1. RELACIONES
Lic. Clara Grinblat

2. PRODUCTO CARTESIANO
Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos
conjuntos A y B es el conjunto de todos los pares
ordenados (x, y) donde x є A e y є B. En símbolos
A x B = {(x, y) / x є A y є B }
Ejemplo: Sean A = {1, 2, 3} y B = {5, 6}
A x B consta de los 6 pares de la lista
(1, 5) (2, 5) (3, 5)
(1, 6) (2, 6) (3, 6)

3. PRODUCTO CARTESIANO
Para representar gráficamente el producto cartesiano utilizaremos la
representación cartesiana que consiste en trazar ejes perpendiculares; en el eje
horizontal colocaremos los elementos del conjunto A y en el eje vertical los
elementos del conjunto B, los elementos del producto cartesiano los forman los
puntos de intersección que se obtienen al trazar por los elementos del conjunto A
paralelas al eje vertical y por los elementos del conjunto B paralelas al eje
horizontal. Ejemplo: La representación gráfica de los pares de
A B ={(1, 5), (2, 5),(3, 5),(1, 6),(2, 6),(3, 6) }
B
6
5
1 2 3 A

4. 1) ¿ A x B = B x A?
No son iguales ...
Por ej. si A = {a, b, c}, B = {1, 2}
A x B = { (a,1), (a,2), (b,1), (b, 2), (c, 1), (c,2) }
B x A = { (1,a), (1,b), (1,c), (2, a), (2, b), (2,c) }
2)Si A y B son finitos el número de elementos de
A x B es llamado cardinal de A x B y denotado por
AxB
AxB = A . B
Además A . B = B . A = BxA
Entonces AxB = BxA

5. PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS DE INFINITOS
ELEMENTOS
A={x R/-2 x 3} y
B ={x R/-1 x 2}
No podemos enlistar los
elementos de AxB pero
tenemos en el rectángulo
sombreado de azul todos
los elementos (puntos) del
mismo.

6. Producto cartesiano
A={x R/-2 x 3} y
B ={x R/-1 x 2}
Los puntos del rectángulo
en rosa constituyen el
producto cartesiano
BxA

7. EJEMPLO
Sean A = {1, 2, 3} y B = {0, 1, 2, 3}. Entonces
A x B={(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0).(3,1),(3,2),(3,3)}
Consideremos el siguiente subconjunto de AxB
R = { (a, b) AxB/ a+b 3}
B
3 Nos interesan algunos
subconjuntos del
2 producto cartesiano
1
0
1 2 3 A

8. RELACIONES BINARIAS
Dados dos conjuntos A y B, una relación R
binaria es cualquier subconjunto de AxB
R⊆A×B
Notación: Si a∈A y b∈B, para decir que a está
relacionado con b por R escribimos:
(a,b)∈R o aRb
Si a no está relacionado con b, entonces
(a,b)∉R
Si B=A, se dice que R es una relación binaria
definida en A . Escribimos R ⊆ A × A

9. EJEMPLOS
Sea R definida en N por medio de R={(x,y)/x es el doble de y}
Algunos elementos de la relación son:
( 2 ,1 ) , (4, 2) , ( 10, 5) , (20,10) , (100,50), etc
R={(x,y)/x divide a y} NxN
Entonces: 1 R 2, 2 R 2, 2 R 6, 2 R 18,
3 R 18, 3 R 21, 3 R 3, ....

10. DISTINTAS FORMAS DE REPRESENTAR
RELACIONES:
-
Matriz Booleana: MR: Hay 1 en la matriz si el par
está en la relación y cero si no está.
Digrafo: Si aRb, de a parte una flecha hacia b

11. RELACIONES CON NOTACIÓN MATRICIAL
Ejemplo: La matriz del producto cartesiano tiene
Sea U = {a, e, i, o, u}, en todas las filas 1 porque todos los
A = {a, o} y B = { i, u} pares ordenados están en la relación.
A x B= {(a,i), (a,u), (o,i), (o,u)} a R4 i, a R4 u, o R4 i, o R4 u
Son relaciones de A en B:
 R1= Ø La matriz de R2 tiene 1 en la primera fila
porque corresponde al elemento a de A
1 1 que se relaciona con los dos elementos i,
 R2 = {(a,i), (a,u)} MR 2
0 0 u de B; a R2 i, a R2 u y ceros en la
segunda fila porque el elemento o de A no
 R3 = {(a, i) } 1 0
se relaciona con ningún elemento de B en
MR 3
0 0 R2
 R4 = A x B 1 1
MR 4
1 1

12. DEFINICIONES:
Sea R una relación binaria sobre un conjunto A. Diremos
que R es:
Reflexiva: si x є A se verifica que x R x
Simétrica: si x, y є A se verifica que x R y y R x
Transitiva: si x, y, z є A se verifica que x R y, y R z x
Rz
Antisimétrica: si x, y є A se verifica que x R y, y R x x
=y
Otra manera de expresarlo: Si x≠y [ (x,y) ∉ R v (y,x)
∉R]

13. EJEMPLOS:
1) En N, “x R y ⇔ x divide a y”
es reflexiva ya que ∀x∈N, x R x porque x divide a x
2) En N, “a R b ⇔ a es el doble de b”.
no es reflexiva ya que (1,1)∉R ya que 1 no es el doble de 1
3) En Z, “a R b ⇔ a – b es múltiplo de 2”.
es simétrica ya que si a R b ⇒ p ∈ Z tal que a – b =2p
b – a = 2(-p) con -p ∈ Z ⇒ b R a
4) En N, “x R y ⇔ x divide a y”
no es simétrica ya que 2 R 4 porque 2 divide a 4 pero 4 no
divide a 2 por lo tanto (4,2) ∉R

14. EJEMPLOS:
5) En N, “x R y ⇔ x divide a y” es transitiva ya que si a R b y b R
c entonces existen n, m ∈N tales que: b = an y c = bm.
Combinándolas, c = bm = (a.n).m= a(n.m) con n.m ∈N ⇒ a R
c
6) En N, “a R b ⇔ a es el doble de b” no es transitiva ya que (4,
2) ∈ R y (2, 1) ∈ R puesto que 4 es el doble de 2 y 2 es el
doble de 1, sin embargo 4 no es el doble de 1, de donde
(4,1)∉R
7) En N, “x R y ⇔ x divide a y” es antisimétrica ya que si a R b y
b R a entonces existen n, m ∈N tales que: b = an y a = bm.
Combinándolas, a = bm = (a.n).m ⇒ n.m = 1 ⇒ n=m=1 ⇒ a=b

15. RESUMEN
Reflexiva: se satisface sii ∀x ∈ A x R x
no se satisface sii ∃ x∈A/ (x,x)∉R
Simétrica:se satisface sii ∀ x, y ∈A x R y ⇒ y R x
no se satisface sii ∃ x, y ∈A / (x, y) ∈R ∧ (y, x) ∉ R
Transitiva: se satisface sii ∀x, y, z ∈ A se verifica que x R y, y R z ⇒ x
Rz
no se satisface sii ∃ x, y, z ∈A:(x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R ∧ (a,z)
∉R
Antisimétrica: se satisface sii ∀x, y ∈ A se verifica que x R y, y R x ⇒
x=y no se satisface sii ∃ x, y ∈A: (x, y) ∈ R ∧ (y, x)
∈ R ∧ x ≠y

16. ANÁLISIS DE LAS RELACIONES SEGÚN LA MATRIZ MR Y SU
GRAFO DIRIGIDO (DIGRAFO)
Sea R una relación binaria sobre un conjunto A. Diremos que R es:
Reflexiva:
 Si en la diagonal principal de la matriz MR todos los elementos son 1 (MATRIZ)
 Todo elemento tiene una flecha que comienza y termina en sí mismo (un bucle).
(DIGRAFO)
Simétrica:
 Sii MR = (MR)t : La matriz asociada a la relación coincide con su traspuesta. (MATRIZ)
 Todo par de elementos que tiene una flecha, la tiene en las dos direcciones (DIGRAFO)
Transitiva: Sea MR2 = MR x MR (Producto booleano de matrices);
 Sii el elemento de la fila i columna j de MR2 es 1 entonces el elemento de MR en la misma
posición también es 1 es decir la relación R2 es un subconjunto de R; en particular
pueden coincidir. (MATRIZ)
 La relación R es transitiva si cada vez que hay un camino de longitud 2 entre dos
elementos, también hay un camino de longitud uno entre los mismos. (DIGRAFO)
Antisimétrica :
 Sii hay 1 en la fila i columna j de MR entonces hay 0 en la misma posición de (MR)t y
viceversa, salvo en la diagonal principal. (MATRIZ)
 Sii para cada par de elementos distintos relacionados la flecha está solo en un sentido
(DIGRAFO)

17. RELACIONES DE ORDEN:
DEFINICIÓN Y NOTACIÓN
Dada una relación binaria R definida sobre A, se dice que R es una RELACIÓN
DE ORDEN en A si verifica las propiedades
– reflexiva
– antisimétrica
– transitiva
Se dice entonces que A está ordenado por R
Notación
Utilizaremos el símbolo ≤ para las relaciones de orden
aRb a≤b
Se lee a es anterior a b (menor o igual) o bien b es posterior a a (mayor o
igual)
Distintas relaciones sobre un mismo conjunto, dan lugar a distintos conjuntos
ordenados.
a, b ∈ A son comparables si a R b o b R a

18. ORDEN TOTAL Y PARCIAL
 (A, ≤) está totalmente ordenado si cualquier par de
elementos son comparables, se dice entonces que ≤ es de
orden total.
 En otro caso, se dice que
(A, ≤) está parcialmente ordenado y que ≤ es de orden
parcial.
Por ejemplo:
1) (N, ) es un conjunto totalmente ordenado.
2) Sea U = {1, 2, 3} y en P(U) = { , {1} {2} {3} {1,2} {1,3}
{2,3} {1,2,3}} se define la relación “A R B sii A B”.
 (P(U), R) no es un conjunto totalmente ordenado ya que
existen elementos tales como {1} y {2, 3} de P(U) que no
son comparables, es decir que no están relacionados .

19. EJEMPLO
En N, a ≤ b ⇔ ∃n ∈ N / b=an
Es una relación de orden ya que es:
 reflexiva: a=a1 ∀a∈N
 antisimétrica: ∀a,b∈N si a ≤ b y b ≤ a ∃ n,m ∈N / b=any
a=bm, entonces b= [bm]n=bm·n luego m·n=1 y como n,m ∈N
m=n=1, así a=b
 transitiva: ∀a,b,c∈N si a ≤ b y b ≤ c ∃ n,m ∈N /b=any c=bm,
entonces c= [an]m=an·m luego c=a n·m, si k = n.m, ∃ k∈N
/c=ak, es decir, a ≤ c

20. ELEMENTOS NOTABLES
Dados (A,≤) y C⊂A, C≠∅
 a∈A es cota superior de C si ∀c∈C, c≤a C está acotado
superiormente
– La menor de las cotas superiores es el supremo.
 a∈A es cota inferior de C si ∀c∈C, a≤c – C está acotado
inferiormente
– La mayor de las cotas inferiores es el ínfimo.
 El supremo y el ínfimo, si existen, han de ser comparables
con el resto de las cotas superiores o inferiores,
respectivamente.

21.  Dados (A,≤) y C⊂A, C≠∅
a∈C es elemento maximal de C si ∀c∈C, a≤c⇒a=c
 m∈C es máximo de C si ∀c∈C, c≤m
si existe, es el único elemento maximal de C
 a∈C es elemento minimal de C si ∀c∈C, c≤a⇒a=c.
 m∈C es mínimo de C si ∀c∈C, m≤c
si existe, es el único elemento minimal de C
ELEMENTOS NOTABLES (B)

22. ELEMENTOS NOTABLES (CONTINUACIÓN)
 Pueden existir uno, varios o ningún elemento maximal y
minimal.
 El máximo (mínimo), cuando existe, es el único elemento
maximal (minimal).
 Si en C existe supremo (ínfimo) es único.
 Si C tiene máximo (mínimo) coincide con el supremo
(ínfimo).

23. DIAGRAMAS DE HASSE:
Sea (A, R ) es un conjunto parcialmente ordenado y finito.
A cada elemento del conjunto A se le asocia un punto en el
plano (o en el espacio), que llamaremos vértice.
Un diagrama de Hasse es el gráfico resultante al unir dos
elementos consecutivos mediante un segmento de
recta, que llamaremos arista.
 Ejemplo: Sea A = {a,b,c} y la relación R
 R = {(a,a), (b,b), (c,c), (b,a), (b,c), (a,c)}
 Es de orden total.
 Su diagrama de Hasse es:

24. EJEMPLOS
1) Sea B = {1, 2}, en P(B )= { , {1}, {2}, {1,2}} se define la relación de
inclusión, la cual es de orden parcial
 {1} {1,2} y {2} {1,2}
Entonces, B es el elemento maximal y es el elemento minimal,
pues no existe otro elemento en P(B ) que esté “por debajo” del
minimal, ni “por encima” del maximal
El elemento máximo de P(B) es el elemento maximal B, el universo y el
elemento mínimo de P(B) es el conjunto vacío.
2) En el conjunto C = { , {1}, {2}} se define la relación de inclusión.
Observar que {1} y {2}.
 es el elemento minimal y es el mínimo del conjunto C y tanto
{1} como {2} son los elementos maximales. No existe elemento
máximo en C

25. DIAGRAMA DE HASSE PARA LA RELACIÓN
INCLUSIÓN EN P(B)

26. DIAGRAMA DE HASSE (CONTINUACIÓN)
Diagrama de Hasse para
A = {2, 3, 4, 6, 8, 12 } con la
relación
“(a, b) R sii a
divide a b : a|b”
Observamos que no están
relacionados:
2 con 3
4 con 6
3 con 4
La relación es de orden parcial ya
que no todo par de elementos
es comparable
Retorno

28. RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Sea A un conjunto no vacío en el conjunto Universal U.
Una relación binaria R sobre A, es una relación de equivalencia
si R satisface las tres propiedades:
 R es reflexiva
 R es simétrica
 R es transitiva
Una relación de equivalencia identifica los elementos
de un conjunto que satisfacen una misma propiedad y
los llama elementos equivalentes.

29. CLASES DE EQUIVALENCIA
Definición:
Sea R una relación de equivalencia en un conjunto A no vacío.
Sea a A, llamaremos “clase de equivalencia de a” y la
escribiremos por [a] al conjunto de todos los elementos que
están relacionados con a, es decir
[a] = { x A /xRa}
Ejemplo:
La relación R sobre Z :
aRb a – b es múltiplo de 2.
Hay dos clases de equivalencia distintas, la del 0 y la del 1:
[0] = { 0, 2, ±4, ±4,… } y [1] = { ±1, ±3, ±5,… }

30. PARTICIÓN DE UN CONJUNTO
Definición:
Sea A un conjunto no vacío. Sean Aj A y Aj , j J, J Ν
Diremos que P es una partición de A y escribimos Ρ Aj si:
Aj A y Ai  A j i, j J, i j
j J
Cada subconjunto Aj es una celda de la partición
Ejemplos:
1) Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} una partición P de A, con 3 celdas, es
P = { {1,3}, {4}, {2,5} }, donde A1={1,3}, A2={4}, A3={2,5}.
En efecto {1,3} {4}= {1,3} {2,5}= {4} {2,5}= .
Además {1,3} {4} {2,5} = {1, 2, 3, 4, 5} = A

31. CLASE DE EQUIVALENCIA
Definición:
Sea R una relación de equivalencia en A. El conjunto de las
clases de equivalencia se llama conjunto cociente de A por
R. A x/x A
/R
El conjunto cociente es una partición de A
En efecto,
 Las clases de equivalencia son disjuntas dos a dos.
 La unión de todas las celdas coincide con el conjunto A.

32. CLASE DE EQUIVALENCIA
Demostración:
1) Sean x, y A [x]= [y] [x] [y] =
i) Si x R y [x]= [y];
sea z [x] zRx xRy z R y (transitividad)
z [y], de donde [x] [y].
Razonando de manera similar se prueba que [y] [x].
Por lo tanto, [x] = [y].
ii) Si (x,y) R entonces [x] [y] = .
En efecto, si existiera z [x] [y] entonces z R x zRy
por lo tanto, x R y, lo cual es un absurdo.

33. CLASE DE EQUIVALENCIA
Demostración:
2) Veamos que A  x
x A
En efecto, si x A, como R es reflexiva, x R x x [x] x  x
x A
A  x
x A
Por otro lado, sea z tal que
z  x z x , para algún x A, zRx z A
x A
 x A
x A

34. EJEMPLOS
Relaciones de equivalencia
1) La relación R sobre (Z+)x(Z+) definida por: (x,y) R (a,b)
x+y = a+b
1) La relación R sobre 2 definida por: (x,y) R (a,b) x.y = a.b
Se puede demostrar que ambas son relaciones de equivalencia ya que
verifican las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. A
continuación veremos los conjuntos cocientes de ambas
relaciones

35. PARTICIÓN DE (Z+)X (Z+)
 Conjunto cociente de
(x,y)R(a,b) sii x+y=a+b, R
definida sobre (Z+)x (Z+); los
puntos (resaltados), unidos
por trazos pertenecen a la
misma clase de equivalencia,
esto es:
[(4;5)]={(2;7), (1;8), (3;6),
(5;4), (6;3), (7;2)}
[(2;2)]={(1;3), (3;1)}
En el gráfico vemos
 [(4;5)], [(4;4)], [(4;3)], [(4;2)],
[(4;1], [(3;1)], [(1;2)]

36. PARTICIÓN DE 2
 (x,y)R(a,b) sii x.y=a.b, R definida
sobre 2 ; los puntos que están
en una misma curva pertenecen a
la misma clase de equivalencia,
esto es: [(12;2)]={(10;2,4),
(2,4;10), (-10;-2,4), (-12;2)……….}
puntos en la curva celeste (todos)
[(12;1)]={(10;1,2), (1,2;10), (-12;-
1), (-4,8;-2,5), (4,8;2,5)……….}
,puntos en la curva rosa (todos)

37. EJEMPLO
A={palabras de n bits} w(a) el número de unos que contiene a aRb ⇔w(a)
≡ w(b) (mod 2)
R es de equivalencia:
 Reflexiva: aRa w(a) ≡ w (a)(mod 2)
 Simétrica: aRb⇒bRa w(a) ≡ w(b)(mod 2) ⇒ w(b)≡w(a)(mod 2)
 Transitiva: aRb y bRc⇒aRc w(a)≡w(b)(mod 2) y w(b)≡w(c)(mod 2)
⇒w(a)≡w(c)
R define en A una partición formada por dos clases de equivalencia, cada
una con 2n-1 elementos
Porque de la cantidad 2n la mitad tiene un número par de 1 y la otra mitad
un número impar
[0]={a∈A / a tiene un número par de unos}
[1]={a∈A / a tiene un número impar de unos}
 Para n=3
[0]={000, 011, 101, 110}