1. 5 año MATEMÁTICA prof. Sara Petricorena
FUNCIÓN RACIONAL- GUÍA TEÓRICA CON EJEMPLO
Una función racional es una función de la forma f(x)= donde p(x) y q(x)
son polinomios y q(x) 0. Recordemos que la división por cero no está
definida.
Por tanto,el dominio de una función racional estará definido por el
conjunto de los números reales a excepción de las raíces del
denominador.
Cálculo del dominio: se hallan los ceros o raíces del denominador
quedando la siguiente notación
Dom f(x)= R-
¿Es posible que el dominio de una función
racional se defina como todos los números
reales sin excluir ningún valor?¿cuándo?
Ordenada al origen de la función, es el valor “b” donde la gráfica
interseca al eje “y” (en símbolos: ), por ende, corresponde a un valor
cero del dominio cuya expresión completa del punto es P=(0;b).
Cálculo de la ordenada al origen: como x=0 entonces se hace
f(0) (especializar la función en x=0).
¿Todas las funciones racionales tendrán
corte con el eje “y”?¿cuándo si y cuándo
no?
Ceros o raíces de la función: sabemos que gráficamente, los ceros o
raíces son los valores por donde la gráfica interseca al eje “x” ( ).
Analíticamente es el o los valores de “x” para los cuales la función se
anula.
Cálculo de los ceros:
igualamos la función a cero
resolvemos la ecuación para hallar el o los valores de “x”
Verificamos que estos valores no estén excluidos del dominio .
Suponiendo que las raíces o ceros del
numerador coinciden con los excluidos del
dominio, ¿la función, tiene ceros?¿porqué?
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Huecos o lagunas:
Son los ceros del numerador que NO son ceros de la función.
Gráficamente las funciones presentan discontinuidades
Se representan con un con una circunferencia pequeña sobre el
punto correspondiente.
Se pueden calcular:
1. Se factorizan numerador y denominador.
2. Se simplifican los factores
3. El valor correspondiente al hueco o laguna es el valor
contrario al del factor que se cancela.
4. La notación es hueco o laguna en x= -a
5. Cálculo de las coordenadas del hueco: se reemplaza el
valor “x” obtenido del hueco en la función para obtener la
coordenada en “y”. La notación correspondiente es: H=(x;y)
Las asíntotas son líneas imaginarias correspondientes a rectas paralelas
a los ejes “x” e “”y”. Gráficamente, la curva de la función se acerca
infinitamente a ella sin llegar a tocarla nunca.
Las asíntotas horizontales son rectas paralelas al . Se pueden
calcular comparando el valor entre los grados del numerador y
denominador.
Si el grado del polinomio numerador es menor que el grado del
polinomio denominador, existe A.H en y=0 (es el mismo )
Si el grado del polinomio numerador es igual al del polinomio
denominador, la A.H es el cociente entre los coeficientes
principales.
Si el grado del polinomio numerador es mayor que el grado del
polinomio denominador, no existe A.H
Las asíntotas verticales son rectas paralelas al .
Todos los valores excluidos del domino son posibles asíntotas
verticales.
Si x=a es un valor excluido del dominio será una A.V únicamente
cuando NO anule al numerador.
Asíntota oblícua es una recta de la forma y=ax+b.
Existe A.O cuando la diferencia entre los grados de los polinomios
p(x) y q(x) es 1.
Se puede calcular hallando el cociente de la división entre los
polinomios.
Gráfica aproximada de una función racional: una vez que se han
hallado todos los elementos mencionados anteriormente se procede a
graficar.
en primer lugar se halla el dominio; de esta manera ya tenemos
idea si el cero está o no está en él, las posibles asíntotas y lagunas.
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Luego se ubican los elementos (ceros, ordenada al origen,
asíntotas, lagunas).
Por último, se traza la gráfica aproximadamente.
“Recordemos que podemos graficar en el software “geogebra” para tener idea
exacta de la función. Este software permite mover la gráfica y así poder analizar
distintos comportamientos”.
EJEMPLOS:
F(x) =
DOMINIO:
x 2 -4x=0 igualo a cero el polinomio denominador
x(x-4) factor común
x=0 cada uno de los factores los igualo a cero y despejo x
x-4=0 x=4
dom f(x): R-
1. ORDENADA AL ORIGEN O
Como el cero está excluido del dominio, la función no tiene ordenada al
origen, (recordemos que es el valor para cuando x=0)
2. CEROS O RAÍCES DE LA FUNCIÓN
igualamos la función a cero
el denominador pasa al segundo miembro
al multiplicar por cero el 2° miembro, queda cero
sacamos factor común x
cada factor lo igualamos a cero y obtenemos la raíz
Ahora verificamos si estos valores están o no están excluidos del dominio
Nos hacemos las preguntas :
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¿x=0 pertenece al dominio? NO,por lo tanto x=0 no puede ser cero de
la función.
¿x=-3 pertenece al dominio? SI, por lo tanto, x=-3 es cero o raíz de la
función
X=-3 es el cero o raíz de la función
3. ASÍNTOTA VERTICAL
Recordamos el dominio dom f(x): R- por lo tanto x=0 y x= 4 son
posibles asíntotas.
Verificamos reemplazando estos valores en el numerador:
x 2 +3x= reemplazamos el cero en la x
0 2 +3.0 =0 Al reemplazar el valor cero, el numerador se anula, esto implica
que x=0 NO es A.V
x 2 +3x= reemplazamos el 4 en la x
4 2 +3.4= calculamos
16+12=28 Al reemplazar el valor 4, el numerador NO se anula, esto implica
que x=4 SI es A.V
¿qué sucede con la función si el numerador
se anula?
¿estaríamos hablando de otra función?¿cuál?
4. HUECOS O LAGUNAS
Como x=0 no es cero de la función y además está excluido del
domino; resulta que x=0 es hueco o laguna.
Además, siguiente los pasos mencionados en la parte teórica:
tomamos la función
se factorizan los dos polinomios
se simplifica x; por lo tanto x=0 es el valor correspondiente al factor
simplificado, podemos decir que x=0 es un hueco o laguna en la función
Coordenadas del hueco:
entonces H=(0; - 0,75)
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5. ASÍNTOTA HORIZONTAL
Los grados de ambos polinomios son iguales
A.H= cociente entre coeficientes principales
A.H= 1