1. Free Electron Theory of Metals
ทฤษฎีอิเล็กตรอนอิสระของโลหะ
Modern Physics ; 1103803
28 มีนาคม 2554
การนาไฟฟ้า และการนาความร้อน เป็นต้น
Classical / Quantum Theory
Ubon Ratchathani University ; http://www.scied.sci.ubu.ac.th/

2. Classical Theory
ทฤษฎีของดรูด-ลอร์เรนทซ์
1.) ใช้สถิติของแมกซ์เวลล์-โบลทซ์มานน์
2.) การผลักกันระหว่างอิเล็กตรอนอิสระละทิงได้
้
3.) ไอออนบวกทาให้เกิดสนามของศักย์คงที่
สามารถอธิบายกฎของโอห์ม (J = .) และ
ความสัมพันธ์ระหว่างการนาความร้อนและการนา
ไฟฟ้า (TK = ค่าคงที่  2.5) ได้
ไม่สามารถอธิบายการนาไฟฟ้าที่ขึ้นกับอุณหภูมิ
ความร้อนจาเพาะของอิเล็กตรอน ได้
ทฤษฎีจลน์ของก๊าซ ; ถ้าก๊าซอิเล็กตรอนประพฤติตัว
เหมือนก๊าซอุดมคติ ความร้อนจาเพาะมีค่าเท่ากับ 3R / 2
จากการทดลอง C = 10-4RT

3. Quantum Theory
ซอมเมอร์เฟลด์ได้เสนอเปลียนแปลงทฤษฎียุคเก่า 2 ประการ
่
1.) ต้องพิจารณาอิเล็กตรอนอิสระในโลหะโดยใช้กลศาสตร์ควอนตัม
-->> พลังงานของอิเล็กตรอนมีค่าไม่ต่อเนื่อง
2.) ต้องใช้สถิตเฟอร์ม-ดิแรคบอกพฤติกรรมและสมบัติก๊าซ
ิ ิ
อิเล็กตรอน
การประยุกต์กลศาสตร์ควอนตัมและสถิตเิ ฟอร์มิ-ดิแรค กับ
อิเล็กตรอนอิสระ h2
En  n2
8mL2

4. Fermi Energy ; EF
2
En  n 2 h
8mL2
 
2

E F 0  2 2/3
3π N
2m
• ระดับพลังงานของอิเล็กตรอน มีลักษณะกึ่งต่อเนื่อง
• พลังงานเฟอร์มิ (Fermi energy ;EF) ; พลังงานสูงสุดของอิเล็กตรอนที่สถานะพื้น

5. พลังงานเฉลี่ยของอิเล็กตรอน
E0  E F 0
พลังงานเฉลี่ยของอิเล็กตรอนที่ 0 K เท่ากับ 3
5
แตกต่างจากยุคเก่า ซึ่งเป็น 0 ที่ศูนย์สัมบูรณ์

6. ความน่าจะเป็นที่สถานะถูกครอบครอง
1
f (E) 
e ( E  E F ) / k BT  1
0, for E  E F
fermi-dirac distribution Fn
f (E)  
1, for E  E F บอกโอกาสพบอิเล็กตรอน ณ ระดับพลังงาน E

7. ความน่าจะเป็นที่สถานะถูกครอบครอง
N(E,T)
T=0
T>0
E
EF
ณ T > 0อิเล็กตรอนจะถูกกระตุ้นให้ไปอยู่ในสถานะเหนือ EF (อิเล็กตรอนในพื้นที่
แรเงาหลัง EF เคลื่อนไปอยูในพื้นที่แรเงาหน้า EF)
่

8. การนาไฟฟ้าของโลหะ
อิเล็กตรอนอิสระจะอยู่ในสถานะ
พลังงานที่แน่นอน
กรณีไม่มีสนามภายนอก (ภาพบน)
อิเล็กตรอนเคลื่อนที่ไปทาง +x
เท่ากับ –x จึงไม่มีกระแสลัพธ์
เมื่อมีสนาม อิเล็กตรอนที่มี
พลังงานใกล้ EF เท่านั้นที่กระจาย
ใหม่และช่วยนาไฟฟ้า
แสดงว่า เป็นสัดส่วนกับ T

9. การนาความร้อนของโลหะ
เกิดจากการสั่นของอะตอม (โฟนอน) และอิเล็กตรอนอิสระ
สารที่ไม่ใช่โลหะการนาความร้อนเกิดจากโฟนอนเป็นหลัก แต่วิถีอิสระ (mean
free path) ของอิเล็กตรอนมีค่าน้อยมาก (10-100 อังสตรอม) สารที่ไม่ใช่
โลหะจึงนาความร้อนได้น้อย
Mean free path ของอิเล็กตรอนมีค่าน้อย
แต่ Mean free path ของอิเล็กตรอนอิสระมีคามาก โลหะจึงนาความร้อนได้ดี
่

10. ความร้อนจาเพาะของอิเล็กตรอนของโลหะ
n(E,T) g(E)
E
Cv   g ( EF )kB 2T
T=0
T
T>0
2
N  EF g ( EF )
EF
E 3
1 3 N 3N
E (T )  E (0)  g ( EF )(k BT ) 2 g ( EF )  
2 2 EF 2k B TF
3N 3 T 
Cv  g ( EF )k B T  2
k B 2T Cv  Nk B  
2k B TF 2  TF 

11. ตัวอย่าง
ที่อุณหภูมิศูนย์สมบูรณ์ทองแดงมีความเข้มข้นอิเล็กตรอนอิสระ 8.45x1028 m-3
ั
โดยการใช้แบบจาลองอิเล็กตรอนอิสระจงหา จงหาพลังงานเฟอร์มของทองแดง
ิ
วิธีทา
EF 
2
2m
3π 2
N 
2/3

1.055  10  34
J.s 33.14 8.45  10
2
m 3 
2/3
29.11  10 kg 
28
EF  31
E F  1.126  10 18 J
E F  7.03eV