Gerando triângulos pitagóricos

162 visualizações

Publicada em

Publicada em: Educação
0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
162
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
1
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
3
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Gerando triângulos pitagóricos

  1. 1. Gerando triângulos pitagóricos Os triângulos pitagóricos, em Geometria, são triângulos retângulos que satisfazem o teorema de Pitágoras (𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 ), com a, b e c números inteiros. Iremos mostrar a seguir um procedimento para, dado um número natural par qualquer, podemos gerar um triângulo desta natureza. O teorema de Pitágoras trabalha no sistema R², ou seja, em duas dimensões. Veremos também que este procedimento a ser mostrado pode se estender para o 𝑅 𝑛 . Primeiro, vamos construir o modelo matemático para triângulos pitagóricos no R². Para compreender este processo, vamos recordar um resultado importante da sequencia (A) dos números quadrados perfeitos. Trata-se da seguinte sequencia: A = (1,4,9,16,25,36,49, ...) Observe que a diferença entre um termo e seu anterior é sempre um número ímpar. Para provar porque, considere um número 𝑎 𝑛 qualquer desta sequencia. O seu termo geral é 𝑎 𝑛 = 𝑛2 . Assim, seu termo seguinte será: 𝑎 𝑛+1 = (𝑛 + 1)2 = 𝑛2 + 2𝑛 + 1. Calculando a diferença entre estes dois termos, obtemos: 𝑎 𝑛+1 − 𝑎 𝑛 = 𝑛2 + 2𝑛 + 1 − 𝑛2 = 2𝑛 + 1. Sabemos que qualquer número natural ímpar pode ser escrito na forma 2𝑛 + 1, o que comprova a veracidade dessa diferença ser sempre um número ímpar. Vamos agora construir uma nova sequencia B formada por essas diferenças: 𝐵 = (2𝑛 + 1, 2𝑛 + 3, 2𝑛 + 5,… , 𝑏 𝑘) Tal sequencia é uma PA de razão r igual a 2. Então, aplicando a fórmula do termo geral, vamos concluir que: 𝑏 𝑘 = 2𝑛 + 1 + ( 𝑘 − 1). 2 = 2𝑛 + 1 + 2𝑘 − 2 = 2𝑛 + 2𝑘 − 1 = 𝟐( 𝒏 + 𝒌) − 𝟏 Assim, dado 2 números inteiros quadrados perfeitos da sequencia A, a diferença entre eles pode ser um número ímpar ou uma soma deles caso os mesmos não forem consecutivos. Então, calculando a soma destes termos da sequencia, obtemos: 𝑆 𝑘 = [2𝑛 + 1 + 2( 𝑛 + 𝑘) − 1] 𝑘 2 = 𝒌(𝟐𝒏 + 𝒌) Chamando 𝑆 𝑘 de r , podemos dizer que n é igual a: 𝑛 = 𝑟 2𝑘 − 𝑘 2 Como n é um número inteiro, devemos ter: 2k|r e 2|k Ou seja, k deve ser um número par e divisor de 𝑟 2 .
  2. 2. Vamos considerar, agora, as soluções inteiras da equação 𝑛2 + 𝑟 = 𝑚2 , onde são 𝑛2 e 𝑚2 são temos da sequencia A. Então o número de soluções inteiras desta equação será exatamente o número de divisores pares de 𝑟 2 . Exemplo 1: Seja r = 48 . Então devemos resolver a seguinte equação: Solução: 𝑛2 + 48 = 𝑚2 Temos que os divisores positivos de 24 são: D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} As soluções inteiras serão da forma: Para k = 2: n = 24 2 − 2 2 = 12 − 1 = 11 Verificação: 112 + 48 = 169 = 132 => 𝑚 = 13 𝑒 𝑛 = 11 Para k = 4: n = 24 4 − 4 2 = 6 − 2 = 4 Verificação: 42 + 48 = 64 = 82 => 𝑚 = 8 𝑒 𝑛 = 4 Para k = 6: n = 24 6 − 6 2 = 4 − 3 = 1 Verificação: 12 + 48 = 49 = 72 => 𝑚 = 7 𝑒 𝑛 = 1 Para k = 8: n = 24 8 − 8 2 = 3 − 4 = −1 Verificação: (−1)2 + 48 = 49 = 72 => 𝑚 = 7 𝑒 𝑛 = −1 Para k = 12: n = 24 12 − 12 2 = 2 − 6 = −4 Verificação: (−4)2 + 48 = 64 = 82 => 𝑚 = 8 𝑒 𝑛 = −4 Para k = 24: n = 24 24 − 24 2 = 1 − 12 = −11 Verificação: (−11)2 + 48 = 169 = 132 => 𝑚 = 13 𝑒 𝑛 = −11 OBERVAÇÃO 1: Caso r seja um número ímpar é possível mostrar que a equação só admite uma solução, dada por: 𝑛 = 𝑟−1 2 e 𝑚 = 𝑟+1 2 . Generalizando, podemos tomar r como sendo um número quadrado perfeito, ou seja, r = t² desde que t seja um número par. Assim, a equação seria: 𝑛2 + 𝑡² = 𝑚2 . Como m, n
  3. 3. e t são números inteiros, as soluções desta equação nos fornecem triângulos pitagóricos da forma 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 . O valor de n pode ser encontrado usando a fórmula: 𝑛 = 𝑡² 2𝑘 − 𝑘 2 Sendo k um número inteiro divisor par de 𝑡² 2 . OBERVAÇÃO 2: Caso r seja um número ímpar é possível mostrar que a equação só admite uma solução, dada por: 𝑛 = 𝑡²−1 2 e 𝑚 = 𝑡²+1 2 . EXEMPLO 2: Obter triângulos pitagóricos para t = 18 e t = 31. Solução: Calculando o valor de 𝑡² 2 , encontramos: 18² 2 = 162 D(162) = {1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54, 81, 162} Para k = 2: n = 162 2 − 2 2 = 81 − 1 = 80 Verificação: 802 + 18² = 6724 = 822 => 𝟖𝟎 𝟐 + 𝟏𝟖² = 𝟖𝟐 𝟐 Para k = 6: n = 162 6 − 6 2 = 27 − 3 = 24 Verificação: 242 + 18² = 900 = 302 => 𝟐𝟒 𝟐 + 𝟏𝟖² = 𝟑𝟎 𝟐 Para k = 18: n = 162 18 − 18 2 = 9 − 9 = 0 Neste caso, não formamos um triangulo, pois um de seus lados é nulo. Os demais valores de k oferecem soluções negativas para n, o que não convém para nós neste caso. Considerando t = 31, sendo um número ímpar, só teremos um triângulo pitagórico possível. O valor de n e m serão: 𝑛 = 31² − 1 2 = 480 𝑚 = 31² + 1 2 = 481 Logo, o triângulo pitagórico será: 𝟒𝟖𝟎 𝟐 + 𝟑𝟏² = 𝟒𝟖𝟏 𝟐

×