1. N ÚMEROS R EALES
Capitulo 1
1. NUMEROS REALES
1.1. NÚMEROS NATURALES.
1.1.1. Definición.
1.1.2. Operaciones.
1.2. NÚMEROS ENTEROS.
1.2.1. Definición.
1.2.2. Orden.
1.2.3. Operaciones
1.3. NÚMEROS RACIONALES.
1.3.1. Definición.
1.3.2. Orden.
1.3.3. Expresión decimal.
1.3.4. Equivalencias.
1.3.5. Operaciones fundamentales.
1.3.6. Razones y proporciones.
1.4. NÚMEROS IRRACIONALES.
1.4.1. Definición.
1.5. NÚMEROS REALES.
1.5.1. Definición.
1.5.2. Representación geométrica.
1.5.3. Definición de igualdad y sus propiedades.
1.6. APLICACIONES.
1.6.1. Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.)
1.6.2. Máximo Común Divisor. (M.C.D.)
1.6.3. Potencia y radicación.
1.6.4. Notación científica.
Tras la primera Revolución del Hombre, la del Neolítico, cuando en tierras del
Próximo Oriente surgían las primeras civilizaciones de agricultores y las primeras
ciudades, también hizo su aparición una ciencia trascendental para el hombre: la
Aritmética.
Efectivamente, el hombre tuvo enseguida necesidad de contar, medir y calcular
sus pertenencias, ya fueran cosechas, campos, o el tiempo. Ahí empezaron en
forma rudimentaria los números y los usos de las cuatro reglas que más tarde se
estudiarían bien y teorizarían. El desarrollo de esta ciencia, la base primera de las
matemáticas, ya alcanzó notable desarrollo en la antigüedad, pero ha continuado
su evolución hasta nuestros días. De hecho la estadística, tan utilizada en la
actualidad se comenzó a usar masivamente a partir de la tercera década del Siglo
XX.

2. NÚMEROS REALES
La Aritmética es, con seguridad, la parte de las matemáticas de empleo más
generalizado e inmediato para el hombre; es obvio el uso universal de las cuatro
reglas o de los sistemas de medición. Sin embargo, la aparente sencillez y
conocimiento de la aritmética entra también en campos más complejos como la
radicación, la teoría de los números (reales, complejos, etc.), los logaritmos o las
derivadas, hasta alcanzar niveles de cálculo de la matemática superior.
Los conocimientos de las matemáticas han tenido una influencia determinante en
la Ciencia y Sociedad y en los avances científicos y tecnológicos; cuando el ser
humano se hizo sedentario, surgió la necesidad de contar sus bienes (pieles,
flechas, cosechas, etc.) para esto pudo utilizar “piedritas” o “rayitas” para
simbolizar alguna cosa u objeto de su propiedad.
Griegos y romanos no tuvieron no tuvieron una adecuada manera de representar
los números, lo que les impidió hacer mayores progresos en el cálculo
matemático. Los hindúes, en cambio, habían desarrollado un práctico sistema de
notación numeral, al descubrir el cero y el valor posicional de las cifras. Los
árabes dieron a conocer el sistema en Europa a partir del Siglo VII d.C. Por eso,
nuestras cifras se llaman indo arábigas.
1.1 NÚMEROS NATURALES
En el desarrollo de las culturas fue evolucionando esta forma primitiva de
representar objetos o cosas reales a través de símbolos naciendo así el primer
conjunto de números llamados números naturales, estos números son utilizados
para contar, se representan mediante una “N”.
1.1.1 Definición
Número natural es aquello que tienen en común los conjuntos coordinables entre
sí. Así, por ejemplo los conjuntos A = {a, b, c, d, e} y B = {1, 2, 3, 4, 5}; tienen
en común la propiedad de estar constituidos por cinco elementos. Diremos en
este caso, que las conjuntos A y B son representantes del número natural 5, o
bien representan la cantidad cinco.
De modo similar, todos los conjuntos que poseen un solo elemento, es decir, los
conjuntos unitarios, representarían al número 1, los conjuntos con dos elementos
representarán al número 2 y así sucesivamente. El conjunto vacío, o sea, los que
no poseen ningún elemento, representará al número 0 (cero).
De este modo obtenemos la sucesión de números la sucesión de número
naturales. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, … que
es una sucesión con infinitos términos.
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6…}
1-2

3. NÚMEROS REALES
El matemático Richard de Dekind, decía que el hombre solo necesitaba los
número naturales, los demás eran creación del mismo hombre; obligados por la
necesidad el ser humano tuvo que ir introduciendo otros conjuntos de números.
1.1.2 Operaciones
Las operaciones aritméticas son siete: suma o adición, resta o substracción,
multiplicación, división, potenciación, radicación y logaritmación.
Las operaciones aritméticas se clasifican en operaciones de composición o
directas y operaciones de descomposición o inversas.
 La suma, la multiplicación y la potenciación son operaciones directas
porque en ellas, conociendo ciertos datos, se halla un resultado.
 La resta, la división, la radicación y la logaritmación son operaciones
inversas.
La resta es inversa a de la suma; la división es inversa a la multiplicación; la
radicación y la logaritmación son inversas de la potenciación. Estas operaciones
se llaman inversas porque en ellas, conociendo el resultado de la operación
directa correspondiente y uno de sus datos, se halla el otro dato.
1.2 NÚMEROS ENTEROS
1.2.1 Definición
Si efectuamos la unión del conjunto que contiene {0} con el conjunto N de los
números naturales, obtenemos el conjunto de los “números enteros positivos”.
Al incluir un elemento aditivo inverso por cada número natural, obtenemos el
conjunto de los “números enteros negativos”.
La unión de los dos conjuntos anteriores, da como resultando el conjunto de los
“números enteros”, denotados por:
Z = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}
1.2.2 Orden
El abecedario numérico cuenta con sólo diez números a los que también
llamamos dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. La posición en la cual los colocamos
al combinarlos hace posible crear un número ilimitado de cantidades. El lugar que
ocupa un dígito al formar un número lo nombramos según la cantidad que
representa. Al dígito que ésta más a la derecha le llamamos la unidad, al que le
sigue a la izquierda, decena, al siguiente centena, etc. En la siguiente tabla se
muestra la posición de los dígitos y la cantidad que representan.
1-3

4. NÚMEROS REALES
Centenas
Centenas
de millón
de millón
de millón
Unidades
Unidades
unidades
de millar
de millar
de millar
Decenas
Decenas
Decenas
Centena
5 Cinco
5 Cincuenta
5 Quinientos
5 Cinco mil
5 Cincuenta mil
5 Quinientos mil
5 Cinco millones
5 Cincuenta millones
5 Quinientos millones
Una de las funciones del 0 es ayudarnos a identificar la posición que un dígito
tiene ya que cuando un número no viene acompañado de otro número para
conocer la posición que ocupa y así saber la cantidad que representa, añadimos
ceros.
Unidades 5 Cinco
Decenas 50 Cincuenta
Centenas 500 Quinientos
Unidades de millar 5,000 Cinco mil
Decenas de millar 50,000 Cincuenta mil
Centenas de millar 500,000 Quinientos mil
Unidades de millón 5,000,000 Cinco millones
Decenas de millón 50,000,000 Cincuenta millones
Centena de millón 500,000,000 Quinientos millones
ORDEN DE LAS OPERACIONES
1. Se simplifica primero el contenido de los símbolos de agrupamiento más
internos; luego los siguientes y así sucesivamente.
2. La multiplicación y la división se efectúan antes de la adición y sustracción.
(en ambos casos, se procede de izquierda a derecha)
Evaluar cada expresión:
10  2  4  10  8
No se resta el 2 del 10, primero se efectúa la multiplicación.
2
8  36  2  2   8  36  4 
 8  32 
 8  3 2 Simplifica primero lo que está entre paréntesis.
86
2
1-4

5. NÚMEROS REALES
8  36  2  2  56  4
 5 2
 10
36  28  23  1  36  28  2  2
 36  28  4
 36  24
 36  2  4
 36  8
 3  14
 42
1.2.3 Operaciones
La primera operación aritmética que efectuaron civilizaciones primitivas fue la
adición, utilizando objetos concretos que estuvieran al alcance de la mano. Así, o
bien se efectuaban las sumas, o bien formaban nudos en una cuerda, como
hacían los Incas.
Unir o sumar varios conjuntos consiste en reunir en un solo conjunto todos los
elementos de todos los conjuntos.
Los signos aritméticos de sumar y restar se cree son debidos a los antiguos
comerciantes que marcaban con ello las mercancías que compraban y vendían
para indicar de este modo contenían mayor o menor cantidad de la pactada en el
intercambio.
ADICIÓN O SUMA DE NÚMEROS NATURALES.
Para sumar dos cantidades existen un algoritmo (es un procedimiento o una
receta, que si seguimos cuidadosamente nos dará la solución del problema) que
nos permite hacerlo en forma rápida
Diremos que el número natural a, que representa el número de elementos del
conjunto unión A y B es la suma de los números naturales a y b y lo
representaremos con la notación:
c=a+b
Así, por ejemplo, la suma de 2 y 5 es 2 + 5 = 7 y la suma de 4, 6 y 3 es 4 + 6 +
3 = 13. En el caso particular de que los números naturales que se sumen sean
todos ellos iguales a 1, el número de sumandos coincidirá con la suma.
Si sumamos cualquier número natural x con el número cero, el resultado que se
obtendrá será también x, es decir que cualquier número natural permanece
inalterado si se le suma el número cero. 0 sea x + 0 = x
1-5

6. NÚMEROS REALES
SUSTRACCIÓN O RESTA DE NÚMEROS NATURALES
La sustracción es la operación aritmética opuesta a la adición y consiste en
obtener uno de los sumandos, que recibe el nombre de resta o diferencia,
conocida la suma que recibe el nombre de minuendo y el otro sumando, que
recibe el nombre de sustraendo.
Si representamos el minuendo con la letra m, el sustraendo con la letra s y la
resta con la letra r tendremos que:
m-s=r
donde el signo menos (-) entre el minuendo y el sustraendo indica que ambos
deben de restarse. Para poder realizar esta operación en los números naturales el
minuendo debe ser mayor que el sustraendo. Obviamente, de acuerdo con la
definición que se acaba de dar, el minuendo coincidirá siempre con la suma del
sustraendo y la diferencia. Es decir r=m-s.
MULTIPLICACIÓN O PRODUCTO DE NÚMEROS NATURALES
La multiplicación resulto una operación aritmética muy compleja para las
civilizaciones antiguas debido a sobre todo a las limitaciones impuestas por el uso
de sistemas de numeración poco prácticos. Para efectuar multiplicaciones los
pueblos mesopotámicos utilizaron tablas cuadradas de los números naturales que
fueron imitadas por los griegos.
La multiplicación es una operación aritmética que consiste en hallar un número
llamado producto a partir de dos números llamados multiplicando y multiplicador
que indican el número que hay que multiplicar y el número de veces que
multiplicarlo, respectivamente.
Si representamos el multiplicando con la letra m, el multiplicador con la letra n y
el producto con la letra p.
mxn=p o bien m n = p
donde los signos por (x o ) situados entre el multiplicando y el multiplicador
indican que ambos números deben multiplicarse. El multiplicando y el
multiplicador reciben también el nombre de factores.
Por ejemplo, se suele escribir xy para indicar que debe multiplicarse x por y.
Análogamente se escribe 12mn para indicar que se debe multiplicar 12xmxn.
Así pues, la multiplicación de números naturales puede considerarse como una
suma de tantos sumandos iguales al multiplicando como indique el multiplicador.
En el caso de que alguno de los factores se cero, el producto también será cero, y
en el caso de que alguno de los factores sea igual a la unidad del producto
coincidirá con el otro factor, puesto que al multiplicarlo una sola vez permanecerá
invariable.
1-6

7. NÚMEROS REALES
Ahora bien, en el caso en que tanto el multiplicando como el multiplicador sean
ambos mayores que la unidad, el producto obtenido será siempre mayor que
cualquiera de los factores.
DIVISIÓN O COCIENTE DE NÚMEROS NATURALES
De las operaciones elementales de la aritmética, sin duda la división es la más
complicada. Por tanto no es de extrañar que el proceso seguido desde las
primeras representaciones dadas por los babilonios e hindúes hasta las modernas
notaciones de la división haya sido largo y complejo. El uso de la raya horizontal
para indicar la división entre dos números lo divulgó Fibonacci en el Siglo XIII,
que lo tomó de manuscritos árabes.
La división es la operación aritmética inversa de la multiplicación y su objeto
consiste en hallar uno de los factores, que recibe el nombre de divisor, y el
producto, que recibe el nombre de dividendo.
Si representamos el dividendo con la letra D, el divisor con la letra d y el cociente
con la letra c tendremos:
D:d=c D/d=c Dd=c
Donde los signos (:, / o ) situados entre el dividendo y el divisor indican que
ambos deben de dividirse.
Se dice que la división es exacta cuando el dividendo es número exacto de veces
del divisor.
Por ejemplo, la división 20:5=4 es exacta puesto que 20 es múltiplo de 5, ya que
lo contiene un número exacto de veces.
Por el contrario, se dice que la división no es exacta cuando el dividendo no es
múltiplo del divisor. Así, por ejemplo, la división 19:5, no es exacta puesto que
19 no es múltiplo de 5, ya que no los contiene un número exacto de veces.
Resto por defecto de una división no exacta es la diferencia entre el dividendo y
el producto de divisor por el cociente por defecto.
Si consideramos la división 19:5, habíamos visto que el cociente por defecto era
3. Por consiguiente, el resto por defecto será 19 - (5 x 3) = 4.
En general, si n es el cociente por defecto y r el resto por defecto tendremos que:
r = D – dn
y por tanto
D = dn + r
Para dividir un número por la unidad seguida de ceros se separan de su derecha
son un punto tantas cifras como ceros acompañen a la unidad.
1-7

8. NÚMEROS REALES
Así, por ejemplo, si dividimos 843:100 el resultado será 8.43, donde puede
observarse que el punto se ha corrido dos lugares. Análogamente tendremos que
8000:10 = 800.
Obviamente en el caso de que el divisor se igual a la unidad el cociente coincidirá
con el dividendo y en el caso de que el dividendo sea cero el cociente también
será cero.
En cambio, si el divisor es mayor que la unidad el cociente será menor que el
dividendo. Así, por ejemplo, si dividimos 24:2 = 12 podemos comprobar que
12<24.
Por el contrario, si el divisor es menor que la unidad, en cuyo caso no
trabajaríamos con números naturales, el cociente obtenido será mayor que el
dividendo. Así, por ejemplo, si dividimos 6:0.5 = 12 podemos comprobar que
12>6.
1.3 NÚMEROS RACIONALES.
Las civilizaciones antiguas (egipcios, babilonios, griegos,… ) conocieron las
fracciones desde tiempos muy remotos. Al descifrar los jeroglíficos egipcios los
egiptólogos encontraron resueltos muchísimos problemas con fracciones sobre
cuestiones de la vida cotidiana en el antiguo Egipto, tales como la agrimensura o
la construcción de pirámides.
1.3.1 Definición
Tal como vimos, la división exacta de números naturales no resulta siempre
posible puesto que no siempre existe un número natural que al ser multiplicado
por divisor coincida con el dividendo.
Por lo tanto, nos vemos obligados a ampliar el campo numérico introduciendo las
fracciones o quebrados. Algunos, también dan el nombre de números racionales.
Un número racional es aquel que puede expresarse como cociente de dos
enteros. En el conjunto de los racionales están incluidos los enteros positivos y
negativos, el cero y las fracciones positivas y negativas.
Una fracción o quebrado es un número representado por dos números naturales
a
(a, b) que se acostumbra a escribirse como . El número a se llama numerador y
b
el número b se llama denominador. El denominador no puede ser nunca cero.
Toda fracción representa el cociente de una división en la cual el numerador
representa el dividendo y el denominador representa al divisor. Así por ejemplo,
4 6 1 0
son fracciones: , , ,
7 8 3 4
1-8

9. NÚMEROS REALES
Uno de los aspectos más significativos de la noción de fracción es la llamada
“parte de unidad”. El denominador de una fracción indica el número de partes en
que se ha divido la unidad y el numerador el numero de partes que se toman.
5
Por ejemplo, en la fracción , el denominador 8 indica que la unidad se ha
8
dividido en ocho partes iguales y el numerador 5 indica que se han tomado 5 de
esas 8 partes iguales.
Si la unidad la dividimos en dos partes iguales esas partes se llaman medios, si la
dividimos en tres partes iguales las partes reciben el nombre de tercios, si la
dividimos en cuatro partes iguales las llamamos cuartos, si la dividimos en cinco
partes iguales las llamamos quintos, si la dividimos en seis partes iguales las
llamamos sextos, si la dividimos en siete partes iguales las llamamos séptimos, si
la dividimos en ocho partes las llamamos octavos, si la dividimos en nueve partes
las llamamos novenos, en diez décimos, en once onceavos, si la dividimos en
doce partes iguales las llamamos doceavos, y así sucesivamente.
4 6 3 7
Así por ejemplo, son fracciones: , , , , se leerán del modo siguiente:
7 8 11 10
cuatro séptimos, seis octavos, tres onceavos y siete décimos.
CLASIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES
Comunes, son aquellas cuyo denominador no es la unidad seguida de ceros. Así,
5 3 6
por ejemplo , , , son fracciones comunes.
7 4 11
Decimales, son aquellas cuyo denominador es la unidad seguida de ceros. Así
3 5 37
por ejemplo , , , son fracciones decimales.
10 100 1000
Propias, son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador. Así por
5 3 7
ejemplo , , , son fracciones propias.
8 13 12
Impropias, son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. Así por
8 6 9
ejemplo , , , son fracciones impropias.
7 5 4
Iguales a la unidad, son aquellas cuyo numerador es igual al denominador. Así
3 7 11
por ejemplo , , , son fracciones iguales a la unidad.
3 7 11
Números mixtos, son aquellas que constan de una parte entera y una parte
2 1 1
fraccionaria. Así por ejemplo 4 , 5 , 6 , son números mixtos. Los
3 4 7
números mixtos son otra forma de representar las fracciones
impropias.
1-9

10. NÚMEROS REALES
1.3.2 Orden
Los números fraccionarios gozan de una serie de importantes propiedades que
vamos a detallar a continuación:
a) Si varias fracciones tienen el mismo denominador es mayor la que tenga
mayor numerador.
Consideremos las fracciones 3 , 7 y 2 . Como se ha dicho
5 5 5
anteriormente, toda fracción representa una división en la cual el
denominador es el divisor. Por consiguiente, si el divisor, es decir, el
numerador, es el mismo será mayor aquella en que el dividendo es decir,
el numerador, sea mayor. En el caso que nos ocupa tendríamos:
7 >3 >2
5 5 5
b) Si varias fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene
menor denominador.
Consideremos por ejemplo las fracciones 4 , 4 y 4 . Puesto que toda
5 3 9
fracción representa una división entre numerador y denominador, si el
numerador es el mismo será mayor el cociente cuanto menor sea el
divisor. Por lo tanto, en el caso que nos ocupa tendremos 4 > 4 > 4 .
3 5 9
c) Si los dos términos de una fracción se multiplican o se dividen por un
mismo número, el valor de la fracción no varía.
4
Consideremos la fracción . Si multiplicamos ambos términos por 5 la
8
4  5 20
nueva fracción será  y puede observarse que el cociente
8  5 40
20:40=0.5 es el mismo que el cociente 4:8=0.5
Si en vez de multiplicar ambos términos los dividiéramos, por ejemplo por
4:2 2
2, la nueva fracción sería:  y puede observarse que el cociente
8:2 4
2:4=0.5es el mismo que el cociente 4:8=0.5
Al comparar cada par de números racionales, se establece un orden que se indica
con los símbolos mayor que (>) y menor que (<).
2 4 1 3 3 1 8 3
     
3 3 2 2 5 6 7 7
1.3.3 Expresión decimal
Los números con decimales los obtuvimos al dividir dos números enteros cuyo
resultado no es otro entero. La forma exacta, y por tanto, más profesional de
manejar un número fraccionario es dejándolo como fraccionario, es decir, no
efectuando la división para obtener un número con decimales.
1 - 10

11. NÚMEROS REALES
Para escribir un quebrado en notación decimal se sigue el principio fundamental
de la numeración decimal, según el cual toda cifra escrita a la derecha de otra
representa unidades diez veces menores que las que representa la anterior.
3 17 31
se escribirá 0.3 se escribirá 0.17 se escribirá 0.031
10 100 1000
Regla para escribir un decimal
Se escribe la parte entera si la hay, y si no la hay, un cero y en seguida el punto
decimal. Después se escriben las cifras decimales teniendo cuidado de cada una
ocupe el lugar que le corresponde.
Ejemplo
75
Escribir setenta y cinco milésimas:
1000
Escribimos la parte entera cero y en seguida el punto decimal. Hecho esto,
ponemos un cero en el lugar de las décimas, porque no hay décimas en el
número dado, a continuación las centésimas que hay en 75 milésimas que son 7,
y después, las cinco milésimas y quedará: 0.75
Ejemplo
817
Escribir 6 unidades 817 diezmilésimas: 6
10000
Escribimos la parte entera 6 y en seguida el punto decimal. Ponemos cero en el
lugar de las décimas; 8 en el lugar de las centésimas 1 en el lugar de las
milésimas y 7 en el lugar de las diezmilésimas y tendremos: 6.0817
Nomenclatura
Para leer un decimal se enuncia primero la parte entera si la hay y a continuación
la parte decimal, dándoles el nombre de las unidades inferiores.
3.18 se lee: Tres unidades, dieciocho centésimas.
4.0019 se lee: Cuatro unidades, diecinueve diezmilésimas.
0.08769 se lee: Ocho mil setecientos sesenta y nueve cienmilésimas
1.3.4 Equivalencias
Dos fracciones son equivalentes cuando el producto obtenido al multiplicar el
numerador de la primera por el denominador de la segunda coincide con el
producto obtenido al multiplicar el numerador de la segunda por el denominador
de la primera.
Ejemplo
3 9
Comprobar que las fracciones son equivalentes de y .
7 21
3  21  63
y como puede observarse ambos productos son iguales.
9  7  63
1 - 11

12. NÚMEROS REALES
La equivalencia de fracciones constituye una relación de equivalencia. En efecto,
vamos a comprobar que se cumplen las propiedades reflexiva, simétrica y
transitiva.
a a
Propiedad reflexiva: Toda fracción es equivalente a sí misma. En efecto  ,
b b
donde el signo  significa “es equivalente a”, puesto que a  b  b  a
Propiedad simétrica: Si una fracción es equivalente a otra, ésta es equivalente
a c
a la primera. En efecto,  , debe cumplirse que a  d  b  c . Por lo
b d
c a
tanto también se cumplirá que  , puesto que esto significa que
d b
c  b  d  a , que es la misma igualdad que hemos descrito
anteriormente.
Propiedad transitiva: Si una fracción es equivalente a otra y ésta es
equivalente a una tercera, la primera fracción es equivalente a la
a c
tercera. En efecto, si , debe cumplirse que a  d  b  c . Si
b d
 , debe cumplirse que c  f  e  d . Se trata de demostrar
c e
además
d f
a e
que 
b f
Multiplicando miembro a miembro las igualdades, obtendremos:
ad c f  bced
Dividiendo ambos miembros por dc resultará: a  f  b  e , por lo cual
a e
pone de manifiesto que  , tal como queríamos demostrar.
b f
Por lo tanto la equivalencia de fracciones constituye una relación de equivalencia,
de modo que el conjunto de las fracciones queda dividido en subconjuntos o
clases de equivalencia formadas por todas las fracciones equivalentes entre sí.
Cada una de las clases de equivalencia constituye un número fraccionario, puesto
1 2 4 5
que todas ellas son equivalentes. Damos como ejemplo: , , , .
3 6 12 15
1 2 3 4
En cambio las fracciones , , , , son representantes de distintos números
2 3 4 5
fraccionarios, puesto que no son equivalentes.
1 - 12

13. NÚMEROS REALES
REDUCCIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
Basándose en las propiedades de las fracciones, vamos a comentar diversos
procedimientos para reducir y simplificar fracciones.
a) Para convertir un número mixto en fracción impropia se multiplica la parte
entera por el denominador y al producto resultante se le añade el
numerador. El resultado obtenido es el numerador de la fracción impropia.
El denominador de la fracción impropia es el mismo denominador del
número mixto.
3 3 3 33
Convertir el número mixto 6 en fracción impropia: 6  65  
5 5 5 5
b) Para convertir una fracción impropia en número mixto se divide el
numerador entre el denominador. Si la división es exacta sólo hay parte
entera y esta coincide con el cociente de la división. Si la división no es
exacta, el cociente coincide con la parte entera del número mixto, el resto
coincide con el numerador y el divisor con el denominador.
30
Convertir en número mixto la fracción impropia . Efectuemos la división
6
30
30:6=5, como la división es exacta =5
6
17
Convertir en número mixto la fracción impropia . Efectuemos la
9
17 8
operación 17= 9x1+8, como la división no es exacta tendremos 1
9 9
c) Para convertir un número entero en una fracción de denominador
determinado. Se multiplica el entero por el denominador. El producto
obtenido es el numerador de la fracción y el denominador es el indicado “a
priori”.
Convertir el número 5 en fracción de nominador 9. Se trata de escribir 5
a 45
como . Para ello hacemos a = 5 x 9 = 45 y tendremos que 5 
9 9
d) Para convertir un fracción en otra fracción equivalente cuyos términos sean
mayores, se pone como denominador el indicado y como numerador el
producto del numerador inicial por el cociente obtenido al dividir los
denominadores.
5 5
Convertir en otra equivalente de denominador 28. Se trata de escribir
7 7
a 5 20
como . Para ello hacemos a = 5 x 28:7 = 20, o sea: 
28 7 28
e) Para convertir una fracción en otra fracción equivalente cuyos términos
sean menores, se pone como denominador el indicador y como numerador
el cociente entre el numerador inicial y el cociente obtenido al dividir los
denominadores.
1 - 13

14. NÚMEROS REALES
15
Convertir la fracción en otra fracción equivalente cuyo denominador
40
15 a
sea 8. Se trata de escribir como . Para ello hacemos
40 8
15 3
a=15:(40:8=)=15:5=3. O sea 
40 8
Se dice que una fracción es irreductible cuando el numerador y el
7
denominador son números primos entre sí. La fracción es irreductible,
8
puesto que 7y 8 son números primos entre sí.
1.3.5 Operaciones fundamentales
Las reglas que usamos en la actualidad para efectuar operaciones con fracciones
son debidas a los matemáticos hindúes y datan de los Siglos VI y VII (d.C.). En
Europa fueron introducidas por los árabes a través de España.
Suma
En la suma de fracciones pueden presentarse diversos casos que vamos a
explicar a continuación:
a) Para sumar fracciones que tengan igual denominador se suman los
numeradores y el resultado obtenido es el numerador de la suma. El
denominador de la suma es el mismo que el de los sumandos.
EJEMPLO
3 5 2
Sumar las fracciones 
4 4 4
3 5 2 3  5  2 10
SOLUCIÓN: Tendremos    
4 4 4 4 4
10 5
Simplificando por 2 numerador y denominador, obtendremos: 
4 2
5 1
Podemos, convertir la fracción impropia en número mixto  2 , que es el
2 2
resultado final de la suma.
EJEMPLO
7 10 4

Sumar las fracciones 
9 9 9
7 10 4 7  10  4 21 7 1
SOLUCIÓN:      2
9 9 9 9 9 3 3
b) Para sumar fracciones que tengan distinto denominador se reducen a un
común denominador y a continuación se opera tal como se ha indicado en
el inciso anterior.
1 - 14

15. NÚMEROS REALES
EJEMPLO
5 5 5
Sumar las fracciones  
12 16 18
SOLUCIÓN: Vamos a encontrar, en primer lugar, el mínimo común
denominador
12 2 16 2 18 2
6 2 8 2 9 3
3 3 4 2 3 3
1 2 2 1
1
12 = 223 16 = 24 18 = 232
Por lo tanto el mínimo común múltiplo de 12, 16 y 18 será 2432 = 144, y
éste será el mínimo común denominador.
5 60 5 15 5 40
  
12 144 16 144 18 144
5 5 5 60 45 40 60  45  40 145
Así pues:       
12 16 18 144 144 144 144 144
Convirtiendo la fracción impropia obtenida en número mixto tendremos:
145 1
1 , que es el resultado final de la suma.
144 144
EJEMPLO
1 3 23
 
Sumar las fracciones
4 7 60
1 3 23 105  180  161 446 223 13
SOLUCIÓN:      1
4 7 60 420 420 210 210
c) Para sumar números mixtos se suman por separa las partes enteras y las
partes fraccionarias y los resultados obtenidos se suman para dar la suma
total. Otro procedimiento consiste en convertir las partes enteras en
fracciones impropias y sumar todas las fracciones así obtenidas.
EJEMPLO
3 5 5
Sumar las fracciones 3 5 7
4 6 8
SOLUCIÓN: En el primer procedimiento tendremos:
 3 5 5
3  5  7  3  5  7       
3 5 5
4 6 8  4 6 8
La suma de las partes enteras es: 3 + 5 + 7 = 15
1 - 15

16. NÚMEROS REALES
3 5 5
La suma de las partes fraccionarias   
4 6 8
Encontremos primero el mínimo común denominador:
4 2 6 2 8 2
2 2 3 3 4 2
1 1 2 2
1
4 = 22 6 = 23 8= 23
Por lo tanto el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 8 será 233 = 24
3 18 5 20 5 15
  
4 24 6 24 8 24
3 5 5 18 20 15 18  20  15 53
Así pues:       
4 6 8 24 24 24 24 24
53 5
Convirtiendo la fracción impropia en número mixto: 2 ,
24 24
5 5
Por lo tanto, se trata de efectuar la suma 15  2  17 , que es el
24 24
resultado final de la suma.
Por el segundo procedimiento tenemos:
3 15 5 35 5 61
3  5  7 
4 4 6 6 8 8
15 35 61
Por lo tanto se trata de sumar  
4 6 8
Como hemos visto anteriormente el mínimo común denominador es 24. Es
decir, que:
15 90 35 140 61 183
  
4 24 6 24 8 24
15 35 61 90 140 183 90  140  183 413
Así pues:       
4 6 8 24 24 24 24 24
Convirtiendo la fracción impropia obtenida en número mixto tendremos:
413 5
 17 , que es la suma total buscada.
24 24
Y coincide con la obtenida por el primer procedimiento.
1 - 16

17. NÚMEROS REALES
EJEMPLO
2 4 1
Sumar las fracciones 5 6 3
3 8 6
SOLUCIÓN por el primer procedimiento:
Suma de los enteros 5+6+3=14
2 4 1 2 1 1 4  3 1 8 4 1
Suma de los quebrados:         1
3 8 6 3 2 6 6 6 3 3
1
La suma de los enteros 14, se suma con los quebrados 1
3
1 1
14  1  15
3 3
SOLUCIÓN por el segundo procedimiento:
17 13 19 34  39  19 92 46 1
      15
3 2 6 6 6 3 3
d) Para sumar combinaciones de números enteros, números mixtos y
fracciones; se suman los números con las partes enteras de los números
mixtos y la suma obtenida se añade a la suma obtenida al efectuar la
adición de las fracciones y las partes fraccionarias de los números mixtos.
EJEMPLO
21 1 9
Sumar las fracciones 7  5 43 
32 64 16
SOLUCIÓN: Sumamos en primer lugar las partes enteras: 7+5+4+3=19
21 1 9
A continuación sumamos las partes fraccionarias  
32 64 16
Encontremos primero el mínimo común denominador:
32 2 64 2 16 2
16 2 32 2 8 2
8 2 16 2 4 2
4 2 8 2 2 2
2 2 4 2 1
1 2 2
1
32 = 25 64 = 26 16 = 24
Por lo tanto el mínimo común denominador será 26 = 64. Es decir que:
21 42 1 1 9 36
  
32 64 64 64 16 64
21 1 9 42 1 36 42  1  36 79 15
Así pues:        1
32 64 16 64 64 64 64 64 64
1 - 17

18. NÚMEROS REALES
15
Por lo tanto, se trata de efectuar la suma 19  1
64
15 15
19  1  20 , que es la suma total buscada.
64 64
EJEMPLO
7 3 1
Sumar las fracciones 5  4  4
8 9 12
SOLUCIÓN: Sumamos en primer lugar las partes enteras: 5+4+4=13
A continuación sumamos las partes fraccionarias
7 3 1 7 1 1 21  8  2 31 7
       1
8 9 12 8 3 12 24 24 24
7 7
13  1  14
24 24
Resta
Al igual que sucedía en el caso de la suma, al restar fracciones también pueden
presentarse diversos casos que coinciden con los señalados anteriormente,
debemos de considerar que al operar consideremos para estos casos efectuar la
diferencia indicada por el signo de operación.
Multiplicación
En la multiplicación de fracciones pueden presentarse diversos casos que
seguidamente vamos a exponer:
a) Para multiplicar varias fracciones se multiplican los numeradores y el
resultado obtenido es el numerador de la fracción producto. El
denominador de la fracción producto se obtiene análogamente
multiplicando todos los denominadores.
EJEMPLO
5 4 2 6
Multiplicar:   
4 6 8 10
SOLUCIÓN:
5 4 2 6 5 4 2 6 240
Tendremos     
4 6 8 10 4  6  8  10 1920
240 : 240 1
Simplificando por 240 la fracción  , que es el resultado final.
1920 : 240 8
1 - 18

19. NÚMEROS REALES
EJEMPLO
5 3 17
Multiplicar:  
7 4 8
5 3 17 5  3  17 255 31
SOLUCIÓN:     1
7 4 8 7  4  8 224 224
Efectuar la multiplicación cancelando
El procedimiento de eliminar uno a uno los numeradores y denominadores,
cuando existe un factor común, se llama cancelación. Debe emplearse
siempre que sea posible, puesto que es más rápido y seguro. Al cancelar
iremos tachando los numeradores y denominadores que tienen factor
común. Cuando operamos en esta forma, la fracción producto viene dada
en su mínima expresión.
EJEMPLO
4 2 3
Multiplicar:  
9 8 6
1 1 1
  
4 2 3 4 2 3 1  1  1 1
SOLUCIÓN:     
9 8 6 9 8 6 3  2  3 18
  
3 2 3
b) Para multiplicar números mixtos se convierte en fracciones impropias y a
continuación se opera como en el caso anterior:
EJEMPLO
1 2 5
Multiplicar: 3  4  2
6 9 12
SOLUCIÓN: Convertimos los números mixtos en fracciones impropias.
1 19 2 38 5 29
3  4  2 
6 6 9 9 12 12
1 2 5 19 38 29 19  38  29 20938
Así pues: 3  4  2     
6 9 12 6 9 12 6  9  12 648
20938 : 2 10469
Simplificando la fracción obtenida 
648 : 2 324
Convirtiendo la fracción impropia obtenida en número mixto, tendremos:
10469 101
 32 , que es el resultado final.
324 324
EJEMPLO
2 4 1
2 4
Multiplicar: 5
3 5 9
2 4 1 17 14 37 17  14  37 8806 31
SOLUCIÓN: 5  2  4       65
3 5 9 3 5 9 3 5 9 135 135
1 - 19

20. NÚMEROS REALES
c) Para multiplicar combinaciones de números enteros, números mixtos y
fracciones; se convierten todos los números en fracciones y a continuación
se opera como en el caso del inciso a.
EJEMPLO
4 7 3
Multiplicar: 5 3
15 20 35
SOLUCIÓN: Convertimos los enteros y los números mixtos en fracciones:
5 3 108
5 3 
1 35 35
4 7 3 4 5 7 108 4  5  7  108 15120
Así pues: 5 3      
15 20 35 15 1 20 35 15  1  20  35 10500
15120 : 60 252
Simplificando la fracción obtenida por 60, tendremos: 
10500 : 60 175
Convirtiendo la fracción impropia obtenida en número mixto, tendremos:
252 77
1 , que es el resultado final.
175 175
EJEMPLO
4 1 3
Multiplicar: 14  5  
5 12 14
4 1 3 14 19 1 3 14  19  1  3 19
SOLUCIÓN: 14  5        
5 12 14 1 5 12 14 5  12  14 20
División
La división de fracciones presenta también una serie de casos interesantes que
pasamos a explicar a continuación:
a) Para dividir dos fracciones se multiplica la fracción dividiendo por el inverso
de la fracción divisor.
EJEMPLO
12 15
Dividir: 
54 72
12 15 12 72 12  72 864
SOLUCIÓN: Tendremos:     
54 72 54 15 54  15 810
864 : 54 16 16 1
Simplificando:  . Y luego  1 , que es resultado final.
810 : 54 15 15 15
1 - 20

21. NÚMEROS REALES
EJEMPLO
14 8
Efectuar la división:
55 35
14 8 14 35 14  35 49 5
SOLUCIÓN: Tendremos:      1
55 35 55 8 55  8 44 44
b) Para dividir números enteros y fracciones, al número entero se le pone
como denominador de la unidad y a continuación se efectúa la división
como en el caso a:
EJEMPLO
9
Dividir: 6 
16
9 6 9 6 16 6  16 96
SOLUCIÓN: Tendremos: 6       
16 1 16 1 9 1 9 9
Simplificando y convirtiendo en número mixto la fracción impropia,
96 32 2
tendremos:   10
9 3 3
EJEMPLO
16
Efectuar la división: 150 
83
16 150 16 150 83 150  83 75  83 6225 1
SOLUCIÓN: 150          778
83 1 83 1 16 16 8 8 8
c) Para dividir números mixtos y fracciones o números mixtos entre sí; se
convierten previamente en fracciones y a continuación se operan éstas
como en el caso a.
EJEMPLO
7 5
Dividir: 7 
9 6
7 70
SOLUCIÓN: Convertimos el número mixto en fracción impropia 7 
9 9
7 5 70 9 70 6 70  6 420
Tendremos: 7       
9 6 9 16 9 5 9  5 45
Simplificando numerador y denominador de la fracción obtenida por 15,
420 :15 28
tendremos: 
45 :15 3
Convirtiendo la fracción impropia obtenida en número mixto, tendremos:
28 1
 9 , que es el resultado final.
3 3
1 - 21

22. NÚMEROS REALES
EJEMPLO
1 1
Efectuar la división: 14 5
12 9
1 1 169 46 169 9 169  9 169  3 507 139
SOLUCIÓN: 14 5        2
12 9 12 9 12 46 12  46 4  46 184 184
d) Para convertir fracciones complejas, es decir, fracciones en cuyo
denominador o numerador o en ambos términos aparecen otras fracciones,
en fracciones simples; se divide el numerador entre el denominador.
EJEMPLO
3
Simplificar al máximo la expresión: 17
9
34
3
3 9 3 34 3  34 2
SOLUCIÓN: 17      
9 17 34 17 9 17  9 3
34
EJEMPLO
1
2
2
Simplificar: 3
1
5
1
10
1
1 22 1 3 3
2  
SOLUCIÓN: 3  2 3  2 2  4  31 3
1 1 1 1 10 2 4 2 8
5  
1 5 10 5 1
10
1 - 22

23. NÚMEROS REALES
EJEMPLO
2
2 1
3 5 6
1 1 3
Simplificar al máximo la expresión: 4 2 8
1 3 1
2 4 3
3 5 1
5 6 4
SOLUCIÓN: Empezamos efectuando las operaciones de numerador
2 1 2 4 2 4 8
    
3 4 3 1 3 1 3
2 1 2 2 2 2 4
    
5 2 5 1 5 1 5
1 3 1 8 1 8 8
    
6 8 6 3 6  3 18
Por lo tanto en el numerador tenemos:
2 2 1
3 5 6 8 4 8
1 1 3  
4 2 8  3 5 18
1 3 1 1 3 1
2 4 3 2 4 3
3 5 1 3 5 1
5 6 4 5 6 4
Del numerador de la fracción compleja, debemos encontrar el mínimo
común denominador.
3 3 5 5 18 2
1 1 9 3
3 3
1
3=3 5=5 18 = 232
Es decir, que el mínimo común denominador es 2325=90
8 4 8 240 72 40 240  72  40 272
      
3 5 18 90 90 90 90 90
Simplificando numerador y denominador de la fracción obtenida por 2,
tendremos:
272 136
 , que es el valor del numerador de la fracción compleja.
90 45
1 - 23

24. NÚMEROS REALES
Operando de modo análogo en el denominador, tendremos:
1 3 1 5 1 5 5 3 5 3 6 3  6 18 1 1 1 4 1 4 4
              
2 5 2 3 23 6 4 6 4 5 4  5 20 3 4 3 1 3 1 3
Por lo tanto en tenemos:
2 2 1
3 5 6 8 4 8 136
1 1 3  
4 2 8  3 5 18  45
1 3 1 1 3 1 5 18 4
2 4 3 2 4 3  
3 5 1 3 5 1 6 20 3
5 6 4 5 6 4
Del numerador de la fracción compleja, debemos encontrar el mínimo
común denominador.
6 2 20 2 3 3
3 3 10 2 1
1 5 5
1
6 = 23 20 = 225 3=3
Es decir, que el mínimo común denominador es 2235=60
5 18 4 50 54 80 50  54  80 76
      
6 20 3 60 60 60 60 60
Simplificando numerador y denominador de la fracción obtenida por 4,
76 19
tendremos:  , que es el valor del denominador de la fracción
60 15
compleja.
2 2 1
3 5 6 8 4 8 136 136
1 1 3  
4 2 8  3 5 18  45  45
1 3 1 1 3 1 5 18 4 19
2 4 3 2 4 3  
3 5 1 3 5 1 6 20 3 15
5 6 4 5 6 4
136 19
Por lo tanto, se trata de efectuar la división  . Es decir:
45 15
136 19 136 15 136  15 2040
    
45 15 45 19 45  19 855
1 - 24

25. NÚMEROS REALES
Simplificando numerador y denominador de la fracción obtenida por 15,
2040 :15 136
tendremos: 
855 :15 157
Convirtiendo la fracción impropia anterior en número mixto, tendremos:
136 22
 2 , que es el resultado final.
157 57
2 2 1
3 5 6 8 4 8 136 136
1 1 3  
4 2 8  3 5 18  45 2040 136 22
 45   2
1 3 1 1 3 1 5 18 4 19 855 157 57
2 4 3 2 4 3  
3 5 1 3 5 1 6 20 3 15
5 6 4 5 6 4
EJEMPLO
1 1 1  6
   
Simplificar 
6 9 12  7
1
8
1
4
SOLUCIÓN: Empezamos efectuando las operaciones de numerador
1 1 1  6 7 6 1
    
 6 9 12  7  36 7  6  1  1  1
8
1 84 2 6 2 12
1
4
EJEMPLO
2
2 1
5 5 4
3 3
Simplificar 2   235 1  4 1 
 
3
3 1  5 5
54
1 1
2 2
1 - 25

26. NÚMEROS REALES
2 12 21
2 51
SOLUCIÓN: Efectuando el numerador 5  4  5  4  4  7  43
3 3 3 3 5 2 10
2 2
3 1 18 1
3
Efectuando el denominador: 5  4 5  4  36  1  67
1 1 1 1 5 2 10
2 2 2 2
1 1 1176 5
Efectuando el paréntesis: 235  4    56
5 5 5 21
43
43 2408 63
Tendremos: 10  56   56   35
67 67 67 67
10
1.3.6 Razones y proporciones
RAZÓN
Razón o relación de dos cantidades es el resultado de comparar dos cantidades.
Dos cantidades pueden compararse de dos maneras: Hallando en cuánto excede
un a la otra, es decir, restándolas, o hallando cuántas veces contiene una a la
otra, es decir, dividiéndolas. De aquí que haya dos clases de razones: razón
aritmética o por diferencia y razón geométrica o por cociente.
Razón aritmética o por diferencia de dos cantidades es la diferencia indicada
de dichas cantidades.
Las razones aritméticas se pueden escribir de dos modos: Separándolas dos
cantidades con el signo ― o con un punto (.). Así, la razón aritmética de 6 a 4 se
escribe: 6―4 ó 6.4 y se lee seis es a cuatro.
Los términos de la razón se llaman: antecedente el primero y consecuente el
segundo. Así, en la razón 6―4, el antecedente es 6 y el consecuente 4.
Razón geométrica o por cociente de dos cantidades es el cociente indicado de
dichas cantidades.
Las razones geométricas se pueden escribir de dos modos: En forma de
quebrado, separados numerador y denominador por una raya horizontal o
separadas las cantidades por el signo de división (). Así, la razón geométrica de
8
8 a 4 se escribe u 84 y se lee ocho es a cuatro.
4
Los términos de la razón se llaman: antecedente el primero y consecuente el
segundo. Así, en la razón 84, el antecedente es 8 y el consecuente 4.
Propiedades de las razones
1 - 26

27. NÚMEROS REALES
a) El valor de una razón no se altera cuando se suman o restan, se
multiplican o dividen respectivamente sus términos, por un mismo número.
9  5  4 9  5  4
 9  1   5  1  4 suma
  9  1   5  1  4 resta

10  6  4  8  4  4
b) En toda razón, si al antecedente se le suma o se le resta, se le multiplica o
se le divide por una cantidad, la razón aumenta o disminuye, queda
multiplicada o dividida respectivamente por esa cantidad.
95  4  95  4 
 9  1   5  4  1 suma
  9  1  5  4  1 resta

10  5  5   85  3  

9  1.8  9  1.8 
5  5 
 
9  2   1.8  2   multiplicación
5 

9  2  1.8  2  división
5 

18  3.6  9
2  9  0.9 
5  
5 10 
c) En toda razón, si al consecuente se le suma o se le resta, se le multiplica o
se le divide por una cantidad, la razón aumenta o disminuye, queda
multiplicada o dividida respectivamente por esa cantidad.
95  4  95  4 
 
9   5  1  4  1 suma 9   5  1  4  1 resta
96  3   94 5  

9  1.8  9  1.8 
5  5 
 95  1  1.8  multiplicación 9  1  1.8  2   división
  
2 2 5 2
 
 3.6 
9  0.9  9 18
10  
5 5 
2 
EJEMPLO
Hallar la relación entre las edades de dos niños de 10 y 14 años
5
SOLUCIÓN:
7
1 - 27

28. NÚMEROS REALES
EJEMPLO
Hallar la razón geométrica entre 60 y 12
60
SOLUCIÓN:  5 , 60 es 5 veces el valor de 12
12
EJEMPLO
Hallar la razón geométrica entre 12 y 60
12 1
SOLUCIÓN:  , 12 es 1 parte de 60
60 5 5
EJEMPLO
El mayor de dos números es 63 y su razón es 7 a 5 Hallar el número menor
7 63 315
SOLUCIÓN:   7 x  315  x   45 . El número menor es 45
5 x 7
EJEMPLO
Dos números son entre sí como 3 es 19. Sí el menor es 12, ¿Cuál es el mayor?
3 12

19 x
SOLUCIÓN: 3 x  228 . x  76 . El número mayor es 76
228
x
3
PROPORCIÓN
Se define como la igualdad entre dos razones geométricas o por cociente. Una
proporción geométrica se escribe de los dos modos siguientes:
a c
  a : b :: c : d
b d
Proporción aritmética o equidiferencia, se define como la igualdad entre dos
razones aritméticas o diferencias.
En una proporción aritmética se llaman extremos al primero y cuartos términos, y
medios al segundo y tercero términos. También reciben el nombre de
antecedentes al primero y tercer términos, y consecuentes al segundo y cuarto
términos.
En la equidiferencia 20-5=21-6, 20 y 6 son los extremos, 5 y 21 son los medios,
20 y 21 son los antecedentes, 5 y 6 son los consecuentes.
15 : 3::17 : 5
Quince es a 3 como diecisiete es a 5
1 - 28

29. NÚMEROS REALES
Proporción aritmética discreta o no continua, es aquélla que tiene sus cuatro
términos diferentes o sus medios no son iguales.
15  3  17  5 3 4  56 6  2  12  8
Proporción aritmética continua, es aquélla que tiene sus términos medios
iguales.
5 4  43 4  6  6 8 9  15  15  21
Propiedad fundamental de la proporción aritmética, en toda proporción
aritmética la suma de los extremos es igual a la suma de los medios
54  43 6  2  12  8 9  15  15  21
53  4 4 6  8  12  2 9  21  15  15
88 14  14 30  30
Proporción geométrica o equicociente, se define como la igualdad entre dos
razones geométricas o cocientes.
En una proporción geométrica se llaman extremos al primero y cuarto términos, y
medios al segundo y tercer términos.
También reciben el nombre de antecedentes al primero y tercer términos, y
consecuentes al segundo y cuarto términos.
medios
con sec uentes
15  3  17  5 15 : 3 ::17 : 5
extremos
antecedentes
Proporción geométrica discreta o no continua, es aquélla que tiene sus
cuatro términos diferentes o sus medios no son iguales.
11: 6 ::13:8 2 : 3:: 4 : 5 12 :10 ::15:13
Proporción geométrica continua, es aquélla que tiene sus términos medios
iguales.
9 :15::15: 25 3: 9 :: 9 : 27 8 : 4 :: 4 : 2
Propiedad fundamental de la proporción geométrica, en toda proporción
geométrica la suma de los extremos es igual a la suma de los medios
4 10 9 15 2 4
  
2 5 15 25 3 6
 4  5   2 10   9  25  1515  2  6    3 4 
20  20 225  225 12  12
1 - 29

30. NÚMEROS REALES
EJEMPLO
Hallar el término desconocido en 8: 4 ::10 : x
SOLUCIÓN: Cómo el término desconocido es en un extremo y un extremo es igual
al producto de los medios dividido por el extremo conocido, tendremos:
4 10
x  5.
8
Sustituyendo el valor a la x en la proporción dada, queda: 8: 4 ::10 : 5
EJEMPLO
1
Hallar el término desconocido en 10 : :: x : 4
6
SOLUCIÓN: Cómo el término desconocido es un medio y el medio es igual al
producto de los extremos dividido por el medio conocido, tendremos:
10  4 40
x   240
1 1
6 6
1
Sustituyendo el valor a la x en la proporción dada, queda: 10 : :: 240 : 4
6
1.4 NÚMEROS IRRACIONALES
1.4.1 Definición
Número irracional, número no racional, es decir, que no se puede poner como
cociente de dos números enteros.
La necesidad de los números irracionales surge de medir longitudes sobre
algunas figuras geométricas: la longitud de la diagonal de un cuadrado tomando
como unidad el lado del mismo es 2 ; la longitud de la diagonal de un
pentágono tomando como unidad su lado es el número irracional φ llamado
número áureo (φ es aproximadamente igual a 1,6818); la longitud de la
circunferencia, tomando como unidad su diámetro es el número irracional  (pi).
La expresión decimal de cualquier número irracional consta de infinitas cifras no
periódicas. Existen infinitos números irracionales. Todos ellos, junto con los
racionales, forman el conjunto de los números reales.
El filósofo griego Pitágoras de Samos (540 a.C.) descubrió estos números al
establecer la relación entre el lado de un cuadrado y la diagonal del mismo.
1 - 30

31. NÚMEROS REALES
Por el teorema de Pitágoras, sí l=1, entonces:
d  l2  l2
d  12  12
Donde 2 es un número irracional.
d  11
d 2
Tenemos entonces que un número irracional, es aquel que no puede expresarse
como el cociente de dos enteros, y pueden ser positivos o negativos.
2  1.41421356... 

  3.14159265... Números irracionales (con decimales infinitos, no repetitivos)

3
5  1.70997594... 
1.5 NÚMEROS REALES
1.5.1 Definición
Número real, cualquier número racional o irracional. Los números reales pueden
expresarse en forma decimal mediante un número entero, un decimal exacto, un
decimal periódico o un decimal con infinitas cifras no periódicas.
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
Número Naturales (N): números con los que contamos (también se les llama
enteros positivos. 1, 2,3, 4... )
Enteros (E): conjunto de todos los números naturales con sus opuestos
(negativos) y el cero. ..., 2, 1,0,1, 2,... .
Racionales: conjunto formado por todos los números que se pueden escribir en
la forma m , donde m y n son enteros n  0 .
n
Número Reales (R): todos los racionales y los irracionales. Los números
racionales tienen representaciones decimales repetitivas (periódicas), en
tanto que los irracionales tienen representaciones no repetitivas infinitas.
1.5.2 Representación geométrica
Se pueden representar sobre una recta del siguiente modo: a uno de los puntos
de la recta se le asocia el cero, 0. Se toma hacia la derecha otro punto al que se
asocia el 1. La distancia del 0 al 1 se denomina segmento unidad y con ella se
representan todos los números enteros.
Unidad (u)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
0
1 - 31

32. NÚMEROS REALES
Los restantes números reales (racionales o irracionales) se sitúan sobre la recta,
bien valiéndose de construcciones geométricas exactas, bien mediante
aproximaciones decimales. Es importante el hecho de que a cada punto de la
recta le corresponde un número real y que cada número real tiene su lugar en la
recta (correspondencia biunívoca). Por eso a la recta graduada de tal manera se
la denomina recta real.
1.5.3 Definición de igualdad y sus propiedades
El signo de igualdad (=) se emplea para unir dos expresiones, cuando ambas son
los nombres o descripciones del mismo objeto.
a  b significa que a y b son dos nombres del mismo objeto. Naturalmente a  b ,
significa a no es igual a b.
Si dos expresiones algebraicas con una o más variables se unen mediante el
signo igual, la forma así obtenida recibe el nombre de ecuación algebraica.
PROPIEDADES DE LA IGUALDAD
Si a, b y c son nombres de objetos, tenemos:
Propiedad reflexiva: a  a
Propiedad simétrica: Si a  b , entonces: b  a
Propiedad transitiva: Si a  b y b  c , entonces: a  c
Principio de sustitución: Si a  b , cualquiera de las dos puede reemplazar a la
otra en una proposición, sin alterar la verdad o falsedad de dicha
proposición.
1.6 APLICACIONES
NÚMEROS MÚLTIPLOS, COMPUESTOS Y PRIMOS
MÚLTIPLO DE UN NÚMERO: un número A es múltiplo de un número B, si al efectuar la
división A/B ésta es exacta, es decir el residuo es cero.
55 20 8 70 6
5 4 2  10 2
11 5 4 7 3
Criterio de divisibilidad por 2. Un entero a es divisible por 2 si y sólo a termina
en 0, 2, 4, 6 u 8. Por ejemplo, 38 es divisible por 2 pero 35 no lo es.
Criterio de divisibilidad por 3. Un entero a es divisible por 3 si y sólo la suma
de las cifras de a es divisible por 3. Por ejemplo, 228 es divisible por 3 pues
2+2+8=12, que es múltiplo de 3; sin embargo 343 no lo es puesto que ,
3+4+3=10, que no es no es múltiplo de 3.
1 - 32

33. NÚMEROS REALES
Criterio de divisibilidad por 4. Un entero a es divisible por 4 si y sólo si el
número formado por las dos ultimas cifras de a lo es. Por ejemplo, 3128 es
divisible por 4 pues 28 lo es; si embargo 411 no lo es pues 11 no es múltiplo de
4.
Criterio de divisibilidad por 5. Un entero a es divisible por 5 si y sólo si
termina en 0 o 5. Por ejemplo, 2515 es divisible por 5 pero 217 no.
Criterio de divisibilidad por 6. Un entero a es divisible por 6 si y sólo si a es
divisible por 2 y por 3. Por ejemplo, 43,644 sí es divisible por 6 pues es múltiplo
de 2 y de 3; sin embargo, 364 no lo es pues múltiplo de 2 pero no de 3.
Criterio de divisibilidad por 8. Un entero a es divisible por 8 si y sólo si el
número formado por las tres ultimas de a lo es. Por ejemplo 27,256 es divisible
por 8 pues 256 lo es; sin embargo 23,420 no es divisible por 8 pues tampoco lo
es 420.
Criterio de divisibilidad por 9. Un entero a es divisible por 9 si y sólo si la
suma de las cifras de a es divisible por 9. Por ejemplo 23,985 sí es divisible por 9
pues 2+3+9+8+5=27, que es múltiplo de 9; sin embargo 386,754 no es
3+8+6+7+5+4=33, que no es no es múltiplo de 9.
Criterio de divisibilidad por 10. Un entero a es divisible por 10 si y sólo a
termina en 0. Por ejemplo 29,853,780 es divisible por 10 pero 38,475 no lo es.
Criterio de divisibilidad por 11. Un entero a es divisible por 11 si y sólo la
diferencia de la suma de las cifras en posición impar de a menos la suma de las
cifras en posición par de a es divisible por 11. Por ejemplo, 82,817,053 sí es
divisible por 11 pues (2+1+0+3)-(8+8+7+5)=6-28=-22, que es divisible por 11;
sin embargo 2,759 no lo es pues (7+9)-(2+5)=9, que no es no es divisible por
11.
Criterio de divisibilidad por 12. Un entero a es divisible por 12 si y sólo si a es
divisible por 4 y por 3. Por ejemplo 771,084 sí es divisible por 12 pues es
múltiplo de 4 y de 3; sin embargo, 438 no lo es pues múltiplo de 3 pero no de 4.
NÚMEROS COMPUESTOS: es todo número natural distinto de la unidad y que puede
ser expresado como el producto de dos o más enteros positivos diferentes de sí
mismo, los cuales son sus factores y en algunos casos puede repetirse
4 se puede factorizar en: 22 o 41
6 se puede factorizar en: 32 o 61
8 se puede factorizar en: 42 o 81 o 222
26 se puede factorizar en: 132 o 261
Todo entero par mayor que dos es un número compuesto.
NÚMEROS PRIMOS: es todo número natural que solo tiene como factores a la unidad
y así mismo.
1 - 33

34. NÚMEROS REALES
Fue el matemático griego Euclides el primero en descubrir que los números
primos constituyen una serie infinita. Las investigaciones de los matemáticos
griegos les condujeron rápidamente al número primo, basándose en el cual
Eratostenes construye su famosa “criba” para encontrar los números primos en la
serie de números naturales.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
El cuadro anterior es la criba de Eratostenes del 1 al 100
Eratostenes escribió los números naturales hasta un número dado y fue
agujereando en un pergamino en primer lugar a todos los múltiplos de 2 excepto
al 2. A continuación hizo lo mismo con los múltiplos de 3. Después procedió de
modo análogo con los múltiplos de 5, de 7 de 11 y así sucesivamente. Los
números que no resultaron agujereados constituyen la serie de los números
primos hasta el número dado.
MANERA DE CONOCER SI UN NÚMERO DADO ES PRIMO O NO.
Se divide dicho número por todos los números primos menores que él y si se
llega, sin obtener cociente exacto, a una división inexacta en que el cociente sea
igual o menor que el divisor, el número dado es primo. Si alguna división es
exacta, el número dado no es primo.
EJEMPLO
Tenemos el número 179 que queremos averiguarse es o no primo.
SOLUCIÓN: Lo dividimos por 2, 3, 5, 7, 11 y 13 sin obtener cociente exacto y al
dividirlo por 13 nos da 13 de cociente. Vamos a demostrar que 179 es primo,
para lo cual bastará demostrar que no es divisible por ningún número primo
mayor que 13.

Se llama “criba” porque al tachar los números se van formando como agujeros.
1 - 34

35. NÚMEROS REALES
EJEMPLO
Averiguar si 191 es o no primo
SOLUCIÓN:
63 38 27 17
3 191 5 191 7 191 11 191
11 41 51 81
2 1 2 4
14 11
13 191 17 191
61 21
9 4
En esta última división el cociente 11 es menor que el divisor 17 y la división es
inexacta, luego 191 es primo
EJEMPLO
Averiguar si 853 es o no primo
SOLUCIÓN:
En la práctica no vamos a hacer la división por 2, 3, 5, 7 ni 11 (siempre que se
vea que el cociente ha de ser mayor que el divisor) sino que aplicaremos los
caracteres de divisibilidad que conocemos para ver si el número dado es o no
divisible por estos números.
En este caso, 853 no divisible entre 2, porque no termina en cifra par; no es
divisible entre 3 porque 8+5+3=16 no es múltiplo de 3; tampoco los es por 5
porque no termina ni en cero ni en 5.
65 50 44 37 29
13 853 17 853 19 853 23 853 29 853
73 03 93 163 273
8 17 2 12
1 - 35

36. NÚMEROS REALES
EJEMPLO
Averiguar si 391 es primo
SOLUCIÓN: Aplicando los caracteres de divisibilidad, vemos que no es divisble por
2, 3, 5, 7 ni 11. Tendremos:
30 23
13 391 17 391
01 51
0
Esta última división es exacta, luego 391 es compuesto.
DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN SUS FACTORES PRIMOS.
Una propiedad interesante y útil de los factores de los números enteros es que
puede expresarse como producto de números primos.
Para determinar los factores primos de un número natural, se va dividiendo dicho
número en forma progresiva, empleando únicamente números primos hasta
terminar en elemento unitario.
EJEMPLO
Hallar la factorización prima para 72
72 2
36 2
18 2 72 = 22233 = 2332
9 3
3 3
1
EJEMPLO
Hallar la factorización prima para 375
375 3
125 5
25 5 375 = 3555= 353
5 5
1
EJEMPLO
Hallar la factorización prima para 1960
1960 2
980 2
490 2 1960 = 222577 = 23572
245 5
49 7
7 7
1
1 - 36

37. NÚMEROS REALES
1.6.1 Mínimo Común Múltiplo
Mínimo Común Múltiplo: un entero es un múltiplo común de dos o más enteros si
es múltiplo de cada uno de ellos. Es frecuente tener que usar el menor entero
positivo que sea común múltiplo de dos o más enteros, al cual se le llama mínimo
común múltiplo y se simboliza por m.c.m. o M.C.M.
Mínimo Común Múltiplo por inspección
Cuando se trata de hallar el m.c.m. de números pequeños éste puede hallarse
muy fácilmente por simple inspección, de este modo:
Como el m.c.m. de varios números tiene que ser múltiplo de varios del mayor de
ellos, se mira a ver si el mayor de los números dados contiene exactamente a los
demás. Si es así, el mayor es el m.c.m. Si no los contiene, se busca cuál es el
menor múltiplo del número mayor que los contiene exactamente y éste será el
m.c.m. buscado.
EJEMPLO
Hallar el m.c.m. de 8 y 4
SOLUCIÓN: Como el mayor 8 contiene exactamente a 4, 8 es el m.c.m. de 8 y 4
EJEMPLO
Hallar el m.c.m. de 8, 6 y 4
SOLUCIÓN: 8 contiene exactamente a 4, pero no a 6. De los múltiplos de 8,
8×2=16 no contiene exactamente a 6, 8×3=24, contiene exactamente a 6 y 4.
24 es el m.c.m. de 8, 6 y 4
EJEMPLO
Hallar el m.c.m. de 10, 12 y 15
SOLUCIÓN: 15 no contiene a los demás, 15×2=30 no contiene a 12; 15×3=45
tampoco; 15×4=60 contiene cinco veces a 12 y seis veces a 10. 60 es el m.c.m.
de 10, 12 y 15
Pasos para determinar el m.c.m.
a) Se halla la factorización prima de cada número.
b) El m.c.m. se forma con el producto de los factores primos comunes y no
comunes afectados por su mayor exponente.
EJEMPLO
Hallar el m.c.m. de 18, 24 y 15
18 2 24 2 15 3
9 3 232 12 2 233 5 5 35
3 3 6 3 1
1 2 2
1
 El m.c.m. de 18, 24 y 15 es (23)(32)(5) = 895 = 360
1 - 37

38. NÚMEROS REALES
También se puede determinar la factorización prima de todos los números a la
vez.
EJEMPLO
Hallar el M.C.M. de 200, 300 y 225
200 300 225 2
100 150 225 2 23
50 75 225 2
25 75 225 3
32
25 25 75 3
25 25 25 5
52
5 5 5 5
1 1 1
1.6.2 Máximo Común Divisor
El Máximo Común Divisor de dos o más números es el mayor de los divisores
comunes de dichos números; se simboliza por m.c.d. o M.C.D., cuando los
números son pequeños el MCD puede calcularse fácilmente; por el contrario si los
números son grandes seguimos algunas reglas adecuadas.
M.C.D. por inspección
Como el M.C.D. de vario números tiene que ser divisor del menor de ellos,
procederemos así:
Nos fijamos en el número menor de los dados. Si éste divide a todos los demás
será el M.C.D. Si no los divide, buscamos cuál es el mayor de los divisores del
menor que los divide a todos y éste será el M.C.D. buscado.
EJEMPLO
Hallar el M.C.D. de 18 12 y 6
SOLUCIÓN: El número 6 divide a 18 y a 12 luego 6 es el M.C.D. de 18, 12 y 6
EJEMPLO
Hallar el M.C.D. de 20, 90 y 70
SOLUCIÓN: 20 no divide a 70, 10 es el mayor divisor de 20 que divide a 90 y a 70.
EJEMPLO
Hallar el M.C.D. de 48, 72 y 84
SOLUCIÓN: 48 no divide a los demás. De los divisores de 48, 24 no divide a 84; 12
divide a 72 y a 84. 12 es el M.C.D. de 48, 72 y 84.
1 - 38

39. NÚMEROS REALES
M.C.D. por descomposición en factores primos
a) Se anotan los números en un simple renglón.
b) Se dividen todos los números entre factores primos comunes.
c) El MCD es producto de los factores primos comunes tomados con su menor
exponente.
EJEMPLO
Hallar el M.C.D. de 48 y 72
48 72 2
24 36 2
12 18 2
6 9 3 El MCD = 233 = 83= 24
2 3 2
1 3 3
1
EJEMPLO
Hallar el M.C.D. de 464, 812 y 870
464 812 870 2
232 406 435 2
116 203 435 2
58 203 435 2 El MCD = 229 = 58
29 203 435 3
29 203 145 7
29 29 145 5
29 29 29 29
1 1 1
EJEMPLO
Hallar el M.C.D. de 60, 150, 40 y 850
60 150 40 850 2
30 75 20 425 2
15 75 10 425 2
15 75 5 425 3 El MCD = 25 = 10
5 25 5 425 5
1 5 1 85 5
1 17 17
1
1.6.3 Potencia y radicación
Los babilonios utilizaban la elevación a potencia como auxiliar de la
multiplicación, y los griegos sentían especial predilección por los cuadrados y los
cubos. Diofanto (III d.C.) ideó la yuxtaposición adhesiva para la notación de las
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40. NÚMEROS REALES
potencias. Así x, xx¸xxx, etc. para expresar la primera, segunda, tercera potencias
de x. Renato Descartes (1596-1650) introdujo la notación x, x2, x3, x4, etc.
Aunque la palabra raíz proviene del latín radix, la radicación fue conocida por los
hindúes y por los árabes mucho antes que por los romanos. Las reglas para
extraer raíces cuadradazas y cúbicas aparecieron por primera vez en textos
hindúes.
POTENCIACIÓN
Es la operación aritmética que tiene por objeto multiplicar por sí mismo un
número llamado base tantas veces como indica otro número llamado exponente.
Si escribimos 53, 5 será la base y 3 será el exponente, con lo cual tendremos
que: 53  5  5  5  125
Cuando el exponente es 2, o sea, cuando estamos hallando la segunda potencia
de la base, se acostumbra decir que estamos hallando el cuadrado de la base. Por
ejemplo 72  7  7  49 . El término cuadrado viene de la nomenclatura geométrica,
puesto que el cuadrado de un número equivale en las unidades correspondientes
de superficie al área de un cuadrado. El área de un cuadrado con un lado de 5m.
será 52  5  5  25 m2.
Cuando el exponente es 3, es cuando estamos hallando la tercera potencia de la
base se acostumbra decir que estamos hallando el cubo de la base.
53  5  5  5  125 , es el resultado de hallar el cubo de 5. El término cubo también
viene de la nomenclatura geométrica, ya que el cubo de un número equivale en
unidades correspondientes de volumen al volumen del cubo cuya arista es dicho
número.
Cuando los exponentes son 4, 5, 6, 7, 8, etc. se dice que estamos elevando la
base a la cuarta, quinta, sexta, séptima u octava potencia, respectivamente:
34  3  3  3  3  81
45  4  4  4  4  4  1, 024
56  5  5  5  5  5  5  15, 625
67  6  6  6  6  6  6  6  279,936
78  7  7  7  7  7  7  7  7  5'764,801
La potencia enésima de un número a equivaldrá a multiplicar n veces a por sí
mismo: a n  a  a  a...n veces.
Ley de uniformidad
Cualquier potencia de un número tiene un valor único o siempre igual.
EJEMPLO
22=4 Siempre 53=125 Siempre
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41. NÚMEROS REALES
Potencia de un producto
Para elevar un producto a una potencia se eleva cada uno de los factores a dicha
potencia y se multiplican esa potencias.
Si tenemos el producto abc, Vamos a probar que (abc)n=an·bn·cn
Elevar el producto abc a la enésima potencia equivale a tomar este producto
como factor n veces; luego:
abc n  abc abc abc ...n veces
 abc  abc  abc.....n veces
 a  a  a....n veces b  b  b....n veces c  c  c....n veces 
 an  bn  cn
Esta propiedad constituye la ley distributiva de la potenciación respecto de la
multiplicación.
EJEMPLO
Resolver (3×4×5)2 SOLUCIÓN: (3×4×5)2 = 32·42·52 = 9×16×25 = 3600
Potencia de un número fraccionario
Para elevar un cociente exacto o una fracción a una potencia cualquiera se elevan
su numerador y denominador a dicha potencia.
n
a an a
Si tenemos la fracción    ; Según la definición de potencia elevar a la
b
n
b b
potencia n será tomarlo como factor n veces; luego:
a  a  a  a  a  ....n veces a n
n
a a a a a a
        ....n veces  
b b b b b b b  b  b  b  b  ....n veces b n
Esta propiedad constituye la ley distributiva de la potenciación respecto de la
división exacta.
EJEMPLO
5 5
4 4 4 5 1024
Elevar   SOLUCIÓN:    
5 5 5 5 3125
EJEMPLO
7 4 7  7  7  7 2401
4 4 4
 1  1 7 1
Elevar  3  SOLUCIÓN:  3         150
 2  2 2 2 4
2222 16 16
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