Apostila de matematica para concursos

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Otima apostila de matematica para concursos.

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Apostila de matematica para concursos

  1. 1. Matemática
  2. 2. Didatismo e Conhecimento 1 MATEMÁTICA OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS FRACIONÁRIOS E DECIMAIS. Números Inteiros Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais (N = {0, 1, 2, 3, 4,..., n,...}, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto pode ser escrito por: Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos notáveis: - O conjunto dos números inteiros não nulos: Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}; Z* = Z – {0} - O conjunto dos números inteiros não negativos: Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...} Z+ é o próprio conjunto dos números naturais: Z+ = N - O conjunto dos números inteiros positivos: Z*+ = {1, 2, 3, 4,...} - O conjunto dos números inteiros não positivos: Z_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} - O conjunto dos números inteiros negativos: Z*_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1} Módulo: chama-se módulo de um número inteiro a distância ou afastamento desse número até o zero, na reta numérica inteira. Representa-se o módulo por | |. O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0 O módulo de +7 é 7 e indica-se |+7| = 7 O módulo de –9 é 9 e indica-se |–9| = 9 O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é sempre positivo. Números Opostos: Dois números inteiros são ditos opostos um do outro quando apresentam soma zero; assim, os pontos que os representam distam igualmente da origem. Exemplo: O oposto do número 2 é -2, e o oposto de -2 é 2, pois 2 + (-2) = (-2) + 2 = 0 No geral, dizemos que o oposto, ou simétrico, de a é – a, e vice-versa; particularmente o oposto de zero é o próprio zero. adição de Números inteiros Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a ideia de ganhar e aos números inteiros negativos a ideia de perder. Ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+5) + (+3) = (+8) Perder 3 + perder 4 = perder 7 (-3) + (-4) = (-7) Ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (-5) = (+3) Perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (-8) + (+5) = (-3) O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (–) antes do número negativo nunca pode ser dispensado. Propriedades da adição de números inteiros: O conjunto Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro.
  3. 3. Didatismo e Conhecimento 2 matemática Associativa: Para todos a,b,c em Z: a + (b + c) = (a + b) + c 2 + (3 + 7) = (2 + 3) + 7 Comutativa: Para todos a,b em Z: a + b = b + a 3 + 7 = 7 + 3 Elemento Neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada z em Z, proporciona o próprio z, isto é: z + 0 = z 7 + 0 = 7 Elemento Oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal que z + (–z) = 0 9 + (–9) = 0 Subtração de Números Inteiros A subtração é empregada quando: - Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade; - Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma delas tem a mais que a outra; - Temos duas quantidades e queremos saber quanto falta a uma delas para atingir a outra. A subtração é a operação inversa da adição. Observe que: 9 – 5 = 4 4 + 5 = 9 diferença subtraendo minuendo Considere as seguintes situações: 1- Na segunda-feira, a temperatura de Monte Sião passou de +3 graus para +6 graus. Qual foi a variação da temperatura? Esse fato pode ser representado pela subtração: (+6) – (+3) = +3 2- Na terça-feira, a temperatura de Monte Sião, durante o dia, era de +6 graus. À Noite, a temperatura baixou de 3 graus. Qual a temperatura registrada na noite de terça-feira? Esse fato pode ser representado pela adição: (+6) + (–3) = +3 Se compararmos as duas igualdades, verificamos que (+6) – (+3) é o mesmo que (+5) + (–3). Temos: (+6) – (+3) = (+6) + (–3) = +3 (+3) – (+6) = (+3) + (–6) = –3 (–6) – (–3) = (–6) + (+3) = –3 Daí podemos afirmar: Subtrair dois números inteiros é o mesmo que adicionar o primeiro com o oposto do segundo. Multiplicação de Números Inteiros A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. Poderíamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode ser indicada por um x, isto é: 1 + 1 + 1 ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30
  4. 4. Didatismo e Conhecimento 3 matemática Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60 Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos: (–2) + (–2) + ... + (–2) = 30 x (-2) = –60 Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos. Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por a x b, a . b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras. Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais: (+1) x (+1) = (+1) (+1) x (-1) = (-1) (-1) x (+1) = (-1) (-1) x (-1) = (+1) Com o uso das regras acima, podemos concluir que: Sinais dos números Resultado do produto Iguais Positivo Diferentes Negativo Propriedades da multiplicação de números inteiros: O conjunto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação de dois números inteiros ainda é um número inteiro. Associativa: Para todos a,b,c em Z: a x (b x c) = (a x b) x c 2 x (3 x 7) = (2 x 3) x 7 Comutativa: Para todos a,b em Z: a x b = b x a 3 x 7 = 7 x 3 Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z em Z, proporciona o próprio z, isto é: z x 1 = z 7 x 1 = 7 Elemento inverso: Para todo inteiro z diferente de zero, existe um inverso z–1 =1/z em Z, tal que z x z–1 = z x (1/z) = 1 9 x 9–1 = 9 x (1/9) = 1 Distributiva: Para todos a,b,c em Z: a x (b + c) = (a x b) + (a x c) 3 x (4+5) = (3 x 4) + (3 x 5) Divisão de Números Inteiros Dividendo divisor dividendo: Divisor = quociente 0 Quociente . divisor = dividendo Sabemos que na divisão exata dos números naturais: 40 : 5 = 8, pois 5 . 8 = 40 36 : 9 = 4, pois 9 . 4 = 36
  5. 5. Didatismo e Conhecimento 4 matemática Vamos aplicar esses conhecimentos para estudar a divisão exata de números inteiros. Veja o cálculo: (–20) : (+5) = q  (+5) . q = (–20)  q = (–4) Logo: (–20) : (+5) = - 4 Considerando os exemplos dados, concluímos que, para efetuar a divisão exata de um número inteiro por outro número inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor. Daí: - Quando o dividendo e o divisor têm o mesmo sinal, o quociente é um número inteiro positivo. - Quando o dividendo e o divisor têm sinais diferentes, o quociente é um número inteiro negativo. - A divisão nem sempre pode ser realizada no conjunto Z. Por exemplo, (+7) : (–2) ou (–19) : (–5) são divisões que não podem ser realizadas em Z, pois o resultado não é um número inteiro. - No conjunto Z, a divisão não é comutativa, não é associativa e não tem a propriedade da existência do elemento neutro. 1- Não existe divisão por zero. Exemplo: (–15) : 0 não tem significado, pois não existe um número inteiro cujo produto por zero seja igual a –15. 2- Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente de zero, é zero, pois o produto de qualquer número inteiro por zero é igual a zero. Exemplos: a) 0 : (–10) = 0 b) 0 : (+6) = 0 c) 0 : (–1) = 0 Potenciação de Números Inteiros A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente. an = a x a x a x a x ... x a a é multiplicado por a n vezes Exemplos: 33 = (3) x (3) x (3) = 27 (-5)5 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = -3125 (-7)² = (-7) x (-7) = 49 (+9)² = (+9) x (+9) = 81 - Toda potência de base positiva é um número inteiro positivo. Exemplo: (+3)2 = (+3) . (+3) = +9 - Toda potência de base negativa e expoente par é um número inteiro positivo. Exemplo: (– 8)2 = (–8) . (–8) = +64 - Toda potência de base negativa e expoente ímpar é um número inteiro negativo. Exemplo: (–5)3 = (–5) . (–5) . (–5) = –125 Propriedades da Potenciação: Produtos de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e somam-se os expoentes. (–7)3 . (–7)6 = (–7)3+6 = (–7)9 Quocientes de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. (+13)8 : (+13)6 = (+13)8 – 6 = (+13)2 Potência de Potência: Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. [(+4)5 ]2 = (+4)5 . 2 = (+4)10 Potência de expoente 1: É sempre igual à base. (+9)1 = +9 (–13)1 = –13 Potência de expoente zero e base diferente de zero: É igual a 1. Exemplo: (+14)0 = 1 (–35)0 = 1
  6. 6. Didatismo e Conhecimento 5 matemática Radiciação de Números Inteiros A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro não negativo b que elevado à potência n fornece o número a. O número n é o índice da raiz enquanto que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical). A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro não negativo que elevado ao quadrado coincide com o número a. Observação: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números inteiros. Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de: √9 = ±3 mas isto está errado. O certo é: √9 = +3 Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo. A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro que elevado ao cubo seja igual ao número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos números não negativos. Exemplos (a) 3 8 = 2, pois 2³ = 8. (b) 3 8− = –2, pois (–2)³ = -8. (c) 3 27 = 3, pois 3³ = 27. (d) 3 27− = –3, pois (–3)³ = -27. Observação: Ao obedecer à regra dos sinais para o produto de números inteiros, concluímos que: (a) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo. (b) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro. Exercícios 1. Qual é o maior quadrado perfeito que se escreve com dois algarismos? 2. Um número inteiro é expresso por (53 – 38 + 40) – 51 + (90 – 7 + 82) + 101. Qual é esse número inteiro? 3. Calcule: a) (+12) + (–40) b) (+12) – (–40) c) (+5) + (–16) – (+9) – (–20) d) (–3) – (–6) – (+4) + (–2) + (–15) 4. Determine o valor de x de modo a tornar as sentenças verdadeiras: a) x + (–12) = –5 b) x + (+9) = 0 c) x – (–2) = 6 d) x + (–9) = –12 e) –32 + x = –50 f) 0 – x = 8 5. Qual a diferença prevista entre as temperaturas no Piauí e no Rio Grande do Sul, num determinado dia, segundo as informações? Tempo no Brasil: Instável a ensolarado no Sul. Mínima prevista -3º no Rio Grande do Sul. Máxima prevista 37° no Piauí.
  7. 7. Didatismo e Conhecimento 6 matemática 6. Qual é o produto de três números inteiros consecutivos em que o maior deles é –10? 7. Três números inteiros são consecutivos e o menor deles é +99. Determine o produto desses três números. 8. Copie as igualdades substituindo o x por números inteiros de modo que elas se mantenham: a) (–140) : x = –20 b) 144 : x = –4 c) (–147) : x = +21 d) x : (+13) = +12 e) x : (–93) = +45 f) x : (–12) = –36 9. Adicionando –846 a um número inteiro e multiplicando a soma por –3, obtém-se +324. Que número é esse? 10. Numa adição com duas parcelas, se somarmos 8 à primeira parcela, e subtrairmos 5 da segunda parcela, o que ocorrerá com o total? Respostas 1) Resposta “9²”. Solução: Basta identificar os quadrados perfeitos. Os números quadrados perfeitos são: 1² = 1 (menor que dois algarismos) 2² = 4 3² = 9 4² = 16 (dois algarismos) 5² = 25 6² = 36 7² = 49 8² = 64 9² = 81 10² = 100 (mais que dois algarismos) Logo, o maior quadrado perfeito é o 9² = 81 2) Resposta “270”. Solução: (53 – 38 + 40) – 51 + (90 – 7 + 82) + 101 55 – 51 + 165 + 101 = 270 Portanto, o número inteiro é 270. 3) Solução: a) (+12) + (–40) = 12 – 40 = -28 b) (+12) – (–40) = 12 + 40 = 52 c) (+5) + (–16) – (+9) – (–20) = +5 -16 – 9 + 20 = 25 – 25 = 0 d) (–3) – (–6) – (+4) + (–2) + (–15) = -3 + 6 – 4 – 2 – 15 = 6 – 24 = -18 4) Solução: a) x + (–12) = –5 → x = -5 + 12 → x = 7 b) x + (+9) = 0 → x = -9 c) x – (–2) = 6 → x = 6 – 2 → x = 4 d) x + (–9) = –12 → x = -12 + 9 → x = -3 e) –32 + x = –50 → x = -50 + 32 → x = -18 f) 0 – x = 8 → x = -8
  8. 8. Didatismo e Conhecimento 7 matemática 5) Resposta “40˚”. Solução: A diferença está entre -3º e +37º. Se formos ver... -3º, -2º, -1º, 0º, 1º, 2º, 3º, 4º, 5º, 6º, 7º... será +40º. 6) Resposta “-1320”. Solução: (x) . (x+1) . (x+2) = ? x+2 = -10 x= -10 -2 x = -12 (-12) . (-12+1) . (-12+2) = -12 . -11 . -10 = - 1320 7) Resposta “999900”. Solução: (x) . (x+1) . (x+2) = ? x= 99 (99) . (99+1) . (99+2) = 99 . 100 . 101 = 999900 8) Solução: a) (–140) : x = –20 -20x = -140 x = 7 b) 144 : x = –4 -4x = 144 x = -36 c) (–147) : x = +21 21x = -147 x = -7 d) x : (+13) = +12 x = 12 . 13 x = 156 e) x : (–93) = +45 x = 45 . -93 x = -4185 f) x : (–12) = –36 x = -36 . -12 x = 432 9) Resposta “738”. Solução: x + (-846) . -3 = 324 x – 846 . -3 = 324 -3 (x – 846) = 324
  9. 9. Didatismo e Conhecimento 8 matemática -3x + 2538 = 324 3x = 2538 – 324 3x = 2214 x = x = 738 10) Resposta “3”. Solução: Seja t o total da adição inicial. Ao somarmos 8 a uma parcela qualquer, o total é acrescido de 8 unidades: t + 8 Ao subtrairmos 5 de uma parcela qualquer, o total é reduzido de 5 unidades: Temos: t + 8 - 5 = t + 3 Portanto o total ficará acrescido de 3 unidades. Números Racionais - Q Um número racional é o que pode ser escrito na forma m n , onde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser diferente de zero. Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de m por n. Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão entre dois números inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação: Q = { m n : m e n em Z, n diferente de zero} No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos: - Q* = conjunto dos racionais não nulos; - Q+ = conjunto dos racionais não negativos; - Q*+ = conjunto dos racionais positivos; - Q _ = conjunto dos racionais não positivos; - Q*_ = conjunto dos racionais negativos. Representação Decimal das Frações Tomemos um número racional p q , tal que p não seja múltiplo de q. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador. Nessa divisão podem ocorrer dois casos: 1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos. Decimais Exatos: 2 5 = 0,4 1 4 = 0,25 35 4 = 8,75 153 50 = 3,06
  10. 10. Didatismo e Conhecimento 9 matemática 2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-se periodicamente. Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas: 1 3 = 0,333... 1 22 = 0,04545... 167 66 = 2,53030... Representação Fracionária dos Números Decimais Trata-se do problema inverso: estando o número racional escrito na forma decimal, procuremos escrevê-lo na forma de fração. Temos dois casos: 1º) Transformamos o número em uma fração cujo numerador é o número decimal sem a vírgula e o denominador é composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número decimal dado: 0,9 = 9 10 5,7 = 57 10 0,76 = 76 100 3,48 = 348 100 0,005 = 5 1000 = 1 200 2º) Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para tanto, vamos apresentar o procedimento através de alguns exemplos: Exemplo 1 Seja a dízima 0, 333... . Façamos x = 0,333... e multipliquemos ambos os membros por 10: 10x = 0,333 Subtraindo, membro a membro, a primeira igualdade da segunda: 10x – x = 3,333... – 0,333... ⇒ 9x = 3 ⇒ x = 3/9 Assim, a geratriz de 0,333... é a fração 3 9 . Exemplo 2 Seja a dízima 5, 1717... Façamos x = 5,1717... e 100x = 517,1717... . Subtraindo membro a membro, temos: 99x = 512 ⇒ x = 512/99 Assim, a geratriz de 5,1717... é a fração 512 99 .
  11. 11. Didatismo e Conhecimento 10 matemática Exemplo 3 Seja a dízima 1, 23434... Façamos x = 1,23434... 10x = 12,3434... 1000x = 1234,34... . Subtraindo membro a membro, temos: 990x = 1234,34... – 12,34... ⇒ 990x = 1222 ⇒ x = 1222/990 Simplificando, obtemos x = 611 495 , a fração geratriz da dízima 1, 23434... Módulo ou valor absoluto: É a distância do ponto que representa esse número ao ponto de abscissa zero. Exemplo: Módulo de - 3 2 é 3 2 . Indica-se 3 2 - = 3 2 Módulo de + 3 2 é 3 2 . Indica-se 3 2 + = 3 2 Números Opostos: Dizemos que – 3 2 e 3 2 são números racionais opostos ou simétricos e cada um deles é o oposto do outro. As distâncias dos pontos – 3 2 e 3 2 ao ponto zero da reta são iguais. Soma (Adição) de Números Racionais Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a adição entre os números racionais a b e c d , da mesma forma que a soma de frações, através de: a b + c d = ad + bc bd Propriedades da Adição de Números Racionais O conjunto Q é fechado para a operação de adição, isto é, a soma de dois números racionais ainda é um número racional. - Associativa: Para todos a, b, c em Q: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c - Comutativa: Para todos a, b em Q: a + b = b + a - Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é: q + 0 = q - Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que q + (–q) = 0 Subtração de Números Racionais A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adição do número p com o oposto de q, isto é: p – q = p + (–q) Multiplicação (Produto) de Números Racionais Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o produto de dois números racionais a b e c d , da mesma forma que o produto de frações, através de: a b x c d = ac bd
  12. 12. Didatismo e Conhecimento 11 matemática O produto dos números racionais a e b também pode ser indicado por a × b, axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras. Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática: (+1) × (+1) = (+1) (+1) × (-1) = (-1) (-1) × (+1) = (-1) (-1) × (-1) = (+1) Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o produto de dois números com sinais diferentes é negativo. Propriedades da Multiplicação de Números Racionais O conjunto Q é fechado para a multiplicação, isto é, o produto de dois números racionais ainda é um número racional. - Associativa: Para todos a, b, c em Q: a × ( b × c ) = ( a × b ) × c - Comutativa: Para todos a, b em Q: a × b = b × a - Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é: q × 1 = q - Elemento inverso: Para todo q = a b em Q, q diferente de zero, existe q-1 = b a em Q: q × q-1 = 1 a b x b a = 1 - Distributiva: Para todos a, b, c em Q: a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) Divisão de Números Racionais A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é: p ÷ q = p × q-1 Potenciação de Números Racionais A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a base e o número n é o expoente. qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes) Exemplos: a) 2 5 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 3 = 2 5 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ . 2 5 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ . 2 5 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = 8 125 b) − 1 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = − 1 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ . − 1 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ . − 1 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = − 1 8 c) (–5)² = (–5) . ( –5) = 25 d) (+5)² = (+5) . (+5) = 25 Propriedades da Potenciação: Toda potência com expoente 0 é igual a 1. + 2 5 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 0 = 1 - Toda potência com expoente 1 é igual à própria base. − 9 4 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 1 = - 9 4
  13. 13. Didatismo e Conhecimento 12 matemática - Toda potência com expoente negativo de um número racional diferente de zero é igual a outra potência que tem a base igual ao inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do expoente anterior. − 3 5 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ −2 . − 5 3 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 2 = 25 9 - Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal da base. 2 3 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 3 = 2 3 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ . 2 3 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ . 2 3 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = 8 27 - Toda potência com expoente par é um número positivo. − 1 5 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 2 = − 1 5 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ . − 1 5 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = 1 25 - Produto de potências de mesma base. Para reduzir um produto de potências de mesma base a uma só potência, conservamos a base e somamos os expoentes. 2 5 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 2 . 2 5 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 3 = 2 5 . 2 5 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ . 2 5 . 2 5 . 2 5 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = 2 5 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 2+3 = 2 5 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 5 - Quociente de potências de mesma base. Para reduzir um quociente de potências de mesma base a uma só potência, conservamos a base e subtraímos os expoentes. - Potência de Potência. Para reduzir uma potência de potência a uma potência de um só expoente, conservamos a base e multiplicamos os expoentes Radiciação de Números Racionais Se um número representa um produto de dois ou mais fatores iguais, então cada fator é chamado raiz do número. Vejamos alguns exemplos: Exemplo 1 4 Representa o produto 2 . 2 ou 22 . Logo, 2 é a raiz quadrada de 4. Indica-se √4= 2. Exemplo 2 1 9 Representa o produto 1 3 . 1 3 ou 1 3 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 2 . Logo, 1 3 é a raiz quadrada de 1 9 .Indica-se 1 9 = 1 3 Exemplo 3 0,216 Representa o produto 0,6 . 0,6 . 0,6 ou (0,6)3 . Logo, 0,6 é a raiz cúbica de 0,216. Indica-se 0,2163 = 0,6. Assim, podemos construir o diagrama:
  14. 14. Didatismo e Conhecimento 13 matemática N Z Q Um número racional, quando elevado ao quadrado, dá o número zero ou um número racional positivo. Logo, os números racionais negativos não têm raiz quadrada em Q. O número -100 9 não tem raiz quadrada em Q, pois tanto -10 3 como +10 3 , quando elevados ao quadrado, dão 100 9 . Um número racional positivo só tem raiz quadrada no conjunto dos números racionais se ele for um quadrado perfeito. O número 2 3 não tem raiz quadrada em Q, pois não existe número racional que elevado ao quadrado dê 2 3 . Exercícios 1. Calcule o valor das expressões numéricas: a) 7 24 − 5 12 − 1 8 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − − 7 6 + 3 4 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ b) + 3 16 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ : − 1 12 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + 5 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ − 9 4 − 7 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 2. Escreva o produto 73 3 2 . 3 2       +      + como uma só potência. 3. Escreva o quociente − 16 25 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 12 : − 16 25 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 4 como uma só potência. 4. Qual é o valor da expressão 5. Para encher um álbum de figurinhas, Karina contribuiu com 1 6 das figurinhas, enquanto Cristina contribuiu com das figurinhas 3 4 . Com que fração das figurinhas as duas juntas contribuíram? 6. Ana está lendo um livro. Em um dia ela leu 1 4 do livro e no dia seguinte leu 1 6 do livro. Então calcule: a) A fração do livro que ela já leu. b) A fração do livro que falta para ela terminar a leitura. 7. Em um pacote há 4 5 de 1 Kg de açúcar. Em outro pacote há 1 3 . Quantos quilos de açúcar o primeiro pacote tem a mais que o segundo? 8. A rua onde Cláudia mora está sendo asfaltada. Os 5 9 da rua já foram asfaltados. Que fração da rua ainda resta asfaltar? 9. No dia do lançamento de um prédio de apartamentos, 1 3 desses apartamentos foi vendido e 1 6 foi reservado. Assim: a) Qual a fração dos apartamentos que foi vendida e reservada? b) Qual a fração que corresponde aos apartamentos que não foram vendidos ou reservados?
  15. 15. Didatismo e Conhecimento 14 matemática 10. Transforme em fração: a) 2,08 b) 1,4 c) 0,017 d) 32,17 Respostas 1) Solução a) 7 24 − 5 12 − 1 8 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − − 7 6 + 3 4 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = 7 24 − 10 − 3 24 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − −14 + 9 12 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ 7 24 − 7 24 + 5 12 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = 7 24 − 7 +10 24 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = 7 24 − 17 24 = − 10 24 = − 5 12 b) + 3 16 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ : − 1 12 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + 5 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ − 9 4 − 7 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 3 16 − 1 12 + 5 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ − 9 −14 4 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = 36 16 − 5 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − − 5 4 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − 9 4 + 5 2 + 5 4 = −9 +10 + 5 4 = 6 4 = 3 2 mmc:(4;2)=4 2) Solução: + 2 3 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 10 3) Solução: − 16 25 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 8 4) Solução: 5) Resposta 11 12Solução: 1 6 + 3 4 = 2 12 + 9 12 = 11 12 6) Solução: a) 1 4 + 1 6 = 3 12 + 2 12 = 5 12 b) 1- 5 12 = 12 12 - 5 12 = 7 12
  16. 16. Didatismo e Conhecimento 15 matemática 7) Respostas 7 15 Solução: 4 5 - 1 3 = 12 15 - 5 15 = 7 15 8) Resposta 4 9Solução: 1 - 5 9 = 9 9 - 5 9 = 4 9 9) Solução: a) 1 3 + 1 6 = 2 6 + 1 6 = 3 6 = 1 2 b) 1- 1 2 = 2 2 - 1 2 = 1 2 10) Solução: a) 2,08 → 208 100 = 52 25 b) 1,4 → 14 10 = 7 5 c) 0,017 → 17 1000 d) 32,17 → 3217 100 Números Irracionais Os números racionais, aqueles que podem ser escritos na forma de uma fração a/b onde a e b são dois números inteiros, com a condição de que b seja diferente de zero, uma vez que sabemos da impossibilidade matemática da divisão por zero. Vimos também, que todo número racional pode ser escrito na forma de um número decimal periódico, também conhecido como dízima periódica. Vejam os exemplos de números racionais a seguir: 3 / 4 = 0,75 = 0, 750000... - 2 / 3 = - 0, 666666... 1 / 3 = 0, 333333... 2 / 1 = 2 = 2, 0000... 4 / 3 = 1, 333333... - 3 / 2 = - 1,5 = - 1, 50000... 0 = 0, 000...   Existe, entretanto, outra classe de números que não podem ser escritos na forma de fração a/b, conhecidos como números irracionais.
  17. 17. Didatismo e Conhecimento 16 matemática Exemplo O número real abaixo é um número irracional, embora pareça uma dízima periódica: x = 0,10100100010000100000... Observe que o número de zeros após o algarismo 1 aumenta a cada passo. Existem infinitos números reais que não são dízimas periódicas e dois números irracionais muito importantes, são: e = 2,718281828459045..., Pi (π) = 3,141592653589793238462643... Que são utilizados nas mais diversas aplicações práticas como: cálculos de áreas, volumes, centros de gravidade, previsão populacional, etc. Classificação dos Números Irracionais Existem dois tipos de números irracionais: - Números reais algébricos irracionais: são raízes de polinômios com coeficientes inteiros. Todo número real que pode ser representado através de uma quantidade finita de somas, subtrações, multiplicações, divisões e raízes de grau inteiro a partir dos números inteiros é um número algébrico, por exemplo: A recíproca não é verdadeira: existem números algébricos que não podem ser expressos através de radicais, conforme o teorema de Abel-Ruffini. - Números reais transcendentes: não são raízes de polinômios com coeficientes inteiros. Várias constantes matemáticas são transcendentes, como pi ( ) e o número de Euler ( ). Pode-se dizer que existem mais números transcendentes do que números algébricos (a comparação entre conjuntos infinitos pode ser feita na teoria dos conjuntos). A definição mais genérica de números algébricos e transcendentes é feita usando-se números complexos. Identificação de números irracionais Fundamentado nas explanações anteriores, podemos afirmar que: - Todas as dízimas periódicas são números racionais. - Todos os números inteiros são racionais. - Todas as frações ordinárias são números racionais. - Todas as dízimas não periódicas são números irracionais. - Todas as raízes inexatas são números irracionais. - A soma de um número racional com um número irracional é sempre um número irracional. - A diferença de dois números irracionais, pode ser um número racional. Exemplo: - = 0 e 0 é um número racional. - O quociente de dois números irracionais, pode ser um número racional. Exemplo: 8 : 2 = 4 = 2 e 2 é um número racional. - O produto de dois números irracionais, pode ser um número racional. Exemplo: . = = 5 e 5 é um número racional. - A união do conjunto dos números irracionais com o conjunto dos números racionais, resulta num conjunto denominado conjunto R dos números reais. - A interseção do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais, não possui elementos comuns e, portanto, é igual ao conjunto vazio (∅). Simbolicamente, teremos: Q∪I = R Q∩I =∅
  18. 18. Didatismo e Conhecimento 17 MATEMÁTICA CONJUNTOS E FUNÇÕES. Conjuntos Número de elementos da União e da intersecção de conjuntos Dados dois conjuntos A e B, como vemos na figura abaixo, podemos estabelecer uma relação entre os respectivos números de elementos. n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) Note que ao subtrairmos os elementos comuns (n(A ∩ B)) evitamos que eles sejam contados duas vezes. Observações: a) Se os conjuntos A e B forem disjuntos ou se mesmo um deles estiver contido no outro, ainda assim a relação dada será verdadeira. b) Podemos ampliar a relação do número de elementos para três ou mais conjuntos com a mesma eficiência. n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - - N(A ∩ C) - n(B ∩ C) + N(A ∩ B ∩ C) Observe o diagrama e comprove.
  19. 19. Didatismo e Conhecimento 18 matemática Conjuntos Conjuntos Primitivos Os conceitos de conjunto, elemento e pertinência são primitivos, ou seja, não são definidos. Um cacho de bananas, um cardume de peixes ou uma porção de livros são todos exemplos de conjuntos. Conjuntos, como usualmente são concebidos, têm elementos. Um elemento de um conjunto pode ser uma banana, um peixe ou um livro. Convém frisar que um conjunto pode ele mesmo ser elemento de algum outro conjunto. Por exemplo, uma reta é um conjunto de pontos; um feixe de retas é um conjunto onde cada elemento (reta) é também conjunto (de pontos). Em geral indicaremos os conjuntos pelas letras maiúsculas A, B, C, ..., X, e os elementos pelas letras minúsculas a, b, c, ..., x, y, ..., embora não exista essa obrigatoriedade. Em Geometria, por exemplo, os pontos são indicados por letras maiúsculas e as retas (que são conjuntos de pontos) por letras minúsculas. Outro conceito fundamental é o de relação de pertinência que nos dá um relacionamento entre um elemento e um conjunto. Se x é um elemento de um conjunto A, escreveremos x ∊ A Lê-se: x é elemento de A ou x pertence a A. Se x não é um elemento de um conjunto A, escreveremos x ∉ A Lê-se x não é elemento de A ou x não pertence a A. Como representar um conjunto Pela designação de seus elementos: Escrevemos os elementos entre chaves, separando os por vírgula. Exemplos - {3, 6, 7, 8} indica o conjunto formado pelos elementos 3, 6, 7 e 8. {a; b; m} indica o conjunto constituído pelos elementos a, b e m. {1; {2; 3}; {3}} indica o conjunto cujos elementos são 1, {2; 3} e {3}. Pela propriedade de seus elementos: Conhecida uma propriedade P que caracteriza os elementos de um conjunto A, este fica bem determinado. P termo “propriedade P que caracteriza os elementos de um conjunto A” significa que, dado um elemento x qualquer temos: Assim sendo, o conjunto dos elementos x que possuem a propriedade P é0 indicado por: {x, tal que x tem a propriedade P} Uma vez que “tal que” pode ser denotado por t.q. ou | ou ainda :, podemos indicar o mesmo conjunto por: {x, t . q . x tem a propriedade P} ou, ainda, {x : x tem a propriedade P} Exemplos - { x, t.q. x é vogal } é o mesmo que {a, e, i, o, u} - {x | x é um número natural menor que 4 } é o mesmo que {0, 1, 2, 3} - {x : x em um número inteiro e x2 = x } é o mesmo que {0, 1} Pelo diagrama de Venn-Euler: O diagrama de Venn-Euler consiste em representar o conjunto através de um “círculo” de tal forma que seus elementos e somente eles estejam no “círculo”.
  20. 20. Didatismo e Conhecimento 19 matemática Exemplos - Se A = {a, e, i, o, u} então - Se B = {0, 1, 2, 3 }, então Conjunto Vazio Conjunto vazio é aquele que não possui elementos. Representa-se pela letra do alfabeto norueguês ∅ ou, simplesmente { }. Simbolicamente: ∀x, x ∉ ∅ Exemplos - ∅ = {x : x é um número inteiro e 3x = 1} - ∅ = {x | x é um número natural e 3 – x = 4} - ∅ = {x | x ≠ x} Subconjunto Sejam A e B dois conjuntos. Se todo elemento de A é também elemento de B, dizemos que A é um subconjunto de B ou A é a parte de B ou, ainda, A está contido em B e indicamos por A ⊂ B. Simbolicamente: A⊂B ⇔ (∀x)(x ∈∀ ⇒ x ∊ B) Portanto, A ⊄ B significa que A não é um subconjunto de B ou A não é parte de B ou, ainda, A não está contido em B. Por outro lado, A ⊄ B se, e somente se, existe, pelo menos, um elemento de A que não é elemento de B. Simbolicamente: A ⊄ B ⇔ (∃x)(x∈A e x∉B) Exemplos - {2 . 4} ⊂ {2, 3, 4}, pois 2 ∈ {2, 3, 4} e 4 ∈ {2, 3, 4} - {2, 3, 4} ⊄ {2, 4}, pois 3 ∉ {2, 4} - {5, 6} ⊂ {5, 6}, pois 5 ∊ {5, 6} e 6 ∈ {5, 6} Inclusão e pertinência A definição de subconjunto estabelece um relacionamento entre dois conjuntos e recebe o nome de relação de inclusão (⊂). A relação de pertinência (∊) estabelece um relacionamento entre um elemento e um conjunto e, portanto, é diferente da relação de inclusão. Simbolicamente x∊A ⇔{x}⊂A x∉A ⇔{x}⊄A
  21. 21. Didatismo e Conhecimento 20 matemática Igualdade Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que A é igual a B e indicamos por A = B se, e somente se, A é subconjunto de B e B é também subconjunto de A. Simbolicamente: A = B ⇔A⊂B e B⊂A Demonstrar que dois conjuntos A e B são iguais equivale, segundo a definição, a demonstrar que A ⊂ B e B ⊂ A. Segue da definição que dois conjuntos são iguais se, e somente se, possuem os mesmos elementos. PortantoA≠ B significa queAé diferente de B. PortantoA≠ B se, e somente se,Anão é subconjunto de B ou B não é subconjunto de A. Simbolicamente: A ≠ B ⇔A⊄ B ou B⊄A Exemplos - {2,4} = {4,2}, pois {2,4} ⊂ {4,2} e {4,2} ⊂ {2,4}. Isto nos mostra que a ordem dos elementos de um conjunto não deve ser levada em consideração. Em outras palavras, um conjunto fica determinado pelos elementos que o mesmo possui e não pela ordem em que esses elementos são descritos. - {2,2,2,4} = {2,4}, pois {2,2,2,4} ⊂ {2,4} e {2,4} ⊂ {2,2,2,4}. Isto nos mostra que a repetição de elementos é desnecessária. - {a,a} = {a} - {a,b = {a} ⇔ a= b - {1,2} = {x,y} ⇔ (x = 1 e y = 2) ou (x = 2 e y = 1) Conjunto das partes Dado um conjunto A podemos construir um novo conjunto formado por todos os subconjuntos (partes) de A. Esse novo conjunto chama-se conjunto dos subconjuntos (ou das partes) de A e é indicado por P(A). Simbolicamente: P(A)={X | X ⊂A} ou X⊂P(A) ⇔ X⊂A Exemplos a) = {2, 4, 6} P(A) = {∅, {2}, {4}, {6}, {2,4}, {2,6}, {4,6}, A} b) = {3,5} P(B) = {∅, {3}, {5}, B} c) = {8} P(C) = {∅, C} d) = ∅ P(D) = {∅} Propriedades Seja A um conjunto qualquer e ∅ o conjunto vazio. Valem as seguintes propriedades ≠() ∉ ⊂ ∊ {} ⊂ A ⇔ ∊ P(A) A ⊂ A ⇔ A ∊ P(A) Se A tem n elementos então A possui 2n subconjuntos e, portanto, P(A) possui 2n elementos. União de conjuntos A união (ou reunião) dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B. Representa-se por A ∪ B.
  22. 22. Didatismo e Conhecimento 21 matemática Simbolicamente: A∪B = {X | X ∈ A ou X ∈ B} Exemplos - {2,3}∪{4,5,6}={2,3,4,5,6} - {2,3,4}∪{3,4,5}={2,3,4,5} - {2,3}∪{1,2,3,4}={1,2,3,4} - {a,b} ∪ {a,b} Intersecção de conjuntos A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem, simultaneamente, a A e a B. Representa-se por A ∩ B. Simbolicamente: A ∩ B = {X | X ∊ A ou X ∊ B} Exemplos - {2,3,4} ∩ {3,5}={3} - {1,2,3} ∩ {2,3,4}={2,3} - {2,3} ∩ {1,2,3,5}={2,3} - {2,4} ∩ {3,5,7}= Observação: Se A ∩ B= , dizemos que A e B são conjuntos disjuntos. Subtração A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Representa-se por A – B. Simbolicamente: A – B = {X | X ∊ A e X ∉ B} O conjunto A – B é também chamado de conjunto complementar de B em relação a A, representado por CA B. Simbolicamente: CA B = A - B{X | X ∊ A e X ∉ B}
  23. 23. Didatismo e Conhecimento 22 matemática Exemplos - A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 2} CA B = A – B = {1,3} e CB A = B – A =φ - A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4} CA B = A – B = {1} e CB A = B – A = {14} - A = {0, 2, 4} e B = {1 ,3 ,5} CA B = A – B = {0,2,4} e CB A = B – A = {1,3,5} Observações: Alguns autores preferem utilizar o conceito de completar de B em relação a A somente nos casos em que B ⊂ A. - Se B ⊂ A representa-se por B o conjunto complementar de B em relação a A. Simbolicamente: B ⊂ A ⇔ B = A – B = CA B` Exemplos Seja S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Então: a) A = {2, 3, 4} ⇒ A = {0, 1, 5, 6} b) B = {3, 4, 5, 6 } ⇒ B = {0, 1, 2} c) C = ⇒ C = S Número de elementos de um conjunto Sendo X um conjunto com um número finito de elementos, representa-se por n(X) o número de elementos de X. Sendo, ainda, A e B dois conjuntos quaisquer, com número finito de elementos temos: n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B) A∩B= ⇒n(A∪B)=n(A)+n(B) n(A -B)=n(A)-n(A∩B) B⊂A⇒n(A-B)=n(A)-n(B) Exercícios 1. Assinale a alternativa a Falsa: a) ⊂ {3} b) (3) ⊂ {3} c) ∉ {3} d) 3 ∊ {3} e) 3 = {3} 2. Seja o conjunto A = {1, 2, 3, {3}, {4}, {2, 5}}. Classifique as afirmações em verdadeiras (V) ou falsas (F). a) 2 ∊ A b) (2) ∊ A c) 3 ∊ A d) (3) ∊ A e) 4 ∊ A
  24. 24. Didatismo e Conhecimento 23 matemática 3. Um conjunto A possui 5 elementos . Quantos subconjuntos (partes) possuem o conjunto A? 4. Sabendo-se que um conjunto A possui 1024 subconjuntos, quantos elementos possui o conjunto A? 5. 12 - Dados os conjuntos A = {1; 3; 4; 6}, B = {3; 4 ; 5; 7} e C = {4; 5; 6; 8 } pede-se: a) A ∪ B b) A ∩ B c) A ∪ C d) A ∩ C 6. Considere os conjuntos: S = {1,2,3,4,5} e A={2,4}. Determine o conjunto X de tal forma que: X∩A= e X∪A = S. 7. Seja A e X conjuntos. Sabendo-se que A⊂X e A∪X={2,3,4}, determine o conjunto X. 8. Dados três conjuntos finitos A, B e C, determinar o número de elementos de A ∩ (B∪C), sabendo-se: a) A∩B tem 26 elementos b) A∩C tem 10 elementos c) A∩B∩C tem 7 elementos. 9. Numa escola mista existem 42 meninas, 24 crianças ruivas, 13 meninos não ruivos e 9 meninas ruivas. Pergunta-se a) quantas crianças existem na escola? b) quantas crianças são meninas ou são ruivas? 10. USP-SP - Depois de n dias de férias, um estudante observa que: - Choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde; - Quando chove de manhã não chove à tarde; - Houve 5 tardes sem chuva; - Houve 6 manhãs sem chuva. Podemos afirmar então que n é igual a: a)7 b)8 c)9 d)10 e)11 Respostas 1) Resposta “E”. Solução: A ligação entre elemento e conjunto é estabelecida pela relação de pertinência (∊) e não pela relação de igualdade (=). Assim sendo, 3∊{3} e 3≠{3}. De um modo geral, x ≠ {x}, ∀x. 2) Solução: a) Verdadeira, pois 2 é elemento de A. b) Falsa, pois {2} não é elemento de A. c) Verdadeira, pois 3 é elemento de A. d) Verdadeira, pois {3} é elemento de A. e) Falsa, pois 4 não é elemento de A. 3) Resposta “32”. Solução: Lembrando que: “Se A possui k elementos, então A possui 2k subconjuntos”, concluímos que o conjunto A, de 5 elementos, tem 25 = 32 subconjuntos.
  25. 25. Didatismo e Conhecimento 24 matemática 4) Resposta “10”. Solução: Se k é o número de elementos do conjunto A, então 2k é o número de subconjuntos de A. Assim sendo: 2k =1024 ⇔ 2k =210 ⇔ k=10. 5) Solução: Representando os conjuntos A, B e C através do diagrama de Venn-Euler, temos: a) A∪B={1,3,4,5,6,7} b) A∩B={3,4} c) A∪C={1,3,4,5,6,8} d) A∩C={4,6}
  26. 26. Didatismo e Conhecimento 25 matemática 6) Resposta “X={1;3;5}”. Solução: Como X∩A= e X∪A=S, então X=A =S-A=Cs A ⇒X={1;3;5} 7) Resposta “X = {2;3;4} Solução: Como A⊂X, então A∪X = X = {2;3;4}. 8) Resposta “A”. Solução: De acordo com o enunciado, temos: n(A∩B∩C) = 7 n(A∩B) = a + 7 = 26 ⇒ a = 19 n(A∩C) = b + 7 = 10 ⇒ b = 3 Assim sendo: e portanto n[A ∩ (B∪C)] = a + 7 + b = 19 + 7 + 3 Logo: n[A ∩ (B∪C)] = 29. 9) Solução: Sejam: A o conjunto dos meninos ruivos e n(A) = x B o conjunto das meninas ruivas e n(B) = 9 C o conjunto dos meninos não-ruivos e n(C) = 13 D o conjunto das meninas não-ruivas e n(D) = y
  27. 27. Didatismo e Conhecimento 26 matemática De acordo com o enunciado temos: n(B∪D) = n(B) + n(D) = 9+ Y = 42 ⇔ y = 23 n(A∪D) = n(A) + n(B) = x + 9 = 24 ⇔ x = 15 Assim sendo a) O número total de crianças da escola é: n(A∪B∪D)=n(A) + n(B) + n(C) + n(D)=15 + 9 + 13 + 33=70 b) O número de crianças que são meninas ou são ruivas é: n[(A∪B)∪(B∪D)]=n(A)+n(B)+n(C)+n(D)=15+9+33=57 10) Resposta “C”. Solução: Seja M, o conjunto dos dias que choveu pela manhã e T o conjunto dos dias que choveu à tarde. Chamando de M’ e T’ os con- juntos complementares de M e T respectivamente, temos: n(T’) = 5 (cinco tardes sem chuva) n(M’) = 6 (seis manhãs sem chuva) n(M Ç T) = 0 (pois quando chove pela manhã, não chove à tarde) Daí: n(M È T) = n(M) + n(T) – n(M Ç T) 7 = n(M) + n(T) – 0 Podemos escrever também: n(M`) + n(T`) = 5 + 6 = 11 Temos então o seguinte sistema: n(M`) + n(T`) = 11 n(M) + N(T) = 7 Somando membro a membro as duas igualdades, vem: n(M) + n(M`) + n(T) + n(T`) = 11 + 7 = 18 Observe que n(M) + n(M`) = total dos dias de férias = n Analogamente, n(T) + n(T`) = total dos dias de férias = n Portanto, substituindo vem: n + n = 18 2n = 18 n = 9 Logo, foram nove dias de férias, ou seja, n = 9 dias. Função do 1˚ Grau Dados dois conjuntos A e B, não-vazios, função é uma relação binária de A em B de tal maneira que todo elemento x, pertencente ao conjunto A, tem para si um único correspondente y, pertencente ao conjunto B, que é chamado de imagem de x.
  28. 28. Didatismo e Conhecimento 27 matemática Notemos que, para uma relação binária dos conjuntos A e B, nesta ordem, representarem uma função é preciso que: - Todo elemento do conjunto A tenha algum correspondente (imagem) no conjunto B; - Para cada elemento do conjunto A exista um único correspondente (imagem) no conjunto B. Assim como em relação, usamos para as funções, que são relações especiais, a seguinte linguagem: Domínio: Conjunto dos elementos que possuem imagem. Portanto, todo o conjunto A, ou seja, D = A. Contradomínio: Conjunto dos elementos que se colocam à disposição para serem ou não imagem dos elementos de A. Portanto, todo conjunto B, ou seja, CD = B. Conjunto Imagem: Subconjunto do conjunto B formado por todos os elementos que são imagens dos elementos do conjunto A, ou seja, no exemplo anterior: Im = {a, b, c}. Exemplo Consideremos os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 5} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Vamos definir a função f de A em B com f(x) = x + 1. Tomamos um elemento do conjunto A, representado por x, substituímos este elemento na sentença f(x), efetuamos as operações indicadas e o resultado será a imagem do elemento x, representada por y. f: A → B y = f(x) = x + 1 Tipos de Função Injetora: Quando para ela elementos distintos do domínio apresentam imagens também distintas no contradomínio.
  29. 29. Didatismo e Conhecimento 28 matemática Reconhecemos, graficamente, uma função injetora quando, uma reta horizontal, qualquer que seja interceptar o gráfico da função, uma única vez. f(x) é injetora g(x) não é injetora (interceptou o gráfico mais de uma vez) Sobrejetora: Quando todos os elementos do contradomínio forem imagens de pelo menos um elemento do domínio. Reconhecemos, graficamente, uma função sobrejetora quando, qualquer que seja a reta horizontal que interceptar o eixo no contradomínio, interceptar, também, pelo menos uma vez o gráfico da função. f(x) é sobrejetora g(x) não é sobrejetora (não interceptou o gráfico) Bijetora: Quando apresentar as características de função injetora e ao mesmo tempo, de sobrejetora, ou seja, elementos distintos têm sempre imagens distintas e todos os elementos do contradomínio são imagens de pelo menos um elemento do domínio.
  30. 30. Didatismo e Conhecimento 29 matemática Função crescente: A função f(x), num determinado intervalo, é crescente se, para quaisquer x1 e x2 pertencentes a este intervalo, com x1 x2 , tivermos f(x1 )f(x2 ). x1 x2 → f(x1 )f(x2 ) Função decrescente: Função f(x), num determinado intervalo, é decrescente se, para quaisquer x1 e x2 pertencente a este intervalo, com x1 x2 , tivermos f(x1 )f(x2 ). x1 x2 → f(x1 )f(x2 ) Função constante: A função f(x), num determinado intervalo, é constante se, para quaisquer x1 x2 , tivermos f(x1 ) = f(x2 ). Gráficos de uma Função A apresentação de uma função por meio de seu gráfico é muito importante, não só na Matemática como nos diversos ramos dos estudos científicos. Exemplo Consideremos a função real f(x) = 2x – 1. Vamos construir uma tabela fornecendo valores para x e, por meio da sentença f(x), obteremos as imagens y correspondentes. x y = 2x – 1 –2 –5 –1 –3 0 –1 1 1 2 3 3 5
  31. 31. Didatismo e Conhecimento 30 matemática Transportados os pares ordenados para o plano cartesiano, vamos obter o gráfico correspondente à função f(x). Exemplo para a 0 Consideremos f(x) = 2x – 1. x f(x) -1 -3 0 -1 1 1 2 3 Exemplo para a 0 Consideremos f(x) = –x + 1. x f(x) -1 2 0 1 1 0 2 -1
  32. 32. Didatismo e Conhecimento 31 matemática Consideremos a função f(x) = ax + b com a ≠ 0, em que x0 é a raiz da função f(x). a0 a0 xx0 ⇒f(x)0 xx0 ⇒f(x)0 x=x0 ⇒f(x)=0 x=x0 ⇒f(x)=0 xx0 ⇒f(x)0 xx0 ⇒f(x)0 Conclusão: O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta crescente para a 0 e uma reta decrescente para a 0. Zeros da Função do 1º grau: Chama-se zero ou raiz da função do 1º grau y = ax + b o valor de x que anula a função, isto é, o valor de x para que y seja igual à zero. Assim, para achar o zero da função y = ax + b, basta resolver a equação ax + b = 0. Exemplo Determinar o zero da função: y = 2x – 4. 2x – 4 = 0 2x = 4 x = 4 2x = 2 O zero da função y = 2x – 4 é 2. No plano cartesiano, o zero da função do 1º grau é representado pela abscissa do ponto onde a reta corta o eixo x. x y (x,y) 1 -2 (1, -2) 3 2 (3,2) Observe que a reta y = 2x – 4 intercepta o eixo x no ponto (2,0), ou seja, no ponto de abscissa 2, que é o zero da função. Conhecido o zero de uma função do 1º grau e lembrando a inclinação que a reta pode ter, podemos esboçar o gráfico da função. Estudo do sinal da função do 1º grau: Estudar o sinal da função do 1º grau y = ax + b é determinar os valores reais de x para que: - A função se anule (y = 0); - A função seja positiva (y 0); - A função seja negativa (y 0).
  33. 33. Didatismo e Conhecimento 32 matemática Exemplo Estudar o sinal da função y = 2x – 4 (a = 2 0). a) Qual o valor de x que anula a função? y = 0 2x – 4 = 0 2x = 4 x = 4 2 x = 2 A função se anula para x = 2. b) Quais valores de x tornam positiva a função? y 0 2x – 4 0 2x 4 x 4 2 x 2 A função é positiva para todo x real maior que 2. c) Quais valores de x tornam negativa a função? y 0 2x – 4 0 2x 4 x 4 2 x 2 A função é negativa para todo x real menor que 2. Podemos também estudar o sinal da função por meio de seu gráfico: - Para x = 2 temos y = 0; - Para x 2 temos y 0; - Para x 2 temos y 0.
  34. 34. Didatismo e Conhecimento 33 matemática Relação Binária Par Ordenado Quando representamos o conjunto (a, b) ou (b, a) estamos, na verdade, representando o mesmo conjunto. Porém, em alguns casos, é conveniente distinguir a ordem dos elementos. Para isso, usamos a ideia de par ordenado. A princípio, trataremos o par ordenado como um conceito primitivo e vamos utilizar um exemplo para melhor entendê-lo. Consideremos um campeonato de futebol e que desejamos apresentar, de cada equipe, o total de pontos ganhos e o saldo de gols. Assim, para uma equipe com 12 pontos ganhos e saldo de gols igual a 18, podemos fazer a indicação (12, 18), já tendo combinado, previamente, que o primeiro número se refere ao número de pontos ganhos, e o segundo número, ao saldo de gols. Portanto, quando tivermos para outra equipe a informação de que a sua situação é (2, -8) entenderemos, que esta equipe apresenta 2 pontos ganhos e saldo de gols -8. Note que é importante a ordem em que se apresenta este par de números, pois a situação (3, 5) é totalmente diferente da situação (5,3). Fica, assim, estabelecida a ideia de par ordenado: um par de valores cuja ordem de apresentação é importante. Observações: (a, b) = (c, d) se, e somente se, a = c e b = d (a, b) = (b, a) se, o somente se, a = b Produto Cartesiano Dados dois conjuntos A e B, chamamos de produto cartesiano A x B ao conjunto de todos os possíveis pares ordenados, de tal maneira que o 1º elemento pertença ao 1º conjunto (A) e o 2º elemento pertença ao 2º conjunto (B). A x B= {(x,y) / x ∈ A e y ∈ B} Quando o produto cartesiano for efetuado entre o conjunto A e o conjunto A, podemos representar A x A = A2 . Vejamos, por meio de o exemplo a seguir, as formas de apresentação do produto cartesiano. Exemplo Sejam A = {1, 4, 9} e B = {2, 3}. Podemos efetuar o produto cartesiano A x B, também chamado A cartesiano B, e apresentá-lo de várias formas. a) Listagem dos elementos Apresentamos o produto cartesiano por meio da listagem, quando escrevemos todos os pares ordenados que constituam o conjunto. Assim, no exemplo dado, teremos: A e B = {(1, 2),(1, 3),(4, 2),(4, 3),(9, 2),(9, 3)} Vamos aproveitar os mesmo conjuntos A e B e efetuar o produto B e A (B cartesiano A): B x A = {(2, 1),(2, 4),(2, 9),(3, 1),(3, 4),(3, 9)}. Observando A x B e B x A, podemos notar que o produto cartesiano não tem o privilégio da propriedade comutativa, ou seja, A x B é diferente de B x A. Só teremos a igualdade A x B = B x A quando A e B forem conjuntos iguais. Observação: Considerando que para cada elemento do conjunto A o número de pares ordenados obtidos é igual ao número de elementos do conjunto B, teremos: n(A x B) = n(A) x n(B). b) Diagrama de flechas Apresentamos o produto cartesiano por meio do diagrama de flechas, quando representamos cada um dos conjuntos no diagrama de Euler-Venn, e os pares ordenados por “flechas” que partem do 1º elemento do par ordenado (no 1º conjunto) e chegam ao 2º elemento do par ordenado (no 2º conjunto). Considerando os conjuntos A e B do nosso exemplo, o produto cartesiano A x B fica assim representado no diagrama de flechas:
  35. 35. Didatismo e Conhecimento 34 matemática c) Plano cartesiano Apresentamos o produto cartesiano, no plano cartesiano, quando representamos o 1º conjunto num eixo horizontal, e o 2º conjunto num eixo vertical de mesma origem e, por meio de pontos, marcamos os elementos desses conjuntos. Em cada um dos pontos que representam os elementos passamos retas (horizontais ou verticais). Nos cruzamentos dessas retas, teremos pontos que estarão representando, no plano cartesiano, cada um dos pares ordenados do conjunto A cartesiano B (B x A). Domínio de uma Função Real Para uma função de R em R, ou seja, com elementos no conjunto dos números reais e imagens também no conjunto dos números reais, será necessária, apenas, a apresentação da sentença que faz a “ligação” entre o elemento e a sua imagem. Porém, para algumas sentenças, alguns valores reais não apresentam imagem real. Por exemplo, na função f(x) = √(x-1) , o número real 0 não apresenta imagem real e, portanto, f(x) características de função, precisamos limitar o conjunto de partida, eliminando do conjunto dos números reais os elementos que, para essa sentença, não apresentam imagem. Nesse caso, bastaria estabelecermos como domínio da função f(x) o conjunto D = {x∈R/x ≥ 1}. Para determinarmos o domínio de uma função, portanto, basta garantirmos que as operações indicadas na sentença são possíveis de serem executadas. Dessa forma, apenas algumas situações nos causam preocupação e elas serão estudadas a seguir. 1ª y= √f(x) 2n f(x)≥(n∈N*) 2ª y= 1 f(x( ⇒ f(x)≠0 Vejamos alguns exemplos de determinação de domínio de uma função real. Exemplos Determine o domínio das seguintes funções reais. - f(x)=3x2 + 7x – 8 D = R
  36. 36. Didatismo e Conhecimento 35 matemática - f(x)=√x+7 x – 7 ≥ 0→ x ≥ 7 D = {x∈R/x ≥ 7} - f(x)= √x+1 3 D = R Observação: Devemos notar que, para raiz de índice impar, o radicando pode assumir qualquer valor real, inclusive o valor negativo. - f(x)= √x+8 3 x + 8 0 → x -8 D = {x∈R/x -8} - f(x)= √x+5 x-8 x – 5 ≥ 0 → x ≥ 5 x – 8 ≥ 0 → x ≠ 8 D = {x∈R/x ≥ 5 e x ≠ 8} Exercícios 1. Determine o domínio das funções reais apresentadas abaixo. a) f(x) = 3x2 + 7x – 8 b) f(x)= 3 3x-6 c) f(x)= √x+2 d) f(x)= √2x+1 3 e) f(x)= 4x √7x+5 2. Um número mais a sua metade é igual a 150. Qual é esse número? 3. Considere a função f, de domínio N, definida por f(1) = 4 e f(x+1) = 3f(x)-2. O valor de f(0) é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 4. Sejam f e g funções definidas em R por f(x)=2x-1 e g(x)=x-3. O valor de g(f(3)) é: a) -1 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
  37. 37. Didatismo e Conhecimento 36 matemática 5. Numa loja, o salário fixo mensal de um vendedor é 500 reais. Além disso, ele recebe de comissão 50 reais por produto vendido. a) Escreva uma equação que expresse o ganho mensal y desse vendedor, em função do número x de produto vendido. b) Quanto ele ganhará no final do mês se vendeu 4 produtos? c) Quantos produtos ele vendeu se no final do mês recebeu 1000 reais? 6. Considere a função dada pela equação y = x + 1, determine a raiz desta função. 7. Determine a raiz da função y = - x + 1 e esboce o gráfico. 8. Determine o intervalo das seguintes funções para que f(x) 0 e f(x) 0. a) y = f(x) = x + 1 b) y = f(x) = -x + 1 9. Determine o conjunto imagem da função: D(f) = {1, 2, 3} y = f(x) = x + 1 10. Determine o conjunto imagem da função: D(f) = {1, 3, 5} y = f(x) = x² Respostas 1) Solução: a) D = R b) 3x – 6 ≠ 0 x ≠ 2 D = R –{2} c) x + 2 ≥ 0 x ≥ -2 D = {x ∈ R/ x ≥ -2} d) D = R Devemos observar que o radicando deve ser maior ou igual a zero para raízes de índice par. e) Temos uma raiz de índice par no denominado, assim: 7x + 5 0 x - 7/5 D = {x ∈ R/ x -5/7}. 2) Resposta “100”. Solução: n + n/2 = 150 2n/2 + n/2 = 300/2 2n + n = 300 3n = 300 n = 300/3 n = 100.
  38. 38. Didatismo e Conhecimento 37 matemática 3. Resposta “C”. Solução : Com a função dada f(x + 1) = 3f(x) – 2 substituímos o valor de x por x = 0: f(0 + 1) = 3f (0) – 2 f(1) = 3f(0) - 2 É dito que f(1) = 4, portanto: 4 = 3f(0) - 2 Isolando f(0): 4+2 = 3f(0) 6 = 3f(0) f(0) = 6/3 = 2. 4) Resposta “E”. Solução: Começamos encontrando f(3): f(3) = 2.(3) + 1, ou seja, f(3) = 7 Se está pedindo g[f(3)] então está pedindo g(7): g(7) = 7 - 3 = 4 Logo, a resposta certa, letra “E”. 5) Solução a) y = salário fixo + comissão y = 500 + 50x b) y = 500 + 50x , onde x = 4 y = 500 + 50 . 4 = 500 + 200 = 700 c) y = 500 + 50x , onde y = 1000 1000 = 500 + 50x   50x = 1000 – 500 50x = 500 x = 10. 6) Solução: Basta determinar o valor de x para termos y = 0 x + 1 = 0 x = -1 Dizemos que -1 é a raiz ou zero da função. Note que o gráfico da função y = x + 1, interceptará (cortará) o eixo x em -1, que é a raiz da função.
  39. 39. Didatismo e Conhecimento 38 MATEMÁTICA 7) Solução: Fazendo y = 0, temos: 0 = -x + 1 x = 1 Gráfico: Note que o gráfico da função y = -x + 1, interceptará (cortará) o eixo x em 1, que é a raiz da função. 8) Solução: a) y = f(x) = x + 1 x + 1 0 x -1 Logo, f(x) será maior que 0 quando x -1 x + 1 0 x -1 Logo, f(x) será menor que 0 quando x -1 b) y = f(x) = -x + 1 * -x + 1 0 -x -1 x 1 Logo, f(x) será maior que 0 quando x 1 -x + 1 0 -x -1 x 1 Logo, f(x) será menor que 0 quando x 1 (*ao multiplicar por -1, inverte-se o sinal da desigualdade). 9) Solução: f(1) = 1 + 1 = 2 f(2) = 2 + 1 = 3 f(3) = 3 + 1 = 4 Logo: Im(f) = {2, 3, 4}. 10) Solução: f(1) = 1² = 1 f(3) = 3² = 9 f(5) = 5² = 25 Logo: Im(f) = {1, 9, 25}
  40. 40. Didatismo e Conhecimento 39 matemática Função do 2º Grau Chama-se função do 2º grau ou função quadrática toda função f de R em R definida por um polinômio do 2º grau da forma f(x) = ax2 + bx + c ou y = ax2 + bx + c , com a, b e c reais e a ≠ 0. Exemplo - y = x2 – 5x + 4, sendo a = 1, b = –5 e c = 4 - y = x2 – 9, sendo a = 1, b = 0 e c = –9 - y = x2 , sendo a = 1, b = 0 e c = 0 Representação gráfica da Função do 2º grau Exemplo Se a função f de R em R definida pela equação y = x2 – 2x – 3. Atribuindo à variável x qualquer valor real, obteremos em correspondência os valores de y: Para x = –2 temos y = (–2)2 – 2(–2) –3 = 4 + 4 – 3 = 5 Para x = –1 temos y = (–1)2 – 2(–1) –3 = 1 + 2 – 3 = 0 Para x = 0 temos y = (0)2 – 2(0) –3 = – 3 Para x = 1 temos y = (1)2 – 2(1) –3 = 1 – 2 – 3 = –4 Para x = 2 temos y = (2)2 – 2(2) –3 = 4 – 4 – 3 = –3 Para x = 3 temos y = (3)2 – 2(3) –3 = 9 – 6 – 3 = 0 Para x = 4 temos y = (4)2 – 2(4) –3 = 16 – 8 – 3 = 5 x y (x,y) –2 5 (–2,5) –1 0 (–1,0) 0 –3 (0, –3) 1 –4 (1, –4) 2 –3 (2, –3) 3 0 (3,0) 4 5 (4,5) O gráfico da função de 2º grau é uma curva aberta chamada parábola. O ponto V indicado na figura chama-se vértice da parábola.
  41. 41. Didatismo e Conhecimento 40 matemática Concavidade da Parábola No caso das funções do 2º grau, a parábola pode ter sua concavidade voltada para cima (a 0) ou voltada para baixo (a 0). a0 a0 Podemos por meio do gráfico de uma função, reconhecer o seu domínio e o conjunto imagem. Consideremos a função f(x) definida por A = [a, b] em R. Domínio: Projeção ortogonal do gráfico da função no eixo x. Assim, D = [a, b] = A Conjunto Imagem: Projeção ortogonal do gráfico da função no eixo y. Assim, Im = [c, d].
  42. 42. Didatismo e Conhecimento 41 matemática Zeros da Função do 2º grau As raízes ou zeros da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c são os valores de x reais tais que f(x) = 0 e, portanto, as soluções da equação do 2º grau. ax2 + bx + c = 0 A resolução de uma equação do 2º grau é feita com o auxílio da chamada “fórmula de Bhaskara”. x = -b +- √Δ 2.a Onde Δ = b2 – 4.a.c As raízes (quando são reais), o vértice e a intersecção com o eixo y são fundamentais para traçarmos um esboço do gráfico de uma função do 2º grau. f(x) = ax2 + bx + c com a ≠ 0 Δ0 Δ=0 Δ0 a0 a0 Coordenadas do vértice da parábola A parábola que representa graficamente a função do 2º grau apresenta como eixo de simetria uma reta vertical que intercepta o gráfico num ponto chamado de vértice. As coordenadas do vértice são: xv = -b 2a e xv = -Δ 4a     Vértice (V)
  43. 43. Didatismo e Conhecimento 42 MATEMÁTICA O Conjunto Imagem de uma função do 2º grau está associado ao seu ponto extremo, ou seja, à ordenada do vértice (yv ). exemplo Vamos determinar as coordenadas do vértice da parábola da seguinte função quadrática: y = x2 – 8x + 15. Cálculo da abscissa do vértice: xv = -b 2a = -(-8) 2(1) = 8 2 = 4 Cálculo da ordenada do vértice: Substituindo x por 4 na função dada: yV = (4)2 – 8(4) + 15 = 16 – 32 + 15 = –1 Logo, o ponto V, vértice dessa parábola, é dado por V (4, –1). Valor máximo e valor mínimo da função do 2º grau - Se a 0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada mínima. Nesse caso, o vértice é chamado ponto de mínimo e a ordenada do vértice é chamada valor mínimo da função; - Se a 0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada máxima. Nesse caso, o vértice é ponto de máximo e a ordenada do vértice é chamada valor máximo da função. Construção do gráfico da função do 2º grau - Determinamos as coordenadas do vértice; - Atribuímos a x valores menores e maiores que xv e calculamos os correspondentes valores de y; - Construímos assim uma tabela de valores; - Marcamos os pontos obtidos no sistema cartesiano; - Traçamos a curva.
  44. 44. Didatismo e Conhecimento 43 matemática Exemplo y = x2 – 4x + 3 Coordenadas do vértice: xv = -b 2a = -(-4) 2(1) = 4 2 = 2 V (2, –1) yV = (2)2 – 4(2) + 3 = 4 – 8 + 3 = –1 Tabela: Para x = 0 temos y = (0)2 – 4(0) + 3 = 0 – 0 + 3 = 3 Para x = 1 temos y = (1)2 – 4(1) + 3 = 1 – 4 + 3 = 0 Para x = 3 temos y = (3)2 – 4(3) + 3 = 9 – 12 + 3 = 0 Para x = 4 temos y = (4)2 – 4(4) + 3 = 16 – 16 + 3 = 3 x y (x,y) 0 3 (0,3) 1 0 (1,0) 2 –1 (2,–1)Vértice 3 0 (3,0) 4 3 (4,3) Gráfico: Estudos do sinal da função do 2º grau Estudar o sinal de uma função quadrática é determinar os valores reais de x que tornam a função positiva, negativa ou nula. Exemplo y = x2 – 6x + 8 Zeros da função: Esboço do Gráfico y = x2 – 6x + 8 Δ = (–6)2 – 4(1)(8) Δ = 36 – 32 = 4 √Δ= √4 = 2
  45. 45. Didatismo e Conhecimento 44 matemática Estudo do Sinal: 4 2 8 2 26 == + Para x 2 ou x 4 temos y 0 2 26 ± =x Para x = 2 ou x = 4 temos y = 0 2 2 4 2 26 == − Para 2 x 4 temos y 0 Exercícios 1. O triplo do quadrado do número de filhos de Pedro é igual a 63 menos 12 vezes o número de filhos. Quantos filhos Pedro tem? 2. Uma tela retangular com área de 9600cm2  tem de largura uma vez e meia a sua altura. Quais são as dimensões desta tela? 3. O quadrado da minha idade menos a idade que eu tinha 20 anos atrás e igual a 2000. Quantos anos eu tenho agora? 4. Comprei 4 lanches a um certo valor unitário. De outro tipo de lanche, com o mesmo preço unitário, a quantidade comprada foi igual ao valor unitário de cada lanche. Paguei com duas notas de cem reais e recebi R$ 8,00 de troco. Qual o preço unitário de cada produto? 5. O produto da idade de Pedro pela idade de Paulo é igual a 374. Pedro é 5 anos mais velho que Paulo. Quantos anos tem cada um deles? 6. Há dois números cujo triplo do quadrado é a igual 15 vezes estes números. Quais números são estes? 7. Quais são as raízes da equação x2  - 14x + 48 = 0? 8. O dobro do quadrado da nota final de Pedrinho é zero. Qual é a sua nota final? 9. Solucione a equação biquadrada: -x4  + 113x2  - 3136 = 0. 10. Encontre as raízes da equação biquadrada: x4 - 20x2 - 576 = 0. Respostas 1) Resposta “3”. Solução: Sendo  x  o número de filhos de Pedro, temos que 3x2  equivale ao  triplo do quadrado do número de filhos e que 63 - 12x equivale a 63 menos 12 vezes o número de filhos. Montando a sentença matemática temos: 3x2  = 63 - 12x Que pode ser expressa como: 3x2  + 12x - 63 = 0 Temos agora uma sentença matemática reduzida à forma ax2  + bx + c = 0, que é denominada equação do 2° grau. Vamos então encontrar as raízes da equação, que será a solução do nosso problema: Primeiramente calculemos o valor de Δ: Δ = b2 - 4.a.c = 122 - 4 . 3 .(-63) = 144 + 756 = 900 Como Δ é maior que zero, de antemão sabemos que a equação possui duas raízes reais distintas. Vamos calculá-las: 3x2 + 12 - 63 = 0 ⇒ x = -12 ± √Δ 2 . 3 ⇒
  46. 46. Didatismo e Conhecimento 45 matemática x1 = -12 + √900 6 ⇒x1 = -12 ± 30 6 ⇒ x1 = 18 6 ⇒ x1 = 3 x2 = -12 - √900 6 ⇒x1 = -12 - 30 6 ⇒ x2 = -42 6 ⇒ x2 = -7 A raízes encontradas são 3 e -7, mas como o número de filhos de uma pessoa não pode ser negativo, descartamos então a raiz -7. Portanto, Pedro tem 3 filhos. 2) Resposta “80cm; 120 cm”. Solução: Se chamarmos de x altura da tela, temos que 1,5x será a sua largura. Sabemos que a área de uma figura geométrica retangular é calculada multiplicando-se a medida da sua largura, pela medida da sua altura. Escrevendo o enunciado na forma de uma sen- tença matemática temos: x . 1,5x = 9600 Que pode ser expressa como: 1,5x2  - 9600 = 0 Note que temos uma equação do 2° grau incompleta, que como já vimos terá duas raízes reais opostas, situação que ocorre sem- pre que o coeficiente b é igual a zero. Vamos aos cálculos: 1,5x2 - 9600 = 0 ⇒ 1,5x2 = 9600 ⇒ x2 = 9600 1,5 ⇒ x = ±√6400 ⇒ x = ±80 As raízes reais encontradas são -80 e 80, no entanto como uma tela não pode ter dimensões negativas, devemos desconsiderar a raiz -80. Como 1,5x representa a largura da tela, temos então que ela será de 1,5 . 80 = 120. Portanto, esta tela tem as dimensões de 80cm de altura, por 120cm de largura. 3) Resposta “45”. Solução: Denominando x a minha idade atual, a partir do enunciado podemos montar a seguinte equação: x2  - (x - 20) = 2000 Ou ainda: x2 - (x - 20) = 2000 ⇒ x2 - x + 20 = 2000 ⇒ x2 - x - 1980 =0 A solução desta equação do 2° grau completa nós dará a resposta deste problema. Vejamos: x2 - x - 1980 = ⇒ x = -(-1) ± √(-1)2 - 4 . 1 . (-1980) 2.1 ⇒ x = 1 ± √7921 2 ⇒ x = 1 ± 89 2 ⇒ x1 = 1 + 89 2 ⇒ x1 = 45 x2 = 1 - 89 2 ⇒ x2 = -44 As raízes reais da equação são -44 e 45. Como eu não posso ter -44 anos, é óbvio que só posso ter 45 anos. Logo, agora eu tenho 45 anos.
  47. 47. Didatismo e Conhecimento 46 MATEMÁTICA 4) Resposta “12”. Solução: O enunciado nos diz que os dois tipos de lanche têm o mesmo valor unitário. Vamos denominá-lo então de x. Ainda segundo o enunciado, de um dos produtos eu comprei 4 unidades e do outro eu comprei x unidades. Sabendo-se que recebi R$ 8,00 de troco ao pagar R$ 200,00 pela mercadoria, temos as informações necessárias para montarmos a seguinte equação: 4 . x + x . x + 8 = 200 Ou então: 4.x + x . x + 8 = 200 ⇒ 4x + x2 + 8 = 200 ⇒ x2 + 4x - 192=0 Como x representa o valor unitário de cada lanche, vamos solucionar a equação para descobrimos que valor é este: x2 + 4x - 192 = 0 ⇒ x = -4 ± √42 - 4 . 1 . (-192) 2.1 ⇒ x = -4 ± √784 2 -4 ± √784 ⇒ x = -4 ± 28 2 ⇒ x1 = -4 + 28 2 ⇒ x1 = 12 x2 = -4 - 89 2 ⇒ x2 = -16 As raízes reais da equação são -16 e 12. Como o preço não pode ser negativo, a raiz igual -16 deve ser descartada. Assim, o preço unitário de cada produto é de R$ 12,00. 5) Resposta “22; 17”. Solução: Se chamarmos de x a idade de Pedro, teremos que x - 5 será a idade de Paulo. Como o produto das idades é igual a 374, temos que x . (x - 5) = 374. Esta sentença matemática também pode ser expressa como: x.(x - 5) = 374 ⇒ x2 - 5x = 374 ⇒ x2 - 5x - 374 = 0 Primeiramente para obtermos a idade de Pedro, vamos solucionar a equação: x2 - 5x - 374 = 0 ⇒ -(-5) ± √(-5)2 - 4 . 1 . (-374) 2.1 ⇒ x = 5 ± √1521 2 ⇒ x = 5 ± 39 2 ⇒ x1 = 5 + 39 2 ⇒ x1 = 22 x2 = 5 - 39 2 ⇒ x2 = -17 As raízes reais encontradas são -17 e 22, por ser negativa, a raiz -17 deve ser descartada. Logo a idade de Pedro é de 22 anos. Como Pedro é 5 anos mais velho que Paulo, Paulo tem então 17 anos. Logo, Pedro tem 22 anos e Paulo tem 17 anos. 6) Resposta “0; 5”. Solução: Em notação matemática, definindo a incógnita como x, podemos escrever esta sentença da seguinte forma: 3x2 = 15x Ou ainda como: 3x2 - 15x = 0
  48. 48. Didatismo e Conhecimento 47 matemática A fórmula geral de resolução ou fórmula de Bhaskara pode ser utilizada na resolução desta equação, mas por se tratar de uma equação incompleta, podemos solucioná-la de outra forma. Como apenas o coeficiente c é igual a zero, sabemos que esta equação possui duas raízes reais. Uma é igual azero e a outra é dada pelo oposto do coeficiente b dividido pelo coeficiente a. Resumindo podemos dizer que: ax2 + bx = 0 ⇒ x1 = 0 x2 = - b a Temos então: x = - b a ⇒ x = -15 3 ⇒ x = 5 7) Resposta “6; 8”. Solução: Podemos resolver esta equação simplesmente respondendo esta pergunta: Quais são os dois números que somados totalizam 14 e que multiplicados resultam em 48? Sem qualquer esforço chegamos a 6 e 8, pois 6 + 8 = 14 e 6 . 8 = 48. Segundo as relações de Albert Girard, que você encontra em detalhes em outra página deste site, estas são as raízes da referida equação. [Para simples conferência, vamos solucioná-la também através da fórmula de Bhaskara: x2 - 14x + 48 = 0 ⇒ x = -(-14) ± √(-14)2 - 4 . 1 . 48 2.1 ⇒ x = 14 ± √4 2 ⇒ x = 14 ± 2 2 ⇒ x1 = 14 + 2 2 ⇒ x1 = 8 x2 = 14 - 2 2 ⇒ x2 = 6 8) Resposta “0”. Solução: Sendo x a nota final, matematicamente temos: 2x2  = 0 Podemos identificar esta sentença matemática como sendo uma equação do segundo grau incompleta, cujos coeficientes b e c são iguais a zero. Conforme já estudamos este tipo de equação sempre terá como raiz real o número zero. Apenas para verificação vejamos: 2x2 = 0 ⇒ x2 = 0 2 ⇒ x2 = 0 ⇒ x ±√0 ⇒ x =0 9) Resposta “-8; -7; 7 e 8”. Solução: Substituindo na equação x4  por y2  e também x2  e y temos: -y2  + 113y - 3136 = 0 Resolvendo teremos: -y2 + 113y - 3136 = 0 ⇒ y = −113± 1132 − 4.(−1).(−3136) 2 + (−1)
  49. 49. Didatismo e Conhecimento 48 matemática ⇒ y1 = −113+ 225 −2 ⇒ y1 = -113 + 15 -2 y2 = −113− 225 −2 ⇒ y2 = -113 - 15 -2 ⇒ y1 = -98 -2 ⇒ y1 = 49 y2 = -128 -2 ⇒ y2 = 64 Substituindo os valores de y na expressão x2  = y temos: Para y1  temos: x2 = 49 ⇒ x ±√49 ⇒ x1 = √49 ⇒ x1 = 7 x2 = - √49 ⇒ x2 = -7 Para y2  temos: x2 = 64 ⇒ x ±√64 ⇒ x3 = √64 ⇒ x3 = 8 x4 = - √64 ⇒ x4 = -8 Assim sendo, as raízes da equação biquadrada -x4  + 113x2  - 3136 = 0 são: -8, -7, 7 e 8. 10) Resposta “-6; 6”. Solução: Iremos substituir x4  por y2  e x2  e y, obtendo uma equação do segundo grau: y2  - 20y - 576 = 0 Ao resolvermos a mesma temos: y2 - 20y - 576 = 0 ⇒ −20 ± (−20)2 − 4.1.(−576) 2.3 y1 = 20 + 2704 2 ⇒y1 = 20 + 52 2 ⇒y1 = 72 2 ⇒y1 =36 y2 = 20 − 2704 2 ⇒y2 = 20 − 52 2 ⇒y2 = −32 2 ⇒y2 =-16 Substituindo os valores de y na expressão x2  = y obtemos as raízes da equação biquadrada: Para y1  temos: x2 = 36 ⇒ x = ±√36 ⇒ x1 = √36 ⇒ x1 = 6 x2 = -√36 ⇒ x2 = -6 Para y2 , como não existe raiz quadrada real de um número negativo, o valor de -16 não será considerado. Desta forma, as raízes da equação biquadrada x4  - 20x2  - 576 = 0 são somente: -6 e 6.
  50. 50. Didatismo e Conhecimento 49 MATEMÁTICA PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS. Progressão Aritmética (PA) Podemos, no nosso dia a dia, estabelecer diversas sequências como, por exemplo, a sucessão de cidades que temos numa viagem de automóvel entre Brasília e São Paulo ou a sucessão das datas de aniversário dos alunos de uma determinada escola. Podemos, também, adotar para essas sequências uma ordem numérica, ou seja, adotando a1 para o 1º termo, a2 para o 2º termo até an para o n-ésimo termo. Dizemos que o termo an é também chamado termo geral das sequências, em que n é um número natural diferente de zero. Evidentemente, daremos atenção ao estudo das sequências numéricas. As sequências podem ser finitas, quando apresentam um último termo, ou, infinitas, quando não apresentam um último termo. As sequências infinitas são indicadas por reticências no final. exemplos: - Sequência dos números primos positivos: (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...). Notemos que esta é uma sequência infinita com a1 = 2; a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 11; a6 = 13 etc. - Sequência dos números ímpares positivos: (1, 3, 5, 7, 9, 11, ...). Notemos que esta é uma sequência infinita com a1 = 1; a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 9; a6 = 11 etc. - Sequência dos algarismos do sistema decimal de numeração: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Notemos que esta é uma sequência finita com a1 = 0; a2 = 1; a3 = 2; a4 = 3; a5 = 4; a6 = 5; a7 = 6; a8 = 7; a9 = 8; a10 = 9. 1. igualdade As sequências são apresentadas com os seus termos entre parênteses colocados de forma ordenada. Sucessões que apresentarem os mesmos termos em ordem diferente serão consideradas sucessões diferentes. Duas sequências só poderão ser consideradas iguais se, e somente se, apresentarem os mesmos termos, na mesma ordem. exemplo A sequência (x, y, z, t) poderá ser considerada igual à sequência (5, 8, 15, 17) se, e somente se, x = 5; y = 8; z = 15; e t = 17. Notemos que as sequências (0, 1, 2, 3, 4, 5) e (5, 4, 3, 2, 1) são diferentes, pois, embora apresentem os mesmos elementos, eles estão em ordem diferente. 2. Formula termo Geral Podemos apresentar uma sequência através de uma determina o valor de cada termo an em função do valor de n, ou seja, dependendo da posição do termo. Esta formula que determina o valor do termo an e chamada formula do termo geral da sucessão. exemplos - Determinar os cincos primeiros termos da sequência cujo termo geral e igual a: an = n – 2n,com n € N* a Teremos: A1 = 12 – 2 . 1 a a1 = 1 A2 = 22 – 2 . 2 a a2 = 0 A3 = 32 – 2 . 3 a a3 = 3 A4 = 42 – 4 . 2 a a4 = 8 A5 = 55 – 5 . 2 a a5 = 15 - Determinar os cinco primeiros termos da sequência cujo termo geral é igual a: an = 3 . n + 2, com n € N*. a1 = 3 . 1 + 2 a a1 = 5 a2 = 3 . 2 + 2 a a2 = 8
  51. 51. Didatismo e Conhecimento 50 matemática a3 = 3 . 3 + 2 a a3 = 11 a4 = 3 . 4 + 2 a a4 = 14 a5 = 3 . 5 + 2 a a5 = 17 - Determinar os termos a12 e a23 da sequência cujo termo geral é igual a: an = 45 – 4 + n, com n € N*. Teremos: a12 = 45 – 4 . 12 a a12 = -3 a23 = 45 – 4 . 23 a a23 = -47 3. Lei de Recorrências Uma sequência pode ser definida quando oferecemos o valor do primeiro termo e um “caminho” (uma formula) que permite a determinação de cada termo conhecendo-se o seu antecedente. Essa forma de apresentação de uma sucessão é dita de recorrências. Exemplos - Escrever os cinco primeiros termos de uma sequência em que: a1 = 3 e an+1 = 2 . an - 4, em que n € N*. Teremos: a1 = 3 a2 = 2 . a1 – 4 a a2 = 2 . 3 – 4 a a2 = 2 a3 = 2 . a2 – 4 a a3 = 2 . 2 - 4 a a3 = 0 a4 = 2 . a3 – 4 a a4 = 2 . 0 - 4 a a4 = -4 a5 = 2 . a4 – 4 a a5 = 2 .(-4) – 4 a a5 = -12 - Determinar o termo a5 de uma sequência em que: a1 = 12 e an+ 1 = an – 2, em que n € N*. a2 = a1 – 2 → a2 = 12 – 2 → a2 =10 a3 = a2 – 2 → a3 = 10 – 2 → a3 = 8 a4 = a3 – 2 → a4 = 8 – 2 → a4 = 6 a5 = a4 – 2 → a5 = 6 – 2 → a5 = 4 Observação 1 Devemos observar que a apresentação de uma sequência através do termo geral é mais pratica, visto que podemos determinar um termo no “meio” da sequência sem a necessidade de determinarmos os termos intermediários, como ocorre na apresentação da sequência através da lei de recorrências. Observação 2 Algumas sequências não podem, pela sua forma “desorganizada” de se apresentarem, ser definidas nem pela lei das recorrências, nem pela formula do termo geral. Um exemplo de uma sequência como esta é a sucessão de números naturais primos que já “des- truiu” todas as tentativas de se encontrar uma formula geral para seus termos. 4. Artifícios de Resolução Em diversas situações, quando fazemos uso de apenas alguns elementos da PA, é possível, através de artifícios de resolução, tornar o procedimento mais simples: PA com três termos: (a – r), a e (a + r), razão igual a r. PA com quatro termos: (a – 3r), (a – r), (a + r) e (a + 3r), razão igual a 2r. PA com cinco termos: (a – 2r), (a – r), a, (a + r) e (a + 2r), razão igual a r.
  52. 52. Didatismo e Conhecimento 51 matemática Exemplo - Determinar os números a, b e c cuja soma é, igual a 15, o produto é igual a 105 e formam uma PA crescente. Teremos: Fazendo a = (b – r) e c = (b + r) e sendo a + b + c = 15, teremos: (b – r) + b + (b + r) = 15 → 3b = 15 → b = 5. Assim, um dos números, o termo médio da PA, já é conhecido. Dessa forma a sequência passa a ser: (5 – r), 5 e ( 5 + r ), cujo produto é igual a 105, ou seja: (5 – r) .5 . (5 + r) = 105 → 52 – r2 = 21 r2 = 4 → 2 ou r = -2. Sendo a PA crescente, ficaremos apenas com r= 2. Finalmente, teremos a = 3, b = 5 e c= 7. 5. Propriedades P1 : para três termos consecutivos de uma PA, o termo médio é a media aritmética dos outros dois termos. Exemplo Vamos considerar três termos consecutivos de uma PA: an-1 , an e an+1 . Podemos afirmar que: I - an = an-1 + r II - an = an+ 1 –r Fazendo I + II, obteremos: 2an = an-1 + r + an +1 - r 2an = an -1+ an + 1 Logo: an = an -1 + an +1 2 Portanto, para três termos consecutivos de uma PA o termo médio é a media aritmética dos outros dois termos. 6. Termos Equidistantes dos Extremos Numa sequência finita, dizemos que dois termos são equidistantes dos extremos se a quantidade de termos que precederem o primeiro deles for igual à quantidade de termos que sucederem ao outro termo. Assim, na sucessão: (a1 , a2 , a3 , a4 ,..., ap ,..., ak ,..., an-3 , an-2 , an-1 , an ), temos: a2 e an-1 são termos equidistantes dos extremos; a3 e an-2 são termos equidistantes dos extremos; a4 an-3 são termos equidistantes dos extremos. Notemos que sempre que dois termos são equidistantes dos extremos, a soma dos seus índices é igual ao valor de n + 1. Assim sendo, podemos generalizar que, se os termos ap e ak são equidistantes dos extremos, então: p + k = n+1. Propriedade Numa PA com n termos, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma destes extremos.
  53. 53. Didatismo e Conhecimento 52 matemática Exemplo Sejam, numa PA de n termos, ap e ak termos equidistantes dos extremos. Teremos, então: I - ap = a1 + (p – 1) . r a ap = a1 + p . r – r II - ak = a1 + (k – 1) . r a ak = a1 + k . r – r Fazendo I + II, teremos: Ap + ak = a1 + p . r – r + a1 + k . r – r Ap + ak = a1 + a1 + (p + k – 1 – 1) . r Considerando que p + k = n + 1, ficamos com: ap + ak = a1 + a1 + (n + 1 – 1) . r ap + ak = a1 + a1 + (n – 1) . r ap + ak = a1 + an Portanto numa PA com n termos, em que n é um numero ímpar, o termo médios (am ) é a media aritmética dos extremos. Am = a1 + an 2 7. Soma dos n Primeiros Termos de uma PA Vamos considerar a PA (a1 , a2 , a3 ,…,an-2 , an-1 ,an ) e representar por Sn a soma dos seus n termos, ou seja: Sn = a1 + a2 + a3 + …+ an-2 + an-1 + an (igualdade I) Podemos escrever também: Sn = an + an-1 + an-2 + ...+ a3 + a2 + a1 (igualdade II) Somando-se I e II, temos: 2Sn = (a1 + an ) + (a2 + an-1 ) + (a3 + an-2 ) + …+ (an-2 + a3 ) + (an-1 + a2 ) + (an + a1 ) Considerando que todas estas parcelas, colocadas entre parênteses, são formadas por termos equidistantes dos extremos e que a soma destes termos é igual à soma dos extremos, temos: 2Sn = (a1 + an ) + (a1 + an ) + (a1 + an ) + (a1 + an ) + +… + (a1 + an ) → 2Sn = ( a1 + an ) . n E, assim, finalmente: Sn = (a1 + an ).n 2 Exemplo - Ache a soma dos sessenta primeiros termos da PA (2 , 5, 8,...). Dados: a1 = 2 r = 5 – 2 = 3 Calculo de a60 : A60 = a1 + 59r → a60 = 2 + 59 . 3 a60 = 2 + 177 a60 = 179
  54. 54. Didatismo e Conhecimento 53 matemática Calculo da soma: Sn = (a1 + an )n 2 → S60 = (a1 + a60 ).60 2 S60 = (2 +179).60 2 S60 = 5430 Resposta: 5430 Progressão Geométrica (PG) PG é uma sequência numérica onde cada termo, a partir do segundo, é o anterior multiplicado por uma constante q chamada razão da PG. an+1 = an . q Com a1 conhecido e n € N* Exemplos - (3, 6, 12, 24, 48,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 3 e razão q = 2. - (-36, -18, -9, −9 2 , −9 4 ,...) é uma PG de primeiro termo a1 = -36 e razão q = 1 2 . - (15, 5, 5 3 , 5 9 ,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 15 e razão q = 1 3 . - (-2, -6, -18, -54, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = -2 e razão q = 3. - (1, -3, 9, -27, 81, -243, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 1 e razão q = -3. - (5, 5, 5, 5, 5, 5,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 5 e razão q = 1. - (7, 0, 0, 0, 0, 0,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 7 e razão q = 0. - (0, 0, 0, 0, 0, 0,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 0 e razão q qualquer. Observação: Para determinar a razão de uma PG, basta efetuar o quociente entre dois termos consecutivos: o posterior dividido pelo anterior. q = an +1 an (an ≠ 0) Classificação As classificações geométricas são classificadas assim: - Crescente: Quando cada termo é maior que o anterior. Isto ocorre quando a1 0 e q 1 ou quando a1 0 e 0 q 1. - Decrescente: Quando cada termo é menor que o anterior. Isto ocorre quando a1 0 e 0 q 1 ou quando a1 0 e q 1. - Alternante: Quando cada termo apresenta sinal contrario ao do anterior. Isto ocorre quando q 0. - Constante: Quando todos os termos são iguais. Isto ocorre quando q = 1. Uma PG constante é também uma PA de razão r = 0. A PG constante é também chamada de PG estacionaria. - Singular: Quando zero é um dos seus termos. Isto ocorre quando a1 = 0 ou q = 0. Formula do Termo Geral A definição de PG está sendo apresentada por meio de uma lei de recorrências, e nos já aprendemos nos módulos anteriores que a formula do termo geral é mais pratica. Por isso, estaremos, neste item, procurando estabelecer, a partir da lei de recorrências, a fórmula do termo geral da progressão geométrica.
  55. 55. Didatismo e Conhecimento 54 matemática Vamos considerar uma PG de primeiro termo a1 e razão q. Assim, teremos: a2 = a1 . q a3 = a2 . q = a1 . q2 a4 = a3 . q = a1 . q3 a5 = a4 . q = a1 . q4 . . . . . . an = a1 . qn-1 Exemplos - Numa PG de primeiro termo a1 = 2 e razão q = 3, temos o termo geral na igual a: an = a1 . qn-1 → an = 2 . 3n-1 Assim, se quisermos determinar o termo a5 desta PG, faremos: A5 = 2 . 34 → a5 = 162 - Numa PG de termo a1 = 15 e razão q = , temos o termo geral na igual a: an = a1 . qn-1 → an = 15 . n-1 Assim, se quisermos determinar o termo a6 desta PG, faremos: A6 = 15 . (1).5 2 → a6 = 5 81 - Numa PG de primeiro termo a1 = 1 e razão = -3 temos o termo geral na igual a: an = a1 . qn-1 → an = 1 . (-3)n-1 Assim, se quisermos determinar o termo a4 desta PG, faremos: A4 = 1 . (-3)3 → a4 = -27 Artifícios de Resolução Em diversas situações, quando fazemos uso de apenas alguns elementos da PG, é possível através de alguns elementos de resolução, tornar o procedimento mais simples. PG com três termos: a q a; aq PG com quatro termos: a q3 ; q q ; aq; aq3 PG com cinco termos: a q2 ; q q ; a; aq; aq2 Exemplo Considere uma PG crescente formada de três números. Determine esta PG sabendo que a soma destes números é 13 e o produto é 27. Vamos considerar a PG em questão formada pelos termos a, b e c, onde a = e c = b . q.
  56. 56. Didatismo e Conhecimento 55 matemática Assim, b q . b . bq = 27 → b3 = 27 → b = 3. Temos: 3 q + 3 +3q = 13 → 3q2 – 10q + 3 = 0 a q = 3 ou q = 1 3 Sendo a PG crescente, consideramos apenas q = 3. E, assim, a nossa PG é dada pelos números: 1, 3 e 9. Propriedades P1 : Para três termos consecutivos de uma PG, o quadrado do termo médio é igual ao produto dos outros dois. Exemplo Vamos considerar três termos consecutivos de uma PG: an-1 , an e an+1 . Podemos afirmar que: I – an = an-1 . q e II – an = an+1 q Fazendo I . II, obteremos: (an )2 = (an-1 . q). ( an+1 q ) a (an )2 = an-1 . an+1 Logo: (an )2 = an-1 . an+1 Observação: Se a PG for positive, o termo médio será a media geométrica dos outros dois: an = √an-1 . an+1 P2 : Numa PG, com n termos, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto destes extremos. Exemplo Sejam, numa PG de n termos, ap e ak dois termos equidistantes dos extremos. Teremos, então: I – ap = a1 . qp-1 II – ak = a1 . qk-1 Multiplicando I por II, ficaremos com: ap . ak = a1 . qp-1 . a1 . qk-1 ap . ak = a1 . a1 . qp-1+k-1 Considerando que p + k = n + 1, ficamos com: ap . ak = a1 . an Portanto, numa PG, com n termos, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto destes extremos. Observação: Numa PG positiva, com n termos, onde n é um numero impar, o termo médio (am ) é a media geométrica dos extremos ou de 2 termos equidistantes dos extremos. am = √a1 . an
  57. 57. Didatismo e Conhecimento 56 matemática Soma dos termos de uma PG Soma dos n Primeiros Termos de uma PG Vamos considerar a PG (a1 , a2 , a3 , ..., an-2 , an-1 , an ), com q diferente de 1 e representar por Sn a soma dos seus n termos, ou seja: Sn = a1 + a2 + a3 + ...+an-2 + an-1 + an ( igualdade I) Podemos escrever, multiplicando-se, membro a membro, a igualdade ( I ) por q: q . Sn = q . a1 + q . a2 + q . a3 + ...+ q . an-2 + + q . an-1 + q . an Utilizando a formula do termo geral da PG, ou seja, an = a1 . qn-1 , teremos: q . Sn = a2 + a3 + ... + an-2 + an-1 + an + a1 . qn (igualdade II) Subtraindo-se a equação I da equação II, teremos: q . Sn – Sn = a1 . qn – a1 → sn . (q – 1) = = a1 . (qn – 1) E assim: Sn = a1.(qn −1) q −1 Se tivéssemos efetuado a subtração das equações em ordem inversa, a fórmula da soma dos termos da PG ficaria: Sn = a1.(1+ qn ) 1− q Evidentemente que por qualquer um dos “caminhos” o resultado final é o mesmo. É somente uma questão de forma de apresentação. Observação: Para q = 1, teremos sn = n . a1 Série Convergente – PG Convergente Dada a sequência ( a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ,..., an-2 , an-1 , an ), chamamos de serie a sequência S1 , S2 , S3 , S4 , S5 ,..., Sn-2 , sn-1 , sn ,tal que: S1 = a1 S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 S4 = a1 + a2 + a3 + a4 S5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 . . . Sn-2 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ...+ an-2 Sn-1 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ...+ an-2 + an-1 Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ...+ an-2 + an-1 + an Vamos observar como exemplo, numa PG com primeiro termo a1 = 4 e razão q = , à série que ela vai gerar. Os termos que vão determinar a progressão geométrica são: (4, 2, 1, 1 2 , 1, 1, 1, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 1 128 , 1 256 , 1 512 ...)
  58. 58. Didatismo e Conhecimento 57 matemática E, portanto, a série correspondente será: S1 = 4 S2 = 4 + 2 = 6 S3 = 4 + 2 + 1 = 7 S4 = 4 + 2 + 1 + 1 2 = 15 2 = 7, 5 S5 = 4 + 2 + 1 + 1 2 + 1 4 = 31 4 = 7, 75 S6 = 4 + 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 = 63 8 = 7, 875 S7 = 4 + 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 = 127 16 = 7, 9375 S8 = 4 + 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 = 255 32 = 7, 96875 S9 = 4 + 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + 1 64 = 511 64 = 7, 984375 S10 = 4 + 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + 1 64 + 1 128 = 1023 128 = 7, 9921875 Devemos notar que a cada novo termo calculado, na PG, o seu valor numérico cada vez mais se aproxima de zero. Dizemos que esta é uma progressão geométrica convergente. Por outro lado, na serie, é cada vez menor a parcela que se acrescenta. Desta forma, o ultimo termos da serie vai tendendo a um valor que parece ser o limite para a série em estudo. No exemplo numérico, estudado anteriormente, nota-se claramente que este valor limite é o numero 8. Bem, vamos dar a esta discussão um caráter matemático. É claro que, para a PG ser convergente, é necessário que cada termo seja, um valor absoluto, inferior ao anterior a ele. Assim, temos que: PG convergente → | q | 1 ou PG convergente → -1 1 Resta estabelecermos o limite da serie, que é o Sn para quando n tende ao infinito, ou seja, estabelecermos a soma dos infinitos termos da PG convergente. Vamos partir da soma dos n primeiros termos da PG: Sn = a1.(1+ qn ) 1− q Estando q entre os números -1e 1 e, sendo n um expoente que tende a um valor muito grande, pois estamos somando os infinitos termos desta PG, é fácil deduzir que qn vai apresentando um valor cada vez mais próximo de zero. Para valores extremamente grandes de n não constitui erro considerar que qn é igual a zero. E, assim, teremos: S = a1 1− q Observação: Quando a PG é não singular (sequência com termos não nulos) e a razão q é de tal forma que q | ≥ 1, a serie é divergente. Séries divergentes não apresentam soma finita.
  59. 59. Didatismo e Conhecimento 58 matemática Exemplos - A medida do lado de um triângulo equilátero é 10. Unindo-se os pontos médios de seus lados, obtém-se o segundo triângulo equilátero. Unindo-se os pontos médios dos lados deste novo triangulo equilátero, obtém-se um terceiro, e assim por diante, indefinidamente. Calcule a soma dos perímetros de todos esses triângulos. Solução: Temos: perímetro do 1º triangulo = 30 perímetro do 2º triangulo = 15 perímetro do 3º triangulo = 15 2 Logo, devemos calcular a soma dos termos da PG infinita 30, 15, 15 2 ,... na qual a1 = 30 e q =. 1 2 S = a1 → s = 30 1− q = 30 1− 1 2 = 60. Exercícios 1. Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é: a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 2. O valor de n que torna a sequência (2 + 3n; –5n; 1 – 4n) uma progressão aritmética pertence ao intervalo: a) [– 2, –1] b) [– 1, 0] c) [0, 1] d) [1, 2] e) [2, 3] 3. Os termos da sequência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obedecem a uma lei de formação. Se an , em que n pertence a N*, é o termo de ordem n dessa sequência, então a30 + a55 é igual a: a) 58 b) 59 c) 60 d) 61 e) 62 4. A soma dos elementos da sequência numérica infinita (3; 0,9; 0,09; 0,009; …) é: a) 3,1 b) 3,9 c) 3,99 d) 3, 999 e) 4
  60. 60. Didatismo e Conhecimento 59 matemática 5. A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão aritmética é -15. A soma do sexto termo dessa PA., com o décimo quinto termo, vale: a) 3,0 b) 1,0 c) 1,5 d) -1,5 e) -3,0 6. Os números que expressam os ângulos de um quadrilátero, estão em progressão geométrica de razão 2. Um desses ângulos mede: a) 28° b) 32° c) 36° d) 48° e) 50° 7. Sabe-se que S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 999...9 onde a última parcela contém n algarismos. Nestas condições, o valor de 10n+1 - 9(S + n) é: a) 1 b) 10 c) 100 d) -1 e) -10 8. Se a soma dos três primeiros termos de uma PG decrescente é 39 e o seu produto é 729, então sendo a, b e c os três primeiros termos, pede-se calcular o valor de a2 + b2 + c2. 9. O limite da expressão   onde x é positivo, quando o número de radicais aumenta indefinidamente é igual a: a) 1/x b) x c) 2x d) n.x e) 1978x 10. Quantos números inteiros existem, de 1000 a 10000, que não são divisíveis nem por 5 nem por 7 ? Respostas 1) Resposta “D”. Solução: Sejam (a1 , a2 , a3 ,…) a PA de r e (g1 , g2 , g3 , …) a PG de razão q. Temos como condições iniciais: 1 - a1  = g1  = 4 2 - a3  0, g3  0 e a3  = g3 3 - a2  = g2  + 2 Reescrevendo (2) e (3) utilizando as fórmulas gerais dos termos de uma PA e de uma PG e (1) obtemos o seguinte sistema de equações: 4 - a3  = a1  + 2r e g3  = g1 . q2 → 4 + 2r = 4q2 5 - a2  = a1  + r e g2  = g1 . q → 4 + r = 4q + 2
  61. 61. Didatismo e Conhecimento 60 matemática Expressando, a partir da equação (5), o valor de r em função de q e substituindo r em (4) vem: 5 - r = 4q + 2 – 4 → r = 4q – 2 4 - 4 + 2(4q – 2) = 4q2 → 4 + 8q – 4 = 4q2 → 4q2  – 8q = 0 → q(4q – 8) = 0 → q = 0 ou 4q – 8 = 0 → q = 2 Como g3 0, q não pode ser zero e então q = 2. Para obter r basta substituir q na equação (5): r = 4q – 2 → r = 8 – 2 = 6 Para concluir calculamos a3  e g3 : a3  = a1  + 2r → a3  = 4 + 12 = 16 g3  = g1 .q2  → g3  = 4.4 = 16 2) Resposta “B”. Solução: Para que a sequência se torne uma PA de razão r é necessário que seus três termos satisfaçam as igualdades (aplicação da definição de PA): (1) -5n = 2 + 3n + r (2) 1 – 4n = -5n + r Determinando o valor de r em (1) e substituindo em (2): (1) → r = -5n – 2 – 3n = -8n – 2 (2) → 1 – 4n = -5n – 8n – 2 → 1 – 4n = -13n – 2 → 13n – 4n = -2 – 1 → 9n = -3 → n = -3/9 = -1/3 Ou seja, -1 n 0 e, portanto, a resposta correta é a b. 3) Resposta “B”. Solução: Primeiro, observe que os termos ímpares da sequência é uma PA de razão 1 e primeiro termo 10 - (10; 11; 12; 13; …). Da mesma forma os termos pares é uma PA de razão 1 e primeiro termo igual a 8 - (8; 9; 10; 11; …). Assim, as duas PA têm como termo geral o seguinte formato: (1) ai = a1 + (i - 1).1 = a1 + i – 1 Para determinar a30 + a55 precisamos estabelecer a regra geral de formação da sequência, que está intrinsecamente relacionada às duas progressões da seguinte forma: - Se n (índice da sucessão) é impar temos que n = 2i - 1, ou seja, i = (n + 1)/2; - Se n é par temos n = 2i ou i = n/2. Daqui e de (1) obtemos que: an = 10 + [(n + 1)/2] - 1 se n é ímpar an = 8 + (n/2) - 1 se n é par Logo: a30 = 8 + (30/2) - 1 = 8 + 15 - 1 = 22 e a55 = 10 + [(55 + 1)/2] - 1 = 37 E, portanto: a30 + a55 = 22 + 37 = 59. 4) Resposta “E”. Solução: Sejam S as somas dos elementos da sequência e S1 a soma da PG infinita (0,9; 0,09; 0,009;…) de razão q = 10 - 1 = 0,1. Assim: S = 3 + S1 Como -1 q 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma PG infinita para obter S1 : S1 = 0,9/(1 - 0,1) = 0,9/0,9 = 1 → S = 3 + 1 = 4
  62. 62. Didatismo e Conhecimento 61 matemática 5) Resposta “D”. Solução: Aplicando a fórmula da soma dos 20 primeiros termos da PA: S20 = 20(a1 + a20 )/2 = -15 Na PA finita de 20 termos, o sexto e o décimo quinto são equidistantes dos extremos, uma vez que: 15 + 6 = 20 + 1 = 21 E, portanto: a6 + a15 = a1 + a20 Substituindo este valor na primeira igualdade vem: 20(a6 + a15 )/2 = -15 → 10(a6 + a15) = -15 → a6 + a15 = -15/10 = -1,5. 6) Resposta “D”. Solução: Seja x o menor ângulo interno do quadrilátero em questão. Como os ângulos estão em Progressão Geométrica de razão 2, podemos escrever a PG de 4 termos: (x, 2x, 4x, 8x). Ora, a soma dos ângulos internos de um quadrilátero vale 360º. Logo, x + 2x + 4x + 8x = 360º 15.x = 360º Portanto, x = 24º. Os ângulos do quadrilátero são, portanto: 24º, 48º, 96º e 192º. O problema pede um dos ângulos. Logo, alternativa D. 7) Resposta “B”. Solução: Observe que podemos escrever a soma S como: S = (10 – 1) + (100 – 1) + (1000 – 1) + (10000 – 1) + ... + (10n  – 1) S = (10 – 1) + (102  – 1) + (103  – 1) + (104  – 1) + ... + (10n  – 1) Como existem n parcelas, observe que o número (– 1) é somado n vezes, resultando em n(-1) = - n. Logo, poderemos escrever: S = (10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n ) – n Vamos calcular a soma Sn  = 10 + 102  + 103  + 104  + ... + 10n , que é uma PG de primeiro termo a1  = 10, razão q = 10 e último termo an  = 10n . Teremos: Sn  = (an .q – a1 ) / (q –1) = (10n  . 10 – 10) / (10 – 1) = (10n+1  – 10) / 9 Substituindo em S, vem: S = [(10n+1  – 10) / 9] – n Deseja-se calcular o valor de 10n+1  - 9(S + n) Temos que S + n = [(10n+1  – 10) / 9] – n + n = (10n+1  – 10) / 9 Substituindo o valor de S + n encontrado acima, fica: 10n+1  – 9(S + n) = 10n+1  – 9(10n+1  – 10) / 9 = 10n+1  – (10n+1  – 10) = 10. 8) Resposta “819”. Solução: Sendo q a razão da PG, poderemos escrever a sua forma genérica: (x/q, x, xq). Como o produto dos 3 termos vale 729, vem: x/q . x . xq = 729 de onde concluímos que: x3  = 729 = 36  = 33  . 33  = 93  , logo, x = 9. Portanto a PG é do tipo: 9/q, 9, 9q É dado que a soma dos 3 termos vale 39, logo: 9/q + 9 + 9q = 39 de onde vem: 9/q + 9q – 30 = 0
  63. 63. Didatismo e Conhecimento 62 MATEMÁTICA Multiplicando ambos os membros por q, fica: 9 + 9q2 – 30q = 0 Dividindo por 3 e ordenando, fica: 3q2 – 10q + 3 = 0, que é uma equação do segundo grau. Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos q = 3 ou q = 1/3. Como é dito que a PG é decrescente, devemos considerar apenas o valor q = 1/3, já que para q = 3, a PG seria crescente. Portanto, a PG é: 9/q, 9, 9q, ou substituindo o valor de q vem: 27, 9, 3. O problema pede a soma dos quadrados, logo: a2 + b2 + c2 = 272 + 92 + 32 = 729 + 81 + 9 = 819. 9) Resposta “B”. Solução: Observe que a expressão dada pode ser escrita como: x1/2 . x1/4 . x1/8 . x1/16 . ... = x1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ... O expoente é a soma dos termos de uma PG infinita de primeiro termo a1 = 1 /2 e razão q = 1 /2. Logo, a soma valerá: S = a1 / (1 – q) = (1 /2) / 1 – (1 /2) = 1 Então, x1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ... = x1 = x 10) Resposta “6171”. Solução: Dados: M(5) = 1000, 1005, ..., 9995, 10000. M(7) = 1001, 1008, ..., 9996. M(35) = 1015, 1050, ... , 9975. M(1) = 1, 2, ..., 10000. Para múltiplos de 5, temos: an = a1+ (n-1).r → 10000 = 1000 + (n - 1). 5 → n = 9005/5 → n = 1801. Para múltiplos de 7, temos: an = a1+ (n-1).r → 9996 = 1001 + (n - 1). 7 → n = 9002/7 → n = 1286. Para múltiplos de 35, temos: an = a1 + (n - 1).r → 9975 = 1015 + (n - 1).35 → n = 8995/35 → n = 257. Para múltiplos de 1, temos: an = a1 = (n -1).r → 10000 = 1000 + (n - 1).1 → n = 9001. Sabemos que os múltiplos de 35 são múltiplos comuns de 5 e 7, isto é, eles aparecem no conjunto dos múltiplos de 5 e no conjunto dos múltiplos de 7 (daí adicionarmos uma vez tal conjunto de múltiplos). Total = M(1) - M(5) - M(7) + M(35). Total = 9001 - 1801 - 1286 + 257 = 6171 LOGARITMOS. Toda equação que contém a incógnita na base ou no logaritmando de um logaritmo é denominada equação logarítmica. Abai- xo temos alguns exemplos de equações logarítmicas: log2 x = 3 logx = 100 = 2 7log5 = 625x = 42 3log2x 64 = 9 log−6−x 2x = 1 Perceba que nestas equações a incógnita encontra-se ou no logaritmando, ou na base de um logaritmo. Para solucionarmos equações logarítmicas recorremos a muitas das propriedades dos logaritmos.

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