aproxima a la noción intuitiva de conjunto abierto, permitiendo una aproximación de carácter local
a la topología.
En vez de considerar todo el conjunto, el punto de vista local consiste en preguntarse: ¿qué relación tiene que haber
entre un punto a cualquiera de A, y A para que A sea un abierto?
Si se considera el ejemplo más conocido, el de los intervalos, uno se da
cuenta de que los intervalos abiertos son los que no contienen puntos
en su frontera o borde, que son puntos en contacto al la vez con A y
con su complementario R - A.
En otras palabras, un punto de un abierto no está directamente en
contacto con el "exterior".
No estar en contacto significa intuitivamente que hay una cierta
distancia entre el punto y el exterior; llamémosla d. Entonces la bola B
(a, d/2), de radio d/2 y de centro a está incluida en A y no toca el
complementario. En la figura, a está en el interior de A, mientras que b está en su frontera, porque cualquier
vecindad de b encuentra R - A.
Al hablar de distancia, utilizamos un concepto de los espacios métricos, que son más intuitivos pues corresponden al
mundo real (asimilable a R³). En topología, tenemos que cambiar el concepto de bola por el, más general, de
vecindad o entorno. Una vecindad de un punto x es este punto con algo de su alrededor. Tenemos entera libertad para
definir el significado de "alrededor" y "vecindad" con tal de satisfacer los axiomas siguientes:
1. x pertenece a todas sus vecindades.
2. Un conjunto que contiene una vecindad de x es una vecindad de x.
3. La intersección de dos vecindades de x es también una vecindad de x.
4. En toda vecindad V de x existe otra vecindad U de x tal que V es una vecindad de todos los puntos de U.
Llamamos abierto un conjunto que es una vecindad para todos sus puntos.
Los axiomas expuestos en el punto de vista global están verificados:
1. E es obviamente una vecindad para todos sus puntos, y ∅ también porque no contiene punto. (Una propiedad
universal: para todo x ... es forzosamente cierta en el conjunto vacío.)
2. Una unión de abiertos Oi es un superconjunto de cada Oi, y Oi es una vecindad de todos sus puntos, por lo tanto,
la unión es una vecindad de todos sus puntos, gracias a la propiedad (2).


3. Sea x un punto de la intersección de los abiertos O1 y O2. O1 y O2 son abiertos que contienen x y por lo tanto
vecindades de él. Una intersección de vecindades de x es una vecindad de x (propiedad 3), lo que implica que O1
O2 es una vecindad de todos sus puntos, y por lo tanto un abierto.

Propiedades de un espacio topológico
• Compacidad
• Conectividad
• Axiomas de separación

Véase también
• Glosario de topología
• Topología

Bibliografía
• Munkres, James; Topology, Prentice Hall; 2nd edition (December 28, 1999). ISBN 0-13-181629-2.

Topología
La Topología es el estudio de aquellas propiedades de los cuerpos
geométricos que permanecen inalteradas por transformaciones
continuas.[1] Es una disciplina matemática que estudia las
propiedades de los espacios topológicos y las funciones continuas.
La Topología se interesa por conceptos como proximidad, número
de agujeros, el tipo de consistencia (o textura) que presenta un
objeto, comparar objetos y clasificar, entre otros múltiples
atributos donde destacan conectividad, compacidad, metricidad o
metrizabilidad, etcétera.

Los matemáticos usan la palabra topología con dos sentidos:
informalmente es el sentido arriba especificado, y de manera
formal se refieren a una cierta familia de subconjuntos de un
conjunto dado, familia que cumple unas reglas sobre la unión y la
intersección. Este segundo sentido puede verse desarrollado en el
artículo espacio topológico.

Ilustración del Teorema de los cuatro colores.
Idea intuitiva
Particularmente se presenta a la Topología como la "Geometría de la página de goma (chicle)". Esto hace referencia
a que en la Geometría euclídea dos objetos serán equivalentes mientras podamos transformar uno en otro mediante
isometrías (rotaciones, traslaciones, reflexiones, etc), es decir, mediante transformaciones que conservan las medidas
de ángulo, longitud, área, volumen y otras.
En topología, dos objetos son equivalentes en un sentido mucho más amplio. Han de tener el mismo número de
trozos, huecos, intersecciones, etc. En topología está permitido doblar, estirar, encoger, retorcer, etc., los objetos,
pero siempre que se haga sin romper ni separar lo que estaba unido, ni pegar lo que estaba separado. Por ejemplo, un
triángulo es topológicamente lo mismo que una circunferencia, ya que podemos transformar uno en otra de forma

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continua, sin romper ni pegar. Pero una circunferencia no es lo mismo que un segmento, ya que habría que partirla (o
pegarla) por algún punto.
Ésta es la razón de que se la llame la "Geometría de la página de goma", porque es como si estuviéramos estudiando
Geometría sobre un papel de goma que pudiera contraerse, estirarse, etc.
Un chiste habitual entre los topólogos (los matemáticos que se dedican
a la topología) es que «un topólogo es una persona incapaz de
distinguir una taza de una rosquilla». Pero esta visión, aunque muy
intuitiva e ingeniosa, es sesgada y parcial. Por un lado, puede llevar a
pensar que la topología trata sólo de objetos y conceptos geométricos,
siendo más bien al contrario, es la geometría la que trata con un cierto
tipo de objetos topológicos. Por otro lado, en muchos casos es
imposible dar una imagen o interpretación intuitiva de problemas
topológicos o incluso de algunos conceptos. El intentar visualizar los
conceptos es un error frecuente entre los principiantes en la topología,
que les hace avanzar muy lentamente cuando no pueden encontrar un
ejemplo gráfico, tener una visión parcial de algunos conceptos, e Una taza transformándose en una rosquilla (toro).
incluso incurrir en errores. Es frecuente entre los estudiantes
primerizos escuchar que "no entienden la topología" y que no les gusta esa rama; generalmente se debe a que se
mantienen en esta actitud gráfica. Por último, la topología se nutre también en buena medida de conceptos cuya
inspiración se encuentra en el Análisis matemático. Se puede decir que casi la totalidad de los conceptos e ideas de
esta rama son conceptos e ideas topológicos.

Un ejemplo clarificador
Observemos un antiguo plano del metro de Madrid. En él están
representadas las estaciones y las líneas de metro que las unen, pero no
es geométricamente exacto. La curvatura de las líneas de metro no
coincide, ni su longitud a escala, ni la posición relativa de las
estaciones... Pero aun así es un plano perfectamente útil. Sin embargo,
este plano es exacto en cierto sentido pues representa fielmente cierto
tipo de información, la única que necesitamos para decidir nuestro
camino por la red de metro: información topológica.

Historia de la Topología
Históricamente, las primeras ideas topológicas conciernen al concepto
de límite y al de completitud de un espacio métrico, y se manifestaron
principalmente en la crisis de los inconmesurables de los pitagóricos,
ante la aparición de números reales no racionales. El primer
acercamiento concreto al concepto de límite y también al de integral
aparece en el método de exhaución de Arquímedes. La aparición del Plano del metro de Madrid.

Análisis Matemático en el siglo XVII puso en evidencia la necesidad
de formalizar el concepto de proximidad y continuidad, y la incapacidad de la Geometría para tratar este tema. Fue
precisamente la fundamentación del Cálculo Infinitesimal, así como los intentos de formalizar el concepto de
variedad en Geometría lo que llevó a la aparición de la Topología, a finales del siglo XIX y principios del XX.

Se suele fechar el origen de la Topología con la resolución por parte de Euler del problema de los puentes de
Königsberg, en 1735. Ciertamente, la resolución de Euler del problema utiliza una forma de pensar totalmente

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topológica, y la solución del problema nos lleva a la característica de Euler, el primer invariante de la Topología
Algebraica, pero sería muy arriesgado y arbitrario fechar en ese momento la aparición de la Topología. La situación
es exactamente análoga a la del cálculo del área de la elipse por Arquímedes.
El término topología fue usado por primera vez por J. B. Listing, en 1836 en una carta a su antiguo profesor de la
escuela primaria, Müller, y posteriormente en su libro Vorstudien zur Topologie (Estudios previos a la topología),
publicado en 1847. Anteriormente se la denominaba analysis situs. Maurice Fréchet introdujo el concepto de espacio
métrico en 1906.

Algo de desarrollo formal
En el artículo Glosario de topología se encuentra una colección de términos topológicos con su significado. Aquí y
ahora nos limitaremos a dar algunas nociones básicas.
Como hemos dicho, el concepto fundamental de la Topología es la "relación de proximidad", que puede parecer
ambigua y subjetiva. El gran logro de la Topología es dar una formulación precisa, objetiva y útil de este concepto.
Para ello tomamos un conjunto de referencia , que será el ambiente en el que nos moveremos, y al que
llamaremos espacio. Tomaremos un elemento cualquiera de . A los elementos del espacio se les llama puntos,
así que será llamado punto, independientemente de que sea una función, un vector, un conjunto, un ideal
maximal en un anillo conmutativo y unitario... Un subconjunto de será un entorno de si es elemento de
y existe un conjunto abierto de manera que esté incluido en . ¿Qué entenderemos por conjunto abierto?
Aquí está el quid de la cuestión: una colección de subconjuntos de se dirá que es una topología sobre si
es uno de los elementos de esa colección, si es un elemento de la colección, si la unión de elementos de la
colección da como resultado un elemento de la colección y si la intersección finita de elementos de la colección
también es un elemento de la colección. A los elementos de la colección se les denomina abiertos de la topología
, y al par se le denomina espacio topológico.
Las condiciones para que sea topología sobre son entonces estas:

Puede parecer extraño que de una definición tan altamente formal y conjuntista se obtenga una formulación precisa
del concepto de proximidad. Lo primero que se observa es que sobre un mismo espacio se pueden definir
distintas topologías, generando entonces distintos espacios topológicos. Por otra parte, precisamente la manera en
que quede determinada una topología sobre un conjunto (es decir, la elección del criterio que nos permita decidir si
un conjunto dado es o no abierto) es lo que va a dar carácter "visualizable" o no a ese espacio topológico.
Una de las maneras más sencillas de determinar una topología es mediante una distancia o métrica, método que sólo
es aplicable en algunos casos (si bien es cierto que muchos de los casos más intersantes de topologías en la
Geometría y del Análisis Matemático pueden determinarse mediante alguna distancia). Una distancia sobre un
conjunto es una aplicación que verifica las siguientes propiedades:
;

si y sólo si ;

cualesquiera que sean .
Si tenemos definida una distancia sobre , diremos que la pareja

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es un espacio métrico. Dado un espacio métrico , queda determinada una topología sobre en la que los
conjuntos abiertos son los subconjuntos de tales que cualquiera que sea el punto de existe un número
de tal manera que el conjunto está totalmente incluido en . Al conjunto
se le denomina bola abierta de centro y radio , y será precisamente un entorno del
punto .
Como se ha apuntado antes, por desgracia no toda topología proviene de una distancia, es decir, existen espacios
topológicos que no son espacios métricos. Cuando un espacio topológico es además espacio métrico (esto es, cuando
dada una topología sobre un conjunto, puede definirse en ese conjunto una distancia de manera que la topología
generada por la distancia coincida con la topología dada) se dice que el espacio topológico es metrizable. Un
problema clásico en Topología es el de determinar qué condiciones debe satisfacer un espacio topológico para que
sea metrizable.

Ramas de la Topología
Se suelen considerar principalmente tres ramas:
• la Topología General o Conjuntista,
• la Topología Algebraica y
• la Topología Diferencial.
Además de estas tres ramas, que podríamos decir propiamente topológicas, la implicación en mayor o menor medida
en otras disciplinas matemáticas hacen que muchos consideren parte de la Topología al Análisis Funcional, la Teoría
de la Medida, la Teoría de Nudos (parte de la Topología de dimensiones baja), la Teoría de Grupos Topológicos, etc.
Es fundamental su contribución a la Teoría de Grafos, Análisis Matemático, Ecuaciones Diferenciales, Ecuaciones
Funcionales, Variable Compleja, Geometría Diferencial, Geometría Algebraica, Álgebra Conmutativa, Estadística,
Teoría del Caos, Geometría Fractal... Incluso tiene aplicaciones directas en Biología, Sociología, etc.

Topología General o Conjuntista
Constituye la base de los estudios en Topología. En ella se desarrollan tópicos como lo que es un espacio topológico
o los entornos de un punto.

Conceptos fundamentales referidos a la topología de un conjunto

Topología, espacio topológico, abiertos, cerrados, subespacios
Sea un conjunto cualquiera y el conjunto de sus partes. Una topología sobre es un conjunto
que cumpla que , , si entonces , y que si
entonces . A los elementos de se les denomina conjuntos abiertos. Al par se le
denomina espacio topológico. A los elementos de se les suele denominar puntos.
Nótese que desde un primer momento hemos especificado que el conjunto es cualquiera, no necesariamente un
conjunto de naturaleza geométrica. La denominación de espacio (topológico) y de punto se mantiene aun cuando
sea un conjunto de números, de funciones, de ecuaciones diferenciales, de figuras geométricas, de vectores, de
conjuntos...
Como puede observarse, la definición es muy formal y general, y lo primero que se observa es que sobre un mismo
conjunto pueden darse multitud de topologías distintas. Así es. Pero de momento, los conceptos de conjunto abierto
en o en o cumplen las condiciones exigibles a una topología. Es precisamente el comprobar que otras
familias de conjuntos en otros conjuntos de naturaleza no geométrica que comparten estas mismas propiedades
(como en el conjunto de soluciones de una ecuación diferencial, o el conjunto de los ceros de los polinomios con
coeficientes en los ideales en un anillo conmutativo, por ejemplo) lo que motiva esta definición. Así podremos

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aplicar a estos conjuntos las mismas (o parecidas) técnicas topológicas que aplicamos a los abiertos del plano, por
ejemplo. La situación es análoga a la que se da en Álgebra Lineal cuando se pasa de trabajar en o a trabajar en
espacios vectoriales arbitrarios.
En lo que sigue, representará siempre un espacio topológico.
Ligado al concepto de conjunto abierto está el de conjunto cerrado. Un conjunto se dice que es cerrado si
su complementario es un conjunto abierto. Es importante observar que un conjunto que no es abierto no
necesariamente ha de ser cerrado, y un conjunto que no sea cerrado no necesariamente ha de ser abierto. Así, existen
conjuntos que son abiertos y cerrados a la vez, como , y pueden existir conjuntos que no sean ni abiertos ni
cerrados.
Es inmediato comprobar que la intersección de cerrados es un conjunto cerrado, que la unión de una cantidad finita
de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado, y que tanto como son conjuntos cerrados.
Si , el conjunto es una topología para . Se dirá entonces que el espacio
es subespacio topológico del .
La noción de subespacio topológico se presenta de manera natural, y es el concepto análogo al de subgrupo en
Teoría de Grupos o al de subespacio vectorial en Álgebra Lineal.
Una propiedad relativa a espacios topológicos se dice que es hereditaria cuando si un espacio la tiene, entonces
también la tiene cualquiera de sus subespacios.

Base de una topología, entornos, bases locales, axiomas de numerabilidad
Una familia se dice que es base (de la topología ) si para cualquiera que sea el existe un
conjunto de manera que .
No siempre es cómodo trabajar con una topología. A veces resulta más complicado establecer una topología que una
base de topología (como en espacios métricos). En cualquier caso, una base es una manera muy cómoda de
establecer una topología. Aún más sencillo es establecer una subbase, que es una familia de conjuntos para la que el
conjunto de sus intersecciones finitas forma una base de topología. Uno de los casos más importantes de topología,
la de los espacios métricos, viene dado por una base, la del conjunto de bolas abiertas del espacio.
Un espacio topológico se dice que cumple el Segundo Axioma de Numerabilidad (IIAN) si existe alguna base de su
topología que tenga cardinalidad numerable.
Sea un conjunto cualquiera y sea un punto arbitrario. Se dice que es entorno de si existe
un conjunto abierto de manera que . Todo conjunto abierto es entorno de todos sus puntos. Al
conjunto de todos los entornos de un punto se le denomina sistema de entornos de .
Obsérvese que no se ha exigido que un entorno sea un conjunto abierto. Los entornos abiertos son un tipo de
entornos muy útiles (sobre todo en Geometría y Análisis) y muy usados, tanto que en muchas ocasiones se omite el
calificativo abierto. Esto es un abuso de lenguaje y debe evitarse.
Una colección de entornos de un mismo punto x se dice que es una base de entornos (o base local) de si
dado cualquier entorno de existe un de manera que .
Se dice que un espacio topológico cumple el Primer Axioma de Numerabilidad (IAN) si cada punto del espacio tiene
alguna base local de cardinal numerable.

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Subconjuntos notables asociados a un conjunto
Ahora podemos establecer una serie de definiciones de gran importancia, pues serán las piezas básicas del estudio de
la topología y constituirán la materia prima de los conceptos posteriores.

Interior, exterior, frontera
Un punto se dirá que es un punto interior de si es entorno de . Así, el conjunto de los puntos
interiores a A es un conjunto abierto, denominado Interior de A, denotado por Int (A) o también como . Es el
mayor conjunto abierto incluido en A.
Un punto se dirá que es un punto exterior a si es entorno de . Así mismo, el conjunto de
los puntos exteriores a es otro conjunto abierto, denominado Exterior de A y denotado por Ext (A).
Un punto se dice que es un punto frontera de si todo entorno de es tal que y
. Al conjunto de los punto frontera de se le denomina Frontera de A y se denota por
Fr(A). En otras palabras, todo entorno con centro en z tendrá elementos pertenecientes al conjunto y otros
elementos fuera del conjunto . La frontera de es un conjunto cerrado.

Adherencia, acumulación, puntos aislados
Un punto se dice que es un punto de adherencia de si todo entorno de es tal que
. Se hace pues evidente que todo punto interior y todo punto frontera es punto de adherencia. Al conjunto de los
puntos de adherencia del conjunto se le denomina adherencia o clausura de , y se denota por o por
. La clausura de un conjunto es un conjunto cerrado, y es el menor conjunto cerrado que contiene al conjunto.
Un punto se dice que es un punto de acumulación de si todo entorno de es tal que
. Al conjunto de los puntos de acumulación de un conjunto se le denomina acumulación
del conjunto, o conjunto derivado, y se le denota por o por .
Un punto se dice que es un punto de -acumulación de si todo entorno de es tal que
es un conjunto infinito. Al conjunto de los puntos de -acumulación de un conjunto se le
denomina -acumulación del conjunto, o conjunto -derivado, y se le denota por o por . Todo punto
de -acumulación es punto de acumulación, y todo punto de acumulación es punto de adherencia del mismo
conjunto.
Un punto se dice que es un punto aislado de si existe algún entorno perforado de (es decir, un
conjunto de manera que es un entorno de ) de manera que . Al conjunto de
los puntos aislados de se le denomina conjunto de los puntos aislados de , y se le denota por . Todo
punto aislado es punto frontera y también es punto de adherencia del mismo conjunto.
En Topología son de una importancia capital los conjuntos interior y clausura de un conjunto. Su importancia radica
en ser, respectivamente, el mayor abierto contenido en el conjunto y el menor cerrado que contiene al conjunto. El
interior puede obtenerse también como la unión de todos los abiertos contenidos en el conjunto, y la clausura como
la intersección de todos los cerrados que contienen al conjunto. Sin tanta importancia en Topología pero de mucha en
otras áreas de la Matemática son los conjuntos de acumulación, frontera y de los puntos aislados de un conjunto.

Conceptos fundamentales referidos a aplicaciones continuas y convergencia

Convergencia
La idea de la convergencia es la de "aproximar" un objeto por otro, es decir, sustituir un objeto por otro que está
próximo a él. Evidentemente, al hacerlo así se está cometiendo un error, error que en general dependerá de lo
próximo que se encuentre el objeto sustituido del objeto sustituto. Para hacer esta sustitución de una manera
sistemática, de forma que el error pueda ser elegido arbitrariamente pequeño, aparecen distintos tipos de conjuntos.
Se obtiene así un proceso de sucesivas aproximaciones que, si todo va bien, terminarían llevándonos al objeto,

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aunque fuese después de un número infinito de aproximaciones. El más sencillo de estos conjuntos es una sucesión,
es decir, una colección infinita (numerable) y ordenada de objetos, aunque con el mismo carácter de orden hay otros
conjuntos que reflejan mejor el concepto de convergencia.
Es importante observar que la Topología no trabaja con errores ni con aproximaciones. Eso entra en el ámbito del
Análisis Numérico e incluso del Análisis Matemático. La Topología lo que hace en este problema es aportar las
herramientas básicas y los conceptos teóricos para afrontar correctamente el problema, siempre desde un punto de
vista conceptual y cualitativo. Estudia qué es lo que debe entenderse cuando decimos que un conjunto (como puede
ser una sucesión) se acerca a un objeto (que puede ser un punto, un conjunto, etcétera).

Convergencia de sucesiones
Una sucesión es una aplicación en un conjunto cuyo dominio es el conjunto de los números naturales. En particular,
una sucesión en un espacio topológico es una aplicación .
Una sucesión es el caso más sencillo de aplicación de dominio infinito.
Se dice que es un punto límite de la sucesión , o bien que converge al punto , si se
cumple que, cualquiera que sea el entorno de existe un número natural de tal manera que si es otro
número natural mayor o igual que (o sea, ) entonces se cumple que .
Hay que hacer dos observaciones sobre esto:
• En primer lugar, puede darse el caso de que la sucesión no tenga puntos límites, o incluso que tenga más de un
punto límite. Al conjunto de puntos límites de una sucesión se le denomina límite de (y se le
denota por , o también por ).
• En segundo lugar, la interpretación de este concepto es la siguiente: tan cerca como queramos de un punto límite
podemos encontrar a todos los puntos de la sucesión, excepto a lo más a una cantidad finita de ellos (que podrá o
no ser muy grande, pero no deja de ser finita).
Un punto es punto de aglomeración de la sucesión si cualquiera que sea el entorno de se
cumple que el conjunto es infinito. Todo punto límite es punto de aglomeración, pero el
recíproco no es cierto. Por ejemplo, los límites de oscilación de una sucesión no convergente de números reales
(como por ejemplo la sucesión ) son puntos de aglomeración, pero no son puntos límites (no existe

límite para dicha sucesión, mientras que 1 y -1 son puntos de acumulación).

Continuidad de aplicaciones
Otro concepto totalmente fundamental estudiado en esta rama es el de aplicación continua. Una aplicación
entre dos espacios topológicos se dice que es continua si dado cualquier conjunto abierto en ,
el conjunto es un conjunto abierto en .
Con la misma notación, si , diremos que es continua en cuando se obtiene que es un
entorno de , cualquiera que sea el entorno de .
Es inmediato entonces comprobar que es continua cuando y sólo cuando es continua en , cualquiera que
sea éste, es decir, cuando y sólo cuando sea continua en cada uno de los puntos de su dominio.
Informalmente hablando, una aplicación es continua si transforma puntos que están cerca en puntos que están cerca,
es decir, si respeta la "relación de cercanía". Esto además quiere decir que una función continua no "rompe" los que
está unido y no "pega" lo que está separado.

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Conjuntos conexos, conexos por caminos y arco-conexos
Un conjunto se dice que es conexo si no puede expresarse como unión de dos abiertos disjuntos no vacíos.
Un conjunto se dice que es conexo por caminos si todo par de puntos puede unirse mediante un camino, esto es,
continua de tal manera que y . Todo conjunto conexo
por caminos es conexo, pero no todo conjunto conexo es conexo por caminos.
Estos conjuntos están "hechos de una pieza" (los conexos) o "hechos de manera que no tienen piezas totalmente
sueltas" (los conexos por caminos). Naturalmente esto es sólo una manera de interpretarlos. Las piezas de un
conjunto (los mayores subconjuntos conexos que contiene el conjunto) se denominan "componentes conexas". Por
ejemplo, un puñado de arena sería un conjunto en el que las componentes conexas son cada granito de arena. Un
espejo roto sería un conjunto en el que cada trozo de espejo es una componente conexa. Una bola de hierro es un
conjunto con una sola componente conexa, es decir, un conjunto conexo. Una rejilla también es un conjunto conexo,
formado por una sola componente conexa.
Existe otra noción de conexión, la conexión por arcos o arco conexión ligeramente más restrictiva que la conexión
por caminos. Se exige que el camino sea un homeomorfismo sobre su imagen. Aun así, la conexión por arcos y por
caminos coinciden sobre los espacios de Haudorff.

Compacidad
Los conjuntos compactos son un tipo de conjunto mucho más difíciles de definir. En el espacio euclidiano un
conjunto es compacto si cumple dos condiciones: es "cerrado", es decir contiene a todos sus puntos frontera; y es
"acotado", es decir es posible trazar una bola que lo contenga. La compacidad es una propiedad muy importante en
Topología, así como en Geometría y en Análisis Matemático.

Metrización
Una topología sobre un conjunto es metrizable si es posible encontrar una distancia de forma que los abiertos para
esa distancia sean exactamente los abiertos de la topología de partida. La metrizabilidad es también una propiedad
muy deseable en un espacio topológico, pues nos permite dar una caracterización muy sencilla de los abiertos de la
topología, además de implicar otras ciertas propiedades.

Separación
Las propiedades de separación son ciertas propiedades, cada una un grado más restrictiva que la anterior, que nos
indican la "resolución" o "finura del grano" de una topología. Por ejemplo, la propiedad de separación T2 significa
que para dos puntos distintos siempre pueden encontrarse entornos disjuntos (es decir que no se cortan).

Densidad
Un conjunto es denso en el espacio si está "cerca de todos los puntos" de ese espacio. De manera más precisa, un
conjunto es denso si su clausura es todo el espacio. Un conjunto se dice que es separable si tiene algún subconjunto
denso y numerable.

Topología producto y Topología cociente
La topología producto nos proporciona una manera de dotar de una topología al producto cartesiano de varios
espacios topológicos, de tal manera que se conserven buenas propiedades, en particular que las proyecciones sobre
cada factor sean aplicaciones continuas y abiertas. La topología cociente nos proporciona una manera de dotar de una
topología al cociente (espacio de clases) de un espacio por una relación de equivalencia, de manera que tenga el
mayor número posible de conjuntos abiertos y sin embargo la proyección sea continua (es decir la imagen recíproca
de cada abierto sea un abierto).

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Topología Algebraica
La Topología Algebraica estudia ciertas propiedades relacionadas con la conexión de un espacio, propiedades que
podríamos describir como la "porosidad" de un espacio, la cantidad de boquetes que presenta. Para ello se vale de
instrumentos algebraicos, fundamentalmente la Teoría de Grupos y el Álgebra Homológica, hasta tal punto que su
desarrollo es totalmente algebraico.
En la Topología Algebraica se consideran una gran diversidad de problemas incluidos en la Teoría de nudos por
ejemplo, o en la Teoría de Homotopías y la Teoría de Homología.
Para comprender sucintamente estas cuestiones, volvamos a los ejemplos de conjuntos conexos. Según hemos dicho,
una rejilla, una bola de hierro o una esponja son conjuntos conexos. Sin embargo todos entendemos que parece que
no tienen el mismo "grado de conexión", por expresarlo de alguna manera. Mientras que una bola de hierro es
maciza, una esponja y una rejilla tienen agujeros, e incluso parece claro que entre estos hay también una cierta
diferencia. La Homotopía y la Homología tratan estas cuestiones.

Notas
[1] Stewart, Ian: Conceptos de matemática moderna. Alianza Universidad, 1988. p. 171.

Véase también
• Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.
• Espacio topológico
• Banda de Möbius
• Botella de Kaluza-Klein
• Nudo borromeo
• Problema de los puentes de Königsberg
• Topología cociente
• Topología diferencial
• Topología geométrica
• Topología cuántica
• Glosario de topología
• Matemáticas del origami

Enlaces externos
• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Topología.Commons
• Wikcionario tiene definiciones para topología.Wikcionario
• Wikiquote alberga frases célebres de o sobre los Topólogos. Wikiquote
• Wikiversidad alberga proyectos de aprendizaje sobre Topología.Wikiversidad
• http://www.ehu.es/~mtwmastm/sigma20.pdf Macho Stadler, Marta: ¿Qué es la topología?
• http://rinconmatematico.com/chamizo/APtopo.pdf La Topología... no es tan difícil.
• http://topologia.wordpress.com Juegos topológicos.

Banda de Möbius 12

Banda de Möbius
La banda de Moebius o cinta de Moebius (pronunciado /ˈmøbiʊs/ o en español a menudo "moebius") es una
superficie con una sola cara y un solo borde, o componente de contorno. Tiene la propiedad matemática de ser un
objeto no orientable. También es una superficie reglada. Fue co-descubierta en forma independiente por los
matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing en 1858.

Construcción de una cinta de Möbius
Para construirla, se toma una cinta de papel y se pegan los extremos
dando media vuelta a uno de ellos.
Se parte de una cinta cerrada de dos componentes en la frontera (un
cilindro ), se hace un corte (entre las dos fronteras), se gira
180° uno de los extremos y se vuelve a pegar.
Banda de Moebius conformada con una cinta de
papel, cuyos extremos se han unido girándolos.

Propiedades
La banda de Möbius posee las siguientes propiedades:
• Tiene sólo una cara:
Si se colorea la superficie de una cinta de Möbius, comenzando por la
"aparentemente" cara exterior, al final queda coloreada toda la cinta,
por tanto, sólo tiene una cara y no tiene sentido hablar de cara interior
Banda de Moebius.
y cara exterior (véase en la imagen).
• Tiene sólo un borde:
Se puede comprobar siguiendo el borde con un dedo, apreciando que
se alcanza el punto de partida habiendo recorrido "ambos bordes", por
tanto, sólo tiene un borde.
• Esta superficie no es orientable:
Una persona que se desliza «tumbada» sobre una banda de Möbius,
mirando hacia la derecha, al dar una vuelta completa aparecerá
mirando hacia la izquierda. Si se parte con una pareja de ejes
perpendiculares orientados, al desplazarse paralelamente a lo largo de
la cinta, se llegará al punto de partida con la orientación invertida.
Plot paramétrico de una banda de Möbius.

• Otras propiedades:
Si se corta una cinta de Möbius a lo largo, se obtienen dos resultados diferentes, según dónde se efectúe el corte. Si
el corte se realiza en la mitad exacta del ancho de la cinta, se obtiene una banda más larga pero con dos vueltas; y si a
ésta banda se la vuelve a cortar a lo largo por el centro de su ancho, se obtienen otras dos bandas entrelazadas pero
con vueltas. A medida que se van cortando a lo largo de cada una, se siguen obteniendo más bandas entrelazadas.[1]
Si el corte no se realiza en la mitad exacta del ancho de la cinta sino a cualquier otra distancia fija del borde,
entonces se obtienen dos cintas entrelazadas diferentes: una idéntica a la original pero más angosta y la otra con el

Banda de Möbius 13

doble de longitud y una vuelta completa.
Este objeto se utiliza frecuentemente como ejemplo en topología.

Geometría
Una forma de representar la banda de Möbius (cerrada y con frontera) como un subconjunto de es mediante la
parametrización:

donde y .
Representa una banda de Möbius de ancho unitario, cuya circunferencia central tiene radio unitario y se encuentra en
el plano coordenado x-y centrada en . El parámetro u recorre la banda longitudinalmente, mientras v se
desplaza de un punto a otro del borde, cruzando transversalmente la circunferencia central.
Con la parametrización anterior podemos obtener su curvatura gaussiana la cual es:

En coordenadas cilíndricas , se puede representar una versión sin frontera (abierta) de la banda de Möbius
mediante la ecuación:

Topología
Topológicamente, la banda de Möbius puede definirse como el cuadrado que tiene sus aristas superior e
inferior identificadas (topología cociente) por la relación para , como en el diagrama que se
muestra en la figura de la derecha.
La banda de Möbius es una variedad bidimensional (es decir, una
superficie). Es un ejemplo estándar de una superficie no orientable. La
banda de Möbius es un ejemplo elemental -también- para ilustrar el
concepto matemático de fibrado topológico.

Para transformar un cuadrado en una banda de
Möbius, unir las aristas etiquetadas con A de
manera tal que las direcciones en que las flechas
apuntan sea la misma.

Precisamente, como objeto topológico, la banda de Möbius también es considerada como el espacio total de un
fibrado no trivial teniendo como base la 1-esfera y fibra un intervalo, i.e.
<mathI-fibrados sobre la circunferencia.

Banda de Möbius 14

Objetos relacionados
Análoga a la banda de Möbius es la botella de Klein, pues también tiene sólo una superficie, donde no se puede
diferenciar "fuera" de "dentro".
Esto último significa que mientras la banda se encaja (embedding) en , la botella no.

La Banda de Möbius en el arte
El 17 de octubre de 1996, se estrenó la película Moebius,[2] [3]
realizada en Argentina. Dicha película hace referencia a la teoría de la
cinta que lleva el mismo nombre, aplicada a una supuesta red de
subterráneos de la Ciudad de Buenos Aires ampliada. Se basa en un
cuento de A. J. Deutsch, A Subway Named Moebius (1950).
Johan Sebastian Bach compuso un canon cuya partitura, al ejecutarse,
guarda semejanza con la forma de una Banda de Möbius.[4]
El libro de cuentos Queremos tanto a Glenda, del escritor argentino
Julio Cortázar, publicado en 1980, cuenta con una composición titulada Pintura mural.
Anillo de Moebius.[5]

Véase también
• Topología
• Botella de Klein

Referencias no matemáticas
[1] http:/ / www. youtube. com/ watch?v=JHSfKwhSOos
[2] Ficha técnica de Moebius la Pelicula (http:/ / www. cinenacional. com/ peliculas/ index. php?pelicula=2168)
• Ficha de Moebius en inglés (http:/ / www. imdb. com/ title/ tt0117069) y en español (http:/ / www. imdb. es/ title/ tt0117069) en Internet
Movie Database.
[4] http:/ / www. youtube. com/ v/ xUHQ2ybTejU& color1=0xb1b1b1& color2=0xcfcfcf& feature=player_embedded& fs=1
[5] Obras de Julio Cortázar (http:/ / www. sololiteratura. com/ cor/ obrasdecortazar. html)

Enlaces externos
• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Banda de Möbius. Commons
• El rincón de la Ciencia: La banda de Moebius (Möbius) (http://centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.kent/
Rincon-C/Curiosid2/rc-100/Moebius/rc-100h.htm)
• YouTube alberga contenido multimedia sobre Banda de Möbius: Experimentos con la banda de Möbius
(http://www.youtube.com/watch?v=JHSfKwhSOos).
• Banda de Möbius como un paralelepipedo (http://www.doctormugrabi.com.ar/simbanda.doc)

Botella de Klein 15

Botella de Klein
En topología, una botella de Klein es una superficie no orientable
cerrada de Característica de Euler igual a 0 que no tiene interior ni
exterior. Otros objetos no-orientables relacionados son la banda de
Möbius y el plano proyectivo real. Mientras que una banda de Möbius
es una superficie con borde, una botella de Klein no tiene borde.
Tampoco lo tiene una esfera, aunque ésta sí es orientable.

La botella de Klein fue descrita por primera vez en 1882 por el
matemático alemán Felix Klein. El nombre original del objeto no fue el
de botella de Klein (en alemán Kleins Flasche), sino el de superficie
de Klein (en alemán Kleins Fläche). El traductor de la primera
referencia al objeto del alemán al inglés confundió las palabras. Como
la apariencia de la representación tridimensional recuerda a una botella,
casi nadie se dio cuenta del error.

Construcción
Comenzamos con un cuadrado, y pegamos los bordes coloreados en el
diagrama siguiente, de modo que las flechas coincidan. Más
formalmente, la botella de Klein es el cociente del cuadrado [0,1] ×
[0,1] con sus bordes identificados por la relación (0, y) ~ (1, y) para 0 ≤
y ≤ 1, y (x, 0) ~ (1 − x, 1) para 0 ≤ x ≤ 1:
Una representación bidimensional de la Botella
de Klein inmersa en el espacio tridimensional.

Este cuadrado es el polígono fundamental de la botella de Klein.
Nótese que éste es un pegado "abstracto" en el sentido de que al tratar de hacerlo en tres dimensiones resulta una
botella de Klein que se autointersecta. La botella de Klein, propiamente dicha, no tiene autointersecciones. No
obstante, hay un modo de visualizar la botella de Klein como figura en cuatro dimensiones.

Botella de Klein 16

Para ello, pegamos las flechas rojas del cuadrado, (lados derecho e izquierdo) resultando un cilindro. Para pegar los
extremos de manera que las flechas de los círculos coincidan, pasamos un extremo por el lado del cilindro. Nótese
que esto crea una autointersección circular. Esta es una inmersión de la botella de Klein en tres dimensiones.

Añadiendo una cuarta dimensión al espacio tridimensional, conseguimos que la botella pase a través de sí misma sin
necesidad de un agujero. Para ello empujamos suavemente un trozo de tubo que contenga la intersección fuera del
espacio tridimensional original. Una analogía útil es considerar una curva que se autointerseca en el plano; las
intersecciones se pueden eliminar levantando una línea fuera del mismo.
Esta inmersión es útil para visualizar muchas propiedades de la botella de Klein. Por ejemplo, no tiene borde (donde
la superficie se detenga abruptamente), y no es orientable, al tener su inmersión una sola cara.

Una botella de Klein soplada a mano

Botella de Klein 17

Como fibrado
Esta superficie (simbolizada por ) puede considerarse como el espacio total de un fibrado (no trivial) sobre el
círculo donde la fibra es también un círculo, i.e. . En contraste el toro también es un fibrado, pero
es trivial, esto es .

Sección
Seccionando una botella de Klein en dos mitades a lo largo de su plano
de simetría resultan dos bandas de Möbius, cada una imagen especular
de la otra. Una de ellas es la imagen de la derecha. Recuerde que la
intersección de la imagen no está realmente allí. De hecho, también es
posible cortar la botella de Klein en una única banda de Möbius.

Otro concepto con el mismo nombre
En la geometría algebraica, una superficie de Klein, que se diferencia
de la botella de Klein, es el similar de una superficie de Riemann en el
sentido de que una superficie de Klein admite una estructura
di-analítica, es decir una estructura analítica que adiciona una posible
función de transición a una estructura analítica -consistente en la
conjugación compleja- determina una que es anti-analítica.
La sección de una botella de Klein en bandas de
Möbius.

Véase también
• Topología
• Topología algebraica
• Topología cociente
• Banda de Möbius
• Toro

Referencias
Para el concepto de Klein surfaces [1]

Enlaces externos
• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Botella de Klein. Commons
• Ejemplos de Botellas de Klein construidas en vidrio [2]
• video de la Botella de Klein [3] [4]
• Torus Games [5] Juegos de descarga gratuita para Windows y Mac OS sobre las topologías del toro y de la botella
de Klein (en español)

Botella de Klein 18

Referencias
[1] http:/ / www. zentralblatt-math. org/ zmath/ en/ search/ scans. html?volume_=225& count_=158
[2] http:/ / www. kleinbottle. com/ index. htm
[3] http:/ / www. youtube. com/ watch?v=sRTKSzAOBr4& fmt=22
[4] http:/ / www. klein-bottle. com/
[5] http:/ / www. geometrygames. org/ TorusGames/ index. html. es

Fuentes y contribuyentes del artículo 19

Fuentes y contribuyentes del artículo
Espacio topológico Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=42721768 Contribuyentes: 6cR, Dodo, Dreitmen, Egaida, Elwikipedista, Farisori, Gato ocioso, GermanX, Ivn, Janus,
Joseangelmadrid, Joseaperez, Juan Mayordomo, Karv, Kuartas, Lauranrg, LeCire, Moriel, Romero Schmidtke, Sabbut, Usuwiki, Vivero, Xidane, 23 ediciones anónimas

Topología Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=44501337 Contribuyentes: .José, 217-125-87-113.uc.nombres.ttd.es, Adrruiz, AldanaN, Alexav8, AlfonsoERomero, Andre Engels,
Aracne, Arcibel, Brion VIBBER, Cookie, Daniarmo, Diegusjaimes, Digigalos, Dodo, Drake 81, Fermar, Fibonacci, Fmariluis, Fmercury1980, Furti, Garber, Gato ocioso, GermanX, HUB,
Halcón, HiTe, Ingenioso Hidalgo, Ivn, JMCC1, Jarisleif, Javierito92, Jorge c2010, JorgeGG, Joseaperez, Josetomas2008, Juan Marquez, Kerny65, Kevineitor, Lugowii, Lumen, Maldoror,
Matdrodes, Maveric149, Moriel, NicolasAlejandro, Petruss, Proferichardperez, Rovnet, RoyFocker, Sanbec, Seraphita, Smontero, Tano4595, Tony Rotondas, Tostadora, Tzihue, Veronoa,
Wadim, Wewe, Xavigivax, Xtquique, Yeza, conversion script, 147 ediciones anónimas

Banda de Möbius Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=43937535 Contribuyentes: -jem-, .José, Alexav8, AstroNomo, Camilolv29, Cristianjos, Digigalos, Emijrp, Ener6,
Fernandopcg, Filius Rosadis, Francisco J. de Anda, Galois76, Georhaim, GermanX, Grillitus, Guevonaso, Ignacioerrico, JMCC1, Jism78, Juan Marquez, Kokoo, Lexos, LordT, Mayofranchute,
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Botella de Klein Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=43669282 Contribuyentes: .José, Adama, Bit, DMG, Diegusjaimes, Digigalos, Dodo, GermanX, Gusgus, Jorge.balaguer,
Juan Marquez, Leandroidecba, LordT, Lucagali, Mathemamovies, Mig21bp, Muro de Aguas, Piolinfax, R2D2!, Rondador, Tano4595, Template namespace initialisation script, Wewe, 18
ediciones anónimas

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 20

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes
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