Geometria Euclideana Capt 2

6

CONCEPTOS BÁSICOS
CAPITULO II A los conceptos básicos también se les conoce como términos
indefinidos. En geometría como en cualquier otra disciplina es
“Toda ciencia demostrativa tiene que partir de
Principios Indemostrables; de otro modo, los pasos de apremiante que el alumno se apropie de nuevos conceptos, se
la demostración serían infinitos”: Aristóteles familiarice con un nuevo simbolismo y para que no haya
confusión aprenda una sola notación y esto permite una
DEFINICIONES Y CONCEPTOS FUNDAMENTALES comunicación con mayor claridad. Al final de cuentas la
Matemática es la apropiación de un nuevo lenguaje.
El estudio de la Geometría plana, desde los griegos hasta
nuestros días ha seguido un solo camino: el descubrimiento de PUNTO
hechos por el método que conocemos como inductivo y su Ya se dijo que es un término no definido pero podemos
concreción en el método deductivo. representarlo con la punta de nuestro lápiz y nombrarlo con
Son pocas las ciencias que pueden presumir de tener, como la cualquier letra mayúscula.
geometría, una estructura tan acabada que permanece .A .B
prácticamente sin modificaciones desde la antigüedad. Eúclides
le dio orden y sustento, de acuerdo con fuentes consultadas. Como el punto geométrico es algo ideal; el grafo no es punto, es
una forma práctica de representarlo. La abstracción es una
De nuestro pasado escolar la mayoría, retenemos algunos estructura conceptual que nos sirve para pensar y transformar la
conocimientos sueltos de la geometría plana. La mayoría realidad, sin tener que operar con objetos físicos, es decir la
seremos capaces de reconocer un triángulo equilátero, las líneas matemática como ciencia formal trabaja con conceptos ideales.
paralelas, un cuadrado etc., algunos pocos podrán calcular el
área de un trapecio, pero casi nadie será capaz de recordar el LÍNEA RECTA
teorema de Pitágoras y menos realizar su demostración. Esto da La línea recta es un término no definido, tiene que ser pensada
idea de la dificultad que conllevan los docentes enfrentados en como algo ideal. No existen en el universo objetos que puedan
la enseñanza de la geometría y enfrenta de manera dramática las representar fielmente la idea de la línea recta. Sin embargo una
opiniones encontradas: memorización contra razonamiento. aproximación a la idea de línea puede ser un cabello lo
suficientemente tensado, el alambre que sirve de lindero en un
terreno etc. Para los fines de la enseñanza de la geometría una

MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana.

7

línea en el pizarrón o en nuestro cuaderno, representa la línea 8) Toda figura se puede cambiar de posición sin alterar su
recta. forma ni sus dimensiones.
l 9) El número de puntos es infinito.
Figura 1

Las flechas indican que la recta se puede prolongar de manera DEFINICIÓN
indefinida en ambos direcciones. Por conveniencia las rectas se Las definiciones de las figuras geométricas y a propósito
representan con letras minúsculas. ¿Que se entiende por definición de una figura geométrica?
¿Puede demostrarse una definición? Argumenta
LOS CINCO POSTULADOS DE EÚCLIDES Escribe 5 definiciones de figuras geométricas
1.- Dos puntos determinan una recta. 1.-
2.- Todo segmento puede prolongarse, en ambas direcciones de 2.-
manera que siga estando sobre la misma recta. 3.-
3.- Dado un punto y un segmento, se puede determinar un
4.-
círculo.
4.- Todos los ángulos rectos son iguales. 5.-
5.- Por un punto exterior a una recta se puede trazar una paralela
y solo una. EL TEOREMA DE PITÁGORAS
“En todo triángulo rectángulo el cuadrado construido sobre la
Axiomas que aparecen en los Elementos: hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados construidos
sobre los catetos”
1) Cosas que se pueden superponer una a otra son iguales.
2) El todo es mayor que cualquiera de sus partes.
3) Toda cosa es idéntica así misma.
4) Toda cantidad puede reemplazarse por su igual. a2 + b 2 = c 2
c b
5) El todo es igual a la suma de sus partes.
6) Dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre sí.
Figura 2
7) Dos rectas no pueden intersecarse entre sí, en más de un
punto. a
Para su


8

demostración se tienen que usar solamente los términos no Con los elementos anteriores la geometría está en posibilidades
definidos los axiomas los postulados las definiciones etc., de realizar una demostración de una proposición general que son
enlazados de una manera lógica. En la demostración no se puede los teoremas
introducir nada de lo que no está plenamente aceptado.
COROLARIO
Ejercicios: Es una proposición que se deduce de un teorema, como
consecuencia del mismo. Ejemplo: En un triángulo rectángulo
Demostrar el Teorema de Pitágoras con recortes en papel. los dos ángulos agudos son complementarios.
Enuncia cinco teoremas de los que recuerdes de estudios
¿QUÉ ES UN PROBLEMA GEOMÉTRICO?
anteriores; si no recuerdas recurre a las fuentes más inmediatas.
Es una proposición no resuelta en la que se pide construir una
1.-
figura que reúna ciertas condiciones o bien calcular el valor de
2.-
una magnitud.
3.-
4.- SEMIRECTA
5.- Si sobre la recta de la figura 1 se dibuja un punto A, se
obtienen dos semirectas, es decir rectas que ya solamente se
Haciendo dobleces en una hoja de papel formar dos líneas pueden prolongar en un sentido (figura 4).
perpendiculares. m
A
Haz un dobles en una hoja, observa como se forma una línea
Figura 4
recta.
SEGMENTO DE RECTA
Dibuja un punto P cualesquiera.
Si sobre una recta se gráfica dos puntos A y B. La porción de
Dobla la hoja, hasta que el punto P dibujado coincida con la recta comprendida se llama segmento.
línea.
A B
Figura 5
a) Une los puntos con un doblez y se obtiene la línea que forma
el ángulo recto.


9

Segmento AB sin sentido. Solamente tomando en cuenta la Una vez fijadas las condiciones se crean los objetos geométricos
medida (esto es su valor absoluto) es lo mismo medir de A a B y las definiciones correspondientes para crear un sistema
que de B hacia A. Generalmente al punto que se nombre en consistente de las figuras planas y sus propiedades.
primer termino se llamara origen y al otro extremo.
Notación: Un segmento se designa por las letras de sus extremos ÁNGULOS
y por un trazo encima ( AB ). Se define un ángulo como la magnitud de la abertura formada
por dos rayos unidos en un punto común llamado vértice del
RECTAS PARALELAS
ángulo. En la figura 8 el punto en común es C.
Son las que no tienen puntos comunes o más llanamente nunca
se cruzan. A

m

n C
Figura 6 B
Figura 8
Notación: m n la recta m es paralela a la recta n.
Las rayos CA y CB se llaman lados del ángulo.
RECTAS PERPENDICULARES
Son dos segmentos formando ángulos rectos. Notación: el ángulo de la figura 8 se representará solamente con
la letra de su vértice. C (ángulo C), o con tres letras
r
escribiendo la del vértice en medio ACB, siendo esta ultima la
l
notación de ángulo que se usará en lo sucesivo.
Figura 7
MEDIDA DE LOS ÁNGULOS:
Notación: l┴r la recta l es perpendicular a la recta r.
Medir una cantidad es compararla con otra, tomada como
Por el postulado 4 de Euclides, los dos ángulos rectos de la
unidad de medida. De momento solamente se utilizará para la
figura 7 son iguales.
medida de los ángulos el grado, y el sistema circular o radian


10

POSTULADO DE LA MEDIDA DE UN ÁNGULO Esto significa que en todos las circunferencias caben 6.28
A todo ángulo se le asocia un número real llamado grado. radios. Para que el ángulo mida un radian la condición es que el
arco S, mida lo mismo que el radio.
EL SISTEMA CIRCULAR.
En el sistema circular se usa como unidad de medida el Radian.
El radian es el ángulo cuyos lados comprenden un arco cuya
longitud es igual al radio de la circunferencia. Como la longitud
de una circunferencia es igual a 2 radios; resulta que un ángulo
de 360° equivale a uno de 2 radianes; es decir: 6.28 radios
(dándole a  un valor de 3.14) equivalen a 360° grados.

EQUIVALENCIA DE ANGULOS EN GRADOS Y RADIANES.
De acuerdo con la definición de grado los cuatro ángulos rectos
de la figura suman 360°. Por eso decimos que el ángulo de una
vuelta mide 360°.
Figura 9
¿Cuántas unidades de longitud mide la circunferencia de la
figura, suponiendo que su radio mide la unidad r=1 ¿Cuantos ángulos que midan un radian se pueden trazar en una
La longitud de la circunferencia se encuentra por la formula: circunferencia? 6.28 porque el arco S mide lo mismo que el
radio r.
L=2r si r=1
Ejercicio
L=2(1) = 3.14 Gráfica en una circunferencia ángulos centrales de
aproximadamente 57°.
L= 6.28 Entonces se puede escribir la siguiente equivalencia 360 grados
= 2 radianes.

¿ Cuantos grados mide un radian? Despejar radianes


11

360 Convertir los ángulos medidos en grados a radianes y viceversa.
 Radian
2 a. 30° b. 45°
180 c. 60° d. 90°
Simplificando:  Radian

e. 120° f. 150°
¿ Cuantos radianes. mide un grado? Despejar grado
360 grados = 2 Radianes. g. 180° h. 210°
grado = 2 Radianes/360°
i. 300° j. 720°

grado = Radianes
180 k. 2 Rad l. 11 Rad
6 6
Con estas equivalencias se pueden hacer las conversiones de
grados a radian o viceversa. 2 4
m. Rad n. Rad
3 3
EJEMPLO:
o. 2 Rad p. 3Rad
Para convertir 30° a radianes, se multiplica 30° por la
equivalencia, esto es: 10
q. 6 Rad r. Rad
 3  3
30  
180 18 6
11 13
EJEMPLO: s. Rad t. Rad
3 3

Convertir radianes a grado, multiplicamos de igual manera
6
Gráfica los siguientes ángulos, usando el transportador.
 180 180
por la equivalencia    30 a) 35° b) 42° c) 63°
6  6
d) 150° e)  2 Rad f)  Rad
6
g) 3 Rev h) 1 Rev 2
4 2 i) Rad
3
Divide una circunferencia en cuatro partes iguales. Escribe cada
Ejercicio uno de sus ángulos centrales en: grados, radianes y revoluciones.


12

Divide una circunferencia en ocho partes iguales. Escribe cada
uno de sus ángulos centrales en: grados, radianes y revoluciones.

Haz lo mismo dividiéndola en doce partes iguales

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS POR SU MAGNITUD Figura 10
AOC +COB = 90°
ÁNGULO RECTO
Es el que mide 90° y esta formado por dos rectas EJEMPLO:
perpendiculares entre sí. Encontrar el complemento del ángulo de 39° ¿Cuantos grados le
Tomando como modelo el ángulo recto faltan a 39° para 90°?
a) Los ángulos menores de 90° se llaman agudos. 90° - 39° = 51°
b) Los ángulos mayores de 90° se llaman obtusos. Encontrar el complemento del ángulo 42° 22’. Sabiendo que
c) Ángulo llano o de lados colineales. cada grado tiene 60 minutos 1° = 60’; descomponemos un grado
en minutos.
Ejercicio 89° 60’
De acuerdo con las definiciones anteriores, clasifica los ángulos - 42° 22’
del ejercicio anterior. 47° 38’
Ejercicio
PAREJAS DE ÁNGULOS Encuentre el complemento de los siguientes ángulos
a. 62° b. 49°
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS. c. 35° 21’ 31’’ d. 72° 25’
Son dos ángulos que suman noventa grados como se muestra en
e. 68° 12’ f. 81° 20’ 15’’
la siguiente figura.
g. 33° 12’ 33’’ h. 45° 0’ 48’’

EJEMPLO:


13

¿Cuanto vale x en la figura 11, para que los ángulos sean ÁNGULO LLANO O DE LADOS COLINEALES
complementarios? Es un ángulo que mide 180°, un lado es la prolongación del otro.
Es una línea recta, mide el arco completo del transportador.
Fig
2x
20° ABC 180°
ura
A B C 12
Figura 11

ÁN
Solución: de la definición de ángulos complementarios, los dos
GULOS SUPLEMENTARIO
ángulos deben sumar 90°.
Son dos ángulos que suman 180°. También los podemos
2x + 20° = 90°
entender, como el ángulo llano dividido en dos ángulos.
despejando a x, tendremos:
2 x = 90° - 20°
70
x = A + B =180°
20
x = 35° B
A
Figura 13

El complemento de 20° es 70° ya que 20° +70° = 90°
Ejercicio
EJEMPLO: Encontrar el suplemento de los siguientes ángulos.
Si el complemento de un ángulo es el doble del ángulo, entonces a) 123° d) 23° 31’
encontrar el valor de los ángulos. b) 143° 21’ 16’’ e) 162° 22’
Solución: sea x un ángulo y sea 2x el doble del ángulo. Por la i. c) 93° 25’ j. f) 178° 25’ 45’’
definición de ángulos complementarios, tenemos:
x +2 x = 90° EJEMPLO:
3 x = 90° El suplemento de un ángulo x es 3x encontrar el valor de los
x = 90°/3
ángulos.
x = 30°
Si x = 30° y 2x = 60° tendremos que: x +2x = 90°
Solución: Hacer una gráfica del problema, con la ayuda de la
definición de ángulos suplementarios.


14

En la demostración se hace una figura. Se plantea la hipótesis
que se va a demostrar. Se hacen los razonamientos en base a los
axiomas, definiciones y teoremas ya demostrados. Se llega a la
tesis o conclusión. No se permite usar teoremas o proposiciones
Figura 14
no demostradas. Se enumeran los razonamientos.
3x + x = 180° Completa la solución de la ecuación.
ángulo x = Una vez hecha la figura 16, tenemos que
suplemento del ángulo x =
Hipótesis: 3 = 4
ÁNGULOS ADYACENTES 1.- 1 + 3 = 180° Por ser suplementario
Son parejas de ángulos que tienen un lado común. Como los 2.- 1 + 4 = 180° Por ser suplementario
ángulos complementarios y suplementarios. 3.- 1 + 3 = 1 + 4 Por ser cantidades iguales
4.- 1 + 3 = 1 + 4 Si a cosas iguales se le quitan
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE cosas iguales. La igualdad se
Son dos ángulos, donde sus lados son prolongaciones uno del conserva.
 3 = 4 Tesis o conclusión
otro. Lo entendemos también de modo gráfico como dos líneas
que se cruzan entre sí. PAREJAS DE ÁNGULOS FORMADOS CUANDO DOS PARALELAS SON
CORTADAS POR UNA SECANTE.

m
2 1
3 3 4 l1

2 Figura 16 1 6 5
l2
7 8
m secante
1 es opuesto por el vértice al 2
4 l1 l 2
3 es opuesto por el vértice al 4 Figura 17 100
E s te
O e s te
80 N o rte
Recorta los ángulos opuestos por el vértice, sobrepón las partes 60
hasta que coincidan. 40

Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. 20

0
1 e r tr im . 2do 3 e r tr im . 4 to tr im .
tr im .

15

ÁNGULOS CORRESPONDIENTES 3.- 3 = 5 Dos cosas iguales a una tercera
Mide las parejas de ángulos correspondientes, 2 y 6, 3 y son iguales (axioma)
7, 1 y 5, 4 y 8; demuestra midiendo que son iguales y Las parejas de ángulos externos externos son iguales.Mide los
recórtalas. ángulos para su comprobación 2 = 8, 1 = 7
a. Corta 2 y el 8, ¿Cómo son? Ejercicio
b. Corta 1 y el 5, ¿Cómo son?
Escribe el nombre correcto de las parejas de ángulos formados
c. Corta 3 y el 6, ¿Cuántos grados suman?
entre dos o más paralelas.
d. Y ahora ¿Cuánto suman el 4 y el 5?
e. Los ángulos 2 y 7 ¿Son suplementarios?
f. Corta 1 y el 8, ¿Cuántos grados suman?
Ángulos colaterales internos son suplementarios
4 + 5 = 180°
6 + 3 = 180° Figura 18
Ángulos colaterales externos son suplementarios a) a y i
2 + 7 = 180° b) m y k
1 + 8 = 180°
c) b y j
Toda secante forma con dos paralelas ángulos alternos internos
d) o y l
iguales.
e) p y n
Mide con el transportador los siguientes ángulos cerciórate que f) e y f
son iguales 3 = 5, 4 = 6
g) e y a
Utilizaremos la figura 17 para la demostración h) n y k
Hipótesis: 3 =  5 los ángulos alternos internos son iguales i) f y b
1.- 3 = 1 Opuestos por el vértice j) p y j
2.- 1 = 5 Por ser correspondiente
3.- 1+3= 1+ 5 Sumando 1 y 2 1 2

3
6

B 16
a b
AB CD c d
A D

8
e
135°
Figura 19 g h
C
a) 2 y 5
b) 4 y 1
c) 3 y 6
Figura 20
d) 7 y 2
e) 7 y 5 Asigna el valor en grados que corresponda a cada ángulo
f) 4 y 8 a =
b =
c =
d =
e =
g =
h =


17

TRAZOS GEOMÉTRICOS CON REGLA Y COMPÁS.
En los problemas de construcción, se trata de construir una
figura geométrica, limitada por las condiciones que se dan.

Lo importante de una construcción es la explicación del modo
de realizarlo. Es recomendable enumerar los pasos que se
realizan en la construcción. La trascendencia de una
construcción geométrica es tan solo demostrar la posibilidad
matemática de hacerlo bajo restricciones convenidas. Figura 21

Trazo No. 1
Definición: El segmento de recta QQ' que pasa por el punto
medio y es perpendicular al segmento se llama mediatriz.
Encontrar el punto medio de un segmento.

1.- Abre tu compás un poco más de la mitad del segmento. Trazo No. 2
2.- Haciendo centro en A trazar 2 arcos, uno por encima y otro Con tu escuadra traza una perpendicular a un segmento que pase
por debajo del segmento. por un punto P exterior al segmento. Hazlo también usando
3.- Repite los arcos pero ahora haciendo centro en B. El punto regla y compás. Escribe y enumera, cuidadosamente, cada uno
de intersección de los arcos los llamaremos Q y Q’ de los pasos que seguiste para su construcción.
4.- Une los punto Q y Q’, la línea que une los puntos es la
mediatriz. El punto de intersección P sobre AB , es el punto
medio.

Figura 22


18

Trazo No. 3
Construcción de la bisectriz de un ángulo.

Figura 23

1.- Haciendo centro en V traza dos arcos sobre ambos lados del Figura 24
ángulo.
2.- Haciendo centro en A y B traza los arcos como lo indica la 1.- Con centro en P construir sobre el segmento AB un circulo
figura. las intersecciones las denominaremos Q y R.
3.- Une V con el punto donde se cruzan los arcos en el interior 2.- Con centro en Q trazar un arco sobre el segmento y otro por
del ángulo.
debajo.
Definición de Bisectriz: es una recta que divide a cualquier 3.- Repetir la operación, ahora con centro R.
ángulo en dos ángulos iguales. 4.- La perpendicular resulta de unir S con T.

Trazo No. 4
Trazar una perpendicular a un segmento, que pase por un punto
que este sobre un segmento.


19

8.- Con la regla y el compás, construye un ángulo, igual al de la
Ejercicios del Capitulo II
figura. Escribe correctamente y enumera los pasos necesarios,
1.- Hállese el complemento de los siguientes ángulos: para hacer el trazo.
a) 72° b) 65° 30’
c) 22° 20’ 5’’ d) 45°
e) 130 ° f) 0°
g) A h) 36° 21’

2.- Hállese el suplemento de los siguientes ángulos:
a) 45° b) 120°
9.- Trazar una recta paralela a l que pase por P. Escribe
c) 145° 5’ d) 22° 20’ 15’’
correctamente los pasos necesarios, para hacer la construcción.
e) 82° 23’ 10’’ f) 123° 35’
g)172° 21’ 33’’ h)152° 23’

3.- La expresión 180° - B ¿Es el suplemento de A?
l
P
4.- Si el suplemento del ángulo x es 5x ¿Cuál es el valor de x?

5.- Determinar los dos ángulos x, y cuya suma es 90° y su
10.- Dibuja los siguientes ángulos, de cualquier magnitud.
diferencia 10°
a) SPQ b) TQR
c) MNQ d) ABC
6.- Uno de los ángulos de un triángulo es el doble del otro y el
triple del tercero, hállense los tres ángulos.
11.- Mide con tu compás los grados que aproximadamente
7.- Si uno de los ángulos agudos, de un triángulo rectángulo es tienen los ángulos que construiste en el ejercicio anterior (el
dos veces el otro ¿Cuáles son los valores de esos ángulos? numero 10).


20

12.- Dibuja los ángulos de la medida que a continuación se 15.- Los siguientes ejercicios, se refieren a encontrar ángulos
indica. entre paralelas cortadas por una secante.
a) 59° b) 83° c)129° d) 93° l1 l 2
l1
3   D E
e) Rev f) g) h) ½ Rev H
8 2 6

i) j) 150° K 45° R
4 l2
D= K=
E= R=
13.- Con base en las siguientes figuras y los valores que se dan
H=
encontrar los demás ángulos.

D
140° D=
E E= 16.- Ídem
B
F F= AB CD D
80°
Q=
Z=
Z
C=
14.- Ídem 50° Q
A C
x= Razón:
A= Razón:
2x B= Razón: 17.- EJEMPLO:
3x-20
A
E X
C Z E
B
Q M
D
DE AB
50° 55° R

A B


21

Z = 50° X = 130° Q = 50° 20.-
l2 l1 l1 l 2
M = 55° D = 75° R = 125°
3x+15 5x-65
x=
Solución: R R =
1.- A = Z Por ser correspondientes.
2.- B = M Por ser alternos internos.
3.- A = Q Por ser alternos internos.
21.- EJEMPLO:
4.- D = 75° Para completar 180°
5.- R + M = 180° Colaterales internos.
x+2y
l1 l 2
3x+y
18.- Ídem x = 20°
100° y = 40°
l1 l3 l1 l 2
l4
l3 l4 l1 l2
D
Solución:
50°
A = 1.- x + 2y = 100° Por ser alternos internos.
Q T B = 2.- 3x + y = 100° Por ser correspondientes.
A
C =
B
D =
Resolviendo el sistema por eliminación:
Q =
l2
T = por –3(x + 2y = 100°) por 1(3x + y = 100°)
C
19.- -3x – 6y = -300°
3x + y = 100°
l1 l 2 -5y = -200°
Z
X  200
y =
l1 x=
5
Y x/2+20
Y = y = 40°
l2 Z =


22

Sustituyendo y = 40° para encontrar x 25.- Trazar la mediatriz de los siguientes segmentos:
x + 2y = 100°
x + 2(40°) = 100°
x = 100° - 80°
x = 20° p

22.-
26.- Trazar una perpendicular al siguiente segmento por los
x+4y l
l1 l 2 puntos que se indican. P
5y l1 l
m
x=
100°
l2 y= k
P P
))

23.-
l1
l1 l 2
27.- Trazar la bisectriz de los ángulos:
l2 130°

x=
y=
5x-y
4x+y
28.- Trazar una recta paralela a la Recta l, que pase por el punto
P. Escribe los pasos para la construcción.
24.- Dibujar los ángulos siguientes y enseguida trazar la
bisectriz de cada uno de ellos: T
Q R
a) TPQ b) ABC c) MNQ

S
P O


23

31.- Dividir una
29.- Divide un círculo en cuatro partes iguales. circunferencia en cinco partes
iguales.

30.- Divide un círculo en tres
partes iguales. 32.- ¿Cuáles son los valores
de X, Y en la siguiente figura
si X-Y=100°

AB || C D


24

A B

C y D

x


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